教师资格认定考试高级中学数学真题2017年上半年

教师资格认定考试高级中学数学真题2017年上半年一、单项选择题1.

若，则下列表述正确的是______

A．

B．

C．

D．正确答案：A[解析]由函数极限的定义，若存在(a-δ，a+δ)，x≠a，有|f(x)-k|＜ε=k-r，即-(k-r)＜f(x)-k＜k-r，所以f(x)-k＞r-k，f(x)＞r，因此答案选A。

此题不选C，是因为题中未给出条件

2.

下列矩阵对应的线性变换为旋转变换的是______

A．

B．

C．

D．正确答案：D[解析]旋转变换公式为

3.

母线平行于x轴且通过曲线的柱面方程是______A.椭圆柱面3x2+2z2=16B.椭圆柱面x2+2y2=16C.双曲柱面3y2-z2=16D.双曲柱面y2-2z2=16正确答案：C[解析]由题干柱面方程母线平行于x轴可知柱而方程表达式中不含x，排除选项A，B，然后使用题中的两个曲面方程消去x2项，可知正确选项为C。

4.

若f(x)为连续函数，则下列命题不正确的是______

A．f(x)存在唯一的原函数

B．f(x)有无穷多个原函数

C．f(x)的原函数可以表示为

D．是f(x)的一个原函数正确答案：A[解析]因为f(x)连续，则存在原函数，记为y=F(x)。是f(x)的满足初始条件F(a)=0的原函数，却不是唯一的一个，此外对任意的实数r，都是f(x)的原函数。

5.

设A和B为任意两个事件，且，P(B)＞0，则______A.P(B)＜P(A|B)B.P(A)≤P(A|B)C.P(B)＞P(A|B)D.P(A)≥P(A|B)正确答案：B[解析]已知AB，则P(AB)=P(A)，因为1≥P(B)＞0，所以选择B。

6.

已知下列向量中为矩阵A的特征向量的是______

A．

B．(2，0，1)T

C．(-1，0，1)T

D．(0，0，1)T正确答案：C[解析]由题设知λ2，3=3。对于λ1=-1，(-E-A)x=0x=k1(1，0，-1)，k1≠0；对于λ2，3=3，(3E-A)x=0=x=k2(1，0，1)+k3(0，1，0)，k2，k3不同时为零。观察选项，应选C。

7.

与意大利传教士利玛窦共同翻译了《几何原本》(Ⅰ-Ⅵ卷)的我国数学家是______A.徐光启B.刘徽C.祖冲之D.杨辉正确答案：A[解析]1607年意大利传教十利玛窦和徐光启根据德国人克拉维乌斯校订增补的拉丁文本《欧几里得原本》合译了前6卷，定名为《几何原本》，这是我国最早的译本。

8.

有一个角是直角的平行四边形是矩形，这个定义方式属于______A.公理定义B.属加种差定义C.递归定义D.外延定义正确答案：B[解析]属加种差定义法的公式为：定义的概念=最邻近的属概念+种差。所谓种差，是在同一个属概念里，一个种概念与其他种概念之间本质属性的差别，叫做这个种概念的种差。因此选B。

二、简答题(每小题7分，共35分)已知椭圆方程2x2+y2+3z2=6。1.

求椭圆面上M(1，1，1)的切平面方程；正确答案：记f(x，y，z)=2x2+y2+3z2-6，则fx(1，1，1)=4x|(1，1，1)=4，fy(1，1，1)=2y|(1，1，1)=2，fz(1，1，1)=6z|(1，1，1)=6，则椭圆面上M(1，1，1)点的切平面方程为4(x-1)+2(y-1)+6(z-1)=0，即2x+y+3z=6。

2.

当k为何值时，上小题中所求的切面与平面5x+ky-4z=0互相垂直。正确答案：由题意知上小题中所求切面与5x+ky-4z=0垂直，则(2，1，3)⊥(5，k，-4)，2×5+k+3×(-4)=0，k=2。

已知向量组α1=(2，1，-2)T，α2=(1，1，0)T，α3=(t，2，2)T线性相关。3.

求t的值；正确答案：根据题意，设存在一组不全为零的常数k1，k2，k3，使得k1α1+k2α2+k3α3=0，

4.

求该向量组的一个极大线性无关组，并将其余向量用极大无关组线性表示。正确答案：对(α1，α2，α3)作初等行变换，有

则α1，α2或α1，α3或α2，α3为向量组的一个极大线性无关组，且以α1，α2为极大无关组的时候α3=-α1+3α2。

有甲、乙两种品牌的某种饮料，其颜色、气味及味道都极为相似，将饮料放在外观相同的6个杯子中，每种品牌各3杯，作为试验样品。5.

