湖南省长沙市某中学2024届高三年级上册月考（四）数学试题+答案解析

大联考长郡中学2024届高三月考试卷(四)

数学

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名，考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在

本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.)

］设集合〃={“一1<%<3},儿={一2,-1,0,1},则(

A.{-1,0,1}B.{0,1}C.{x|—I<x<1}D.{x|-l<x<l}

【答案】B

【解析】

【分析】根据交集的知识求得正确答案.

【详解】由已知得A/nN={0,l}.

故选：B

2.已知i是虚数单位，若(a+2i)(l+i)=4i,则实数()

A.2B.0C.-ID.-2

【答案】A

【解析】

【分析】利用复数乘法运算法则，根据复数相等列方程组即可求.

【详解】因为aeR,(a+2i)(l+i)=a-2+(a+2)i=4i,

a-2=0

所以《解得4=2.

Q+2=4

故选:A

3.设随机变量X〜N(〃,/)，且P(X")=3P(XNa),则P(XN〃)=()

A.0.75B.0.5C.().3D.0.25

第1页/共20页

【答案】D

【解析】

【分析】利用对立事件的意义，结合正态分布列式计算即得.

【详解】随机变量X〜N®,"),显然P(X<a)+P(XNa)=l,

而P(X<a)=3P(XNa),所以尸(XNa)=0.25.

故选：D

4.已知a=log2、为)=bg45,c=logjZ,则下列结论正确的是()

A.b<c<aB.c<b<a

C.b<a<cD,c<a<b

【答案】B

【解析】

【分析】利用1作为中间量，判断从C的大小，利用换底公式判断4、b的大小.

【详解】因为。=log32clKb=log45<log46=1826=2bg2"=噢,&=a,

log242

即。<6<Q.

故选：B.

5.已知圆锥的高为3,若该圆锥的内切球的半径为1,则该圆锥的表面积为()

A.6乃B.6出几C.9KD.12乃

【答案】C

【解析】

【分析】利用圆锥与其内切球的轴截面，由已知数据计算出圆锥底面半径和母线长，可求圆锥的表面积.

【详解】圆锥与其内切球的轴截面如下图所示，

由已知可知/。户。=30,，所以圆锥的轴截面为正三角形，

因为SO=3,所以圆锥底面圆半径4O=SO-tan3(r=石，母线双==^二2百，

cos60

第2页/共20页

则圆锥的表面积为S=兀X(0)2+兀XJiX2百=9兀.

故选：C.

6.已知角且满足3\/^sina-?J=cosa,则sina+2cosa=()

,八25C25c

A.—2B.—C.-----D.2

1616

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意，由条件可得tana的值，从而可得sina,cosa,即可得到结果.

471

【详解】由已知得3J5sin=3(sina-cosa)=cosa,/.tana=-,Vae(0,—),

32

..43.-

..sina=—,cosa二一，sina+2cosa=20

55

故选：D

7.在等腰一8C中，力。=。8=2,/。3=30。/4?。的外接圆圆心为。，点P在优弧标上运动，则

PO-2)

A.4C.-2x/3D.-6

【答案】D

【解析】

PAPBn:~PC

【分析】根据题意，由止弦定理可得圆。的外接圆直径，从血可得同+网=’3同,代入计算，即

可得到结果.

BC

【详解】由已知/C=C8=2,/C43=30。，所以圆。的外接圆直径为4,

siivl

因为NAPC=/ABC=NBPC=NBAC=3(f,

PA~PBrr~PC

所以网+网=6园,

PAPB-PC=-|PC|2-2^|PC|=女性卜2折-6

所以PO-2R+R-PC=pd-

第3页/共20页

因为|正|<|定|42尺，即2<|定卜4,所以|无卜26时，取到最小值-6.

故选：D.

