2023七年级数学上册 第三章 一元一次方程3.4 实际问题与一元一次方程第4课时 分段计费与最优方案问题教案（新版）新人教版

2023七年级数学上册第三章一元一次方程3.4实际问题与一元一次方程第4课时分段计费与最优方案问题教案（新版）新人教版学校授课教师课时授课班级授课地点教具教学内容本节课的教学内容来自于2023年七年级数学上册第三章一元一次方程3.4实际问题与一元一次方程的第4课时，主要涉及分段计费与最优方案问题。本节课的内容与人教版新版教材相对应。在这一课时中，学生将学习如何运用一元一次方程解决实际问题，特别是分段计费问题，并且学会如何寻找最优方案。通过本节课的学习，学生将能够掌握分段计费问题的解决方法，并能够应用一元一次方程求解最优方案。核心素养目标本节课的核心素养目标旨在培养学生的数学建模、数学抽象和数学推理能力。首先，学生需要通过实际问题抽象出分段计费的一元一次方程模型，培养数学建模的能力。其次，学生将通过解决最优方案问题，锻炼数学抽象和推理能力，学会将现实问题转化为数学问题，并通过一元一次方程寻求最优解。通过本节课的学习，学生将能够更好地应用数学知识解决实际问题，提高数学核心素养。重点难点及解决办法重点：

1.分段计费问题模型的建立与识别。

2.利用一元一次方程求解实际问题中的最优方案。

难点：

1.实际问题抽象为一元一次方程的过程，特别是分段条件的处理。

2.求解最优方案时，对不同情况下的方程求解方法的掌握。

解决办法：

1.通过具体案例分析，引导学生识别分段计费问题模型，让学生在实践中体会模型的建立过程。

2.利用图形、表格等多种教学辅助工具，帮助学生直观理解分段计费问题的实质，降低抽象难度。

3.分步骤讲解最优方案的求解过程，引导学生运用数学推理方法，逐步克服求解过程中的困难。

4.设计丰富的练习题，让学生在练习中巩固知识点，提高解题技能。教学资源准备1.教材：确保每位学生都有本节课所需的教材，包括人教版新版七年级数学上册第三章一元一次方程3.4实际问题与一元一次方程的第4课时内容。

2.辅助材料：准备与教学内容相关的图片、图表、视频等多媒体资源，包括分段计费问题的实际案例图片、最优方案的图表示例等，以帮助学生更直观地理解分段计费问题和最优方案的求解过程。

3.实验器材：如果涉及实验，确保实验器材的完整性和安全性。在本节课中，可以设计一些实际操作活动，如购物场景的模拟实验，让学生亲身体验分段计费和寻找最优方案的过程。

4.教室布置：根据教学需要，布置教室环境，如分组讨论区、实验操作台等。将教室布置成适合小组讨论和实验操作的环境，以便学生能够在课堂上进行互动交流和实践活动。

5.练习题库：准备与本节课内容相关的练习题，包括分段计费问题和最优方案问题的不同难度级别的题目，以供学生课后巩固和提高解题能力。

6.教学工具：准备投影仪、计算机、白板等教学工具，以便于展示多媒体资源和板书教学重点难点。

7.教学软件：确保教学过程中需要使用的教学软件或应用程序正常运行，如数学软件、在线教学平台等。

8.教学反馈表：准备教学反馈表，用于收集学生对课堂教学的反馈意见，以便及时调整和改进教学方法和内容。教学流程一、导入新课（用时5分钟）

同学们，今天我们将要学习的是《分段计费与最优方案问题》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过分段计费的情况？”（举例说明）比如，你们是否曾经遇到过电话费分段计费，或者购物时的打折促销活动？这些问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索分段计费与最优方案的奥秘。

二、新课讲授（用时10分钟）

1.理论介绍：首先，我们要了解分段计费的基本概念。分段计费是……（详细解释概念）。它在我们的日常生活中经常出现，比如电话费、水电费等。

2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了分段计费在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。