从6杯样品饮料中随机选取3杯作为一次试验，若所选饮料全部为甲种品牌，视为成功。独立进行5次试验，求3次成功的概率；正确答案：设A=“选取3杯饮料都是甲品牌”。

一次试验成功的概率为独立进行5次试验，服从二项分布

6.

某人声称他通过品尝饮料能够区分这两种品牌。现请他品尝试验样品中的6杯饮料进行品牌区分，作为一次试验，若区分完全正确，视为试验成功。他经过5次试验，有3次成功，可否由此推断此人具有品尝区分能力?说明理由。正确答案：该品尝者具备区分能力。

由上小题可知此随机试验成功的概率大概为千分之一，是小概率事件，基本可以排除偶然性，故此人具备区分两种品牌饮料的能力。

7.

《普通高中数学课程标准(实验)》用行为动词“了解”，“理解”，“掌握”，“应用”等描述知识与技能目标，请解释“了解函数奇偶性”的具体含义。正确答案：《义务教育数学课程标准(2011年版)》明确指出：了解是从具体实例中知道或举例说明对象的有关特征；根据对象的特征，从具体情境中辨认或者举例说明对象。因此，“了解函数的奇偶性”要求学生能够知道函数奇偶性，知道奇函数定义域和函数图象都关于原点对称的特点，且有函数式子f(-x)=-f(x)成立；知道偶函数定义域关于原点对称，图象关于)y轴对称，且有函数式子f(-x)=f(x)成立；学生能够从具体函数例子中分辨哪些是奇函数哪些是偶函数。

8.

书面测验是考量学生课程目标达成状况的重要方式，以“数列”一章为例，说明设计数学书面测验试卷应关注的主要问题。正确答案：(1)学生在学习数列这一章的时候应该掌握数列的概念，等差数列的概念、等差数列的通项公式及前n项和，等比数列的概念、等比数列的通项公式及前，n项和。在设计题型的时候，考查的知识点应包括以上知识点，达到全面性，以便宏观了解学生对本章知识的掌握程度。

(2)题型练习多样化，可以设置选择、填空、判断、解答多种形式；试题的难度要有梯度，照顾到不同学习层次的学生，以便了解全体学生对本章知识掌握的程度，指导今后的教学工作。

(3)题目设置在检测学生掌握本章知识的基础上，应有对重难点、易错点的考查。比如说“倒序相加法”“错位相减法”“裂项相消法”。

三、解答题(本大题10分)已知f(x)在[a，b]上连续，设，x∈[a，b]，证明1.

F(x)在[a，b]上连续；正确答案：证明：根据f(x)在[a，b]上是连续函数，则

根据

则F(x)在[a，b]上连续。

2.

F(x)在[a，b]上可导，且F'(x)=f(x)。正确答案：证明：根据导数的定义，

故F(x)在[a，b]上可导，且F'(x)=f(x)。

四、论述题(本大题15分)推理分为合情推理和演绎推理。1.

分别阐述合情推理和演绎推理的含义；正确答案：合情推理包括归纳推理和类比推理。归纳推理是南部分到整体、个别到一般的推理；由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理。类比推理是由特殊到特殊的推理，由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理。

演绎推理：演绎推理是由一般到特殊的推理。从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论。

2.

举例说明合情推理和演绎推理在解决数学问题上的作用，并阐述两者之间的关系。正确答案：合情推理：例如，在研究球体时，我们会自然想到圆，由于球与圆在形状上有类似的地方，即都具有完美的对称性，都是到定点的距离等于定长的点的集合，因此我们推测，对于圆的特征，球也可能具有，圆有切线，切线与圆只交于一点，切点到圆心的距离等于圆的半径等。

演绎推理在学习重要不等式的证明、三角函数变换等内容都有涉及。

从形式上看，合情推理是南部分到整体、个别到一般、特殊到特殊的推理；而演绎推理是由一般到特殊的推理过程。从结论上看，合情推理的结论不一定正确，但演绎推理的结论一定正确。合情推理和演绎推理的主要区别是思维进程的不同，比如合情推理中的归纳推理的思维进程是从个别到一股，而演绎推理的思维进程是从一般到特殊，是一个必然得出的思维进程。合情推理和演绎推理有着紧密的联系，一方面，归纳、类比推理的可靠性不仅要用许多实例去验证，而且也要用较一般的原理、较一般的规律去验证(即用演绎法来验证)；另一方面，演绎的前提是过去通过归纳得出的。任何一门科学的发展都有一个通过观察、试验而积累材料的阶段。当材料积累到一定程度，就要整理材料，从中概括出普遍性的结论，即提出假说、定理、定律或公式。

