函数的单调性教学设计高一上学期数学人教A版

3.2.1单调性与最大(小)值（第1课时）一、内容和内容解析1.内容：借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性，理解它们的作用和实际意义。2.内容解析：（1）内容的地位函数的单调性是人教版必修第一册第三章“函数的基本性质”的第一节内容，从整体性来看它的地位：函数描述了客观世界中变量之间的一种对应关系，变化中的不变性，变化中的规律性就是函数的性质。函数的性质在解决实际问题中发挥重要作用。函数的单调性体现在函数图象中，呈现出上升和下降的趋势。（2）知识的上下联系函数横向对比：初中用图像上升和图像下降来描述函数的单调性，这为学习函数的单调性提供了经验和依据。本节内容，我们从图象、数量、文字语言回顾函数的单调性，从而发现单调性的符号语言、定义。纵向对比：单调性这节课是函数基本性质的第一节，在之前学生学习了函数的概念与表示，认识了函数的定义域、值域、分段函数的相关知识，这些知识为学习函数的单调性做铺垫。对函数单调性的研究也为后续学习幂函数、指数函数、三角函数的性质提供了方法。详见如图：函数列表法图象法解析法函数的表示函数的概念幂函数应用函数的概念与表示函数的基本性质奇偶性单调性列表法图象法解析法函数的表示函数的概念幂函数应用函数的概念与表示函数的基本性质奇偶性单调性背景背景初中已学的函数概念初中已学的函数概念客观世界中的变量关系客观世界中的变量关系最大（小）值最大（小）值函数的三要素函数的三要素（3）蕴含的数学思想和方法从函数f(x)=x2的图象到横纵坐标关系刻画，到任意点的数量关系刻画，体现了数形结合的思想；从具体的函数f(x)=x2，f(x)=|x|，f(x)=x2等图象特征到一般的函数特征的刻画，体现了特殊到一般的思想。（4）内容的育人价值通过观察具体函数的图象上升和下降的趋势，提升学生直观想象的核心素养；经历从具体的直观描述到形式的符号表达过程，培养学生数学抽象的核心素养；经历函数单调性概念的生成过程，培养学生逻辑推理的核心素养。（5）教学重点基于以上分析，本课时的教学重点：函数单调性的符号语言刻画。二、教学问题诊断分析学生在初中阶段已经学习了一次函数、正比例函数、反比例函数和二次函数，对它们都研究了函数值随自变量的增大而增大（减小）的规律。从而能够理解函数图象呈上升或下降的趋势可以用“y随着x的增大而增大（减小）”这样的自然语言来描述。高中需要引入符号语言来表达这种规律。但学生第一次接触符号语言，对他们来说有一定的难度。在教学过程中，可以利用学生所熟悉的一次函数、二次函数等来分析，并借助表格、信息技术——几何画板给学生直观地展示函数值随自变量的增大而增大（减小）的过程。数形结合地提出问题，引导学生逐步抽象出单调性的定义，再通过辨析、练习帮助学生体会单调性的应用。基于以上分析，本课时的难点是：符号语言的引入，对“任意”“都有”等涉及无限取值的语言的理解和使用。三、教学支持条件分析借助几何画板动态演示函数值随自变量x增大而变化的过程，强化了定义的理解，突破教学的重难点，帮助学生深度理解所学知识。四、教学过程（一）问题导入问题1：观察下面各个函数的图象，说说图象有什么特点或变化规律？它们分别反映了函数的哪些性质？教师活动：让学生观察图象，并点名让学生回答，从学生的回答中帮她分类得到单调性和奇偶性。学生活动：根据图象，观察得到答案。 （二）新知探究环节一：研究二次函数f(x)=x2的单调性问题2：你能用数量去刻画这种关系吗？x∙∙∙432101234∙∙∙f(x)=x2∙∙∙16941014916∙∙∙教师活动：让学生观察表格，发现其中规律。