北京市朝阳区2025届高三第一次模拟考试数学试题（含解析）

北京市朝阳区2025届高三数学第一次模拟考试试题（含解析）

（考试时间120分钟满分150分）

本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分，考生务必将答案答在答题卡

上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

第一部分（选择题共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要

求的一项.

1.已知集合A={1,3,5},B={xeZ|（x-l）（x-4）＜0},则A3=（）

A.{3}B.{1,3}C.{1,2,3,5}D.

{1,2,3,4,5}

【答案】C

【解析】

【分析】

化简集合3,再依据并集定义进行计算即可得到.

【详解】因为3={xeZ|（x-l）（x-4）＜0}={2,3},

所以A3={1,2,3,5}.

故选:C

【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，考查了集合的并集运算，属于基础题.

2.下列函数中，既是偶函数又在区间（0,+8）上单调递增的是（）

32

A.y=xB.y=-x+1C.y=log2xD,y=2凶

【答案】D

【解析】

【分析】

依据函数的奇偶性和单调性，对四个函数逐一推断可得答案.

【详解】函数y=%3是奇函数，不符合；

函数y=-Y+i是偶函数，但是在（0,+co）上单调递减，不符合;

函数y=log2X不是偶函数，不符合;

函数y=2凶既是偶函数又在区间(0,+8)上单调递增，符合.

故选：D

【点睛】本题考查了函数的奇偶性和单调性，属于基础题.

3.在等比数列｛%｝中,4=1,4=-8,则在“｝的前6项和为()

A.-21B.11C.31D.63

【答案】A

【解析】

【分析】

利用％=1,4=-8求出公比q=-2,再依据等比数列的前九项和公式计算可得.

【详解】因为4=1,%=-8,设公比为4,则/=幺=厘=一8,所以q=—2,

1

所以S"牛©=W=-21,

\-q1-(-2)

故选:A

【点睛】本题考查了等比数列通项公式的基本量的计算，考查了等比数列的前几项和公式，属

于基础题.

4.如图，在/ABC中，点D，E满意BC=2BD，CA=3CE.若DE=xAB+yAC(x,yeR),

则x+y=()

【答案】B

【解析】

【分析】

利用平面对量的线性运算可得DE=-1AB+^AC，再依据平面对量基本定理可得

26

x=-\,y=^~,从而可得答案.

2'6

22-1-

【详解】因为==§40—43—3。——53c

2--1--

=-AC-AB--{AC-AB）

=--AB+-AC,

26

又DE=xAB+yAC,

所以％=—

2o

…111

所以x+y=_^+1=_1.

263

故选：B

【点睛】本题考查了平面对量的线性运算，考查了平面对量基本定理，属于基础题.

5.已知抛物线C：y2=2px（p〉0）的焦点为p，准线为/,点A是抛物线C上一点，AD±l

于。.若A尸=4，ZDAF=60°,则抛物线。的方程为（）

A.y2=8xB.y2-4xC.y2=2xD.y2=x

【答案】B

【解析】

【分析】

依据抛物线的定义求得AD=4,然后在直角三角形中利用=60°可求得。=2,从而

可得答案.

【详解】依据抛物线的定义可得A£>=Ab=4,

又NZMF=60°,所以AD—p=gAF,

所以4—。=2,解得，=2,

所以抛物线。的方程为V=4x.

故选：B

【点睛】本题考查了抛物线的定义，利用定义得AD=AF=4是解题关键，属于基础题.

6.现有甲、乙、丙、丁、戊5种在线教学软件，若某学校要从中随机选取3种作为老师“停

课不停学”的教学工具，则其中甲、乙、丙至多有2种被选取的概率为（）

2239

A.-B.-C.一D.—

35510

【答案】D

【解析】

【分析】

依据古典概型的概率公式计算出所求事务的对立事务的概率，再用对立事务的概率公式即可

求出结果.

【详解】甲、乙、丙至多有2种被选取的对立事务为：甲、乙、丙都被选取，记此事务为A,

依题意全部基本领件为：（甲，乙，丙），（甲，乙，丁），（甲，乙，戊），（甲，丙，丁），（甲，

丙，戊），（甲，丁，戊），（乙，丙，丁），（乙，丙，戊），（乙，丁，戊），（丙，丁，戊），共

10种，其中事务A所包含的事务数为1,

所以依据古典概型的概率公式可得尸（A）=右，

19

再依据对立事务的概率公式可得所求事务的概率为1-P（A）=1=历.

