8.3列联表与独立性检验课件高二下学期数学人教A版选择性2

8.3列联表与独立性检验第八章成对数据的统计分析人教A版

数学

选择性必修第三册基础落实·必备知识一遍过重难探究·能力素养速提升目录索引

学以致用·随堂检测促达标学习单元3

列联表与独立性检验统计最基本的思想是用样本推断总体,而估计和假设检验是两种基本而重要的推断方法.前面学习了统计估计的推断方法.例如:用样本数据的均值和方差分别估计总体的均值和方差;用样本相关系数估计两个数值变量的相关系数,从而推断这两个变量线性关系的密切程度;利用最小二乘法估计一元线性回归模型中的参数;等等.对于两个分类变量,可以通过2×2列联表反映两个变量之间的有关统计信息,据此可以从直观上推断两个变量是否有关联.独立性检验对变量之间的关联性进行统计推断,基于小概率原理,为了使推断零假设不成立犯错误的概率更小,就要取更小的概率值α.本学习单元的主要内容有:从实际问题中抽象出成对分类变量(X,Y),通过2×2列联表整理成对分类变量的样本观测数据,应用独立性检验解决实际问题.这也是本学习单元的知识明线.具体内容结构如下图所示:本学习单元的最终目标是基于2×2列联表,通过具体实例,解释分析两个分类变量独立性的方法,能说明用于推断两个分类变量独立性的统计量χ2构造的合理性,能说出基于小概率值的检验规则的基本思想,从中发展数据分析和逻辑推理等核心素养.学习目标1.能利用2×2列联表进行独立性检验,提升利用图表进行数据分析的能力.(数据分析)2.参考反证法,理解独立性检验的基本思想和步骤,并能够利用独立性检验解决一些实际问题.(逻辑推理)基础落实·必备知识一遍过知识点1

分类变量与列联表1.分类变量:为了表述方便,我们经常会使用一种特殊的随机变量,以区别不同的现象或性质,这类随机变量称为分类变量.2.列联表:在实践中,由于保存原始数据的成本较高,人们经常按研究问题的需要,将数据分类统计,并做成表格加以保存.这种形式的数据统计表称为2×2列联表.2×2列联表给出了成对分类变量数据的交叉分类频数.名师点睛制作2×2列联表的基本步骤第一步,合理选取两个变量,且每一个变量按照分类标准分成两类;第二步,抽取样本,整理数据;第三步,画出2×2列联表.微思考2×2列联表的主要作用是什么?提示

2×2列联表用于研究两个分类变量之间是否相互独立,它适用于分析两类变量之间的关系,是对两类变量进行独立性检验的基础.知识点2

独立性检验1.2×2列联表XY合计Y=0Y=1X=0aba+bX=1cdc+d合计a+cb+dn=a+b+c+d上表是关于分类变量X和Y的抽样数据的2×2列联表:最后一行的前两个数分别是事件{Y=0}和{Y=1}的频数;最后一列的前两个数分别是事件{X=0}和{X=1}的频数;中间的四个数a,b,c,d是事件{X=x,Y=y}(x,y=0,1)的频数;右下角格中的数n是样本容量.2.χ2统计量的计算公式

3.独立性的判断方法

α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828基于小概率值α的检验规则是:

α越小,临界值xα越大当χ2≥xα时,我们就推断H0不成立,即认为

,该推断

;

当χ2<xα时,我们没有充分证据推断H0不成立,可以认为

.

X和Y不独立

犯错误的概率不超过α

X和Y独立

4.独立性检验利用χ2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立性检验,读作“卡方独立性检验”,简称独立性检验.微思考独立性检验在实际中的重要作用是什么?提示

独立性检验是数理统计的一种方法,是数学中的一种基本理论,是数学体系中对数据关系进行探索的一种基本思想.当然,对数据的统计分析得出的结论只能是在一定程度上对某种关系进行判断,而不是一种确定性的关系,这也是统计思想与确定性思维的差异所在.独立性检验在实际中有着广泛的应用,是对实际生活中数据进行分析的一种方法,通过这种分析得出的结论对实际生活或者生产都有一定的指导作用.重难探究·能力素养速提升问题1在现实生活中,不仅要统计推断两个数值变量之间的相关性,还经常需要回答一定范围内的两种现象或性质(两个分类变量)之间,是否存在关联性或相互影响的问题.如何利用统计数据判断一对分类变量之间是否具有关联性呢?问题2利用χ2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立性检验.基于χ2独立性检验,你能总结小概率值α的检验规则吗?探究点一独立性检验问题3独立性检验的本质是通过比较观测值与预测值之间的差异,来判断事件发生的概率的大小.基于χ2独立性检验,你能总结应用独立性检验解决实际问题时大致包括的几个主要环节吗?【例1】