8.已知椭圆E:=+与■=l（a>b>0）的右焦点为F（3,0）,过点F的直线交椭圆于A、B两点.若AB的中点

a2b~

坐标为（1,一1）,则E的方程为

A.—+^-=1

4536

C

2718189

【答案】D

【解析】

22

X1

-+M

-2

QF人2

2

【详解】设4（斗,必）、3（心,场），所以2运用点差法，所以直线48的斜率为左二、，设直

X2M

-+

-2Fa-

。

线方程为》=彳（工-3）,联立直线与椭圆的方程面+/^力/N+乡/一/二。，所以

a

A序

X,+^2=—z---7=2；又因为42一力2=9,解得〃=9,1=18.

a~+b

【考点定位】本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查学生的化归与转化能力.

二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得。分.）

9.党的二十大报告提出，要加快发展数字经济，促进数字经济与实体经济的深度融合，数字化构建社区服

务新模式成为一种时尚.某社区为优化数字化社区服务，问卷调查调研数字化社区服务的满意度，满意度

采用计分制（满分100分），统计满意度绘制成如下频率分布直方图，图中b=3a.则下列结论正确的是（）

第4页/共20页

A.67=0.01

B.满意度计分的众数为80分

C.满意度计分的75%分位数是85分

D.满意度计分的平均分是76.5

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据频率之和为1即可求解A,根据众数，中位数以及平均数的计算即可分别求解BCD.

【详解】由频率分布直方图可知(a+0.015+0.035+b+a)xl0=l,即力+2。=0.05,

又6=3。，所以。=0.01,所以选项A正确：

满意度计分的众数为75分，所以选项B错误；

前三组的频率之和为0.1+0.15+0.35=0.6<0.75,

前四组的频率之和为0.6+0.3=0.9>0.75,则75%分位数me[80,90),

故根=80+等乎xl0=85,满意度计分的75%分位数为85,所以选项C正确；

0.9-0.6

满意度计分的平均分为：亍=55x0.1+65x0.15+75x0.35+85x0.3+95x0.1=76.5分，所以选项D正

确.

故选:ACD.

10.已知函数/(耳=公出2%+小052戏/>0)的最大值为2石，则下列结论正确的是()

A.函数/(x)的最小正周期为

B.”3

C.函数/(x)的图象关于直线工=4对称

D.函数/(x)=—G在区间(0,兀)内有两个不同实根

【答案】BD

【解析】

【分析】利用三角恒等变换化简/(X)="吊2工+限。52%(。>0),求出最大值，根据最大值为2方确定

。的值，然后利用正弦型函数的性质依次判断即可.

2

【详解】因为/(x)=tzsin2x+V3cos2x=\Ja+3sin(2x+°),sin9=/—,cos(p=:——,

J/+3yJa2+3

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所以7=g=兀,/（x）g=J7百，

又/（目的最大值是2百，所以J7F=2百，

又。>0,所以4=3,所以选项A错误，B正确;

由于f(^)=3sin2x+>/3cos2xsin2x+-cos2x=2>/3sin(2x+—1,

2

因为/=2\/3sin2x0,

所以函数/（x）的图象关于点[-],（））对称，所以选项C错误;

,/八\Lc兀(兀13兀、，由/（%）=2瓜由（2%+塔）=

当王w(0,兀)时,2x0+—€—--5

66166)

即§泊（2%+2=-p求得/=四或%=2,所以选项D正确.

26

故选：BD.

11.已知数列满足6=1，。向二丁一^—（〃£N）数列｛"｝满足"=。“勺+1,记数列｛4｝的前〃项和

1—

为5”，则下列结论正确的是（）

A.数列1是等差数列2I1

I。"

C.S<---D.S>--

2n〃2

【答案】ABC

【解析】

11f

【分析】由题意可得--------=-2，再根据等差数列的定义及性质即可判断AB：求出数列｛凡｝和｛a｝的

。用/

通项，再利用裂项相消法即可求出S”，从而可判断CD.

1凡11一2凡1。

【详解】因为《=1，。川二丁一^,所以一=——-=一一2,

1-24%anan

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1111

所以--------=-2,且一二1,

%+1见a\

所以数列是等差数列，且该数列的首项为1,公差为-2,

211

所以一二—十——，所以选项AB正确；

%0a2。18

因为，=1_2（〃-1）=3-2〃，所以%=丁!

%3-27?

