空间直角坐标系课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

1.3.1空间直角坐标系教学目标学习目标数学素养1.了解空间直角坐标系，并掌握空间直角坐标系的画法，感受建立空间直角坐标系的必要性.1.数学类比素养和空间想象素养.2.会在空间直角坐标系中写出所给定点、向量的坐标.2.数学抽象素养和数学运算素养.温故知新1.空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组（x，y，z）.使得p=xa+yb+zc.把三个不共面的向量{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量.空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底.温故知新2.平面向量的正交分解及坐标表示

∟把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫作把向量作正交分解.

新知探究

学习了空间向量基本定理，建立了“空间基底”的概念，我们就可以利用基底表示任意一个空间向量，进而把空间向量的运算转化为基向量的运算.所以，基底概念的引入为几何问题代数化奠定了基础.

在平面向量中，我们以平面直角坐标系中与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j为基底，建立了向量的坐标与点的坐标的一一对应关系，从而把平面向量的运算化归为数的运算.

类似地，为了把空间向量的运算化归为数的运算，能否利用空间向量基本定理和空间的单位正交基底，建立空间直角坐标系，进而建立空间向量的坐标与空间点的坐标的一一对应呢？平面向量空间向量新知探究

我们知道，平面直角坐标系由平面内两条互相垂直、原点重合的数轴组成.利用单位正交基底概念，我们还可以这样理解平面直角坐标系.

如图，在平面内选取一点O和一个单位正交基底{i,j}，以O为原点，分别以i,j

的方向为正方向,以它们的长度为单位长度两条数轴：x轴、y轴，那么就建立了平面直角坐标系Oxy.xyzijkO类似地，在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}（如图）.以点О为原点，分别以i，j，k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴:x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴．这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz.在空间直角坐标系中O叫做原点，i，j，k都叫做坐标向量，

通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面，Oyz平面，Ozx平面，它们把空间分成八个部分.新知探究空间直角坐标系画法.

在空间中，在x、y轴的基础上添加与x、y轴都垂直的z轴.借鉴斜二测画法，在画空间直角坐标系Oxy时，让x轴与y轴所成的角为135°(或45°)，即∠xOy=135°(或45°)，画z轴和y轴垂直，即∠yOz=90°.如图所示，

在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系.yxz新知探究

在平面直角坐标系中，每一个点和向量都可用一对有序实数（即它的坐标）表示.对空间直角坐标系中的每一个点和向量，是否也有类似的表示呢？

z

横坐标竖坐标纵坐标记作A(x,y,z).知新探究

符号(x,y,z)具有双重意义，它既可以表示向量，也可以表示点，在表述时要注意区分.

这样，在空间直角坐标系中，空间中的点和向量都可以用三个有序实数表示.知新探究

事实上，如图，过点A分别作垂直于x轴、y轴和z轴的平面,依次交x轴、y轴和z轴于点B，C和D.

E

你能给出证明吗？

这样，在空间直角坐标系中，空间中的点和向量都可以用三个有序实数表示.知新探究确定空间中一个点A或任意一个向量a的坐标的方法：点A的坐标给定的向量

的坐标的坐标

应用空间向量基本定理确定坐标根据几何直观确定

在各坐标轴上的投影向量，从而求得坐标新知探究

解：

所以点D'的坐标是（0,0,2）.同理点C的坐标是（0,4,0）.

点A'在x轴、y轴、z轴上的射影分别为A,O,D',它们在坐标轴上的坐标分别为3,0,2,所以点A'的坐标是(3,0,2).

点B'在x轴、y轴、z轴上的射影分别为A,C,D,它们在坐标轴上的坐标分别为3,4,2,所以点B'的坐标是(3,4,2).新知探究

解：

知新探究特殊位置的点的坐标•Oxyz111•A•D•C•B•E•F点P的位置原点Ox轴上Ay轴上Bz轴上C坐标形式点P的位置xOy面内DyOz面内EzOx面内F坐标形式(0，0，0)(x，0，0)(0，y，0)(0，0，z)(x,y,0)(0,y,z)(x,0,z)坐标轴上的点至少有两个坐标等于0;坐标面上的点至少有一个坐标等于0.课堂小结1.空间直角坐标系2.空间坐标系内点或向量的坐标表示在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}.以点О为原点，分别以i，j，k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴:x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴．这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz.xyzijkO在空间直角坐标系中O叫做原点，i，j，k都叫做坐