教师资格认定考试高级中学数学模拟题30

教师资格认定考试高级中学数学模拟题30一、单项选择题1.

已知随机变量X的分布律为，k=0，1，2，…，常数C等于______。A.1B.eC.e-1D.e-2正确答案：C[解析]根据规范性，，所以C=e-1。故本题选C。

2.

数学抽象是数学的基本思想，是形成理性思维的______。A.重要基础B.重要方式C.工具D.基本手段正确答案：A[解析]《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》中在解释“数学抽象”这一核心素养时指出，数学抽象是数学的基本思想，是形成理性思维的重要基础，反映了数学的本质特征，贯穿在数学产生、发展、应用的过程中。

3.

曲线x=t，y=t2，z=t3在点(1，1，1)处的法平面方程是______。

A．

B．x+2y+3z-6=0

C．

D．x+y+z-3=0正确答案：B[解析]曲线x=t，y=t2，z=t3在点(1，1，1)处的切向量为(1，2，3)，所以曲线在点(1，1，1)处的法平面方程为(x-1)+2(y-1)+3(z-1)=0，化简得x+2y+3z-6=0。

4.

依据22-1=3，23-1=7，25-1=31，27-1=127，得出结论：当P为素数(质数)时，2P-1也是素数。这里运用的是______。A.归纳推理B.类比推理C.演绎推理D.合情推理同时也是演绎推理正确答案：A[解析]推理分为合情推理和演绎推理。演绎推理是思维进程中从一般到特殊的推理，这种推理以形式逻辑或论证逻辑为依据，有三段论、关系推理等推理模式；合情推理是一种合乎情理的、似以为真的推理，合情推理包括归纳推理和类比推理，归纳推理是由个别事实概括出一般结论的推理，是由部分到整体、个别到一般的推理，类比推理是由特殊到特殊的推理。本题中，是通过归纳推理得出结论，没有进行严谨的证明，所以该推理过程运用了合情推理中的归纳推理，没有运用演绎推理。故本题选A。

5.

设二次型正定，则实数a的取值应满足______。A.a＞9B.-3＜a＜3C.3≤a≤9D.a≤-3正确答案：B[解析]因为二次型正定，所以A是正定矩阵，则A的所有顺序主子式全都大于0，即有2＞0，，，可得a的取值范围是-3＜a＜3。故本题选B。

6.

的收敛域为______。A.[-2，2)B.[-2，2]C.(-2，2]D.(-2，2)正确答案：A[解析]令，由于，所以级数的收敛半径为2。当x=2时，(调和级数)，此时级数发散；当x=-2时，，此时由莱布尼茨判别法知，级数收敛。因此，的收敛域为[-2，2)。故本题选A。

7.

设矩阵，若集合力={1，2}，则线性方程组Ax=b有无穷多解的充分必要条件为______。

A．

B．

C．

D．a∈Ω，d∈Ω正确答案：D[解析]线性方程组Ax=b有无穷多解的充分必要条件：r(A)=r(A，b)＜3。

，由r(A)=r(A，b)＜3知，

a=1或2，d=1或2，即a∈Ω，d∈Ω。故本题选D。

8.

设，B是3阶非零矩阵，且AB=O，则a=______。A.-1B.0C.2D.1正确答案：D[解析](方法一)因为AB=O，所以B的列向量都是齐次线性方程组Ax=0的解，又B是非零矩阵，所以齐次线性方程组Ax=0一定有非零解，于是，a=1。故本题选D。

(方法二)因为AB=O，所以有r(A)+r(B)≤3，又B≠O，所以r(B)≥1，于是r(A)＜3，从而行列式，解得a=1。故本题选D。

二、简答题(每小题7分，共35分)袋中有50个乒乓球，其中20个黄球，30个白球，今有两人依次随机地从袋中各取一个球，取后不放回。1.

求第二个人取得黄球的概率；正确答案：假设“第一个人取出的是黄球”为事件A，“第二个人取出的是黄球”为事件B。则，。根据全概率公式，。

2.

已知第二个人取得的是黄球，求第一个人也取得是黄球的概率。正确答案：根据贝叶斯公式，。

3.

求过点(1，0，4)，且平行于平面3x-4y+z-8=0，又与直线相交的直线的方程。正确答案：(方法一)

设所求直线为l，由题意可知，与平面3x-4y+z-8=0平行的平面束方程为3x-4y+z+k=0，又直线l过点(1，0，4)，代入求得k=-7，即直线l在平面3x-4y+z-7=0上。联立方程可求得直线与直线l的交点为(21，25，44)，因为直线l还经过点(1，0，4)，所以直线l的方向向量l=(4，5，8)，因此所求直线的方程为。

(方法二)

设过点(1，0，4)且与平面3x-4y+z-8=0平行的平面为π1，所求直线l在π1内，根据平行平面的关系易得π1的一般方程为3x-4y+z-7=0。

直线过点(-1，3，0)，且一个方向向量为s=(1，1，2)，又平面π1的一个法向量为n=(3，-4，1)，因为sn≠0，所以直线与π1相交，所以直线l与直线所确定的平面π2与π1相交，相交直线即为l。

平面π2过点(-1，3，0)和点(1，0，4)，且与向量s=(1，1，2)平行，设π2上任意一点的坐标为(x，y，z)，则向量u=(x+1，y-3，z)和向量v=(2，-3，4)都平行于平面π2，即向量s，u，v共面，即有，所以π2的一般方程为2x-z+2=0。

因此，所求直线l的一般方程为

4.