、_11_J______J_

所以n_%限-（3-2/2）（1-2W）-（2/i-3）（2/i-l）-八2〃-32/z-l

If,1A1~

=--1--<--»所以选项C正确，D错误.

212n-\J2

故选：ABC.

12.如图，在多面体力8CQE/中，底面力8CQ是边长为正的正方形，DE=BF=1,DE"BF,DE1平

B,存在点P,使得。夕〃平面/C/

C.当动点尸与点尸重合时，直线OP与平面NEC所成角的余弦值为"°

10

9%

D.三棱锥4-CQE的外接球被平面力C9所截取的截面面积是不~

2

【答案】ABC

【解析】

【分析】由面面垂直的性质定理可判断选项A；由线面平行的判定定理和性质定理可判断选项B；由面面垂

直的判定定理、面面垂直的性质及余弦定理可判断选项C；由截面是△4CF的外接圆及正弦定理可判断选

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项D.

【详解】令4CnBQ=0,连接尸。，令EF中点为G,连接。G,如图所示:

由底面48CO是正方形可得：。是3。,,4c的中点，且4c上BD；

由。£1平面/8C。，DEu平面DEFB，30u平面48CZ）可得：

平面4381平面OE必，DE1BD；

由DE=BF八DE"BF，OE_L5。可得：四边形七尸为矩形.

对于选项A：由4C上BD,平面/BCD人平面。£尸8，平面力BCDc平面。斯5=8。，4Cu平面

ABCD,可得4C_L平面。£7冷.

又DPu平面DEFB,所以力C_LO尸，故A正确；

对于选项B：因为在矩形BDEF中，DOUFG,DO=FG,所以四边形D0FG是平行四边形，则直线DG

//0F.

因为。bu平面4C£OGa平面4c/，则ZX7〃平面46.故当尸是线段EF中点G时，直线。尸〃

平面NC77,故B正确；

对于选项C：因为4c_L平面。£尸5，ACu平面力厂C,

所以平面BDEF1平面AFC,

所以。尸（£>9）在平面/尸。内射影在直线。尸匕直线。P与平面力巾所成角为N37）（NOP0）.

在△0EQ中，0D=1,0尸=叵,DF=底cos/OFD二*江一0。?二,故c正确；

20FDF10

对于选项D：因为在△AC/中，AC=2,AF=5CF=®FO=6,

MsinZFztC=—=—.

AF3

FC3

由正弦定理得：△46的外接圆直径2r=.「=丁,

s\nZFACV2

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397t

则半径r=2近,圆面积为S=nr2=—.

因为三棱锥N-CQ七的外接球的球心在过点。且与平面/C。垂直的直线上，四边形3。底尸为矩形，所以

点F在三棱锥A-CDE的外接球上.

所以三棱锥A-CDE的外接球被平面ACF所截取的截面是AACF的外接圆，

9兀

因此三棱锥A-CDE的外接球被平面ACF所截取的截面面积是区■，故D错误.

故选：ABC.

【点睛】关键点点睛：本题主要考查空间中线线垂直的证明、线面平行的证明、线面角的求法及球的截面

问题解题关键在于熟练灵活掌握空间线面位置关系的判断方法.选项D先判断出截面的形状，再利用正弦定

理求出半径即可求解判断.

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）

X

13.已知函数/a）=,2ogx3<A2+x）,x>2,则/（/⑺）的值为-

【答案】4

【解析】

【分析】运用代入法，结合对数的运算性质进行求解即可.

【详解】由题意可得，/（7）=log3（2+7）=2,所以/（/（7））=/（2）=22=4.

故答案为：4

14.2023年10月国庆节旅游黄金周期间，自驾游爱好者甲、乙、丁3家组团自驾去杭州旅游，3家人分别乘坐

3辆车，沪昆高速杭州入口有4SC共3个不同的窗口，则每个窗口恰好都有一位该团的自驾车在等候的

概率为.

【答窠】%2

【解析】

【分析】根据给定条件，求出该团的3辆自驾车在3个窗口等候的基本事件总数，再求出3个窗口各有1

辆车在等候的事件含有的基本事件数，利用古典概率公式计算得解.

