2024年湖南省益阳市沅江市中考二模数学试题

2024年湖南省初中学业水平考试

数学联考试卷（二）

考生注意：

1,请将姓名、准考证号等相关信息按要求填写在答题卡上.

2.请按答题卡上的注意事项在答题卡上作答，填写在试卷上无效.

3.本学科为闭卷考试，考试时长为120分钟，满分120分.

4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并交回.

一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在下列各题的四个选项中，只有

一项是符合题意的）

1.2024的相反数是（）

11

A.2024B.-2024-------D.

2024-------------------------------2024

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查了相反数，“只有符号不同的两个数互为相反数”，熟练掌握知识点是解题的关键.

根据相反数的定义即可求解.

【详解】解：2024的相反数是-2024,

故选：B.

【答案】C

【解析】

【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念判断即可.

【详解】解：A.是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；

B.不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；

C.是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；

D.是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意.

故选C.

【点睛】本题考查识别轴对称图形与中心对称图形.识别轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折

叠后可重合.识别中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合.

3.下列成语所描述的事件属于不可能事件的是（）

A.水落石出B.水涨船高C.水滴石穿D.水中捞月

【答案】D

【解析】

【分析】根据不可能事件的定义：在一定条件下一定不会发生的事件是不可能事件，进行逐一判断即可

【详解】解：A、水落石出是必然事件，不符合题意；

B、水涨船高是必然事件，不符合题意；

C、水滴石穿是必然事件，不符合题意；

D、水中捞月是不可能事件，符合题意；

故选D

【点睛】本题主要考查了不可能事件，熟知不可能事件的定义是解题的关键.

4.已知a<b,下列式子不一定成立的是（）

A.a-\<b-\B.-2a>-2bC.ac2<be2D.-a+\<-b+\

22

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质逐一判断即可求解，掌握不等式的性质是解题的关

键.

【详解】解：a<b,

该选项正确，不合题意；

B、•：a<b，

••-2a>-2b»该选项正确，不合题意；

C、,：a<b,

・••当C=0时，/=0，则42=历2；

当。工0时，c2>0>则ac2<be2;

，该选项错误，符合题意；

D、•：a<b,

11心

—4V—b9

22

：,-a+\<-b+\,该选项正确，不合题意：

22

故选：c.

5.下列运算中，计算正确的是（）

A./.々6=09B.（。2）3=/c.4ay-2a2=2aD.（3a）2=6a2

【答案】A

【解析】

【分析】此题考查了同底数鞋的乘法、幕的乘方、积的乘方、合并同类项等知识，根据运算法则计算后即

可得到答案.

【详解】解：A.故选项正确，符合题意；

B.（/丫=。6,故选项错误，不符合题意；

C.4a3与-2/不是同类项，不能合并，故选项错误，不符合题意；

D.（%）2=9/，故选项错误，不符合题意.

故选：A.

6.小文和小华都是邮票收集爱好者，小文收集了很多数学家的邮票，小文想从下面的四张邮票中送两张给

小华，但要抽签确定.小文先从一副扑克中取出红桃42,3,4,分别代表下面的一张邮票，背面向上洗

匀，小华依次从中抽两张，抽到都是中国数学家邮票的概率是（）

【答案】D

【解析】

【分析】本题考杳了用树状图或列表法求概率，画出树状图，根据树状图即可求解，掌握树状图法或列表

法是解题的关键.

【详解】解：画树状图如下：

开始

小

AZN4/K

23434A24423

由树状图可得，共有12种等结果，其中拍到两张都是中国数学家邮票的结果有2种，

・•・抽到两张都是中国数学家邮票的概率是义=)，

126

故选：D.

7.已知一次函数y=2x+4,下列说法错误的是()

A.图象不经过第四象限B.图象与两坐标轴围成的三角形面积是4

C.y随X的增大而减小D.当%>-2时，y>0

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，根据一次函数的图象和性质逐一判断即可求解，掌握一次函

数的图象和性质是解题的关键.

