高考数学总复习一轮复习 公切线问题-专项训练（适用于新高考）

课时规范练23公切线问题

一、基础巩固练

1.(2024,陕西渭南模拟)已知直线厂办+她7©1<6>0)是曲线危)=&11'与曲线8(%)=111》+2的

公切线，则a+b等于()

A.e+2B.3

C.e+1D.2

2.(2024-山东潍坊期末)对于三次函数〃)，若曲线y=/(x)在点(0,0)处的切线与曲线片状x)

在点(1,2)处的切线重合，则八2)=()

A.-34B.-14

C.-4D.14

3.(2024-安徽蚌埠高三模拟)已知函数«t)=xlnx,g(x)=ax2_x,若经过点幺(1,0)存在一条直线

I与曲线y=/(x)和y=g(x)都相切，则<7=()

A.-lB.1

C.2D.3

4.(2024,辽宁沈阳高三模拟)已知函数〃)=/-2能,g(x)=31nx-x,若y=/(x)与y=g(x)在公共

点处的切线相同，则机=()

A.-3B.1

C.2D.5

5.(2024•浙江丽水高三期中)已知函数〃)=f-4x+4,g(x)=r*则义x)和g(x)的公切线的条数

为()

A.3B.2

C.lD.0

6.(2024,陕西西安模拟)函数寅x)=lnx在点尸(祀加0))处的切线与函数g(x)=e¥的图象也相

切，则满足条件的切点的个数为()

A.OB.1

C.2D.3

7.(多选题)(2024•山东东营模拟)函数〃)=lnx+1,g(x)=eM,下列说法正确的是()(参

考数据:e2M.39,e3u20.09,ln2-0.69,In3-1.10)

A.存在实数办使得直线y=x+m与y=/(x)相切也与y=g(x)相切

B.存在实数左，使得直线片丘-1与y=/(x)相切也与y=g(X)相切

C.函数g(x)次v)在(|,+oo)内不单调

D.函数g(x)贡x)在(|,+co)内有极大值，无极小值

8.(2024•吉林长春模拟)与曲线片e，和片都相切的直线方程为.

9.(2024,浙江金华模拟)已知直线了=丘+6是曲线y=ln(l+x)与j=2+lnx的公切线，则

k+b=.

二、综合提升练

10.(2024•广东佛山期末)若函数寅x)=2alnx+l与g(x)=x2+l的图象存在公切线,则实数a

的最大值为()

p2

2

A.eB.2eC-2D.e

11.(2023•陕西榆林模拟)若直线/与曲线尸e*相切，切点为与曲线y=(x+3)2也相

切,切点为N(X2,J，2),则2X1-X2的值为()

A.-2B.-1

C.OD.1

12.（多选题）（2024•湖北宜昌模拟）若存在直线与曲线»=x3-x,g（x）=x2-a2+a都相切，则a

的值可以是（）

A.OB.--

4

C.logV7D.3+2

271Ve

13.（2024•广东汕头模拟）已知函数义x）=2+lnx,g（x）=aF,若总存在两条不同的直线与函

数的图象均相切，则实数。的取值范围为（）

A.（0,l）B.（0.2）

C.（l,2）D.（l,e）

14.（2024•河北石家庄模拟）若曲线»=3x2-2与曲线g（x）=-2-mlnx（机和）存在公切线，则实

数m的最小值为（）

A.-6eB.-3e

C.2VeD.6e

15.（2024•福建厦门模拟）若曲线厂办2与片Ex有一条斜率为2的公切线，则

课时规范练23公切线问题

1.D解析设06)是/(%)图象上的一点/(x)=e1所以於)在点06)处的切线方程为y-

e'=e'(x/)y=e'x+(l-，)e'①，令g(x)=L=U,解得x=e",g(e")=lne“+2=24,所以14=(1-

*xe-t

。的所以t=0或％=1(此时①为y=ex,6=0,不符合题意,舍去)，所以f=0,此时①可化为y-

1=1x(x-0)/=x+l,所以a+Z?=l+l=2,故选D.