【详解】该团的3辆自驾车在3个窗口等候的基本事件总数为33,

3个窗口各有1辆车在等候的事件含有A；个基本事件，

所以每个窗口恰好都有一位该团的自驾车在等候的概率为「=勺=±.

339

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2

故答案为：

15.已知双曲线3■一方=15>0/>0）的左、右焦点分别为片,鸟，过名作一条直线与双曲线右支交于48

两点，坐标原点为。，若I。川=,原+为,|8用=5々，则该双曲线的离心率为.

【答案】巫#/痴

22

【解析】

【分析】由|。⑷二|。用=|。可得出/耳146，由定义结合勾股定理得出加=。，再由勾股定理得出离心

率.

【详解】解：如图，v\OA\=\OF.|=|OF^=c,AFX1AF2

因为|明|=5。,则18g|=|5用一2〃二3。，

设=则|力用二加+2々，则|/理=阳+34,

由勾股定理可得|4月/+1力02=|BF^,印（加+2。『+（加+3Q『=（5a）2,

整理可得〃J+5。加—6/=0,因为加>0,解得加二。，

所以，|力用=°,|"|=3〃，

由勾股定理可得|4用？+|4玛『二|丹用『，即9/+。2=（2。）2,整理可得2c=JSa，

因此，该双曲线的离心率为e=£=®.

a2

故答案为：叵

2

16.已知关于x的不等式--«（x+l）e>>0恰有3个不同的正整数解，则实数〃的取值范围是

【答案】昌

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【解析】

22

【分析】由题意知，关于X的不等式亍>%(1+1)恰有3个不同的正整数解.设函数/(》)=》，

y=《(x+l),作出函数图象，由图象观察，可得实数的2取值范围.

【详解】当左二0时，不等式—>0有无数个正整数解，不满足题意;

当左vO时，当x>0时，不等式f一人(》+1)炉>0恒成立，有无数个不同的正整数解，不满足题意;

当攵>0时，不等式/一%(x+l)e、>0等价于1>左(工+1),

e

Y22x-x2x(2-x)

令/(》)=j所以/'(X)

e

当x<0时，r(x)<0,函数/(X)单调递减，当0<x<2时，/y)>0,函数/卜)单调递增，当x>2

时，/'(力<0,函数/(x)单调递减，

又/(0)=0,/(2)=。，结合单调性可知，当x>0时，/(x)>0恒成立,

e

而y=〃(x+1)表示经过点(-1,0)的直线，

由图像可知，关于%的不等式-(x+l)e、>0恰有3个不同的正整数解，故只需满足以下条件:

1

%(1+1)

e

9

乂3+1)

^(4+1)>?

e

1691691

解得?”〈行•则实数”的取值范围是菽E

169、

故答案为:

”尸%尸也±D【点睛】用数形结合思想解决不等式解的问题一般有以下几类:

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(1)解含参不等式：在解决含有参数不等式时，由于涉及参数，往往需要讨论，导致演算过程复杂，若利

用数形结合的方法，问题将简单化；

(2)确定参数范围：在确定不等式参数的范围时，几何图形更能使问题直观；

(3)证明不等式：把证明的不等式赋予一定的几何意义，将复杂的证明问题明快解决.

四、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

17.在京3。中，。也。分别为内角4民C的对边，且2•114+*访8+加山。=2加亩8+2b山。.

(1)求角力的大小：

(2)设角4的内角平分线交于点若AJBC的面积为6行,力"=3后，求b+c的值.

【答案】(1)A=j

(2)b+c=S

【解析】

【分析】(1)利用正弦定理角化边，然后结合余弦定理可得；

(2)根据邑"c=S.ABM化简整理可得.

【小问1详解】

由2asiM+csin8+bsinC=2bsinB+2csinC及正弦定理得：

2a2-\-ch+bc=2h2+2c2，^b2+c2-a1=be-

由余弦定理得cos4==-

2bc2

又0＜力＜兀，所以4=

【小问2详解】

由角A的内角平分线交5c于点M可知NBAM=NCAM=当

6

S^ABC~-S.+S,=—AM-csin^BAM+—AM•bsinNCAM

△/AicRzAifA/IVJ*IArf

=；x3x/3csinZ^M+；x3同stn/CAM=乎9+c)=66

所以“。=8.

