线性代数 第07章 线性空间与线性变换

第7章线性空间与线性变换本章介绍线性空间的根本概念与根本运算，介绍线性变换的根本概念以及线性变换的矩阵。通过本章的学习，应该掌握以下内容：线性空间的概念、基、维数与坐标基变换与坐标变换公式线性变换的概念、简单性质与运算线性变换的矩阵表示和线性变换在不同基下的矩阵之间的关系线性变换运算所对应的矩阵线性变换的矩阵为对角矩阵的充要条件维线性空间的概念7.1维线性空间

7.1.1定义1

设

是一个非空集合，是一个数域,在

中定义了两种代数运算：

1．加法对于

中任意两个元素

按某一法那么,在中都有惟一的一个元素与它们对应,称为

的和,记作

2．数量乘法对于

任意元素和数域中的任意数

按某一法那么,在中都有惟一的一个元素对应,称为

与它们与的数量乘积，记作一般称集合

对于加法和数量乘法这两种运算封闭．

如果加法和数量乘法满足以下八条运算规律，那么称是数域上的一个线性空间．其中：

〔3〕在中有一个元素,对于中任一元素

,都有

.称元素

为的零元素〔4〕对于中每一个元素

,都有

中的元素使得.称元素

为的负元素,记作

,即(5)对数域中的数1和

中的任一元素

,都有

是任意实数)

注:凡满足八条运算规律的加法及数量乘法，就称为线性运算；凡定义了线性运算的集合，就称为线性空间．

线性空间具有以下性质：性质1

线性空间的零元素是惟一的；性质2

线性空间中每个向量的负向量是惟一的；性质3

性质4

如果

,那么或

基、维数与坐标定义2

在线性空间

中,如果存在

个元素

满足:中任一元素

总可以由

线性表示,

那么,称为线性空间的一组基,称为线性空间的维数

线性无关;定义3

设

是维线性空间的一组基是中任一元素，如果这组有序数组就称为元素在这组基下的坐标，并记作：建立了坐标后，就把抽象的向量〔元素〕与具体的数组向量联系起来了并且,还可把抽象的线性运算与数组向量的元素联系起来．设为一组基于是

基变换与坐标变换公式

设与是线性空间

中的两个基

利用分块矩阵的乘法形式，可将上式记为或其中称为由基

到过渡矩阵.中的每一列元素分别是基在基下的坐标；

称为基变换公式

定理1设中的元素在基

下的坐标为,在基

下的坐标为,假设两个基满足那么有坐标变换公式或例8

设是线性空间

的一组基

为一个二阶可逆矩阵，令

显然，

也线性无关，因此

的一组基,并且满足

也是是由基到的过渡矩阵.例9

设由所有二阶矩阵组成的线性空间的两个基为：

〔1〕求由基到基

〔2〕分别求的过渡矩阵；在上述两个基下的坐标；〔3〕求一个非零矩阵,使在两个基下的坐标相同．解〔1〕因为写成矩阵形式，就有

于是矩阵

到基的过渡矩阵；即是由基〔2〕由于是,在基下的坐标为在基下的坐标为(3)设在上述两个基下坐标相同,由(2)知,应有,故为在给定的两组基下坐标相同的非零的二阶矩阵．7.2线性变换

线性变换的定义定义4

设有两个非空集合如果对于中的任一元素

,按照一定的规那么,总有中一个确定的元素

对应,那么,这个对应规那么就称为从集合和它到集合的变换(或映射).我们常用字母来表示一个变换，譬如把上述变换记作,并记

或定义5

设

分别是实数域上的

维和空间,维线性是一个从到的变换,如果变换满足:

〔1〕任给,有〔2〕任给,有那么就称为从到的线性变换如果,那么,称

为中的线性变换.

线性变换的简单性质线性变换有以下性质:性质1

性质2假设,那么性质3假设,那么线性相关.线性相关性质4

线性变换

的像集

称为线性变换的像空间；

是一个线性空间,性质5

使

的

的全体也是一个线性空间,

称为线性变换的核.

例17

设有阶矩阵

其中中的变换为线性变换

的像空间为

的核

就是齐次线性方程组的解空间

线性变换的运算1.线性变换的加法定义6

设是线性空间定义它们的和的两个线性变换,为容易证明,线性变换的和还是线性变换.

线性变换的加法满足结合律与交换律.即

2．线性变换的数量乘法

定义7

设

是线性空间

的线性变换,定义它们的数量乘法

为实数，为显然

,仍然是线性变换.

线性变换的数量乘法满足以下运算规律：

称为

的负变换

3.线性变换的乘法定义8设

是线性空间定义它们的乘积的两个线性变换,为容易证明,线性变换的乘积还是线性变换.

线性变换的乘法满足结合律.即

但不满足交换律,即一般地对于乘法,单位变换

有特殊的地位,对任意变换还可以证明线性变换的加法与乘法满足乘法对加法的左右分配律：

满足4．线性变换的逆变换定义9

设

是线性空间

的线性变换,如果有

的线性变换存在,使

,那么称线性变换可逆，并称

是的逆变换.可以证明可逆变换的逆变换是惟一的．

可逆变换的逆变换记做,即可以证明,线性变换

的逆变换也是线性变换．

7.3线性变换的矩阵表示线性变换在一个基下的矩阵

定义10

设

是维线性空间的线性变换，

在中取定一组基，

,如果这组基在线性变换下的像〔用这个基线性表示〕为记上式可以表示为

其中那么,就称为线性变换在基下的矩阵．

显然，矩阵由基的像惟一确定．特别地,在中取定一组基以后,线性变换矩阵例18

求

中的线性变换

在如下基下的矩阵：

解〔1〕因为所以,在基下线性变换

的矩阵为〔2〕因为所以，在基下线性变换的矩阵

例20

设的线性变换为求在基

下的矩阵.解因为所以,线性变换在基

下的矩阵为定理

2设

是维线性空间的一组基，

的线性变换

在这组基下的矩阵为,向量

在基

下的坐标为其中

那么即线性变换在不同基下的矩阵之间的关系

定理3

设

与是线性空间的两组不同的基,由基

到的过渡矩阵为

中的线性变换矩阵分别为

在这两组基下的和,那么

证明按定理的假设，有可逆，从而及于是因为线性无关,所以

于是

例21

设中的线性变换

在基下的矩阵为

,求在基下的矩阵.解

即由

到的过渡矩阵,求得

在基下的矩阵.可逆,那么矩阵线性变换运算所对应的矩阵

定理4

设

是维线性空间的一组基,

在这组基下,线性变换的矩阵分别为,那么在基下〔1〕线性变换的和的矩阵为〔2〕线性变换的数量乘法的矩阵为矩阵〔3〕线性变换的乘积的矩阵为〔4〕假设线性变换可逆，反之亦然．有个相异的特征值,那么〔1〕线性变换所对应的矩阵可以对角化的充要条件是矩阵有个线性无关的特征向量；

是维线性空间的一个线性变换，如果在内存在一组基使在这