故选：D

【点睛】本题考查了对立事务的概率公式，考查了古典概型的概率公式，属于基础题.

7.在.ABC中，AB=BC,NABC=120°.若以4,3为焦点的双曲线经过点C,则该双

曲线的离心率为（）

A.更B.EC.D.6

222

【答案】C

【解析】

【分析】

设双曲线的实半轴长，半焦距分别为J依据双曲线的定义可得AC—5C=2a,依据余弦

定理可得AC=26c，再依据离心率公式即可求得结果.

【详解】设双曲线的实半轴长，半焦距分别为

因为NA5C=12O。，所以AC>5C,

因为以A，3为焦点的双曲线经过点C

所以AC—5C=2a,AB=BC=2c,

在三角形ABC中由余弦定理得cos120=AB+BU-AC二,

2xABxBC

i4c2+4c2-AC2r-

所以_L=4C+4CAC,解得AC2=]2C2,所以AC=2A，

28c2

所以2&-2c=2a，所以£=石+1,

a2

故选：C

【点睛】本题考查了双曲线的定义，考查了余弦定理，考查了双曲线的离心率，属于基础题.

8.已知函数/(x)=J§sin(ox-夕)(。＞0)的图象上相邻两个最高点的距离为万，则“0=5”

是“/(%)的图象关于直线》=。对称”的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】

依据相邻两个最高点的距离为万求出。=2,可得/(%)=百sin(2x-°),再依据正弦函数

的对称轴的性质以及充分不必要条件的概念可得答案.

【详解】依题意得了=%，所以把=»,所以①二2,

所以/(%)=6sin(2x-cp)，

当x=°=5时，/(%)二百sin(2xf—W)=Qsing二百，所以的图象关于

36362

直线x=—对称；

3

当x=2,0="时，/(%)=73sin(2x—--)=73sin(-—)=-A/3,此时/(x)的图

36362

7T

象也关于直线X=—对称，

3

所以“(p=?是"/(X)的图象关于直线x=J对称”的充分不必要条件，

故选：A

【点睛】本题考查了三角函数的周期性，对称性，考查了充分不必要条件的概念，属于中档

题.

“、x2-2ax+2a,x<l,

9.已知函数〃x)=若关于％的不等式/(x)23a在R上恒成立，则实

2x-a\nx,x>l.2

数。的取值范围为()

A.(-oo,2Ve]B.[0,1]C.[0,2]D.[0,2五]

【答案】C

【解析】

【分析】

对X进行分类探讨，使得X与。分别，再转化为关于X的函数的最值，进而求出。的范围.

【详解】(1)当x<1时，由/(%)2］得/2。(2九一5),

ax2_12

当二<x〈l时，"-C3—»3、恒成立，

42x—2(x—)

24

33229

2(X-+)(X--)+-(X--)+—1

因为^44=424161(,

2(%--)2(x--)2(%--)24丘|)4

444

311931

令t=x—,贝令y=—(%H----)H—,则y'=—(l-

4-4216%4,2

119

1931y>-(-+——-)+里也2

所以y=—«+——)+—在(0,—］上递减，所以>一2、4144，

216?44lox-

4

9

1QT-Q

即C(%.)+公+的取小值为2,

24,34

2,)

所以此时aW2,

2

x—1393

当£时，匕3=*-；)+++；="“)+］々3J+4恒成立,

42x——2434

22(：)

1“3、9131〜，3、93

国斗,一彳［(7一%)^----3----］+-<x2(%)•-1-----

因为241〃342,4［々3.4=0,当且仅当x=0时

16(--x)\16(--x)

414

取等，

所以0,

v2x

(2)当x>l时，由/'(x)N，得“一;r恒成立,

lnx+—

2

2x,_21nx-l

令'="r(%>1),则'=

lnx+—(Inx+-)2，

2

''彳千x〉e一，''彳吁l<x<e^'

2x

所以函数r(1,我)上递减，在(3,+8)上递增，

lnx+—

2

所以,《2五

所以'时，=i―r28,

2+2

综上所述：0WaW2.