2.B解析设{工)=。%3+及2+C%+.(4,0),：y(0)=d=0,・：/3)=4%3+及2+以,二

f(x)=3ax2+2bx+c,

•：八0)=°=券=2,设g(x)=W(x),则g(l)=/(l)=a+b+2=2抑。+6=0①，又g(x)=/(x)+V(x),

•:g'(D=/(l)t/Xl)=2,.：Al)=0,即3a+2b+2=0@,

由①②可得a=-2,b=2,c=2,

.:八2)=-14,故选B.

3.B解析：7(x)=xlnx,,：/Xx)=l+lnx,,：/Xl)=l+ln1=1,•:左=1,・：曲线y/x)在4(1,0)处

的切线方程分尸口，

/",woc~1

由)2’得。%2-2%+1=0,由/=4-4。=0,解得a=l,故选B.

4.B解析设函数火%)="2_2加,g(x)=31nx-x的公共点为(xojo),

XQ-2TTI=31n%0-%0,

)=。(&),即

则2&=:-1，

))=。'(%0),第0

出>0,

解得，故选B.

5.A解析设公切线与义x)和g(x)分别相切于点(相；/(M),(〃；/(〃))/(x)=2x-4,g{x)=-x-

2,g'(〃)=/5)解得机=¥+2,代入化简得8〃3一8〃2+1=0,构造函数上)=8_?-

8炉+"(%)=8武3/2)作)在SO)内单调递增，在(0$内单调递减，在(|,+⑹内单调递增，所

以极大值大0)>0,极小值人|)<0,故函数和x轴有3个交点，方程8〃3一8/+1=0有三解，故切

线有3条，故选A.

6.C解析:7(x)=lnx,.：/Xx)=；,.：/也0)=3,.：切线/的方程为j-lnxo=^-(x-xo),EPj=px+ln

X0-1,①

设直线/与曲线y=g(x)相切于点(方£巧)，：g(x)=eV.e%1=工,.：xi=-lnxo,

%o

由①②得lnxo=笔，如图所示，在同一直角坐标系中画出y=lnx,v=]的图象，即可得方

XQ-1X-1

程有两解，因此切点有2个，故选C.

7.AB解析对A,B,设直线I与y=/(x),y=g(x)分别切于点尸(为方1),0(》2/2),由

1

/(x)=(g'(x)=ex,

(yi=/(打)=1n+1,

则有]为=g(%2)=e'1,n]吧+1伫1)=底='+；…=晓=©2-1)3_1)=0,

左叁=工=^2纪久2金^2

Vl-^2巧'

解得X2=0或X2=l.当X2=0时，则N2=0,xi=l/i=l,公切线为y=x,此时存在实数m=0满足

题意;当》2=1时，则y2=e-l,xi=%i=0,公切线为y=e(x-：)=ex-l,此时存在实数上=1满足题

意,A,B正确;对C,D,令A(x)=g(x)-^(x)=ex-lnx-2,xG(0,+co),

则机(x)=〃Q尸由”(x)=e"+g>0得〃'(x)在(0,+oo)内单调递增，

2

72?e—7

由/zr)=e3-1=—>0得，当xG(芯+◎时”(x)>0,〃(x)单调递增,C,D错误.故选AB.

2

(e3)+|e3+1

8.y=x+l解析设直线与曲线尸^相切于点(xi,e"i),

因为了=0所以该直线的方程为y-e"I=e*i(x-xi),即y=eXix+e"i(l-xi),

设直线与曲线尸9相切于点(X2,[),因为了弓所以该直线的方程为严片芍(X-X2),即

y=^4

(eXl--包，_

所以12'解得忙1：0；所以该直线的方程为y=x+l.

=3=2

11

9.3-In2解析设曲线y=ln(l+x)上切点/(xi,ln(l+xi)),j/=H，切线斜率左=^一,切线方程

1+%1+%1

y-ln(l+»)=生~(x-xi),即y=J—x-^-+ln(l+xi),同理，设曲线y=2+lnx上切点5(x2,2+111

1.十”11.十X[1,十％]

X2),y'=±切线斜率左=工,切线方程v-(2+lnx2)=工(x-X2),即v=±x+l+lnx2,所以

xx

x%222

1_1

41—

1+普一,2，解得J所以左=2,6=l-ln2,〃+l=3-ln2.

