2023年中考数学常见几何模型全归纳(全国版)：角平分线的基本模型（二）非全等类（解析版）

角平分线的重要模型（二）非全等类

角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各

大模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，，本专题就角平分线的非全

等类模型作相应的总结，需学生反复掌握。

模型1.双角平分线模型（导角模型）

【模型解读】

双角平分线模型（导角模型）指的是当三角形的内角（外角）的平分线相交时，可以导出平分线的夹角的

度数。

【模型图示】

条件：BD,CD是角平分线.

1.（2022•广东•九年级专题练习）8P是//8C的平分线，CP是//C3的邻补角的平分线，乙4BP=20°,

ZACP=50°,贝（）

A.30°B,40°C,50°D,60°

【答案】A

【分析】据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出/尸的度数.

【详解】rAP是A/BC中//8C的平分线，。尸是的外角的平分线，

4ABP=/CBP=20°,AACP=AMCP=50°,

•.•/尸6是48。尸的外角，ZP=ZPCA/-ZC5P=50°-20°=30o,故选：A.

【点睛】本题考查三角形外角性质以及角平分线的定义，解题时注意：一个三角形的外角等于与它不相邻

的两个内角的和.

2.（2022•山东・济南中考模拟）如图1,在△48C中，/A4c的平分线4D与N2C4的平分线CE交于点。

⑴求证：Z^OC=90°+1AABC-,

(2)当N4BC=90。时，且/。=30。(如图2),判断线段CD,ZC之间的数量关系，并加以证明.

【答案】⑴见解析

4

⑵证明见解析

【分析】(1)求出/A4C+N8C4=180O-N48C,根据角平分线定义求出/O/C=g/A4C,NOC4=gNBC4,

即可求出NO4C+/OC4的度数，根据三角形内角和定理求出即可；

(3)在NC上分另I］截取/林CN,使4M=4E,CN=CD,连接OMON,vE^AEO^AAMO,ADCO/△NCO,

推出AEOA=AMOA,ZCON=ACOD,OD=ON,求出々MON=/MOA=45°,根据角平分线性质求出MK=ML,

据此计算即可求解.

(1)证明：：N4BC+/ACB+/BAC=180°,

ABAC+ABCA^SG°-AABC,

•••ABAC的平分线AD与々BCA的平分线CE交于点O.

:.NOAC=gNBAC,ZOCy4=1£BCA,

AOAC+AOCA=^"BAC+NBCA)(180°-Z^SC)=90°-1AABC,

N/OC=180°-(ZOAC+ZOCA)=180°-(90°-1Z^SC),

gPZ^OC=90°+-ZABC；

2

(2)解：iAE+CD=AC,

3

证明：如图2,*/Z^OC=90°+|ZABC=135°,

ZEOA=45°,

在4。上分别截取ZM、CN,使旦CN=CD,连接（W,ON,

AE=AM

贝I」在△4E1。和△4M。中,ZEAO=ZMAO

AO=AO

/.^\AEO^/\AMO,

同理△OCO/△NCO,

：.AEOA=AMOA,£CON=ACOD,OD=ON,

ZEOA=ZMOA=ZCON=ZCOD=45°,

/.2MON=/MOA=45。,

过河作于K,MLION于L,

:.MK=ML,

11

SAAOM=-AOXMK,SAMON=-ONXML,

.A°_SMOM

一丽一^?

..SMOM_AM

,，一而‘

.AOAM

,^ON~MN'

\'AO=3OD,

AO_3

'~OD~V

.AOAM_3

,,加一而—「

44

：.AN=-AM=-AE,

33

-：AN+NC=AC,

4

：.-AE+CD=AC.

3

【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线定义和性质，三角形的面积，三角形内角和定理

的应用，熟练掌握各性质定理是解答此题的关键.