故选:C

【点睛】本题考查了分别参数法，等价转化思想，分类探讨思想，构造法，考查了由导数探

讨函数的单调性，求函数的最值，考查了基本不用等式，属于中档题.

10.如图，在正方体ABC。—A4G2中，M,N分别是棱AB,8片的中点，点p在对角

线C&上运动.当的面积取得最小值时，点P的位置是()

A.线段CA的三等分点，且靠近点4B.线段CA的中点

C.线段C4的三等分点，且靠近点。D.线段CA的四等分点，且靠近点。

【答案】B

【解析】

【分析】

将问题转化为动点P到直线MN的距离最小时，确定点尸的位置，建立空间直角坐标系，取

的中点Q,通过坐标运算可知即IPQI是动点P到直线的距离，再由

空间两点间的距离公式求出IPQI后，利用二次函数配方可解决问题.

【详解】设正方体的棱长为1,以A为原点，分别为％%z轴，建立空间直角坐

标系，如图所不：

A___________________麟

e：.......'r

1131

则M(X，O,O),W,0,-),MN的中点。(二,0,二)，

2244

A(0,0,1),c(i,i,o),则AC=(1,1,—i),

由A。与PC共线，可得?===彳，所以f=l—Z,所以p(l—z,l—z,z),其中

11—1

0<z<l,

因为|PM|=^(l-z-1)2+(l-z-0)2+(z-0)2=^3z2-3z+|,

|PiV|=J(l-z-l)2+(l-z-0)2+(z-1)2=^3z2-3z+|,

所以|PM|=|PNI，所以PQ_LMN,即IPQ|是动点p到直线MN的距离，

由空间两点间的距离公式可得

IPQ\=^(l-z-1)2+(l-z-0)2+(z-^-)2=3z+|=/(z—4+|,

所以当C=g时，|PQ|取得最小值手，此时尸为线段C4的中点，

由于|MN|=立为定值，所以当△PMN的面积取得最小值时，P为线段CA的中点.

4

故选：B

【点睛】本题考查了空间向量的坐标运算，考查了空间两点间的距离公式，考查了数形结合

法，考查了二次函数求最值，属于基础题.

其次部分(非选择题共110分)

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.

2

11.若复数z=「，则|彳|=________.

1+1

【答案】6

【解析】

【分析】

依据|彳1=1z|以及复数商的模等于复数的模的商，计算可得答案.

2222/-

【详解】因为z=币，所以i*=izi=i币i=m=1币=,2.

故答案为：V2

【点睛】本题考查了复数模的性质，考查了复数的模长公式，属于基础题.

12.已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的长为，它的体积为

【答案】(1).5(2).4

【解析】

【分析】

依据三视图画出直观图，依据三视图中的数据得到直观图中的数据，再计算可得答案.

【详解】如图所示是三棱锥的直观图：

其中"，平面5CD,垂足为歹，

依据三视图可知，BE=ED=2,CE=EF=2,AF=3,

所以BF=DF=BC=CD=2叵,AB=AD=7(272)2+32=717>

AC=A/AF2+CF2=>/32+42=5,

比较可知该三棱锥的最长棱的长为AC=5,

它的体积为，><4/><5/8=,><3><!><4乂2=4,

332

故答案为：(1)5(2)4

【点睛】本题考查了由三视图还原直观图，考查了三棱锥的体积公式，属于基础题.

13.某购物网站开展一种商品的预约购买，规定每个手机号只能预约一次，预约后通过摇号的

方式确定能否胜利购买到该商品.规则如下：(i)摇号的初始中签率为0.19；(ii)当中签率

不超过1时，可借助“好友助力”活动增加中签率，每邀请到一位好友参加“好友助力”活动

可使中签率增加0.05.为了使中签率超过Q9,则至少须要邀请________位好友参加到“好友

助力”活动.

【答案】15

【解析】

【分析】

先求出须要增加中签率为0.71,再用0.71除以0.05得14.2,取15即可得到答案.

【详解】因为摇号的初始中签率为0.19,所以要使中签率超过0.9,须要增加中签率

0.9-0.19=0.71,

因为每邀请到一位好友参加“好友助力”活动可使中签率增加0.05,

07

所以至少须要邀请——=14.2,所以至少须要邀请15位好友参加到“好友助力”活动.