打鼾不仅影响别人休息,而且可能与患心脏病有关.下表是一次调查所得的数据:打鼾心脏病合计患病未患病每一晚都打鼾30224254不打鼾2413551379合计5415791633根据小概率值α=0.001的独立性检验,能否认为每一晚都打鼾与患心脏病有关联?解

零假设为H0:每一晚都打鼾与患心脏病无关联.由列联表中的数据,得

≈68.033>10.828=x0.001.根据小概率值α=0.001的χ2独立性检验,我们推断H0不成立,即认为每一晚都打鼾与患心脏病有关联,此推断犯错误的概率不大于0.001.规律方法

独立性检验的具体做法(1)提出零假设H0:X和Y相互独立,并给出在问题中的解释.(2)根据抽样数据整理出2×2列联表,计算χ2的值,并与临界值xα比较.(3)根据检验规则得出推断结论.(4)在X和Y不独立的情况下,根据需要,通过比较相应的频率,分析X和Y间的影响规律.探究点二独立性检验的综合应用问题4如何根据具体情境完成2×2列联表,进而利用独立性检验判断两个分类变量是否独立?【例2】

海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比,收获时各随机抽取了100个网箱,测量各箱水产品的产量(单位:kg),其频率分布直方图如下:旧养殖法

新养殖法(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立,记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg,新养殖法的箱产量不低于50kg”,估计事件A的概率;(2)填写下面列联表,并依据α=0.01的独立性检验,分析箱产量与养殖方法是否有关联;单位:箱类型箱产量合计低于50kg不低于50kg旧养殖法

新养殖法

合计

(3)根据箱产量的频率分布直方图,求新养殖法箱产量的中位数的估计值(精确到0.01).解

(1)记B表示事件“旧养殖法的箱产量低于50

kg”,C表示事件“新养殖法的箱产量不低于50

kg”.由题意知P(A)=P(BC)=P(B)P(C).旧养殖法的箱产量低于50

kg的频率为(0.012+0.014+0.024+0.034+0.040)×5=0.62,故P(B)的估计值为0.62.新养殖法的箱产量不低于50

kg的频率为(0.068+0.046+0.010+0.008)×5=0.66,故P(C)的估计值为0.66.因此,事件A的概率估计值为0.62×0.66=0.409

2.(2)零假设为H0:箱产量与养殖方法无关联.根据箱产量的频率分布直方图得如下列联表:单位:箱类型箱产量合计低于50

kg不低于50

kg旧养殖法6238100新养殖法3466100合计96104200根据列联表中的数据,经计算得到依据α=0.01的独立性检验,我们推断H0不成立,即认为箱产量与养殖方法有关联,此推断犯错误的概率不超过0.01.(3)因为在新养殖法的箱产量频率分布直方图中,箱产量低于50

kg的直方图面积为(0.004+0.020+0.044)×5=0.34<0.5,箱产量低于55

kg的直方图面积为(0.004+0.020+0.044+0.068)×5=0.68>0.5,故新养殖法箱产量的中位数的估计值为规律方法

两个分类变量相关关系的判断通过2×2列联表,先计算χ2的值,再借助χ2的取值判断两个分类变量是否有关联.本节要点归纳1.知识清单:(1)分类变量;(2)2×2列联表和等高堆积条形图;(3)独立性检验、χ2公式.2.方法归纳:数形结合.3.常见误区:(1)易对2×2列联表计算错误;(2)对独立性检验的原理不理解,导致不会用χ2分析问题.学以致用·随堂检测促达标123456789101112A级必备知识基础练1.下面是一个2×2列联表:XY合计Y=0Y=1X=0a2173X=182533合计b46

则表中a,b处的值分别为(

)A.94,96 B.52,50 C.52,60

D.54,52C解析

∵a+21=73,∴a=52,b=a+8=52+8=60.1234567891011122.为了解喜爱足球是否与性别有关联,随机抽取了若干人进行调查,抽取女性人数是男性的2倍,男性喜爱足球的人数占男性人数的,女性喜爱足球的人数占女性人数的

.若本次调查得出“依据α=0.005的独立性检验,认为喜爱足球与性别有关联”的结论,则被调查的男性人数至少为(

)α0.100.050.010.0050.001xα2.7063.8415.6357.87910.828A.11 B.12 C.13 D.14B1234567891011123.疫苗是为预防、控制传染病的发生、流行,用于人体预防接种的生物制品,其前期研发过程中,一般都会进行动物保护测试,为了考察某种疫苗预防效果,在进行动物试验时,得到如下2×2列联表:单位:只注射疫苗情况发病情况合计未发病发病未注射20

