2024年5月广东省高三适应性考试数学试卷（含答案）

高三数学

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂

黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在

曲

答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.本试卷主要考试内容:高考全部内容。

展一、选择题:本题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.

施1.双曲线犬一号=1的离心率为

廓A.氐B.2C.A/6D.3

2.已知集合A=(y])=5，｝,B=｛z|H2-4zV5｝』UAUB=

毂

A.(l,+oo)B.(0,5)

C.(-l,+oo)D.(-l,0)U(0,+oo)

3.某公司10月23日,10月30日、11月6日、11月13日、11月20日、11月27日这6天员工的

■E

出勤率的折线图如图所示,则下列判断正确的是

器

鼐

一出勤率

国

际

A.这6天员工的出勤率呈涕增趋势B.这6天员工的出勤率呈递减趋势

C.这6天员工的出勤率的极差大于0.15D.这6天员工的出勤率的中位数小于0.85

4.(8-展开式中系数为有理数的项共有

A.2项B.3项C.4项D.5项

5.在四面体ABCD中，平面ABDJ_平面BCD,AB=AD=4,且BC=CD=BD=2,则四面体

ABCD的体积为

A.2B.6C.V5D.3/

孙6.若函数，(工)的图象与圆C：/+，=4恰有4个公共点，则/(公的解析式可以为

A./(x)=||x|-2|B.f{x')=xl-2\x\

C./(H)=|2-2|RJQ)=|lg#]

【高三数学第1页(共4页)】♦24-50SC-

7.一箱苹果共有12个苹果，其中有“（2<n<7）个是烂果，从这箱苹果中随机抽取3个,恰有2

个烂果的概率为筌则

DO

A.3B.4C.5D,6

8.P是Z\ABC内一点,NABP=45°,/PBC=NPCB=NACP=30°,则tan/BAP=

A.4B-yC-D,T

二、选择题:本题共3小题,每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知。为非零实数，复数z1=a+；,Z2=l-i,则

A.Z1Z2的虚部为a—5B.|zi|的最小值为笈

C.之/2的实部为a+5D.当a=l时,zi%为纯虚数

10.刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定:多面体顶点的

曲率等于2K与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，

角度用弧度制.例如:正方体每个顶点均有3个面角，每个面角均为胃,故其各个顶点的曲率

均为2L3X}=}.如图，在直三棱柱ABC-A1BC中,AC=BC=2,AA1=£,点C的曲

率为冷,D,E,F分别为AC,AB,A£的中点，则

O

A.直线BF〃平面AiDE

B.在三棱柱ABC-A】BC中，点A的曲率为邺

C.在四面体AADE中，点E的曲率小于7T

D.二面角Ay-DE-A的大小为年

11.已知4为方程工3+7—1=0的根为方程/+%—1=0的根，则

与〈力】

A.1+12+12B,2<—X\+—Xz<4

C.x\Vi2D.xi>J：Iex2

三、填空题:本题共3小题,每小题5分，共15分.

12.将函数、=4sin9x的图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变，得到函数、=

fCr）的图象，则f（幻的最小正周期为▲，f（普）=▲

13.已知圆A：（i+l）2+y2=i内切于圆P,圆P内切于圆B：Gc-l）2+y2=49,则动圆p的圆

心的轨迹方程为一A一•

14.设向量6直=（1，幻，3^=（2，幻，则cos〈PA,P5〉的最小值为▲,

【高三数学第页（共页）】

24・21次

四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（13分）

设函数f（z）=e，（工一cosz）.

（D求曲线、=/（工）在点（0,7（0））处的切线方程；

（2）求/（外在［0,用上的最大值和最小值.

16.（15分）

如图，在三棱锥A-BCD中，平面ABDJ_平面BCD,AB=AD=3,BC=CD=4.

（D证明:AC_LBD.

（2）若BD=4V2,E为CD的中点，求直线AE与平面ABC所成角的正弦值.

17.（15分）

已知抛物线。：：/=2力：（力＞0）的焦点为F,过点F且斜率为2的直线I与C交于A,B两

点，且IAB|=10.

（1）求C的方程；

（2）过点B作n轴的平行线B尸（P是动点，且异于点B）,过点F作AP的平行线交,于M，

N两点，证明：|PA|2=|MN|•\AB\.

【高三数学第3页（共4页）】•24-508C*

1&（17分）

如图,开车从A站到E站有3条路线.甲、乙、丙路线分别为AfB-C-＞。④

~*E,A-^B-^C-^G—E.A-^B^F^G-^E.开车从A站到B站需要3分钟，

从C站到D站需要2分钟，从F站到G站需要2分钟，从C站到G站需要,苧

2.5分钟，从B站到C站需要“分钟，从B站到F站需要“分钟，从G站到,'

E站需要4分钟，从D站到E站需要乙分钟，受路上的红绿灯影响出“2山山都是随屣

址,且分布列如下（OVaVD.