0.05

故答案为：15

【点睛】本题考查了阅读理解实力，解题关键是求出须要增加的中签率，属于基础题.

14.已知函数/。)=w。$号.数列｛%｝满意。“=/(〃)+/(〃+1)"eN*)，则数列｛%｝的

前100项和是.

【答案】100

【解析】

【分析】

依据三角函数学问，利用“为奇数时，/(«)=0,」为奇数时时，f(n)=F,一为偶数时,

22

/(")=〃，可求出％,出,。3，。4，，600，再相加即可得到答案.

【详解】因为/(x)=xcos孩，所以/⑴=/(3)=/(5)=「=/(101)=。，

/(2)=-2,/(6)=一6"(10)=-10,,/(98)=-98,

/(4)=4"(8)=8,/(12)=12,--,/(100)=100.

所以％=%=/(2)=-2,%=&=/(4)=4,a5=a6=f(6)=-6,%=%=/(8)=8,

,为9=%。。=/(100)=100，

所以1++。3+。4++%+Q7+。8+'。99+@100

=2[/(2)+/(4)+/(6)+/(8)++/(100)]

=2(-2+4-6+8-10+12-+100)

=2x25x2=100.

故答案为：100

【点睛】本题考查了特别角的余弦函数值和诱导公式，考查了数列的前九项和，考查了分组求

和，属于基础题.

15.数学中有很多寓意美妙的曲线，曲线C：Q2+y2）3=4x2y2被称为“四叶玫瑰线”（如图所

示）.

给出下列三个结论：

①曲线。关于直线y=x对称；

②曲线C上随意一点到原点的距离都不超过1；

③存在一个以原点为中心、边长为0的正方形，使得曲线。在此正方形区域内（含边界）.

其中，正确结论的序号是.

【答案】①②

【解析】

【分析】

将（y,X）代入C：（/+9）3=4x2y2也成立得①正确；利用不等式可得次+/<1,故②正确.

y=±x

联立“3得四个交点，满意条件的最小正方形是以为中点，边长

（x-+y-）3=4x-y'

为2的正方形，故③不正确.

【详解】对于①，将（XX）代入C：（f+y2）3=4x2y2得（y2+x2）3=4y2x2成立，故曲线。关

于直线y=x对称，故①正确；

对于②，因为,；〉）2,所以必+产<1,所以次+9，］,

所以曲线。上随意一点到原点的距离都不超过1,故②正确;

y=±x1J?

对于③，联立、2、3“，2得X9='9=大，从而可得四个交点A(注,注)，

(%-+/)=4%-/222

榨苧C苫亭喈,喀

依题意满意条件的最小正方形是各边以A&C,。为中点，边长为2的正方形，故不存在一个

以原点为中心、边长为0的正方形，使得曲线。在此正方形区域内(含边界)，故③不正确.

故答案为：①②

【点睛】本题考查了由曲线方程探讨曲线的对称性，考查了不等式学问，考查了求曲线交点

坐标，属于中档题.

三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

7?

16.在△ABC中，bsinA=〃cos(3——).

6

(1)求5；

(2)若c=5,.求夕.

7T

从①6=7,②C=—这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.

4

【答案】(1)生(2)6=7时，。=8；C=工时，a=§近+5

342

【解析】

【分析】

(1)利用正弦定理边化角得sin8=cos。--),再依据两角和与差的正弦、余弦公式变形可

6

得sin(B-学=0,再依据角的范围可得结果；

jr

(2)若选①6=7,依据余弦定理可得结果；若选②C=—,先求出sinA,再依据正弦定

4

理可得结果.

TlHh

【详解】(1)因为bsinA=〃cos(3——),——二——，

6sinAsinB

所以sin3sinA=sinAcos(B-..

又因为sinAwO,所以sin_B=cos(_B-—),即51115='^805+,0111反

622

所以sin(3-])=0.

又因为—生＜3—工＜2工，所以-=0,所以6=工.

33333

(2)若选①万=7,则在△ABC中，由余弦定理从=。2+02—2accos5,

得q2_5a_24=o，解得。=8或。=一3(舍).所以。=8.

若选②C=一,贝!|sinA=sin(B+C)=sin—cos—+cos—sin—=-------

434344

由正弦定理-----=-----，

sinAsinC

a5「A「

得G6二正,解得〃二沙土工.