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c

M

18.已知等差数列｛%｝的前〃项和为S”，且满足57=49,24=%+9,数列也｝满足"=4也X=3bb4•

（1）证明：数列也-〃｝是等比数列，并求｛4｝,｛2｝的通项公式;

，〃为奇数,

（2）已知数列｛%｝满足与=<求数列｛%｝的前2〃项和T.

为偶数，2n

【答案】（1）证明见解析；勺=2/7-1,a=3"+〃

Q2W+1q

（2）--2n2+n--

8+8

【解析】

【分析】（1）设数列｛4｝的公差为d,根据题意求得出=7和6=5,得到d=l,得至再由

“山一（〃+1）=3。一"），得到也一〃｝为等比数列，进而得到数列也｝的通项公式；

3”〃为奇数

（2）由（1）得到%=《'上/用共，结合分组求和，即可求解.

2〃一为偶数

【小问1详解】

解：依题意，设数列｛叫的公差为d,

因为$7=49,所以7（%；%）=74=49,则包=7,

因为2。4=。3+9,即14=%+9,所以的=5,

所以d=4—%=2,q=生-21=1,所以。〃=1+（〃-1）x2,即。”二2〃一1.

所以加］=3〃-%=32-（2〃-1）,所以%—（〃+1）=30,一〃）,

又因为4=4,所以1二3/0,故数列｛"-〃｝是首项为3,公比为3的等比数列,

所以=3-1）-3'1=3",所以",=3"+〃.

【小问2详解】

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3",〃为奇数

解：由（1）知4=3"+〃，可得c〃=・

—为偶数

所以I”=6+°2+%+~+0“_I+。2.

=（3,+33+35+---+32n-,）+［（2x2-l）+（2x4-l）+--.+（2x2/?-l）］

3（1-9"）（3+4〃-

——+2/:2+n----

88

19.如图，四棱柱—中，底面48co为正方形，AC与BD交于点、0,平面力。。“"1■平

面ABCD,AB=立9=2«3与底面43co所成的角为60°.

（1）求证：。0_1平面/8。。；

（2）求平面“。用与平面。DC的夹角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析

【解析】

【分析】（1）过Ci作于。…利用面面垂直证明线面垂，再结合线面角证明。,Q为同一点即可:

（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求两个平面夹角的余弦值.

【小问1详解】

过c作C。_LZC于。1,因为平面A.C.CA1平面48CZ），

又平面4GC4C平面4BCO=4C,GQu平面4G。，所以GQ_L平面4?。。，

所以/CQO1为直线CC、与平面45co所成的角，所以=60°,

CC[=AAy=2,则COX=1,

第14页/共20页

又因为底面43CQ为正方形，AB=6'

所以NC=2,。是4c中点，。。=1,

可知。,«为同一点，所以CQ_L平面力BCQ.

【小问2详解】

因为底面43co是正方形，所以4c上BD,

以。为原点，。8,。。,。。1所在直线分别为X，乂z轴建立空间直角坐标系.

AC=BD=2,CO=\,CC,=AA]=2f8=也，

则/(0,T0),c(0,i,0)，G(0,0,6"(i,0,0),D(T0,0).

又两=忆=(0,-1,石)，所以

所以就二(0,2,0),花=(1,0,6),

/、行•就=2歹=0,

设平面片。用的法向量是万=(XJ,Z),由1_L

\nABx=x+V3z=0,

令z=l,则x=—6,j=0,得万

因为峦=(0,-1,百),而=(-1,-1,0),

.、m-CC.=-y,+x/3z.=

设平面COAG的法向量为比=(%，M，zJ,所以〈"

inCD=一$—乂=0,

令4=1,则x=—6/=道，得而=卜百,6』)，

…nm-百、卜6)+百xO+lxl2币

所以COS",m=,,,,=/L=----

同同7(-73)2+02+127(-^3)2+(V3)2+127

所以平面ACB,与平面CDD£的夹角的余弦值为也.