【详解】解：A、b>o,

・・・直线y=2x+4经过一、二、三象限，故该选项说法正确，不合题意；

R、当x=0时，y=4：当y=0时.x=-2：

・•・直线y=2x+4与x轴的交点坐标为(-2,0),与V轴的交点坐标为(0,4),

・••图象与两坐标轴围成的三角形面积为:x2x4=4,故该选项说法正确，不合题意；

2

C、k>0,

・・・y随x的增大而增大，故该选项说法错俣，符合题意；

D、・・・%=-2时，y=o,

又・・•>'随x的增大而增大，

・•・当/>-2时，y>0,故该选项说法正确，不合题意;

故选：c.

8.若正多边形的一个外角是60。，则该正多边形的边数是（）

A.4B.5C.6D.7

【发】C

【解析】

【分析】利用外角和360。+外角的度数即可得到边数.

【详解】360°-60°=6,

故选C.

【点睛】此题主要考查了多边形外角和，关键是掌握多边形外角和为360。.

c

9.如图，在RtZUBC中，ZACB=90f。。_148于点0,DFJ.AC于点F,过点C作

交。户的延长线于点E,则下列结论中错误的是（）

B.SQF:S“DF=BD-.AD

BDCFDFAF

C.D.---=----

~CA~^4DBCAB

［笈］D

【解析】

【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，证明四边形CEQ8为平行四边形,

证明判断A,证明AC在判断B,证明△。尸c,

判断C,证明判断D即可.

【详解】解：•••14C,NACB=90°,

・•・NDFA=N4CB=90。，

・•・DE//BC,

♦：CE〃AB,

，四边形CEQ8为平行四边形,

・•.BC=DE,CE=BD,

•4C8=90。，CDLAB,

・•・ZADC=ZBDC=90°=AACB,

,//B=NB,

:・ABDCs^BCA,

.BDBC

••丽―布’

/.BC2=BDAB,

•・,BC=DE,

:・DE?=BDAB；故选项A正确；

♦:CE〃AB,

ACFESAAFD,

:.S.CEF:S"=CE?:AD2=BD2:AD2,故选项B正确;

,/zLADC=Z.BDC=9(T=4C6,

・•・/B=N4CD=90°-/BCD,

△CD?sAJDC,

.CD_BD

••布一丽’

:,CD?=ADBD，

•4CFD=/ADC=90°,/ACD=4DCF,

•AADCS4DFC>

CDAC

~CF~~CD

・C。=ACCF，

・ADBD=ACCF,

nr\pF

—=——；故选项c正确;

CAAD

-DE//BC,

."DFS"BC，

nrAr

一=—；故选项D错误;

BCAC

故选D.

10.若不，/是关于久的一元二次方程。/+云+。=0（。工0）的两个根，则方程的两个根须，吃和系数

bc

a，b,c有如下关系：再+/=-一，x,-x=-,把它们称为一元二次方程根与系数关系定理.

a2a

如果设二次函数;;=以2+&+。（。工0）的图象与工轴的两个交点为2（%,0）,5（X2,0）,利用根与系数

X+X24XX

关系定理可以得到A,B两个交点间的距离为AB=|x2-x,I=7（I2）-12

2

=lb--4ac=ylb-4ac参考以上定理和结论，设二次函数+笈+。（。¥0）的图象与1轴的

Va~|。|

两个交点为4（40）,8（%，°），图象的顶点为。，当/8C为等腰直角三角形时，b2-4ac=（）

A.OB.4C.0或4D.8

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查了二次函数的性质，等腰直角三角的性质等知识，先求出顶点C的坐标为

华心然后根据等腰直角三角形的性质性质得出4",一〃二网一4。"求出/-4〃°=0或

\2a4aJ4a2\a\

b1—4ac=4»判断b?—4ac=0时,”/BC不存在，即可得出答案.

/,-.2\

【详解】解：卜=尔+队+。（。工0）的顶点。的坐标为（一五，署一〉

•・•△45。为等腰直角三角形，

,4ac-h1_1y/b2-4ac

-4^--2-H-，

化简得（J/-4ac）~=24b2-4ac,

解得《万一4"c=0或（从一4碇=2，

***b2-4ac=0或从-4ac=4，

当/-4ac=0时，二次函数的图象与x地只有一个交点，则A48C不存在，故舍去,

:•b2-4ac=4，

故选：B.