3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调分段计费和最优方案这两个重点。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解。

三、实践活动（用时10分钟）

1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与分段计费相关的实际问题。

2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示分段计费的基本原理。

3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。

四、学生小组讨论（用时10分钟）

1.讨论主题：学生将围绕“分段计费在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。

2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。

3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。

五、总结回顾（用时5分钟）

今天的学习，我们了解了分段计费的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对分段计费的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。拓展与延伸1.提供了与本节课内容相关的拓展阅读材料，包括分段计费在实际生活中的应用案例、一元一次方程在其他领域的应用等。这些材料将帮助学生更深入地了解和掌握分段计费与一元一次方程的知识，并激发他们进一步学习的兴趣。

2.鼓励学生进行课后自主学习和探究。学生可以尝试解决一些与分段计费和一元一次方程相关的实际问题，或者寻找其他领域的实际问题来应用所学的知识。此外，学生还可以探索一元一次方程的其他解法和相关算法，以提高他们的解题能力和数学思维能力。板书设计①分段计费问题模型：

-引入条件：当计费量超过某个阈值时，费用会发生改变。

-模型建立：设阈值为x，费用函数为y=f(x)，其中f(x)是一个分段函数。

-解题步骤：识别阈值和费用函数，列出分段计费的方程，求解最优方案。

②一元一次方程求解：

-定义：一元一次方程是ax+b=0的形式，其中a和b是已知数，x是未知数。

-解法：移项、合并同类项、系数化为1。

-注意事项：解方程时要保持等式的平衡，避免漏解或多解。

③最优方案的寻找：

-目标：在给定的约束条件下，找到使目标函数最优的解。

-方法：比较不同情况下的费用或收益，选择最优方案。

-实际应用：生活中的购物决策、路线规划等。

板书设计要求条理清楚、重点突出、简洁明了，以便于学生理解和记忆。同时，板书设计应具有艺术性和趣味性，以激发学生的学习兴趣和主动性。可以通过使用颜色、图标、图表等元素来使板书更加生动有趣。例如，可以使用不同颜色标出分段计费问题的关键步骤，或者用图标表示一元一次方程的解法。此外，还可以通过设计有趣的例子或实际应用问题，让学生在欣赏板书艺术的同时，更好地理解和掌握知识。典型例题讲解1.例题1：电话费分段计费问题

题目：某电话公司的收费标准是：前3分钟每分钟0.2元，超过3分钟后，每分钟0.15元。小华打了10分钟电话，求他需要支付多少电话费？

解答：

Step1:识别条件。前3分钟每分钟0.2元，超过3分钟后，每分钟0.15元。

Step2:建立模型。设x为超过3分钟后通话的时间（分钟），则电话费y与x的关系为：

y=0.2*3+0.15*(x-3)

Step3:求解最优方案。小华打了10分钟电话，所以x=10。将x代入上述方程得：

y=0.2*3+0.15*(10-3)

y=0.6+0.15*7

y=0.6+1.05

y=1.65元

答案：小华需要支付1.65元的电话费。

2.例题2：购物打折问题

题目：商店对商品进行打折促销，原价为100元，打折力度为8折，求打折后的价格。

解答：

Step1:识别条件。原价为100元，打折力度为8折，即折扣率为0.8。

Step2:建立模型。设打折后的价格为y元，则有：

y=100*0.8

Step3:求解最优方案。将折扣率0.8代入上述方程得：

y=100*0.8

y=80元

答案：打折后的价格为80元。

3.例题3：最优路径规划问题

题目：小明要从A地到B地，有两种交通方式：火车和汽车。火车的速度为60km/h，汽车的速度为80km/h。火车票价格为20元，汽车票价格为30元。请问小明应该选择哪种交通方式？