-国+也(1+打)=1+ln*2，%2

2

10.A解析g<x)=2x〃x)=§，设公切线与g(x)=/+l的图象切于点(xi,%什1),与曲线

/(x)=2alnx+l切于点(X2,2alnx2+1),所以2xi=—="如"+D-("+i)_2ain”-巧,故口;用垃,所

以2x1"，所以xi=2x2-2%2,lnxi,0为a=xiX2,故a=2靖-2/lnx2,设A(x)=2x2-2x2-ln

x(x>0),则〃(x)=2x(l-21nx),令〃(x)=0,解得》=五,当Af(x)>0时,x@(0,V^),当h'(x)<0时q

G(粕,+oo),所以〃(X)在(0,粕)内单调递增，在(粕,+00)内单调递减，所以〃(X)max=〃(A®=e，所

以实数。的最大值为e,故选A.

11.B解析因为直线/与曲线片守相切,切点为M(xi,yi),可知直线/的方程为y=e2x-

xi)+e%1=eXix+(l-xi>e3又因为直线/与曲线y=(x+3)2也相切，切点为N(x2j2),可知直线

/的方程为y=2(X2+3)(x-X2)+(X2+3y=2(X2+3)x-B+9,所以％龙巧_%2；9两式相除，

可得2(1-XI)=3-X2,所以2X「X2=-1,故选B.

12.ABC解析设该直线与段)相切于点(xi力-xi),因为八x)=3f-l,所以八足)=3好-1,所以

该切线方程为y-(%；-xi)=(3亢-l)(x-xi),即y=(3就-l)x-2蝗设该直线与g(x)相切于点(孙6-

a2+a),0为g(x)=2x,所以g<X2)=2x2,所以该切线方程为y-(若。2+4)=2%2。-%2),即y=2x?x-

螃层+/所以F禁).久；2+a所U-a2+a=X2-2xl=(^Y^)2-2xl=滔-2%；一|武+；，令

〃(%)=^%4-2》3-&2+；,所以〃3=9%3-6%2-3%,令〃(X)=O,解得X=-1jX=l,X=O,所以当XG(-00,-^)

4241313

50,1)时〃&)<0；当》6(5,0)51,+电)时,〃3)>0.所以〃(乃在(一叫?)和(0,1)内单调递减；在

(-扣)和(1,+oo)内单调递增.又因为//(-$=射⑴=-1,所以3)口-l,+oo),所以-层+口2」,解

得苧〈后竽，所以a的取值范围为[苧，与刍,所以A正确;对于—=

ZZZZ4Z

2回;+&)>0,所以当<4<0,所以B正确;对于。因为0<log2V7<log22V2<竽，所

4Z4ZZ

以C正确;对于D,因为强+亲>2后*=2>甘，所以D不正确.故选ABC.

13.B解析设函数/(x)=2+lnx上的切点坐标为(xi,2+lnxi),且xi>0,函数g(x)=a口上的

切点坐标为(X2,血质)，且X2》0,又因为八X)=；g<X)=(=，则公切线的斜率k=--了±，则

X乙7X%]

211

。>0,所以珞则公切线方程为y-(2+lnxi)w(x-xi),即产工%+111%1+1,代入(%2,出质)

得出质=±T2+lnXl+l,则+U1X1+1,整理得q2=41n%1+4若总存在两条不同的

v%i2%i4x

直线与函数y=/a)》=g(x)图象均相切，则方程序=处也有两个不同的实根设

X1

4

41nx+4-,—x-(41nx+4)-4]nxx.、，

h(x)=---/>0,则hr(x)=--=令hr(x)=0得x=l,当x£(0,l)时"(x)>0,//(x)单

调递增，当x£(l,+co)时”(x)vO,/z(x)单调递减,/z(l)=4,又因为〃(x)=0可得x=：则当x—0

时,//(%)一-