已注射30

合计5050100零假设为H0:该种疫苗对传染病无效.现从试验动物中任取一只,取到已注射疫苗的动物概率为,则下列判断错误的是(

)A.已注射疫苗发病的动物数为10B.从该试验未注射疫苗的动物中任取一只,发病的概率为C.能在犯错误的概率不超过0.001的前提下,认为该疫苗有效D.该疫苗的有效率为75%123456789101112D1234567891011124.为考察某种药物对某种疾病的治疗效果,在四个不同的实验室取相同的个体进行动物试验,根据四个实验室得到的列联表画出如下四个等高堆积条形图,最能体现该药物对治疗该种疾病有效果的等高堆积条形图是(

)C1234567891011125.(多选题)某市为了研究该市空气中的PM2.5浓度和SO2浓度之间的关系,环境监测部门对该市空气质量进行调研,随机抽查了100天空气中的PM2.5浓度和SO2浓度(单位:μg/m3),得到如下所示的表格:单位:μg/m3PM2.5浓度SO2浓度[0,150](150,475][0,75]6416(75,115]1010零假设为H0:该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度无关.经计算123456789101112A.该市一天空气中PM2.5浓度不超过75μg/m3,且SO2浓度不超过150μg/m3的概率估计值是0.64B.若2×2列联表中的天数都扩大到原来的10倍,χ2的值不会发生变化C.根据α=0.01的独立性检验,认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度无关D.能在犯错误的概率不超过0.01的条件下,认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关答案

AD

123456789101112解析

补充完整列联表如下:单位:μg/m3PM2.5浓度SO2浓度合计[0,150](150,475][0,75]641680(75,115]101020合计7426100对于A,该市一天中,空气中PM2.5浓度不超过75

μg/m3,且SO2浓度不超过150

μg/m3的概率估计值为

=0.64,故A正确;对于B,

74.844≠7.484

4,故B不正确;因为7.484

4>6.635=x0.01,由表可知,根据α=0.01的独立性检验,我们推断H0不成立,即认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关,此推断犯错误的概率不大于0.01,故D正确,C不正确.故选AD.1234567891011121234567891011126.(多选题)有两个分类变量X,Y,其2×2列联表如下表所示:XY合计Y1Y2X1a20-a20X215-a30+a45合计155065其中a,15-a均为大于5的整数,若依据小概率值α=0.05的独立性检验,认为X,Y有关联,则a的值可以为(

)A.6 B.7 C.8 D.9CD1234567891011127.在对某小学的学生进行吃零食的调查中,得到数据如下表:单位:人性别是否吃零食合计吃不吃男273461女122941合计3963102根据上述数据分析,可得χ2约为

.

2.3341234567891011128.某学校为了制定治理学校门口上学、放学期间家长接送孩子乱停车现象的措施,对全校学生家长进行了问卷调查.根据从中随机抽取的50份调查问卷,得到了如下的列联表:单位:人性别限定区域停车合计同意不同意男20525女101525合计302050则依据α=0.005的独立性检验认为同意限定区域停车与家长的性别

.(填“有关联”或“无关联”)

有关联

123456789101112B级关键能力提升练9.(多选题)针对时下流行的某社交平台,某高校对学生性别和喜欢该平台是否有关联进行了一次调查,其中被调查的男生、女生人数相同,男生喜欢该平台的人数占男生人数的,女生喜欢该平台的人数占女生人数的

.零假设为H0:喜欢该平台和性别无关联.若依据α=0.05的独立性检验认为喜欢该平台和性别有关联,则调查人数中男生的人数可能为(

)A.25 B.45 C.60 D.75BCD12345678910111210.对196个接受心脏搭桥手术的病人和196个接受血管清障手术的病人进行了3年的跟踪研究,调查他们是否又发作过心脏病,调查结果如下表所示:单位:人手术心脏病合计又发作过未发作过心脏搭桥39157196血管清障29167196合计68324392试根据上述数据计算χ2≈

,根据小概率值α=0.1的独立性检验,这两种手术对病人又发作心脏病的影响

差别.(填“有”或“没有”)

1.779

没有

12345678910111211.有人发现了一个有趣的现象,中国人的邮箱名称里含有数字比较多,而外国人邮箱名称里含有数字比较少.为了研究国籍和邮箱名称里含有数字的关系,小明收集了124个邮箱名称,其中中国人的64个,外国人的60个,中国人的邮箱中有43个含数字,外国人的邮箱中有27个含数字.(1)根据以上数据建立2×2列联表;(2)他发现在这组数据中,外国人邮箱里含数字的也不少,他不能断定国籍和邮箱名称里含有数字是否有关联,你能依据α=0.05的独立性检验帮他判断一下吗?123456789101112解

(1)2×2列联表如下:单位:个类型国籍合计中国外国有数字432770无数字213354合计6460124(2)零假设为H0:国籍和邮箱名称里是否含有数字无关联.由表中数据得依据α=0.05的独立性检验,我们推断H0不成立,即认为国籍和邮箱名称里是否含有数字有关联,此推断犯错误的概率不大于0.05.1234567891