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文档简介

课题学习最短路径问题第2课时人教版八年级数学上册

如图，在直线l

上求作一点

C，使得

CA＋CB

最短．AlBABlC

点A，B在直线l

异侧B′C

点A，B在直线l

同侧问题（造桥选址问题）如图，A

和B

两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处可使从A

到B

的路径AMNB

最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直．）这是一个实际问题，想一想可以把它抽象为怎样的数学问题？MNabAB可以把河的两岸看成两条平行线a

和b（如图），N

为直线b

上的一个动点，MN

垂直于直线b，交直线a

于点M．问题转化为：当点

N

在直线

b

的什么位置时，AM＋MN＋NB

最小？由于河岸宽度是固定的（MN

长度固定）

当

AM＋NB

最小时，AM＋MN＋NB

最小．MNabAB问题转化为：当点

N

在直线

b

的什么位置时，AM＋NB

最小？能否通过图形的变化将问题转化为研究过的问题呢？MNabABBAN将AM

沿与河岸垂直的方向平移，点M

移动到点N，点A

移动到点A′，问题转化为：当点

N在直线

b的什么位置时，A′N＋NB

最小？MNabABA′则AA′＝MN，AM＋NB＝A′N＋NB．在连接A′，B两点的线中，线段A′B

最短．线段A′B

与直线b

的交点N

的位置即为所求，即在点N

处造桥MN，所得路径AMNB

是最短的．M′N′abABA′NMNM试着说一下作图过程．M（3）过N

作NM⊥a

于M，线段MN

即为桥的位置．此时从A

到B

的路径AMNB

最短．

作法：（1）将A

沿与河岸垂直的方向平移到A′，使AA′

的长度等于桥长；NabABA′你能试着证明一下吗？（2）连接A′B，交直线b

于点N，点N

即为所求；

由平移性质可知，

AM＝A′N，AM′＝A′N′．

所以AM＋NB＝A′N

＋NB＝A′B，

AM′＋N′B＝A′N′＋N′B．

证明：在直线b

上任取一点N′，过点N′

作N′M′⊥a，连接AM′，A′N′，N′B，MNabAA′BM′N′M′N′MNabB由两点之间，线段最短可知：A′B＜A′N′＋N′B，即AM＋NB＜AM′＋N′B，即AM＋MN＋NB＜AM′＋M′N′＋N′B．AA′归纳在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变化把已知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择．lBAQP

例

已知线段

a，点

A，B

在直线

l

的同侧，在直线

l

上求作两点

P，Q

（点

P

在点

Q

的左侧）且

PQ＝a，使得四边形

APQB

的周长最小．

分析：先在直线l

上取PQ＝a（如图），连接AP，QB，AB，此时在四边形

APQB中，线段PQ和线段AB的长度是固定的，所以当AP＋QB最小时，四边形

APQB

的周长最小

．aQA′

作法：（1）将点A

沿直线l

的方向平移到A′，使得AA′＝a；lBA

（2）作A′

关于直线l

的对称点A′′

；（3）连接A′′B，与直线l

交于一点Q，Q即为所求点．PA″（4）在点Q

左侧取点P，使得PQ＝a，P即为所求点．连接AP，

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