7

第15页/共20页

20.已知圆。：/+/=2%，动点尸在V轴的右侧，0到V轴的距离比它到的圆心。的距离小1.

(1)求动点P的轨迹E的方程；

(2)过圆心C作直线/与轨迹上和圆C交于四个点，自上而下依次为若MM+|N8|=2|MV|,

求|/理及直线/的方程.

【答案】(1)/=4x(x>0)

(2)|彳8|=6,y=±V2(x-l)

【解析】

【分析】(1)易得圆的半径r二1,圆心以1,0),由题意得到点P到定点C(L0)的距离与到定直线尸一1的

距离相等，再利用抛物线的定义求解；

(2)由圆。的半径为1,得到|MN|=2,再由|/M|+|N8|=M8|_|M?V|=2|MV|,得到|48|=3眼乂|=6,

易知直线/的斜率不为0,设直线/：x=ay+l,与抛物线方程联立，利用弦长公式求解.

【小问1详解】

C：/+y2=2x化为(x-l)2+/=l,可得半径r=1，圆心C(l,0),

因为动点尸在y轴的右侧，尸到y轴的距离比它到的圆心c的距离小1,

所以点P到定点C(l,0)的距离与到定直线x=-1的距离相等，

「•由抛物线的定义得P(x,y)的轨迹E方程为y2=4x(x>0)；

【小问2详解】

如图所示：

由圆C的半径为1,可得|MN|=2,

M|+1M91=21MN|=4又|4W|+1N8|=|彳81-1MN|=21MN|,

:.\AB\=3\MN\=6,

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当直线/的斜率为。时，直线/与抛物线只有1个交点，不合题意；

所以直线/的斜率不为0,可设直线，：1=叼+1,

x=my+1)

联立<>=>y-4my-4=0,

y=4x

A=16阳2+16>0恒成立，%+必=4sly2=-4，

因为|48|=6,

所以+m2卜］一歹2I=Jl+J”?J(必+为)2—Q%=何+病\ll6m2+16=6»解得〃?~=万，

所以直线/的方程为x=±^^~y+1=>y=±\/2(x—1).

21.在上海举办的第五届中国国际进口博览会中，一款无导线心脏起搏器引起广大参会者的关注，成为了进

博会的“明星展品”.体积仅有维生素胶囊大小，体积比传统心脏起搏器减小93%,重量仅约2克，拥有强

大的电池续航能力，配合兼容L5T/3.0T全身核磁共振扫描检查等创新功能.在起搏器研发后期，某企业快

速启动无线充电器主控芯片生产，试产期每天都需同步进行产品检测，检测包括智能检测和人工检测，选

择哪种检测方式的规则如下：第一天选择智能检测，随后每天由计算机随机等可能生成数字“0”和“1”，连续

生成4次，把4次的数字相加，若和小于3,则该天的检测方式和前一天相同，否则选择另一种检测方式.

(1)求该企业前三天的产品检测选择智能检测的天数X的分布列；

(2)当地政府为了检查该企业是否具有一定的智能化管理水平，采用如下方案：设p“(〃£N")表示事件”第

n天该企业产品检测选择的是智能检测”的概率，若p„恒成立，认为该企业具有一定的智能化管理水平,

将给予该企业一定的奖励资金，否则将没有该项奖励资金.请问该企业能拿到奖励资金吗？请说明理由.

【答案】(1)答案见解析

(2)可以；理由见解析

【解析】

【分析】(1)根据题意，由条件可得X的可能取值为1,2,3,然后分别求出其所对应的概率，即可得到分

布列.

(2)根据题意，由条件可得｛匕一;，是以g为首项，：为公比的等比数列，然后结合等比数列的通项公式

即可得到结果.

【小问1详解】

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设计算机4次生成的数字之和为4,则4〜84,-

VN

则尸*)=嗯>4「+啸)y

尸(一)=—(兴3)4

X的可能取值为1,2,3,

则P（X=1）=上x1=55

,71616256,

叱=2)=目211805

X—=-----=一

1625616

/、2

「(1)=但-=四,

I7U6J256

所以X的分布列为

X123

555121

P

25616256

【小问2详解】设41T表示事件第n-l