二、填空题(本大题共8个小题，每小题3分，共24分)

11.化简：725=.

【答案】5

【解析】

【分析】根据算术平平方根性质计算即可.

【详解】解：>/25=5.

故答案为：5.

【点睛】本题考查了算术平方根的性质，牢记性质是解题关键.

12.分解因式：x2y-4y=

【答案】y(x+2)(x-2)

【解析】

【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出

来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式.

【详解】x2y-4y=yix2-4)=y(x+2)(x-2),

故答案为：MX+2)(》・2).

【点睛】提公因式法和应用公式法因式分解.

x+l>0

13.不等式组4工।八的解集是.

12

【答窠】一1<%<2

【解析】

【分析】本题考查了解一元一次不等式组，分别求出每个不等式的解集，取解集的公共部分即可求解，掌

握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键.

x+l>0①

【详解】\x,…

——1<0②

12

由①得，x>-1»

由②得，x<2,

，不等式组的解集为-l<x<2,

故答案为：—l<x<2.

14.函数y=叵亘中，自变量》的取值范围为.

x-\

【答案】X2二且"1

2

【解析】

【分析】由题意根据被开方数大于等于0,分母不等于0列式求解即可.

【详解】解：根据题意得，2x+120且X-1R0,

解得二且xWl.

2

故答案为：X2［且xWl.

【点睛】本题考查函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：当函数表达式是整式时，自变量可取全体实

数；当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0;当函数表达式是二次根式时，被开方数非负.

15.若关于％的方程=-二=2有解，则加的取值范围是______.

x-3x-3

【答案】加。1

【解析】

【分析】本题考查了分式方程的解，解题的关键是注意分母不为。这个条件.

把分式方程化简后得x=4-m,根据关于x的方程三-一巴;=2有解，则方程的根使得分式方程有意

x-3x-3

义，艮Jxo3,则4—加工3,答案可解.

【详解】解：三一-巴7=2

方程两边同时乘（工一3）得：x-2-w=2（x-3）,

解得：%=4-w,

♦.♦关于X的方程二一一二=2有解，

x-3x-3

••.工一3。0,即工。3,

4一加工3,即〃701,

故答案为：加工1.

16.一个圆锥的底面半径是6cm,其侧面展开图的面积为72乃cn?,则这个圆锥的母线长为.

【答案】12cm##12厘米

【解析】

【分析】本题考查了圆锥侧面展开图的面积，熟练掌握面积公式S=!/是解题的关键.

根据圆锥底面圆的半径，从而可求出侧面展开图的弧长，根据S=进行计算即可得到答案.

2

【详解】解：・.•圆锥的底面半径为6cm,

；・圆锥的底面圆周长为C=2〃尸=12%cm,

•・•侧面展开图的面积为72万5?，

.*.S=-/C=-Zxl2^=72^,

22

/=12cm,

，圆锥的母线长为12cm,

故答案为：12cm.

17.如图，乐器上的一根弦48=90cm,两个端点48固定在乐器面板上，支撑点。是靠近点8的黄金

分割点，支撑点。是靠近点A的黄金分割点，则点。到点C的距离为.(结果保留根号)

【答案】(180右一180)cm

【解析】

【分析】本题考查了黄金分割.熟练掌握黄金分割是解题的关键.

ADBDADAB-ADAD90-JD

由题意知，BC=AD一=—,则nl---------=---------Hn整理得,

BDABAB-ADAB'90-AD~90

JZ)2-270^£)+902=0.可求满足要求的解/Z)=135-90jL根据计算:求解即

可.

ADBD

【详解】解：由题意知，BC=AD

ADAB-ADAD90-4。,,

即>整理raZ得F，NO?-270/0+9()2=0,

AB-AD~-AB90-90

解得，JD=135-905/5^JZ)=135+9075(舍去)，

.­.CD=^-2JD=90-2(135-90>/5)=(180V5-180)cm,

故答案为：(18075-180)cm.

