山东省济宁市2025届高三数学下学期第五次线上考试试题含解析

PAGE22-山东省济宁市2025届高三数学下学期第五次线上考试试题（含解析）一、选择题1.设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】分别解对数不等式，一元二次不等式求出集合A,B，干脆进行交集运算.【详解】因为，或，所以.故选：D【点睛】本题考查集合的交集运算，涉及对数不等式、一元二次不等式，属于基础题.2.已知复数，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用复数除法、加法运算，化简求得，再求得【详解】，故.故选：B【点睛】本小题主要考查复数的除法运算、加法运算，考查复数的模，属于基础题.3.设，，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用“分段法”比较出三者的大小关系.【详解】因为，，，所以.故选：C【点睛】本小题主要考查指数、对数比较大小，属于基础题.4.函数的最小正周期为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用降次公式化简表达式，再由此求得最小正周期.【详解】因，所以最小正周期为.故选：D【点睛】本小题主要考查三角函数降次公式，考查三角函数最小正周期的求法，属于基础题.5.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】依据对数函数的定义域及单调性，可得的关系，结合充分必要条件性质即可推断.【详解】若，依据对数函数的定义域及单调性可知，可得，因而具有充分关系；若，则，当时对数函数无意义，因而不具有必要性；综上可知“”是“”的充分不必要条件故选：A.【点睛】本题考查了充分必要条件的定义域推断，对数函数与图像性质的应用，属于基础题.6.已知抛物线：的焦点为，为上一点且在第一象限，以为圆心，为半径的圆交的准线于，两点，且，，三点共线，则（）A.16 B.10C.12 D.8【答案】C【解析】【分析】依据题意可知，利用抛物线的定义，可得，所以．【详解】解：因为，，三点共线，所以为圆的直径，．由抛物线定义知，所以．因为到准线的距离为6，所以．故选：．【点睛】本题考查抛物线的性质，抛物线的定义，考查转化思想，属于中档题．7.已知函数是偶函数，当时，，则曲线在处的切线方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先依据函数的奇偶性，求得当时，的解析式，然后求得切点坐标，利用导数求得斜率，从而求得切线方程.【详解】因为，，，，，所以曲线在处的切线方程为，即.故选：A【点睛】本小题主要考查依据函数奇偶性求函数解析式，考查利用导数求切线方程，属于基础题.8.在四面体中，且，，，所成的角为30°，，，，则四面体的体积为()A.8 B.6 C.7 D.5【答案】D【解析】【分析】先求出的面积，再求出点到面的距离，然后结合棱锥体积公式求解即可.【详解】解：由题意，如图所示，，，过点作的平行线，则平面，且为30°或150°，从点向作垂线，垂足为，易证平面.则点到平面的距离，，则四面体的体积为.故选：D.【点睛】本题考查了棱锥的体积公式，重点考查了运算实力，属中档题.二、填空题9.已知向量，的夹角为，则__________.【答案】【解析】【分析】利用两个向量夹角计算公式，求得的值，再依据同角三角函数的基本关系式求得的值.【详解】依题意，所以.故答案为：【点睛】本小题主要考查向量夹角的坐标运算，考查同角三角函数的基本关系式，属于基础题.10.（2x3）8的绽开式中常数项是_____.（用数字表示）【答案】112【解析】【分析】依据二项式（2x3）8的绽开式的通项公式进行求解即可.【详解】（2x3）8的绽开式的通项为：Tr+1＝C8r（2x3）8﹣r（）r＝28﹣r（﹣1）rC8rx24﹣4r，令24﹣4r＝0，解得r＝6，则（2x3）8的绽开式中常数项是28﹣6（﹣1）6C86＝112，故答案为：112.【点睛】本题考查了利用二项式的通项公式求二项式绽开式中的常数项，考查了数学运算实力.11.左手掷一粒骰子，右手掷一枚硬币，则事务“骰子向上为6点且硬币向上为正面”的概率为_____．【答案】【解析】【分析】分别求得骰子向上为6点和硬币向上为正面的概率，由独立事务概率公式即可求解.【详解】骰子向上为6点的概率为；硬币向上为正面的概率为；由独立事务概率公式可知“骰子向上为6点且硬币向上为正面”的概率为，故答案为：.【点睛】本题考查了古典概型概率求法，独立事务概率乘法公式应用，属于基础题.12.已知抛物线的准线与x轴的交点为H，点F为抛物线的焦点，点P在抛物线上且，当k最大时，点P恰好在以H，F为焦点的双曲线上，则k的最大值为_____，此时该双曲线的离心率为_____．【答案】(1).1(2).