提问f(x)=x2的定义域是什么，从而让学生明白x的取值有无数个。学生活动：同桌之间互相讨论，发现规律x＞0时y随着x的增大而增大，x＜0时y随着x的增大而减小。能够回答出f(x)=x2的定义域是R。追问：如果x取任意值还会有这样的规律吗？教师活动：通过几何画板进行演示，并让学生观察x＞0时，A点的横纵坐标有怎样的变化。从而让学生知道横坐标x增大时，纵坐标y也增大。再让学生观察x＜0时，A点的横纵坐标又有怎样的变化。从而得到横坐标x增大时，纵坐标y减小。学生活动：仔细观察动画，总结出规律。追问：你能用符号语言刻画出这种变化规律吗？教师活动：让学生通过图象，小组讨论，尝试写出图象上升的符号语言。学生活动：根据教师的引导，能够大致用符号语言表示出图象上升的情况。追问：你能说明为什么f(x1)＜f(x2)吗？教师活动：提示学生用之前所学的什么知识可以比较两个数的大小？让学生尝试写出步骤。学生活动：能很快反应出来利用作差法，并写出步骤。追问：类比刚才图象上升的符号语言，你能写出图象下降的符号语言吗？教师活动：跟着学生一起写出来。学生活动：跟着教师的思路，说出符号语言。追问：你能说明为什么f(x1)＞f(x2)吗？学生活动：有了刚才的举例，能很快证明f(x1)＞f(x2)。环节二：思考：1.当x≥0时，函数f(x)=|x|有怎样的单调性？2.当x≤0时，函数f(x)=−x2有怎样的单调性？教师活动：让学生观察图象，并点名让学生回答问题。学生活动：类比二次函数，能较快地说出答案。（三）讲授新课环节一：探究单调递增的定义师生活动：根据二次函数图象上升的符号语言，一起总结出单调递增的定义，指出什么是单调增区间。在PPT展示单调递增的图示。环节二：探究单调递减的定义师生活动：类比单调递增的定义，得出单调递减的定义。并指出单调减区间，给出单调递减的图示。并得出单调性是函数的局部性质，只针对于定义域的某一区间上而言。环节三：探究增（减）函数的定义提问：如果一个函数在整个定义域都是单调递增（减）的，我们把这个函数叫做什么？师生活动：学生进行思考讨论，师生总结出增（减）函数的定义。（四）思考1.设A是区间I上某些自变量的值组成的集合，而且∀x1,x2∈A，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，我们能说函数f(x)在区间I上单调递增吗？你能举例说明吗？教师活动：提示学生可以从自己熟悉的一次函数、二次函数入手。学生活动：经过思考讨论，可以回答出不能，并举出二次函数的例子。2.函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，你能举出在整个定义域内是单调递增的函数例子吗？你能举出在定义域内的某些区间上单调递增但在另一些区间上单调递减的函数例子吗？教师活动：找两名学生回答以上问题。学生活动：能够分别举出一次函数和二次函数作为例子。（五）课堂检测课本P79练习2.根据定义证明函数f(x)=3x+2是增函数.教师活动：让学生尝试写课本习题，给他们提供思路，并通过走到位置上查看学生写的情况。对于大部分学生写错的地方进行讲解，并将步骤板书在黑板上，最后再用PPT展示答案。学生活动：根据教师的思路能够写出部分答案，但还存在一些细节错误。（六）讲授新课总结利用定义判断（证明）函数单调性的步骤：①取值：任取x1,x2∈I，且x1<x2；②作差：f(x1)f(x2)；③变形（通常所用方法：因式分解、配方、通分、分子(母)有理化等）；④定号：确定f(x1)f(x2)的符号，当符号不确定时，可以进行分类讨论；⑤下结论：指出函数f(x)在给定的区间I上的单调性（七）课堂小结师生共同总结本节课的知识。①单调性的定义②增