4~22

EG、I5^/3+5

所以4=-------

2

【点睛】本题考查了两角和与差的正弦、余弦公式，考查了正弦定理、余弦定理，属于

基础题.

17.如图，在三棱柱ABC—A5cl中，平面ACG4，平面ABC，四边形ACGA是正方形，

点。，E分别是棱BC,8月的中点，AB=4,A4=2,BC=25

(1)求证：AB±CQ；

(2)求二面角。―AC1—C的余弦值；

(3)若点尸在棱片G上，且用£=4男尸，推断平面ACQ与平面4所是否平行，并说明

理由

【答案】（1）证明见解析（2）1（3）平面ACQ与平面4石/不平行；详见解析

【解析】

【分析】

（1）依据平面ABC1平面ACCJA和CGJ-AC得CG,平面ABC.,得AB，CQ；

（2）以4为原点，建立空间直角坐标系A-孙z,依据两个半平面的法向量可求得结果;

（3）依据平面AG。的法向量与向量4月不垂直可得结论.

【详解】（1）证明：因为四边形ACGA是正方形，所以CG，AC.

又因为平面ABC1平面ACQA,

平面ABC'平面ACQA=AC,

所以CG，平面ABC

又因为ABl平面ABC,

所以ABLCG.

（2）由（1）知，CC,1AB,惧〃。。］,所以四上人反

又AB=4,AC=A4,=2,BC=25

所以.所以AC.

如图，以A为原点，建立空间直角坐标系A-孙z.

所以40,0,0),5(4,0,0),C(0,0,2),4(0,2,0).

则有。(2,0,1),G(0，2,2),£(4,1,0),

平面ACQ的一个法向量为u=(i,o,o).

设平面AQD的一个法向量为v=(x,y,z),

uumUUUL

又AO=(2,0,1),AC]=(0,2,2),

v-AD=0,f2x+z=0,

由《得！

v-AQ=0.[2y+2z=0.

令x=l,贝lz=—2,y=2.所以1=(1,2,-2).

设二面角。一AG-c的平面角为。，则।cos4i==-TT=

I"nI133

由题知，二面角AG-c为锐角，所以其余弦值为g.

(3)平面AC1。与平面不平行•理由如下：

IUUU

由(2)知，平面AG。的一个法向量为旷=(1,2,-2),AXE=(4,-1,0),

uuu

所以r2?0,所以HE与平面AG。不平行.

又因为AEu平面吊石歹，

所以平面AQD与平面AEF不平行.

【点睛】本题考查了面面垂直的性质定理，考查了线面垂直的性质，考查了二面角的向量求

法，考查了用法向量推断面面平行，属于中档题.

18.某科研团队研发了一款快速检测某种疾病的试剂盒.为了解该试剂盒检测的精确性，质检

部门从某地区（人数众多）随机选取了80位患者和100位非患者，用该试剂盒分别对他们进

行检测，结果如下：

本思寻的杭帮结果AIk患有的摘渊结果Att

阳性1闲性76

阴性99阴性4~

（1）从该地区患者中随机选取一人，对其检测一次，估计此患者检测结果为阳性的概率;

（2）从该地区患者中随机选取3人，各检测一次，假设每位患者的检测结果相互独立，以X

表示检测结果为阳性的患者人数，利用（1）中所得概率，求X的分布列和数学期望;

（3）假设该地区有10万人，患病率为0.01.从该地区随机选取一人，用该试剂盒对其检测一

次.若检测结果为阳性，能否推断此人患该疾病的概率超过0.5?并说明理由.

19

【答案】（1）—（2）详见解析（3）此人患该疾病的概率未超过0.5,理由见解析

20

【解析】

【分析】

（1）干脆用古典概型的概率公式计算可得答案；

19

（2）可知随机变量X听从二项分布，即乂~5（“,。），其中〃=3,P=3,依据二项分布

的概率公式可得分布列和数学期望；

（3）依据患病率为0.01可知10万人中由99000人没患病，1000人患病，没患病检测呈阳性

的有990人，患病的检测呈阳性的950人，共有990+950=1450人呈阳性，所其中只有950人

950

患病，所以患病率为询＜0.5,由此可得答案.