解答：

Step1:识别条件。火车速度60km/h，汽车速度80km/h，火车票价格20元，汽车票价格30元。

Step2:建立模型。设火车行驶时间为x小时，汽车行驶时间为y小时，则有：

60x=80y

Step3:求解最优方案。根据时间相等的原则，解上述方程得：

x=80/60*y

x=4/3*y

因为火车票价格较低，所以小明应选择火车。

答案：小明应选择火车。

4.例题4：最优购买方案问题

题目：商店对某种商品进行促销活动，购买3个以上每个商品打9折，购买2个以上每个商品打8折，购买1个以上每个商品打7折。小华想要购买该商品，已知单个商品的原价为50元，求小华购买该商品的最优方案。

解答：

Step1:识别条件。购买3个以上每个商品打9折，购买2个以上每个商品打8折，购买1个以上每个商品打7折。单个商品原价50元。

Step2:建立模型。设小华购买的商品数量为n，则有：

当n>=3时，商品总价=50*3*0.9=135元

当n>=2时，商品总价=50*2*0.8=80元

当n>=1时，商品总价=50*1*0.7=35元

Step3:求解最优方案。比较上述三种情况的总价，可以看出购买3个商品时总价最低，所以小华应购买3个商品。

答案：小华应购买3个商品。

5.例题5：最优投资方案问题

题目：某投资公司的两种投资方式A和B，投资A一年的收益率为5%，投资B一年的收益率为8%。该公司提供两种投资组合方案：方案1是投资A和B各20%，方案2是投资A40%，投资B60%。求这两种方案的年收益率。

解答：

Step1:识别条件。投资A的收益率为5%，投资B的收益率为8%，投资组合方案1投资A和B各20%，方案2投资A40%，投资B60%。

Step2:建立模型。设方案1的年收益率为x%，方案2的年收益率为y%，则有：

x=5*20%+8*20%

y=5*40%+8*60%

Step3:求解最优方案。计算上述方程得：

x=1+1.6

x=2.6%

y=2+4.8

y=6.8%

答案：方案1的年收益率为2.6%，方案2的年收益率为6.8%。教学评价与反馈1.课堂表现：通过观察学生在课堂上的参与度和反应，评价他们对分段计费和最优方案问题的理解和掌握程度。重点关注学生是否能正确识别分段计费问题的模型，是否能够应用一元一次方程求解实际问题，以及是否能通过实践活动加深对知识点的理解。

2.小组讨论成果展示：评价学生在分组讨论中的表现，包括他们是否能积极参与讨论，是否能提出有建设性的观点和想法，以及是否能有效地与他人交流和合作。通过小组展示的成果，评价他们是否能将理论知识应用到实际问题中，并能够清晰地表达自己的思考过程和解决方案。

3.随堂测试：通过随堂测试来评价学生对分段计费和最优方案问题的掌握程度。测试题目应包括不同难度级别的题目，以评价学生对基本概念的理解、解题技能的掌握以及解决问题的能力。

4.作业完成情况：通过查看学生的作业完成情况，评价他们对课堂讲授内容的掌握程度。重点关注学生是否能正确应用所学知识解决实际问题，是否能够准确地列出分段计费的方程，以及是否能找到最优方案。

5.教师评价与反馈：针对学生在课堂表现、小组讨论成果展示、随堂测试和作业完成情况等方面的表现，给予具体的评价和反馈。对于学生的优点给予肯定和鼓励，对于存在的问题给予具体的指导和建议，帮助学生改进和提高。同时，鼓励学生主动提问和反馈，以促进师生之间的互动和沟通。教学反思与改进在教学《分段计费与最优方案问题》这一章节后，我进行了深刻的反思，以便在教学后评估教学效果并识别需要改进的地方。以下是我的一些反思和计划改进的措施。

首先，我发现学生在理解和应用分段计费模型时存在一定的困难。在未来的教学中，我将更加注重理论介绍和案例分析，通过实际例子来帮助学生理解和掌握分段计费模型