【解析】【分析】画出抛物线，过作抛物线准线于，连接，设直线的倾斜角为，由抛物线定义可得，由题意当k最大时，取得最小值.而当取得最小时，直线与抛物线相切，设出直线方程，联立抛物线可求得，进而得切点坐标，即可由双曲线定义及几何性质求得离心率.【详解】依据题意画出抛物线，过作抛物线准线于，连接.由抛物线定义可知，由，（），设直线的倾斜角为，则，可得，当k最大时，取得最小值，且，当取得最小值时直线与抛物线相切，设直线的方程为，则，化简可得，因为直线与抛物线相切，则，解得，由可得，同时可得切点横坐标为，将切点横坐标带入抛物线可得，因为点P恰好在以H，F为焦点的双曲线上，由双曲线定义及两点间距离公式可得，，所以双曲线离心率为，故答案为：1；.【点睛】本题考查了抛物线定义及几何性质的应用，双曲线定义及几何性质应用，直线与抛物线相切位置关系的应用，属于中档题.三、多项选择题13.一组数据，，，…，的平均值为7，方差为4，记，，，…，的平均值为a，方差为b，则（）A. B. C. D.【答案】BD【解析】【分析】依据所给平均数与方差，可由随机变量均值与方差公式求得，进而求得平均值为a，方差为b.【详解】设，数据，，，…，的平均值为7，方差为4，即，由离散型随机变量均值公式可得所以,因而，，，…，的平均值为；由离散型随机变量的方差公式可得所以,因而，，，…，的方差为，故选：BD.【点睛】本题考查了离散型随机变量均值与方差公式的简洁应用，属于基础题.14.设为三条不同的直线，为两个不同的平面，则下面结论正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.，则【答案】C【解析】【分析】依据线线、线面、面面位置关系，对选项逐一分析，由此确定结论正确的选项.【详解】A选项中，可能异面；B选项中，也可能平行或相交；D选项中，只有相交才可推出.C选项可以理解为两个相互垂直的平面，它们的法向量相互垂直.故选：C【点睛】本小题主要考查线线、线面和面面位置关系命题真假性推断，属于基础题.15.在三棱锥D-ABC中，，且，，M，N分别是棱BC，CD的中点，下面结论正确的是（）A. B.平面ABDC.三棱锥A-CMN的体积的最大值为 D.AD与BC肯定不垂直【答案】ABD【解析】【分析】依据题意画出三棱锥D-ABC，取中点，连接：对于A，依据等腰三角形性质及线面垂直判定定理可证明平面，从而即可推断A；对于B，由中位线定理及线面平行判定定理即可证明；对于C，当平面平面时，三棱锥A-CMN的体积最大，由线段关系及三棱锥体积公式即可求解；对于D，假设，通过线面垂直判定定理可得冲突，从而说明假设不成立，即可说明原命题成马上可.【详解】依据题意，画出三棱锥D-ABC如下图所示，取中点，连接：对于A，因为，且，，所以为等腰直角三角形，则且，则平面，所以，即A正确；对于B，因为M，N分别是棱BC，CD的中点，由中位线定理可得，而平面，平面，所以平面，即B正确；对于C，当平面平面时，三棱锥A-CMN的体积最大，则最大值为，即C错误；对于D，假设，由,且,所以平面，则，又因为，且，所以平面，由平面，则，由题意可知，因而不能成立，因而假设错误，所以D正确；综上可知，正确的为ABD，故选：ABD.【点睛】本题考查了空间几何体性质及综合应用，三棱锥体积公式，线面平行、线面垂直的判定定理及性质应用，属于中档题.16.定义：若函数在区间上的值域为，则称区间是函数的“完备区间”，另外，定义区间的“复区间长度”为，已知函数，则（）A.是的一个“完备区间”B.是的一个“完备区间”C.的全部“完备区间”的“复区间长度”的和为D.的全部“完备区间”的“复区间长度”的和为【答案】AC【解析】【分析】依据定义，当时求得的值域，即可推断A；对于B，结合函数值域特点即可推断；对于C、D，探讨与两种状况，分别结合定义求得“复区间长度”，即可推断选项.【详解】对于A，当时，，则其值域为，满意定义域与值域的范围相同，因而满意“完备区间”定义，所以A正确；对于B，因为函数，所以其值域为，而，所以不存在定义域与值域范围相同状况，所以B错误；对于C，由定义域为，可知，当时，，此时，所以在内单调递减，则满意，化简可得，即，所以或，解得（舍）或，由解得或（舍），所以，经检验满意原方程组，所以此时完备区间为，则“复区间长度”为；当时，①若，则，此时.当在的值域为，则，因为，所以，即满意，解得，（舍）.所以此时完备区间为，则“复区间长度”为；②若，则，，此时在内单调递增，若的值域为，则，则为方程的两个不等式实数根，解得，，所以，与冲突，所以此时不存在完备区间.综上可知，函数的“复区间长度”的和为，所以C正确，D错误；故选：AC.【点睛】本题考查了函数新定义的综合应用，由函数单调性推断函数的值域，函数与方程的综合应用，分类探讨思想的综合应用，属于难题.四、解答题17.在①，②，③三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若_____，且a，b，c成等差数列，则是否为等边三角形？若是，写出证明；若不是，说明理由．