【详解】（1）由题意知，80位患者中有76位用该试剂盒检测一次，结果为阳性.

所以从该地区患者中随机选取一位，用该试剂盒检测一次，结果为阳性的概率估计为”=»

8020

1Q

(2)由题意可知X〜5(%p),其中〃=3,p=—

X的全部可能的取值为0,1，2，3.

IQ11

P(X=0)=Cf(-)0x(-)3=

8000

io157

尸(x=D=c%)X/=

8000

稣=2）回紧（步篇

6859

8000

所以X的分布列为

X0123

P

8000800080008000

故X的数学期望E(X)="p=3x—=一.

2020

(3)此人患该疾病的概率未超过0.5.理由如下：

由题意得，假如该地区全部人用该试剂盒检测一次，那么结果为阳性的人数为

11Q

99000x——+1000x—=990+950=1940,其中患者人数为950.

10020

若某人检测结果为阳性，那么他患该疾病的概率为9二50匕＜9%7匕0=0.5.

19401940

所以此人患该疾病的概率未超过0.5.

【点睛】本题考查了古典概型的概率公式，考查了二项分布的概率公式、分布列、数学期望,

属于中档题.

22

19.已知椭圆C：=+3=l(a〉b〉0),圆。：炉+产二产(。为坐标原点).过点(0,加且

ab

Q

斜率为1的直线与圆。交于点(1,2),与椭圆C的另一个交点的横坐标为-二.

(1)求椭圆C的方程和圆。的方程；

(2)过圆。上的动点尸作两条相互垂直的直线小4,若直线4的斜率为以左片。)且4与椭圆

c相切，试推断直线4与椭圆c的位置关系，并说明理由.

丫2

【答案】(1)--+y2=1；x2+y2=5(2)直线6与椭圆。相切，详见解析

【解析】

【分析】

(1)依据圆。过点(1,2)可得圆。的方程为：必+,2=5,依据过点(01)且斜率为1的直线

QQ

过点(1,2),可得匕=1,可得直线与椭圆相交的另一个交点坐标为(-■!，-]),将其代入椭圆方

r2

程可得椭圆C的方程为—+/=1；

4,

(2)设圆。上的动点尸(%,%)(尤0*±2),所以尤02+为2=5,设直线4：y-y0=^(x-x0),

r2

将其代入一+>2=1,得。+4左2)/+8左(%-/口+人为-小)2-4=0,利用判别式为0,

4

可得(为2-1)1+2%为左+(1-%2)=0,设直线/,：y-y0=--(x-x0),将其代入

k

r2

—+/=1,利用判别式为0可证直线1与椭圆C相切.

4'2

【详解】(1)因为圆。过点(1,2),所以圆。的方程为：x2+/=5.

因为过点(0,加且斜率为1的直线方程为y=x+b,

又因为过点(1,2),所以沙=1.

因为直线与椭圆相交的另一个交点坐标为(-*-/,

(-§)2(--)2

所以“,工解得/=4.

a21

所以椭圆。的方程为—+y-=l.

4,

(2)直线6与椭圆。相切.理由如下：

设圆。上的动点尸(%,％)(/*±2),所以堵+%2=5.

依题意，设直线4:丁一为=左(了一天).

x2+4y2=4,

2

由s得(1+4左2)炉+8左(%-kx0)x+4(y0-kx0)-4=0.

y=kx+(y0-kx0)

因为直线4与椭圆。相切，

所以A=[8灯％-小)]2-4(1+4左2)[4(%-/)2—4]=0.

所以1+4左2=（%—包）2.

2

所以(4—XQ)k+2x0y0k+(1—)=0.

2

因为No?+No?=5,所以4—尤。？=_yQ—1.

所以(为2—1)公+2%为k+(1-尢2)=0

设直线4：丁一%二-!(九一%)，

k

22

x+4y=4,

由《1/得(1+R)%2—7(%+2》+4(%+?y―4=0.

y一%=-7(%一/0)kkkk

Ik

22

则A1=16[(4-V)(-1)++(l-Jo)]

正[(4-%2)-2fct0%+(1-%2)左2]

记[(%2-1)-2辰0%+(1-)左2]

2

-必■[(%?-1)左,+2Ax0y0+(1-y0)]=0.

所以直线，2与椭圆C相切.

