专题12 解三角形解答题分类练（解析版）

专题12解三角形解答题分类练一、利用正弦定理与余弦定理求角1.（2024届广西玉林市高三上学期联考）在锐角中，角、、所对的边分别为、、，.(1)求的大小；(2)若，，为的中点，求.【解析】（1）解：由于，由正弦定理可得，所以，，由于，所以，所以，由于，所以.（2）解：在中，由于，所以，所以，解得或当时，，则为钝角，不符合题意，当时，，则为锐角，合乎题意，故，由于为的中点，则，所以，，故.2.（2024届河北省保定市唐县第一中学高三上学期9月月考）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，．(1)求角B；(2)求边上中线长的最大值．【解析】（1）由，可得：，即，所以，而，所以；（2）依据余弦定理可得，，即，，即，当且仅当时，等号成立.是边上中线，，，，当且仅当时等号成立，即的最大值为.3．（2024届广东省揭阳市普宁市其次中学高三上学期月考）在中，设A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．(1)求角B；(2)若，的内切圆半径，求的面积．【解析】（1）由于，由余弦定理得，即，所以．又，所以（2）由余弦定理得：，则，由三角形面积公式，，即，则，所以，解得，所以.二、利用正弦定理与余弦定理求边4.（2023届新疆伊犁州霍尔果斯市高三上学期第一次月考）已知、、分别为三个内角、、的对边，.(1)求；(2)若，的面积为，求、.【解析】（1）依据正弦定理，变为，即，也即，所以．整理，得，即，所以，所以，则．（2）由，，得．由余弦定理，得，则，所以．则．5.（2024届山东省金科大联考高三上学期9月质量检测）在中，内角，，所对的边分别为，，，且.(1)求；(2)若的面积为，，求的值.【解析】（1）由于，所以，即，所以，又，所以.（2）由正弦定理知，，所以，所以，解得，所以.6.（2024届河南省洛阳市等三地部分名校高三上学期联考）已知的周长为，且.(1)求的长：(2)若的面积为.求.【解析】（1）解：设内角，，所对的边分别为，，.由于，所以.由于，所以；（2）由于的面积为，且，所以.由（1）可得.则.由余弦定理可得.由于，所以.三、利用正弦定理与余弦定理求三角形面积7.（2024届江西省南昌市高三上学期摸底测试）在中，角，，所对的边分别为，，，，.(1)求的面积；(2)若，求的周长.【解析】（1）由已知，在中有，故，即，即，而，所以，又，故的面积为.（2）由余弦定理，得，可得，所以，所以，即，所以的周长为3.8.（2023届安徽省合肥市庐阳区高三上学期12月月考）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．(1)求B；(2)若成等差数列，，求的面积．【解析】（1）由正弦定理得，即，再由余弦定理可得，由于，所以；（2）由于成等差数列，所以，即，由正弦定理、余弦定理可得，整理得①，又，，由余弦定理得②，由①②可得，所以的面积为.9.（2024届山东省泰安市肥城市高三上学期9月月考）的内角的对边分别为，已知.(1)求的值；(2)若是上一点，，求的面积.【解析】（1）在中，由余弦定理得，所以.由正弦定理，得.（2）由于，所以，C为锐角，由，得.在中，，得，由于，所以.四、利用正弦定理与余弦定理求范围与最值问题10.（2024届湖南省益阳市高三上学期9月月考）已知的内角，，的对边分别为，，，，且.(1)求；(2)求面积的最大值.【解析】（1）由于，留意到且结合正弦定理有，整理得，所以由余弦定理可得.（2）由（1）可知，且留意到，所以有，利用基本不等式得，即有最大值16，当且仅当时取到；又由（1）可知，所以，综上所述：；即面积的最大值为.11．（2024THUSSAT中同学标准学术力量诊断性测试高三上学期9月测试届）记的内角的对边分别为，已知．(1)求；(2)若是上的一点，且，求的最小值．【解析】（1），又，则或，若，则；若，则，又，不符合题意，舍去，综上所述.（2）①，又②，①÷②得：令，又，，令令，令，当时，当时，由对勾函数性质可得当时，为减函数，故，同理当时，所以当三角形为等边三角形时最小，最小值为12.（2024届河南省洛阳市洛宁县高三上学期其次次月考）在中，内角所对的边分别是且．(1)求角A；(2)若，求周长的范围．【解析】（1）∵，由正弦定理得，由余弦定理得．∵，∴；（2）由（1）知，又已知，由正弦定理得：∵，∴，，

，由，于是，故，于是，∴周长的范围是.13．（2024届河北省保定市重点高中高三上学期考试）在中，角，，的对边分别为，，，若.(1)求角的大小；(2)若为上一点，，，求的最小值.【解析】（1）依题意，，由正弦定理得，，所以，所以是钝角，所以.（2），，所以，即，所以，当且仅当时等号成立.五、与三角形中线、角平分线、高有关的解三角形问题14.（2024届四川省南充高中高三上学期第一次月考）已知中，角的对边分别为，．(1)若，求的值；(2)若的平分线交于点D，且，，求的面积．【解析】（1）由以及正弦定理得，所以.（2）依题意，，由正弦定理得，由于，所以，所以，，由，，，由余弦定理得，即，，，则由得，所以.