22.5，21.52.5h2323

P0.40.6P0.50.5Pm1-mP0.50.5

（1）若选择甲路线，开车从A站到E站的总时间为X分钟，求X的分布列；

（2）小张从这3条路线中选择1条,他在每站选择前进的方向时，都会等可能地选择其中一

个方向，在他开车经过C站的前提下，若他开车从C站到E站的总时间少于5分钟的概

率为0.4,求机的值；

（3）以各条路线开车需要的总时间的期望为依据，若三条路线中只有丙路线最快捷，求利的

取值范围.

19.（17分）

已知5+12"+】一42"｝是公差为2的等差数列，数列｛an｝的前n项和为S„，且右=y，生=2.

（D求储力的通项公式；

（2）求S.；

（3）[力表示不超过z的最大整数，当〃）归时,[S」是定值，求正整数%的最小值・

【高三数学第4页（共4页）】,24-508C•

高三数学参考答案

1.c【解析】本题考查双曲线的离心率,考查数学运算的核心素养.

e=J1+/=，］+5=娓.

2.C【解析】本题考查集合的并集，考查数学运算的核心素养.

因为A=（0,+8）,B=Q|-,所以AU8=（—1,+8）.

3.D【解析】本题考查统计中的折线图与极差、中位数,考查数据处理能力.

由图可知，这6天员工的出勤率有增也有减，所以A,B均错误.这6天员工的出勤率按照从

小到大的顺序排列为0.776,0.8077,0.8333,0.86,0.895,0.92,所以这6天员工的出勤率的

极差为0.92-0.776=0.144,中位数为加3（0.86<0.84；0.86=0.85,C错误,D正确.

4.D【解析】本题考查二项式定理，考查逻辑推理的核心素养.

展开式中的第1项、第3项、第5项、第7项、第9项的系数均为有理数.

5.C【解析】本题考查立体几何中的垂直关系与几何体的体积，考查直观想象与数学运算的核

心素养.

取BD的中点E,连接AE.因为AB=AD,所以AE±BD.又平面ABDJ_平面

BCD,平面ABDCI平面BC0=BD,所以AE_L平面BCD因为AB=AD=4,B。

=2,所以AE=餐,所以四面体ABCD的体积V=VABCD=4

X22X715=75.

6.D【解析】本题考查函数的图象与圆的交汇,考查直观想象的核心素养.

作出？=||力一2|,?=|2/一2|的图象，如图1所示，作出2L|,y=|馆了的图象,

如图2所示，由图可知,/（工）=11g〃|满足题意.

7.B【解析】本题考查超几何分布，考查数学运算的核心素养.

%（九一1）（12—九）

依题意可得&界=鬻,即i2x（xio=驾，整理得/—13%+36=0,解得九=4或9,

6

因为20r<7,所以w=4.

【高三数学•参考答案第1页（共6页）】•24-508C•

8.D【解析】本题考查正弦定理与三角恒等变换，考查直观想象与数学运算的核心素养.

设NBAP=a,因为NPBC=NPCB,所以BP=CP.

由正弦定理可得薪sin45°AP=sin300

sina9CPsin(45°—a)

^.[Sin450_sin300

入sinasin(45°—a)

cosa-sina)=jsina

痴a4日人sina1

解行tana一后另一^

9.BC【解析】本题考查复数的运算、概念与基本不等式，考查数学运算的核心素养.

|4|=」/+1》^,当且仅当&=土1时，等号成立，所以|次|的最小值为一,B正确.

Z1Z2

V

—a+~+(——a)i,A错误,C正确.当a=l时,ZIZ2=2,D错误.

aa

10.ABD【解析】本题考查新定义与点、线、面的位置关系，考查数学抽象、直观想象、数学运算

的核心素养.

取A11的中点G,连接BG,FG.因为，E,F分别为AC,AB,AG的

中点,所以可证平面BFG〃平面4DE,因为BFU平面BFG,所以直线

BF〃平面AiDE,A正确.

在直三棱柱ABC-A1BC1中,CGJ_平面ABC,则CG，AC,CG，BC,

所以点C的曲率为2TC—2X合一，解得/ACB="，因为AC

乙，V

=BC,所以NCAB=,所以点A的曲率为2L2芍一1涔B正确.

连接CE,易证CE_L平面ABBiA,则CE±A,E,所以N&ED<ZA.EC=费，又

乙

_3_

tanNAEA=^=^=g<l,所以NAiEA<于，在四面体AiADE中，点E的曲率为2“

—NAED—NAiEA一乎—1*>n,C错误.