请以“等比数列”为例，简述数学课堂教学导入的两种方法。正确答案：数学课堂教学导入的方法主要有直接导入法、复习导入法、事例导入法、趣味导入法、悬念导入法和类比导入法等。以“等比数列”为例，下面主要介绍复习导入法和类比导入法。

(1)复习导入法

复习导入法即所谓的“温故而知新”，主要是利用新旧知识之间的逻辑联系，贯彻巩固与发展相结合的原则，找出新旧知识之间的联结点，将旧知识的复习迁移到新知识的学习上来导入新课。通过这种方法来导入新课，一方面可以帮助学生巩固旧知，另一方面可以帮助学生建立新旧知识之间的联系，能有效降低学生对于新知识的认知难度。运用这种导入方法之前，教师应先摸清学生原有的知识水平，精选复习、提问新旧知识联系的“支点”。

以“等比数列”为例，学生在学习这一内容之前已经学习过“等差数列”的相关知识，可以借助“公差”的概念理解“公比”。因此，教师可以结合“等差数列”的相关知识点，运用复习导入法，在学习新知识前，带领学生复习“等差数列”的相关知识，帮助学生找到新旧知识之间的联结点，之后带领学生探索新知。

(2)类比导入法

类比是指当两个对象具有某些相同或类似属性，而且已经了解其中一个对象的某些性质时，推测另一个对象也有相同或类似性质的思维形式。类比导入法就是以这种思维形式为基础，通过新知与旧知之间的类比，在旧知的基础上探索发现新知。类比导入法简洁明快，既培养了学生的类比推理能力，又能高效地调动学生思维的积极性。

以“等比数列”为例，学生在学习新知之前已经学习过“等差数列”的相关知识。教师可以抓住等差数列的定义，采用类比导入法，列举一个等差数列和一个等比数列，让学生通过对比观察两种数列，结合等差数列的相关性质，来类比分析等比数列的相关性质特征。

5.

简述向量在高中数学课程中的作用。正确答案：向量在高中数学课程中的作用，主要体现在它有利于培养学生数形结合的思想方法，有利于拓宽解题思路，有利于发展学生的运算能力。

(1)向量的引入有利于培养学生数形结合的思想方法

向量集数与形于一身，它既是代数研究对象，又是几何研究对象；既可以进行运算，又可以用图形表示，它是数形结合思想方法的体现。因此，学习向量知识有利于培养学生数形结合的思想方法。

(2)向量的引入有利于拓宽解题思路

向量方法既是数学思想方法的体现，又是问题解决的一种方法途径。在中学数学中，向量使数与形合二为一，联系几何、代数、三角函数等知识。它既是解决问题的思想方法，又是手段工具，它使得学生在解决数学问题时思路清晰明确，降低思维转换过程的难度。向量方法对于解决数学问题及口常生活中的实际问题具有重要价值。

(3)向量的引入有利于发展学生的运算能力

向量的线性运算与多项式的运算相类似，其运算特点主要表现在向量的数量积运算。向量的运算与数的运算、多项式的运算既有联系又有区别，向量的运算形式比较多，比较全面。学习向量知识可以发展学生的运算能力，增强学生对代数运算本质的认识。

6.

已知矩阵B=(1，2，3)，，设A=BTC，求An。正确答案：由题意知

根据矩阵乘法的结合律有

三、解答题(本大题1小题，10分)设α，β为三维单位列向量，且αTβ=0，记A=αβT+βαT。1.

求证：A可相似对角化；正确答案：证：因为αTβ=0，所以(αTβ)T=βTα=0。因为α，β为三维单位列向量，所以αTα=1，βTβ=1。由A=αβT+βαT，可知Aα=(αβT+βαT)α=αβTα+βαTα=0α+β=β，同理可得Aβ=(αβT+βαT)β=α，所以A(α+β)=α+β，A(α-β)=-(α-β)。由矩阵特征值、特征向量的概念可知1，-1是矩阵A的特征值，它们对应的一个特征向量分别为α+β，α-β。又因为r(A)=r(αβT+βαT)≤r(αβT)+r(βαT)=1+1=2，所以|A|=0，所以。也是矩阵A的特征值，由于矩阵A有3个各不相等的特征值1，-1，0，所以A可相似对角化。

2.