18.如图，菱形4BCO的边长为2,ZDAB=60°.则菱形N8CQ的面积是26；以对角线NC为边作

第二个菱形力CGA，使ND/c=6(r,则菱形/CGA的面积是6百；以对角线4G为边作第三个菱

形/Ge?。?，使N。24G=60°,则菱形的面积是186；….按此规律所作的第〃个菱形的

面积是.

【答案】20X3"T

【解析】

【分析】本题考查了菱形的性质以及归纳推理的应用，根据规律得出第〃个菱形的边长是解决本题的关

键.连接BO,交4。与点O,由题意可知△48。为边长为1的等边三角形，可求出△480的面积，即

可得出菱形力BCD的面积；根据已知菱形的性质可分别求得4C，ACe4c2的长，从而可发现规律，根

据规律即可得出第〃个菱形的边长，进而可得出第〃个菱形的面积.

【详解】解：如图，连接80,交4。与点。

•••四边形48CQ为菱形，且ND48=60°，

•••△4BQ为等边三角形，

•••AD=BD=AB=2，

：BO=1,40=5

•••AC=26,菱形43CQ的面积是20：

•.•四边形/CCA为菱形，ZD^C=60°,

・•・可得4G=百AC=2(石『，菱形ACC}D}的面积是2JJx3=6石；

同理可得AC2=6ACi=2（V3）\菱形AC}C2D2的面积是2jJx32=18：

以此类推，可得出所作的第〃个菱形的边长为2（JJ）i,

第〃个菱形的面积为=gx2x2x［（百广了x百=26x3"，

故答案为：2jjx3'i.

三、解答题（本大题共8个小题，共66分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算

步骤）

19先化简昌舄2r24-r+1、

—;------1,再选一个合适的X的值代入求值.

X-X,

1

［答案］7~八1；当x=2时，原式=一

(x+l)9

【解析】

【分析】本题考查了分式的化简求值，利用分式的性质和运算法则先对分式进行化简，再选择一个使分式

有意义的x的值，代入到化简后的结果中计算即可求解，正确化简分式是解题的关键.

x—1x—32x~+x+1X2-x、

【详解】解：原式=

x(x+l)(x+、x2-x77^

(ifx(x-3)/+2x+l

x(x+l)(x-l)x(x+l)(x-l)x2-l

x+1,「(I)

x(x+l)(x-1)(x+1)

1

当x=2时,

原式=（2+1）2=§•

20.为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社

区居民休憩.如图，在侧面示意图中，遮阳篷力3长为5米，与水平面的夹角为18。，且靠墙端离地高

8C为4米，当太阳光线4。与地面CE的夹角为45。时，求阴影CZ）的长.（结果精确到0.1米；参考数

据:sinl8°«0.3rcos18°«0.95,tan18°«0.32,72»1.41)

【答案】2.3米

【解析】

【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的性质，等腰直角三角形的性质，过A作4718C于

T,4K_LCE于K,则四边形4TCK为矩形，得到4K=C7,CK=AT,解求得

8T=48sinl80pl.55米，47T=48cosl80n4.75米，进而得CT=8C-8T=2.45米，CK=4.75

米，得到4K=2.45米，再根据△4OK为等腰直角三角形，得到。K=/K=2.45米，最后利用线段的

和差关系即可求解•；正确作出辅助线是解题的关键.

【详解】解：如图，过A作4T18C于T,AK土CE于K,则四边形力TCK为矩形，

:・AK=CT,CK=AT,

在中，BT=ABsin\8°«5x0.31=1.55*,AT=ABCQSX8°«5X0.95=4.75

・・・C7=5C—57=4—1.55=2.45米，CK=4.75米，

・•・/K=2.45米，

♦・ZDK=45。,

:.为等腰直角三角形，

・・・QK=4K=2.45米，

・•・CD=CK-DK=4.75-2.45=2.3米，

答：阴影CO的长为2.3米.