过A作AHJ_ED的延长线,垂足为连接AiH,则AHJ_DE,则为二面角A,-DE-A

的平面角，通过廿算得AH哲，则tanNAHA尸第M，所以NAH4,D正确.

乙Ario

11.BCD【解析】本题考查方程的根与不等式的交汇，考查逻辑推理的核心素养.

设/'(x)=Z3+x—1/(了)=%5+%—],易知f(x),g(x)均在R上单调递增.由f(0)/(DV

0，g(0)g(l)<。,可得也，了2G(0,1)，则(1—亚)(1—«2)>0,整理得1+阳了2>Z1+%2,A不

正确.由/■(1)/■⑴V0,g©)g⑴V0,可得XI,也则工工€(L2),从而2<—

乙乙乙0C2

+工<4,B正确.由;d+◎—1=0,可得1一次=篇.因为生£(0,D,所以总〈言，则1一死

【高三数学•参考答案第2页(共6页)】•24-508C•

〈与，即总+&t>0,即y（x2）>/（xx），则须<生,c正确.令乂为=%，则h\x）=

1——7，1

T，当卫£（一8,1）时,，（2）>0,7Gc）单调递增.因为阳，泾小春，1）,且:C1V泾，所以

e1乙

九（81）<八（12），即含V普，从而82日〉血12,D正确.

12.冬；一2【解析】本题考查三角函数图象的变换与三角函数的周期，考查逻辑推理与数学运

V

算的核心素养.

依题意得FO）=4sin31,则/（工）的最小正周期丁=等,/（沿=4sin圣=-4sin*2.

Olo00

13.卷+卷=1【解析】本题考查椭圆的定义以及圆与圆的位置关系，考查直观想象与数学运

算的核心素养.

设圆P的半径为R,则|PA|=RT,|PB|=7-RM|PA|+|PB|=6>|AB|=2,

所以点P的轨迹为以A,B为焦点，长轴长为6的椭圆.因为2a=6,c=l,所以a=3,b2=az

『2=8,所以动圆P的圆心的轨迹方程为<+4=1.

yo

14.吗【解析】本题考查平面向量的夹角公式，考查逻辑推理的核心素养以及化归与转化的

0

数学思想.

cosa,&〉=-，2+^令2+/=寅£>2),贝！］工2=£-2,

/a2+l)U2+4)

___________］

所以cos<Q^,0§>=:

（（力一i）a+2）

当*=即£=4时,cos〈谈，越〉取得最小值，且最小值为零.

LTC0

15.解：(1)因为—(o^neHGc—cosG+eYl+sin］)=1(%—cosx+1+sin%),....2分

所以/(0)=0,...........................................................3分

又八0)=—1,...........................................................4分

所以曲线y=f(外在点(0"(0))处的切线方程为？=-1......................5分

(2)由(1)可知Gc)=e，(x—cosx+l+sinx).

令g(.x)=x-cosx+l+sinz,贝!jg(x)=l+sinx+cosx,.....................6分

当zG［0,式［时,sinz>0,l+cosx>0,所以g'Cz)>0,.........................8分

所以gQ)在［0,*上单调递增.................................................9分

当］£［0,式1时,gQ9》g(0)=0,即F'Q)30,所以义工)在［0,穴］上单调递增，……n分

所以fG)的最大值为f(n)=e*(7t+D,.....................................12分

八为的最小值为/•(())=-1..............................................13分

16.Q)证明:取BD的中点O,连接AO,CQ...................................1分

【高三数学•参考答案第3页（共6页）】,24-508C•

因为AB=AD=3,BC=CD=4,所以AO，BD,COJ_BD,.....................3分

又Aonco=o,.........................................................4分

所以BDJ_平面AOC,.....................................................5分

因为ACU平面AOC,所以ACLBD.......................................6分

(2)解:以O为坐标原点，求的方向为z轴的正方向，建立如图所y

示的空间直角坐标系，则A(0,0,D,C(29,0,0),后(9,含,0),

B(0,-2A/2,0),...................................8分3^^^/

则屈=(0,-2畲，-1),正=(25/^,0,-1),屈=(9,四，头:

-D............................................9分

设平面ABC的法向量为〃=Q,“z),

_—>f-2A/2y—2=0,

贝!]〃••AC=O,即4.................................10分

\2^/2x—z=09

令了=1,得〃=(1,一1,29)..............................................n分

由Icos6击〃〉|=2成—=辇=看........................................14分

75X-/105g5

得直线AE与平面ABC所成角的正弦值为名..................................15分

0

17.⑴解：设A(X1,”)，BGC2,“).