若存在三维列向量r≠0，使Ar=0，记P=(r，2(α+β)，β-α)，求P-1AP。正确答案：因为Ar=0，r≠0，可知r是矩阵A的特征值0对应的一个特征向量，而2(α+β)，β-α分别是特征值1和-1对应的一个特征向量，易得。

四、论述题(本大题1小题，15分)1.

阐述在数学教学过程中如何处理好教师教与学生学的关系。正确答案：学生是数学学习的主体，在积极参与学习活动的过程中不断得到发展，学生获得知识必须建立在自己思考的基础上，只有亲身参与教师精心设计的教学活动，才能在数学思考、问题解决和情感态度方面得到发展。

教师应成为学生学习活动的组织者、引导者、合作者，为学生的发展提供良好的环境和条件。教师不仅要根据学生的实际情况和教学目标设计出好的教学方案，还要采用适当的教学方式，营造师生互动、生生互动、生动活泼的课堂氛同。教师要引导学生通过实践、思考、探索、交流获得知识、形成技能以及发展思维等。在教学的过程中，教师应以平等、尊重的态度鼓励学生积极参与教学活动，启发学生共同探索。

在教学过程中，既要重视教师教，更要重视学生学，好的教学活动是学生的主体地位和教师的主导作用的和谐统一。

五、案例分析题(本大题共20分)阅读案例，并回答问题。某教师针对《二项式定理》设计了一节习题课，下面是两位同学所做的一道例题的解题过程，据此回答问题。

问题：1.

给出案例中例题的正确解法；正确答案：案例中例题的正确解法如下。

二项式展开式的通项为，展开式的第五项即r=4，进一步根据题意知，4-n=0，解得n=4，即。可知一次项x对应的r值为5，进而可求得x项的二项式系数为。

2.

请指出案例中两个学生解题中的错误，并分析产生错误的原因；正确答案：学生小赵解法中的问题：

①二项展开式的通项存在错误；

②根据题意r的取值错误。

产生错误的原因：对二项展开式的通项不理解，导致对公式的记忆存在偏差。

学生小宋解法中的问题：

①虽然小宋的通项结果与正解相同，但题目二项式是相乘，其解题过程中的n与题目中的n不是同一个变量；

②二项式系数求错。

产生错误的原因：审题不清，对二项展开式通项公式的记忆过于死板；某一项的系数与某一项的二项式系数两种概念混淆不清。

3.

结合案例，谈谈在教学“二项式定理”内容时应该注意哪些问题。正确答案：在教学“二项式定理”时应该注意以下几点：

①在教学二项式定理、二项展开式的通项公式的概念时，要使学生明确二项式系数以及公式中r和n的含义；

②针对二项展开式的通项公式，教师要明确中的a是降幂排列，b是升幂排列，帮助学生理解记忆；

③教师要明确二项展开式的某一项的系数与某一项的二项式系数的区别；

④教师在教学这部分内容时要结合专项习题进行讲解，使学生更进一步地明确并记忆二项式定理的潜在知识点。

六、教学设计题(本大题共30分)通过直观感知、操作确认，归纳出平面与平面平行的判定定理：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行。

请完成下列任务：1.

写出本节课的教学目标和教学重点；正确答案：教学目标：

①通过直观感知和操作确认，归纳出“平面与平面平行的判定定理”，培养类比及转化的思想，培养合情推理能力；

②理解“平面与平面平行的判定定理”，并能准确使用数学符号语言、文字语言、图形语言表述该定理；

③能用“平面与平面平行的判定定理”证明一些简单的空间几何问题，培养和发展几何直观，体会空间几何之美。

教学重点：平面与平面平行的判定定理及应用。

2.

请设计一个引入新课的问题情境以展开新课的教学，并说明设计意图；正确答案：教师：上节课我们学习了直线与平面平行的判定，你能用学过的知识解决下面这个问题吗?

如图，在正方体ABCD-A'B'C'D'中，证明：B'D'∥平面C'BD。

请一位学生上黑板板演，其他学生在自己的座位上独立完成解答，完成后师生共同点评板演学生的证明过程，并一起回顾直线与平面平行的判定定理。

教师顺势提出思考问题：如果连接AD'，AB'，构成一个新的平面AD'B'，那么如何证明平面AD'B'∥平面BDC'呢?

【设计意图】通过一道例题，即帮助学生复习了直线与平面平行的判定定理，也为新课平面与平面平行的判定定理的教学展开作好铺垫，同时通过探索性问题的设置，有效激发了学生学习新课的积极性，有利于提高教学效果。

3.

请设计一个探索活动来探究该定理；正确答案：探究活动

①带领学生复习平面与平面平行的定义：两个平面没有公共点则两平面平行。指出：两个平面没有公共点则两平面平行，即一个平面内的所有直线与另一个平面都没有交点。结合前面所学的直线与平面平行的定义，可知一个平面内所有直线都平行于另一个平面则两平面平行。

②提出问题，引导学生自主探究新知。

问题1：平面内有无