21.九年级数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x（l<x<70且为整数）天的售价与销售量

的相关信息如下表：

时间工（天）1<X<4041<x<70

售价（元/件）x+5090

每天销售量（件）100-x

已知该商品的进价为每件40元.请根据上面信息解答下面问题：

（1）销售该商品第几天时，当天销售利涧为2800元？

（2）销售该商品第几天时，当天销售利涧w最大？最大利润是多少？

【答案】（1）销售该商品第30天或第44天时，当天销售利润为2800元

（2）销售该商品第40天时，当天销售利润w最大，最大利润是3000元

【解析】

【分析】（1）分14x440和414x（70两种情况列出方程解答即可求解；

（2）分14x«40和41«x«70两种情况列出w与x之间的函数关系式，再根据函数的性质解答即可求

解；

本题考查了一元一次方程的应用，一元一次方程的应用，一次函数和一次函数的应用，根据题意，正确列

出方程和函数解析式是解题的关键.

【小问1详解】

解：当l«x«40时，（x+50—40）（100-x）=2800,

整理得，x2-90x+1800=0，

解得占=30,X2=60（不合，舍去），

・・・x=30；

当414x470时,（90—40）x000-x）=2800,

解得x=44；

答：销售该商品第30天或第44天时，当天销售利润为2800元；

【小问2详解】

解：当1KXK40时，

W=（X+50-40）（100-X）=-X2+90X4-1000=-（X-45）2+3025,

V6f=-l<0,1<x<40,

・••当x=40时，当天销售利润w最大，w最大值=—（40—45）2+3025=3000元；

当414x«70时，w=（90-40）x（100-x）=-50x+5000,

,：k<0,41<x<70,

・•・当）=41时，当天销售利润w最大，w班大位=-50x41+5000=2950；

V3000>2950,

・♦・销售该商品第40天时，当天销售利润企最大，最大利润是3000元.

22.下表是48两组学生在一次数学测验中的结果，已知/组的平均分是63分，规定50分或50分以上

的学生即为通过测验.请回答下面问题：

编号123456789101112

4组88458756462788664535668

B组784763567888644969644864

（1）请计算出8组学生的平均分；

（2）.4,8两组学生成绩的中位数和众数各是多少？

（3）B组学生王同学说：“这次测验8组比力组考得好.”4组同学不同意王同学的观点，认为8组不

一定考得比他们好.你认为王同学可能说出的理由是什么？4组同学又说出了什么理由？

【答案】（1）64（2）彳组中位数64,众数64；8组中位数64,众数64

（3）理由见详解

【解析】

【分析】本题考查了数据的分析，熟练掌握中位数、众数、平均数、方差的概念及求法是解题的关键.

（1）代入求平均数公式计算即可；

（2）将48数据按大小排列，结合中位数和众数概念求解

（3）从中位数、众数、平均数、方差不同角度去看问题

【小问1详解】

8组学生的平均分：*x（78+47+63+56+78+88+64+49+69+64+48+64）=64

【小问2详解】

将小红数据从小到大排列：

编号123456789101112

4组85356586264646875788486

8组474849566364646469787888

力组中位数64,众数64,8组中位数64,众数64

【小问3详解】

平均数方差中位数众数

4组634156464

B组641666464

从上表易得彳组的平均数小于8组，4组方差大于8组，故8组学生王同学说8组比/组考得好.

表中4组8组平均数很接近，而中位数众数4,8都一样，故Z组同学不同意王同学的观点，认为B组不

一定考得比他们好.

23.如图，一次函数歹=-x+4的图象与反比例函数＞=&(%为常数，左。0)的图象交于力。,〃)，B两

x

(1)求反比例函数的表达式；

(2)若BE上y于点、E,求△3OE的面积；

(3)在x轴上找一点尸，使4+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标.

【答案】(1)y=-

X

⑵-

2

(5)

(3)~,0

12；

【解析】

【分析】(1)利用待定系数法解答即可求解：

(2)利用反比例函数比例系数上的几何意义即可求解：

(3)联立函数式求出点B坐标，作点8关于x轴的对称点。，连接40,交x轴于点尸，此时产力+尸3

的值最小，由轴对称可得。点坐标，利用待定系数法求出直线4。的解析式，再把y=o代数所得的解析

式解答即可求解；

本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，反比例函数比例系数%的几何

意义，轴对称。最短线段问题，利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键.