因为点F的坐标为(冬0),所以Z：y=2G一务=2了一”.........................1分

乙乙

由,''得4"2—6/8+/2=0,.........................................2分

[y=2x—p9

贝！j乃+12=华=华，.........................................................3分

从而IAB|=&+g+/=¥=10,...........................................5分

乙

得力=4,所以C的方程为*=8m...........................................6分

(2)证明：因为点F的坐标为(2,0)，直线MN的斜率不为0,所以设直线MN的方程为x=

my-\-2..................................................................7分

fv2=8x,

设M(%3,3/3),N(%4,)4)，由]ic可得心一8叫y—16=0,.................8分

1%=加)十2,

则产…，..............................................................9分

1)3?4=~16,

2=2

所以|MN|=-s/l+m|y3—3/41，1+於｛（2+丁）一4）3»4=，1+於•A/64m+64=

8（1+症）,..................................................................11分

由(D可知，1g—2I=2|了1—由1=2,(为+了2)2—4亚兄2=2，62—4?=4西，...12分

因为点A,尸的纵坐标分别为g,y2,且AP〃MN,所以|PA|=71W一及1=475•

【高三数学，参考答案第4页(共6页)】•24-508C-

A/I+TW2,............................................................................................................................13分

可得嚼g=袈总？=10=1AB|,即|PA|2=|MN|.\AB\...............................15分

18.解：(DX的可能取值为9,9.5,10,10.5,

尸(X=9)=0.4X0.5=0.2,P(X=9.5)=0.6X0,5=0.3,........2分

P(X=10)=0.4X0.5=0.2,P(X=10.5)=0.6X0,5=0.3,......................................4分

则X的分布列为

X99.51010.5

P0.20.30.20.3

..........................................................................................................................................5分

(2)若他开车经过C站,则他选择的路线是甲路线或乙路线，记选择甲路线为事件M,选择

乙路线为事件N,则P(AD=P(N)=0.5,......................................................................6分

若他开车从C站到E站的总时间少于5分钟，则行=2或4=2,..................................7分

所以由全概率公式得aP(M)+0.5尸(N)=0.5/n+0.25=0.4,解得机=0.3............9分

(3)设选择乙路线开车从A站到E站的总时间为Y分钟，

P(Y=3+2+2.5+2)=F(Y=9.5)=0.4m,

P(Y=3+2+2.5+3)=P(Y=10.5)=0.4(l-m),......................................................10分

P(Y=3+2.5+2.5+2)=P(Y=10)=0.6m,

P(Y=3+2.5+2.5+3)=P(V=ll)=0.6(1—相)，.............................11分

则E(Y)=9.5X0.4m+10.5X0.4(1一根)+10X0.6m+llX0.6(l-m)=10.8—m....

............................................................................................................................12分

设选择丙路线开车从A站到E站的总时间为Z分钟，

P(Z=3+1.5+2+2)=尸(Z=8.5)=0.5m,

3+1.5+2+3=3+2.5+2+2=9.5,P(Z=9.5)=0.5(1—m)+0.5m—0.5,...........13分

P(Z=3+2.5+2+3)=P(Z=10.5)=0.5(l-m),......................................................14分

则E(Z)=8.5X0.5/n+9.5X0.5+10.5X0.5(1一帆)=10—a...............................15分

若三条-路线中只有丙路线最快捷，则《fE(Z)<E(X),

fio-m<o,2X(9+10)+0.3X(9.5+10.5),

即1..........................................................16分

[10—m<C10.8—m,

又0<帆<1,所以0.2<a<l,即m的取值范围是(0.2,1)...........................................17分

19.解：(1)设AnawiZ-i-a/"，贝！j瓦=&・不一%・公=8-3=5...................................1分

因为｛6,是公差为2的等差数列,所以儿=5+2(九一1)=2驾+3...................................2分

设c»=a”・2",则c1=3,bn=cn+1—cn=2n+3,

所以Cn=Ci+(C2—C1)+(C3-C2)H----F(C„—CB-i)

3+2n1

=3+5+7H-----1-(2n+l)=<+>-g=n2+2n...................................................5分

【高三数学•参考答案第5页（共6页）】•24-508C•

n2+2n3n2+2n

所以a•2"=精+2"，即a=，又。1=区，所以a6分

nn2"n2n

（2）（方法一）因为S.=空+变+…+容3,

乙乙乙

所以白尸耍+学+…+嗡％........7分

两式相减得=梳+微■+爰■+…+2n+l_TO24_2M

5szi分

2"2al.8

”T__3__|__5__I7।।2n+l

fe.Tn-।£3।•**I,

则/T"=成"+£+：•^---42*I

两式相减得方聋:皮•+奈+1-2__2"+2

9分

2"2小

1—（—）n—1

=-j-+Tx'22n+l52n+5

-

乙乙1-12"十】22"+】，

2n+5

则r„=511分

2",

所以4s=52%+5