2024年新高考高三数学复习阶段性复习：函数的性质B卷(解析版)

专题2.3函数的性质B卷(解析版)

(本试卷满分60分，建议用时：40分钟)

一、单项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的)

1.已知函数/(尤)在R上是递减函数，a,6GR且a+AO,则有()

A.f(a)+f(b)<0B./(a)+/(&)>0

C./(a)+/(/.)</(-«)+/(-&)D.Da)+/®>/(-a)+/(-6)

【答案】D

【解析】因为/(X)是减函数，a+b<0>所以a<-6,b<-a>所以,/(/?)>/(-«)>

/(a)+/(/>)>/(-a)+f(-/?).

故选D.

2.为定义在R上的偶函数，对任意的工2>占20,都有//)一〃不)>2,且"2)=4,则不等

x2-xT'

式〃％)>2凶的解集为()

A.(-00,-2)(2,+(»)B.(2,+oo)C.(0,2)D.(-oo,2)

【答案】A

[解析]对任意的％2〉为三0，都有〃无2)-〃％)>2,贝|/㈤-小)_2=[/伍)-2臼-[〃[-2%]>0,

“2—X/一X超一再

令g(x)=〃x)-2|M，则g(x)=〃x)-2|x|在[0,+8)上单调递增，因为〃x)为定义在R上的偶函数，

所以g(r)=〃T)—2|T|=〃x)—2W=g(x),即g(x)=〃x)—2讨为偶函数，又才⑵=〃2)-2><|2|=0,

由〃x)>2忖，可得g(x)=/(x)—2凶>0,即g(|x|)>g⑵，所以凶>2,所以〃力>2忖的解集为

(-00,-2)(2,+oo).

故选A.

3.已知是定义在R上的奇函数，f(x+2)=-f(x),当OVxWl时，/(%)=%，则下列各式中错

误的是()

5

A./(-3)=/(-1)B.f

C.Z(7)</(8)D./(%)^/(3)

【答案】A

【解析】函数〃x)是定义在R上的奇函数，由〃x+2)=-"力，得f(x+4)=—〃x+2)=f(x),

所以函数是周期为4的周期函数，所以〃-3)=〃1)=-〃7)=1,故A错误；

由呜)故B正确；

因为了⑺="-!)=—=/⑻"(0)=0,所以〃7)<〃8),故C正确；

当OWxWl时，f(x)=x，所以当—IWXWO时，OW—xWl，所以f(T)=-x=—〃尤)，此时〃x)=无，

所以当-IWxWl时，〃x)=xN-l.当-3WxW—l时，—1WX+2W1,所以〃x+2)=x+2=-〃x)，此时

/(x)=—x—2N—1-

综上所述,函数“X)在一个周期内，即xe[-3,l]时,/(x)2—1,而/(3)=〃-1)=-1，所以/(X户/⑶，

故D正确.

故选A.

4.我们知道：y=/(x)的图象关于原点成中心对称图形的充要条件是y=/(x)为奇函数，有同学发现可

以将其推广为：y=/(x)的图象关于(4,6)成中心对称图形的充要条件是、=/(》+。)-6为奇函数.若

/(X)=X3-3X2的对称中心为(m,n),贝IJ/(2023)+/(2021)++/(3)+/(-1)+/(-3)+/(-5)+

+/(-2019)+/(-2021)=()

A.8088B.4044C.-4044D.-2022

【答案】C

【解析】因为=-3x?的对称中心为(八〃),所以g(x)="x+w7)-〃=(x+m)3-3(X+W7)~-〃为奇函

数，g(x)=(x+〃?)2(x+m-3)-77=x3+(3m—3)x2+(3m2—x+m3-3m2-n,所以

C3^/23—0jin—]

g(-x)+g(x)=2(3m-3)x2+2®3-3疗-")=0,所以(32八，解得《。，所以/(%)=丁—

\，[机-3m-71=0[〃=—2

的对称中心为(1,-2),所以“x+2)+/(t)=T,所以〃2023)+”—2021)=T,/(2022)+f(-2020)=-4,

/(2021)+/(-2019)=^,/(2020)+/(-2018)=-4,……〃5)+/(-3)=T,/(3)+/(-1)=Y,所以

/(2023)+/(2021)++/(3)+/(-1)+/(-3)+/(-5)++4—2019)+/(-2021)=^x1011=-4044.

故选C.

二、多项选择题(本题共1小题，每小题5分，共5分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分)

5.设函数的定义域为R,〃x+l)为奇函数，/(x+2)为偶函数，当xe[l,2]时，〃力=加+6.若

/(0)+/(3)=6,则下列关于〃尤)的说法正确的有()

A.〃x)的一个周期为4B.点(6,0)是函数的一个对称中心

C.xe[l,2]时，/(X)=2X2-2D,(等]

【答案】AD

【解析】/(尤+D为奇函数，=且/(尤+1)=-/(一尤+1),函数〃尤)关于点。,0),/(元+2)偶

函数，.■,/U+2)=/(-x+2),函数/'(X)关于直线尤=2对称，.•JKx+1)+1]=-力-(x+1)+1]=-/(-尤)，

BP/(-^+2)=-f(—%),f(—x+2)=/(x+2)=—f(—x),令，=—JV,则/。+2)=—/⑺，/(^+4)=-f(t+2)=f(t),

.•./(x+4)=/(x),故〃X)的一个周期为4,故A正确；

则直线x=6是函数/(x)的一个对称轴，故B不正确；

2

•当xe[l,2]时，f(x)=ax+b,/./(0)=/(-1+D=-/(2)=^a-b,/(3)=/(1+2)=/(-1+2)=/(I)=a+b,

又f(。)+f(3)=6,—3。=6,解得a=—2,f(l)=。+Z?=0,=-a=2,.,.当xe[1,2]时，f(%)=-2%2+2,

故C不正确；

故选AD.