【小问1详解】

解：把4(1,。)代入y=-x+4得，。=-1+4=3,

kk

把彳(1,3)代入y=—得，3=「

x1

:•k=3,

・••反比例函数的表达式为丁=工

x

【小问2详解】

解：如图,

•・,BELy,

:.S=一=一；

公no匕22

【小问3详解】

y=-x+4r1r分

x—1x=3

解：由〈3得，〈「或〈」

y=—[y=3[y=1

x

・•・8(3,1),

作点△关于x轴的对称点。，连接力。，交x轴于点P,此时P4+PB的值最小,

设直线4O的解析式为V=+把.4。,3)、代入得，

m+n=3

<C1

3m+w=—1

m=-2

解得

n=5

...直线AD的解析式为y=-2x+5,

令V=0,则x=2,

24.如图，48是。。的直径，。为。。上一点，E为丽的中点，点C在84的延长线上，且

(2)若。£=6,sin/EO5=1，求力。的长.

3

【答案】(1)证明见解析；

(2)14.

【解析】

【分析】(1)连结0。，利用已知条件证明。O_LCO即可求证；

(2)连接。£、AE.BE,0E与80相交于点“，由E为》方的中点，可得。七垂宜平分8。，

BE=DE=6,得到/OME=90。，BM=DM=、BD,利用解直角三角形得EM=1。£=2,得到

23

DM二NDEZ-EM?=40，即得8。=2。"=8近，再根据圆周角定理得sin/B4E=§，解直角

BE

三角形得力8=一~—=18,最后根据勾股定理即可求解;

sin/BAE

本题考查了切线的判定，圆周角定理，弧、弦、圆心角之间的关系定理，垂径定理，勾股定理，解直角三

角形三角形，正确作出辅助线是解题的关键.

【小问1详解】

・•・NMU=90。，

・•・ZBDO+ZADO=90°,

•・,OB=OD,

：.NB=4BD0,

：.NCDA=ZB,

：.ZBDO=ZCDA,

・•・NCD4+400=90。，

即NODC=90。,

・•・ODLCD,

•・・oz）为。。半径，

•••CD是。。的切线；

【小问2详解】

•*,BE=DE‘

垂直平分80,BE=DE=6,

AZPA/£=90°,BM=DM==BD,

2

Vsin^EDB--,

3

：.EM=-DE=2,

3

・•・DM=y/DE2-EM2=762-22=4收，

:・BD=2DM=8日

•・•/BAE=NEDB,

sinNBAE=-,

3

•・•是。。的直径，

・•・AAEB=90°,

AB=———=y=18

・•・sinZBAEJ_，

3

■:404=90。，

二AD7AB2-BD?=J82—(8扃=14.

25.【探究发现】

(1)如图1,在正方形力5CQ中，E是。。边上一点(不与端点重合)，尸为C3延长线上一点，且

ZBAD=AEAF,连接E/L点，在线段EF上，且乙=连接。

求证：AFAB%EAD；

【类比迁移】

(2)如图2,在矩形中，E是。。边上一点(不与端点重合)，厂为C8延长线上一点，且

ZBAD=Z.EAF,连接所，点”在线段跖上，且/AHF=NADC,连接OH.求证：

△FABS^EAD；

【拓展提高】

(3)如图3,在菱形/BCQ中，E是DC边上一点(不与端点重合)，户为C8延长线上一点，且

NBAD=NEAF,连接EP,点〃在线段E9上，且//=连接OH.若

4。=6,ZADC=60\EH・EF=28,求5E的长.

图I图2

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）3.

【解析】

【分析】（1）由正方形的性质得=,/ADE=NABC=90。,进而得N4BF=N4DE,又由

/BAD=Z.EAF得NBAF=NDAE,根据ASA即可证明&FAB知EAD；

（2）同理（1）得N48/=N4OE,MBAF=NDAE,即可求证AE48s△"£＞；

4EEF

（3）如图3,连接/C,作力GJ_CZ）于G,证明得一-=——，得到4£=2近，

HEAE

利用菱形的性质可得AJBC和△力C。为等边三角形，得到ZC=/6=6C=6,进而可得

FCAC

CE=CG+EG=3+\=4,再证明尸Cs4口。，得到一=一，得到尸。=9,进而可求出8F

ACEC

的长.