注：假如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】①；证明见解析【解析】【分析】选择①：由余弦降幂公式代入即可求得，结合a，b，c成等差数列可得，，代入余弦定理公式，即可得，结合等式可求得，进而证明为等边三角形.【详解】选择①，证明：则由余弦降幂公式可得，即，由可得，又因为a，b，c成等差数列，则B为锐角，则，，由余弦定理可知，代入可得，即，则，化简可得，即，又因为，所以为等边三角形.【点睛】本题考查了三角函数解析式的化简应用，余弦降幂公式化简三角函数式，余弦定理解三角形，等差中项性质的应用，综合性较强，属于中档题.18.已知数列满意．（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，证明：．【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1），①当时，，②两式相减即得数列的通项公式；（2）先求出，再利用裂项相消法求和证明.【详解】（1）解：，①当时，．当时，，②由①-②，得，因为符合上式，所以．（2）证明：因为，所以．【点睛】本题主要考查数列通项的求法，考查数列求和，意在考查学生对这些学问的理解驾驭水平.19.如图，在四棱锥中，是边长为4的正方形，平面，分别为的中点.（1）证明：平面.（2）若，求二面角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）记的中点为，连接，，通过证明，且推出四边形为平行四边形，则，由线线平行推出线面平行；（2）以为原点建立空间直角坐标系，分别求出平面、平面的法向量，代入即可求得二面角的余弦值从而求正弦值.【详解】（1）证明：记的中点为，连接，.因为分别为的中点，则，且.因为，且，所以，且，所以四边形为平行四边形，则.又平面，平面，所以平面.（2）以为原点，分别以，，为轴、轴、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，设平面的法向量，则令，则.设平面的法向量为，则令，则.，设二面角为，则，即二面角的正弦值为.【点睛】本题考查线面平行的证明，空间向量法求二面角的余弦值，属于中档题.20.生男生女都一样，女儿也是传后人.由于某些地区仍旧存在封建传统思想，头胎的男女状况可能会影响生二孩的意愿，现随机抽取某地200户家庭进行调查统计.这200户家庭中，头胎为女孩的频率为0.5，生二孩的频率为0.525，其中头胎生女孩且生二孩的家庭数为60.（1）完成下列列联表，并推断能否有95%的把握认为是否生二孩与头胎的男女状况有关；生二孩不生二孩合计头胎为女孩60头胎为男孩合计200（2）在抽取的200户家庭的样本中，依据分层抽样的方法在生二孩的家庭中抽取了7户，进一步了解状况，在抽取的7户中再随机抽取4户，求抽到的头胎是女孩的家庭户数的分布列及数学期望.附：0.150.050.010.0012.0723.8416.63510.828（其中）【答案】（1）见解析，有95%的把握认为是否生二孩与头胎的男女状况有关.（2）分布列见解析，【解析】【分析】（1）依据题目所给数据，计算并填写出列联表，计算出的值，由此推断出有95%的把握认为是否生二孩与头胎的男女状况有关.（2）利用超几何分布分布列和数学期望计算公式，计算出所求的分布列及数学期望.【详解】（1）因为头胎为女孩的频率为0.5，所以头胎为女孩的总户数为.因为生二孩的概率为0.525，所以生二孩的总户数为.列联表如下：生二孩不生二孩合计头胎为女孩6040100头胎为男孩455510合计10595200，故有95%的把握认为是否生二孩与头胎的男女状况有关.（2）在抽取的200户家庭的样本中，依据分层抽样的方法在生二孩的家庭中抽取了7户，则这7户家庭中，头胎生女孩的户数为4，头胎生男孩的户数为3，则的可能取值为1，2，3，4.；；；.的分布列为1234.【点睛】本小题主要考查列联表独立性检验，考查超几何分布的分布列和数学期望的计算，属于基础题.21.已知分别为椭圆的左、右焦点，为该椭圆的一条垂直于轴的动弦，直线与轴交于点，直线与直线的交点为.（1）证明：点恒在椭圆上.（2）设直线与椭圆只有一个公共点，直线与直线相交于点，在平面内是否存在定点，使得恒成立？若存在，求出该点坐标；若不存在，说明理由.【答案】（1）见解析（2）存在，【解析】【分析】（1）依据题意求得的坐标，设出的坐标，求得直线的方程，由此求得的坐标，代入椭圆方程的左边，化简后得到，由此推断出恒在椭圆上.（2）首先推断直线的斜率是否存在.然后当直线斜率存在时，设出直线的方程，推断出的位置并设出的坐标.联立直线的方程和椭圆方程，化简后利用判别式等于零求得的关系式，进而求得的坐标，结合点坐标以及，利用列方程，结合等式恒成立求得的坐标.详解】（1）证明：由题意知，设，则.直线的方程为，直线的方程为，联立可得，，即的坐标为.因为，所以点恒在椭圆上.（2）解