三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中横线上)

6.若偶函数在(-哂0］上为增函数，若〃2°-1)>〃3。+2),则实数。的取值范围是

【答案】(一0°,一3)fj

【解析】因为偶函数在(9,0］上为增函数，回〃”在［0,+8)上为减函数，则不等式

〃2a-l)>/(3a+2)=/(|2a-1|)>/(伙+2|)，即囚―1|<伙+2]，两边平方化简得，5tz2+16«+3>0,

解得6ZV—3或Q>-；，故实数”的取值范围为(—8,—31―('+00).

故答案为(—8,—3)1—(+8)

7.定义在R上的函数〃尤)满足〃2T)=/(2+X)+2X,且函数/(2x+l)的图象关于点(0,1)对称,则

/(1)=，"2023)=.

【答案】1,-2021

【解析】因为〃2x+l)关于(0,1)对称，所以有〃2x+l)+/(-2x+l)=2.令2x+l=r,则“。+"27)=2,

〃力的图象关于(1,1)对称,所以/■⑴=1.由题设条件得〃2+x)+(2+x)=〃2-x)+(2-x),

令g(x)=/(x)+x,有g(2+x)=g(2-x),则g(x)的图象于尤=2对称，因为/(2x+l)+/(-2x+l)=2,有

f(-2x+l)+(-2^+l)+/(2x+l)+(2x+l)=4,即g(—2x+l)+g(2x+l)=4,则g(x)的图象关于(1,2)对称.

所以g(x)+g(2—x)=4,又g(2+x)=g(2-x),所以g(x)+g(2+x)=4,g(2+x)+g(4+x)=4,

所以g(4+x)=g(x),所以4为g(x)的一个周期，g(2023)=g(4x505+3)=g(3)=g(l)=2,所以

/(2023)=g(2023)-2023=2-2023=-2021.

故答案为1,-2021.

8.已知定义在R上的函数满足/(x+2)=2/(x),且当xe[-1,1)时，/⑺=1一国.若对任意xe(-ooj),

都有〃x)W2,贝”的取值范围是.

【答案】

「、/、I।fl-x,xe[0,1),./、「、

【详解】因为当彳目一1,1)时，/(力=1一国，所以/(尤)=%+x什[_10)'因为/(》+2)=2”耳，当xe[l,3)

r、,.「6-2x,xe[2,3)[20-4x,xe14,5)

时，即x—2e[-l,l)时，由〃x)=2/(x-2),所以"x)=,同理可得/⑴=“。

ZX-Z,XGi,Z)4X—1Z,XGM,4I

依此类推，作出函数/(无)的图象，如图所示：

7

由图象知，当3WJVV4时，令〃%)=2,则4%—12=2,解得工二万，对任意x«-oo,小都有了(x)W2,

只需对任意XG(—8刁，函数的图象不在直线的上方即可，由图知rwg，即f的取值范围是1-啊g.

故答案为10°,5.

四、解答题(本大题共2小题，每小题10分，共20分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

9.函数Ax)是定义在(。,+◎上的函数，满足下列条件：

①/(2)=0；②x>l"(x)<l；③任意e(0,+8),有/(盯)=f(x)+f(y)—1.

(1)求/(J的值；

(2)判断并证明函数在区间(0,+8)上的单调性；

(3)解不等式f(x)>4x+2.

【解析】(1)因为任意％,y£(0,+oo),有f(xy)=/(%)+/(y)—l,所以当x=y=l,有/⑴=1,当％=2，

有了6版卜/6卜/⑵一1,因为"2)=0,所以=

(2)结论：Ax)在区间(0,+co)上是减函数.

证明：任取%,％2£(。,+°°)，设马">0，则上~>1，因为任意％,y£(0,+oo),有/(盯)=/(X)+/(y)-l，

王

x

所以当x=X],y=三,有/'(无2)=/不通=/(^i)+/2-1>因为&>1,所以即

X1王X1尤]

/、

J-1<0>所以/"(%)=/(%)+/%2—1<y(再)，所以/(幻在区间(0,+oo)上是减函数.

3,1%7

+f-1=3,设尸(%)=/(»-4万一2，xe(0,-H»),由(2)可知函

22II

数尸(x)在区间(0,+co)上是减函数，又因为尸一4x」—2=0,当时，F(x)<0；当0<%<!

Z444

时，F(x)>0.所以不等式/(x)>4x+2的解集为卜|0<x<；卜

(%+3)(%+々)

10.已知函数/(%)=为偶函数.

(1)判断函数了(%)在(0,+。)上的单调性，并加以证明;

(2)当％£H(其中机>〃>0)时，函数/(X)的值域恰为［3-9办3-9句，求正实数相，〃的值.

【解析】⑴因为函数/(X)=5+*+。)为偶函数，所以?而/⑴=/(-I),解得：a=-3；

%l/(T)=2(a—1)

所以/(》)=色土斗=1一乂，任取