【详解】（1）证明：•・,四边形ZBCQ为正方形,

・•・AB=AD,ZADE=Z.ABC=90°,

•・•/为C3延长线上一点，

・・・4£尸=90°,

・•・/ABF=/ADE，

■:ABAD=AEAF,

・•・NBAF=NDAE,

在△E48和△£40中，

NABF=/ADE

<AB=AD,

NBAF=/DAE

•••△F43❷AEW（ASA）；

（2）证明：・・•四边形为矩形，

:・NADE=NABC=90。,

•・•尸为C8延长线上一点，

：.ZABF=900,

・•・NABF=/4DE，

,//BAD=ZEAF，

・••NBAF=NDAE,

:•公FABs^EAD；

(3)解：如图3,连接NC,作4Gl.c。于G,

•・,ZAHF+/AHE=180°,/AHF=ZADC,

・•・4DC+N4HE=180°,

•・ZOC=60°，

・•・AAHE=180°-60°=120°,

•・•四边形43co为菱形，

/.AB//CD,ZABC=ZADC=60°,/BAD=/BCD,ZBAC=-ZBAD

2f

BC=CD=AD=6,/.ACB=Z.ACD=­/.BCD,

2

・•・ZBAD+ZADC=\S00,

・•・440=180。—60。=120。，

・・・N84C=60。，Z5CZ)=120°,

・•.ZACB=ZACD=-x}20°=60°,

2

,/ZBAD=NEAF,

・•・Z.EAF=120°,

・•・Z.EAF=NAHE,

又,:AAEF=NHEA,

••"EFs^HEA,

.AE_EF

••南一万’

，AE2=EFEF=28，

・•・AE=277，

•：ZABC=ZACB=60°,

・•・“BC为等边三角形,

AC=AB=BC=6,

:.AC=CD=AD，

・•・AACD为等边三角形,

•・,AGLCD,

：.CG=-CD=3,4GC=4GE=90。,

2

-9-AG=y]AC2-CG2=762-32=35/3»

•，.EG=^AE2-AG2=_（3』）

・・・CE=CG+EG=3+1=4,

■:ABAD=ZEAF，

・•・ZBAF=ZDAE,

•・,NBAC=NADE=60。,

・•・ZBAF+Z.BAC=ZDAE+/ADE,

即NFAC=/AEC,

•：^ACF=ZACE,

・•・AAFCS^EAC,

.FCAC

ACEC

口.FC6

即——=一，

64

AFC=9,

ABF=FC-BC=9-6=3.

【点睛】本题考查了正方形、矩形、菱形的性质，全等三角形的判定，相似三角形的判定和性质，勾股定

理，等边三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键.

26.如图，己知抛物线歹二/+云+。与工轴交于z(3,o),3(—1,0)两点，且与y轴交于点C,“为抛物

线的顶点.

备用图

(1)求抛物线的解析式；

(2)尸为直线力。下方的抛物线上一点，过点夕作尸E_Lx轴交4c于点G,垂足为E,PF1AC,

垂足为尸，求出△P9G周长的最大值；

(3)勉物线上是否存在点。，使得若存在，求出点。的坐标，若不存在，请说明

理由.

【答案】(1)y=x2-2x-3；

(2)逑+2；

44

(571

(3)存在点。或(4,5).

IN■/

【解析】

【分析】(1)利用待定系数法解答即可求解:

(2)可证△尸/Gs4/OC,得至)△尸二起,即得△尸/G周长=(&+1)0G,过点夕作直

“OC周长AC\)

线4C的平行线，设直线的解析式为y=》+d,可知当直线y=x+d与抛物线只有一个交点时，PG最

大，求出尸G即可求解；

(3)分两种情况，画出图象，根据二次函数与一次函数的交点问题解答即可求解；

本题考查了二次函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定和性质，利用

分类讨论和数形结合思想解答是解题的关键.

【小