【点睛】本题考查了由椭圆上点的坐标求椭圆方程，考查了由圆上的点的坐标求圆的方差，

考查了直线与椭圆相切的位置关系，考查了运算求解实力，利用判别式为0是解题关键，属

于中档题.

y1

20.已知函数/(%)=/------.

X—1

(I)求曲线y=/(x)在点(0,7(0))处的切线方程；

(2)推断函数/■(》)的零点的个数，并说明理由；

(3)设X。是/(尤)的一个零点，证明曲线丁=/在点(/,e&)处的切线也是曲线y=lnx的切

线.

【答案】(1)3x-y+2=0(2)有且仅有两个零点，详见解析(3)证明见解析

【解析】

【分析】

(1)依据导数的几何意义可求得结果；

(2)依据单调性和零点存在性定理可得Ax)在(-8,1)和(1,y)上各有唯一一个零点，由此

可得答案；

(3)依据导数的几何意义求出曲线丁=/在点(%,井)处的切线为、=6%%-/3。+6'。，设

曲线y=lnx在点(七,内)处的切线斜率为e~，依据导数的几何意义求出切线方程为

x

y=e»x-x0-l,依据/是/Xx)的一个零点，可证两条切线重合.

V-1

【详解】(1)因为/(x)=e=一^,

X—1

所以/(0)=e。一鲁=2,/'(x)=e“Ur，H°)=e°+-^=3.

0-1(x-1)(0-1)

所以曲线y=f(x)在点(0,/(0))处的切线的方程为3x—y+2=0.

(2)函数/(尤)有且仅有两个零点.理由如下：

Ax)的定义域为{x|xeR,x#l}.

2

因为/'(幻:1+:--7>0,

所以/(X)在(f,1)和(Ly)上均单调递增.

因为/(0)=2>0,/(-2)=e-2-1<0,

所以/(X)在(-8,1)上有唯一零点七.

因为/(2)=e?-3〉0,/(])=/一9<0,

所以/(x)在(1,y)上有唯一零点x2.

综上，/Xx)有且仅有两个零点.

(3)曲线y="在点(％,靖。)处的切线方程为y-e阳=e&(x-%),即y=e*x—/e苑+e%.

设曲线y=Inx在点(与，%)处的切线斜率为小，

X111

贝lje°=一,X=—,%=-%，即切点为(丁，一九0).

%e殉e而

所以曲线y=lnx在点(圭,-尤0)处的切线方程为

y+/=e*°(x----),即y=e*°x_%。一1.

X+1

因为X。是/(X)的一个零点，所以小=」「.

/T

X+1

所以一毛3。+e'°=e'°(1—x0)=-...(1—x0)=-1—x0.

x°T

所以这两条切线重合

所以结论成立.

【点睛】本题考查了依据导数的几何意义求切线的斜率，考查了用导数探讨函数的单调性，

考查了利用零点存在性推断零点个数，属于中档题.

21.设数列A：%,%，，%(〃》3)的各项均为正整数，且V%.若对随意

丘{3,4,…㈤，存在正整数"(14云/<Q使得久=4+勺，则称数列4具有性质「

(1)推断数列A：L2,4,7与数列4:1,2,3,6是否具有性质T；(只需写出结论)

(2)若数列A具有性质T,且％=1,%=2,an=200,求九的最小值；

(3)若集合S={1,2,3,,2019,2020}=%S?S3S4S5S$,且'S」=0(随意

%,je{l,2,、6},i/j).求证：存在S,.，使得从S’中可以选取若干元素(可重复选取)组成

一个具有性质T的数列.

【答案】(1)数列A不具有性质T；数列4具有性质T(2)九的最小值为10(3)证明见解

析

【解析】

【分析】

(1)4=7不满意存在正整数i,Jd<i<j<k)使得怎=q+%,故数列A不具有性质T；

依据定义可知数列4具有性质T；

(2)由题可知。2=2,Oj<2a,=4,a4<2a3<8,,ai<2a7<128,所以再验证

可知〃=9时，数列A不具有性质T,”=10时，数列A具有性质T,从而可知”的最小值

为10；

(3)反证法：假设结论不成立，即对随意E(i=l,2,「6)都有：若正整数4,6€号,。<%,则

b-aeSj,再依据定义推出冲突，从而可证结论正确.

【详解】(