15.（2024届广东省揭阳市普宁市高三上学期第一次月考）在中，记角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.(1)求角A；(2)若，AD为BC边上的中线，求.【解析】（1）由正弦定理得，由于，所以，所以，即，又，所以，即，又，所以，所以.（2）由于，所以由正弦定理得，设，则，由于AD为BC边上的中线，所以，

即，即，，即，明显，所以，即.16.（2024届河北省秦皇岛市部分学校高三上学期开学检测）记的内角的对边分别为，面积为，已知.(1)求的值；(2)若边上的中线，求周长的最小值.【解析】（1）∵面积为，，且，得，，由正弦定理得：，，，，，.（2）边上中线，，，得，，，，且，即，，当且仅当时，“=”成立.又，由余弦定理得，，，设，，设，，在单调递减，又，，，在单调递减，则最小值为，所以当时，的最小值为，故周长最小值为.17.（2024届广西南宁市其次中学、柳州铁一中学高三新高考摸底调研）已知中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．(1)求角A的大小；(2)设是边上的高，且，，求的值．【解析】（1）解：在中，由正弦定理，可得，即，即，整理得，由于，所以，则，又由于，所以．（2）解：由（1）及已知，可得，又由，可得，所以，由余弦定理，可得，即，即，所以.六、四边形中的解三角形问题18.（2024届海南省定安县定安中学高三上学期开学考）如图，已知平面四边形存在外接圆（即对角互补），且，，．(1)求的面积；(2)若，求的周长.【解析】（1）由于平面四边形存在外接圆，所以，，又由于，所以，所以的面积．（2）在中，由余弦定理得，解得．在中，由余弦定理得，即，解得，所以的周长为．19.（2023届四川省仁寿高三下学期2月月考）在中，角A，，的对边分别为，，，.(1)求角的大小；(2)若，为外一点（A，在直线两侧），.设，求平面四边形面积的最大值及对应的的值.【解析】（1）在中，，由正弦定理：，即，所以，又，∴；（2）由余弦定理：.∵，∴，

∵，∴，∴，∴，∵，∴，因此当时，平面四边形面积最大，∴最大值为，.七、解三角形应用题20.（2024届浙江省百校起点高三上学期9月调研）天门山，古称嵩梁山，位于湖南省张家界市永定区大庸中路11号，属武陵山脉向东进入洞庭湖平原的余脉.为了测量天门山的海拔，某人站在海拔600米的点A处，他让无人机从点A起飞，垂直向上飞行400米到达点B处，测得天门山的最高点C处的仰角为45°，他遥控无人机从点B处移动到点D处（平行于地平面），已知B与D之间的距离为518米，从点D处测得天门山的最高点C处的仰角为（）.

(1)设平面过且平行于地平面，点C到平面的距离为h米，求与的长（用h表示）；(2)已知，求天门山的海拔.【解析】（1）如图，过C作，垂足为，则米，，，在中，米.

在中，米，

由于，所以，

所以米.

（2）在中，由余弦定理得，

由（1）得，整理得，即，

所以天门山的海拔为米.21.（2023届河北省衡水中学高三下学期五调）如图，某城市有一条大路从正西方通过市中心后转向东偏北角方向的，位于该市的某高校与市中心的距离km，且.现要修筑一条铁路，在上设一站，在上设一站，铁路在部分为直线段，且经过高校，其中，，km.

(1)求高校与站的距离；(2)求铁路段的长.【解析】（1）在中，，，且，，由余弦定理，得，所以，所以高校与站的距离为km；（2）由于，且为锐角，所以，在中，由正弦定理得，即，解得，由题意知为锐角，所以，所以，由于，，且为锐角，所以，，所以，又，所以，在中，由正弦定理，得，即，解得，所以铁路段的长为km.八、解三角形开放题22.（2024届贵州省贵阳市高三上学期8月摸底）在锐角中，角、、所对的边分别为、、．①；②；③．在以上三个条件中选择一个，并作答．(1)求角；(2)已知的面积为，是边上的中线，求的最小值．【解析】（1）解：若选①，由于，即，则，即，所以，，由于，故；若选②，原式等价于，即，即，由于、，则，所以，，则，故；若选③，原式等价于，即所以，，即，即，由于，故.（2）解：由于，所以，，由于为的中点，则，所以，，则，则，当且仅当时，即当时，等号成立.因此，长的最小值为.23.（2024届北京市第一六六中学高三上学期9月阶段性诊断）已知的内角的对边