就数学学习与教学而言，合情推理与演绎推理是相辅相成的。

五、案例分析题(本大题20分)案例：

在学习《平面向量》后，某数学教师安排了如下一道选择题：

若非零向量a，b满足|a-b|=|b|，则______

A．|2b|＞|a-2b|

B．|2b|＜|a-2b|

C．|2a|＞|2a-b|

D．|2a|＜|2a-b|

以下是三位学生的解法：

学生1：已知|a-b|=|b|，则a-b=±b，又因为a是非零向量，可知a=2b。因此选A。

学生2：已知|a-b|=|b|，则|a-b|2=|b||a-b|(a-b)2=b(a-b)，化简后有a2-3ab+2b2=02=b或a=2b，又因为b为非零向量，舍去a=b。

所以|2b|＞|a-2b|=0，选A。

学生3：已知|a-b|=|b|，所|a-b|2=|b|2(a-b)2=(b)2a2=2aba=2b。所以

|2b|＞|a-2b|=0，选A。

问题：1.

如果你是这位数学老师，请指出这三种解法存在的错误；正确答案：学生1在解答过程中只关注了a-b与b同向或反向时，在两个向量模长相等时a与b满足的关系，但是忽略了a-b与b两个向量不共线的情况。学生2在解答过程中虽然注意到向量模长的性质，即|a|2=a·a，但是在化简过程中把向量的数量积与实数的乘法产生了混淆。学生3在解答过程中忽略了向量数量积的性质，即a·b=|a|·|b|cosθ，其中θ为两向量的夹角。

2.

请你从已知条件|a-b|=|b|出发，通过数形结合，引导学生给出一种正确的解法；正确答案：向量的线性运算不仅涉及向量的长度还涉及向量的方向，因此提出以下问题串引导学生思考：

问题1：向量在进行线性运算加减法的时候，满足什么样的运算法则呢?

问题2：三角形法则与平行四边形法则，两种法则在计算过程中应根据向量的何种特征进行合理的选择呢?

问题3：现在我们将a与b分两种情况进行讨论：①两向量共起点时，②两向量首尾相连时，两种情况下分别对两个向量进行减法的线性运算。现在大家动起手来一起在纸上画一画a与b满足何种位置关系时，能够使得|a-b|=|b|。我们又可以借助哪些特殊的图形对两个向量的位置关系进行描述呢?

问题4：两种情况最终都可以用等腰三角形这样的图形进行概括描述，如图，在等腰三角形ABC中，其中那么接下来，大家继续借助等腰三角形ABC，在其基础上画出2b与a-2b，那么你可以发现什么结论呢?继续画出2a与2a-b，那么你又可以发现什么结论呢?

结论：根据三角形内任意两边和大于第三边可以得出|2b|＞|a-2b|，2a与2a-b的关系无法判断，应选A。

3.

针对学生在向量运算中的错误，请写出实数运算与向量运算的不同点(至少写出三点)。正确答案：向量运算与实数运算的本质区别在于，向量运算不仅涉及向量的长度，还涉及向量的方向。

向量的线性运算与实数运算虽然在运算过程中均满足：交换律、结合律、分配律，但是向量线性运算结果为向量，实数的运算结果为实数。

向量的数量积与实数运算虽然在运算过程中均满足：交换律、分配律且运算结果均为实数，但实数的乘法满足消去律，向量的数量积则不满足。

在实数运算中若a≠0且ab=0则b=0，但在向量运算中若a≠0且ab=0则有两种情况b=0或a⊥b。

六、教学设计题(本大题30分)单调性是函数的基本性质之一，针对高中函数的单调性中“增减”函数概念的教学完成以下任务：1.

给出“增减”函数在教学中的重点，难点；正确答案：结合上述教学要求，将“增减”函数概念形成过程中的重难点确立如下：

重点：理解函数单调性的概念；

难点：归纳抽象函数单调性的定义。

2.

说明“增减”函数的定义；正确答案：高中函数单调性中增减性的研究是对初中相关内容的进一步深化和提高，具体给出了函数在某个区间是增函数或减函数的定义：设函数f(x)在D上有定义，对任意x1，x2D且x1＜x2，都有f(x1)＜f(x2)(或f(x1)＞f(x2))，则称f(x)是D上的增函数(或减函数)。增函数或减函数都称为单调函数。

若D是区间，就称D是函数的单调区间。

其定义的要点：

①函数的单调性是相对某个区间来说的；

②在“增减”函数形式化定义的形成过程中要注重从特殊到一般的过渡，也就是对定义中“任意”的理解。

3.

根据上小题中的定义设计教学方案。正确答案：活动一：展示学生熟悉的一次函数y=x和二次函数y=x2，给出函数图象，让学生从图象上获得“上升”“下降”的整体认识。

提问1：观察下图，它们的图象有什么规律，它反映了相应的函数值的哪些变化规律?