3.（2022•蓬溪县九年级月考）某校七年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角

的数量关系”进行了探究.（1）如图1,在△入BC中，乙ABC与乙方CB的平分线交于点尸，4A=64°,

贝=；（2波口图2,AABC的内角乙ACB的平分线与△ABC的外角AABD的平分线交于点E.其

中心A=a,求乙BEC.（用a表示乙BEC）；（3）如图3,乙CBM、4BC/V为△ABC的外角，乙CBM、乙

BCN的平分线交于点Q,请你写出乙BQC与乙A的数量关系，并说明理由.（4）如图4,△入BC外角乙

CBM、乙BCN的平分线交于点Q,AA=64°,ACBQ,乙BCQ的平分线交于点P,贝=°,

延长BC至点E,4ECQ的平分线与8尸的延长线相交于点灯，则4A=—°.

【分析】（1）根据三角形的内角和角平分线的定义；（2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内

角的和，用4A与21表示出42,再利用4E与41表示出乙2,于是得到结论；（3）根据三角形的一个外

角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义表示出乙EBC与4ECB,然后再根据三角形的内角

和定理列式整理即可得解；（4）结合（1）（2）（3）的解析即可求得.

【解答】解：（1）•.■PB,PC分另IJ平分4ABe和乙ACB,

.•.乙PBC=JNABC,匕PCB=J乙ACB（角平分线的性质），

ABPC+APBC+APCB=180°（三角形内角和定理）,

.1.ZBPC=180°-（APBC+APCB）=180°-（-AABC+iAACB）=180°一（（4ABC+乙ACB）

222

=180°一多（180°-）=180°-90°4A=90°=90°64°=122°.故答案为：122°；

（2）是4AB。的平分线，CE是乙ACB的平分线，...乙ECB=J乙ACB,乙ECD=J乙ABD.

•乙A8D是△ABC的外角，乙EB。是ABCE的外角，J.4八8。=乙AEBD=AECB+ABEC,

：.AEBD=^AABD=^（AA+AACB）=LBEC+乙ECB,即一4八+乙ECB=4EC8+乙BEC,

/LBEC=-^AA=-^a；

(3)结论乙BQC=90。一多乙A

...乙CBM与Z.BCN是aABC的夕卜角，：.ACBM=AA+AACB,ABCN=AA+乙ABC,

...80,。0分别是2八8。与2八。8外角的平分线，：.乙08。=4AA+AACB),乙QCB=JAA+AABC).

••,AQBC+AQCB+/LBQC=180°,

.•.ZBQC=180°-AQBC-Z£QB=180°-(AA+AACB)-^(AA+AABC),

=180°(AA+AABC+AACB)=180°-900=90°-^AA；

(4)由(3)可知，ZBQC=90°一：乙方=90°-Jx64。=58。,

由(1)可知乙BPC=90°+^ABQC=90°+-^x58°=119°；

由(2)可知，乙R=J乙BQC=29°故答案为119,29.

【点评】本题考查了三角形的外角性质与内角和定理，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角

的和是解题的关键.

4.(2022•辽宁沈阳•九年级期中)阅读下面的材料，并解决问题

⑴已知在中，N/=60。，图1-3的△NBC的内角平分线或外角平分线交于点O,请直接写出下列角

度的度数，如图1,/。=;如图2,/。=；如图3,/。=；

(2)如图4,点。是△N3C的两条内角平分线的交点，求证：ZO=90°+y

(3)如图5,在△NBC中，N/3C的三等分线分别与//C8的平分线交于点。。2,若N1=115。，22=135°,

求//的度数.

【答案】⑴120。，30°,60。(2)见解析(3)70。

【分析】(1)由//的度数，在△NBC中，可得N/5C与N/C2的和，又80、C。是内角平分线或外角平

分线，利用角平分线的定义及三角形内角和定理、三角形的外角性质进而可求得答案；

(2)由//的度数，在△N8C中，可得N/8C与N/C3的和，又BO、C。是角平分线，利用角平分线的

定义及三角形内角和定理可证得结论；

(3)先分别求出/N8C与NZCB的度数，即可求得//的度数.

(1)①在图1中：,:B0平分/ABC,C。平分N/C2

ZOBC=yZABC,ZOCB=gNACB

AOBC+AOCB

=|"4BC+NACB)

(180°-Z^C)

(180°-60°)=60°

0=180°-(ZOBC+ZOCB)=120°；

②在图2中：

「50平分NNBC,CO平分N/CD

ZOBC=yzABC,zOCD=yAACD

■：AACD=ZABC+NA:.NOCD=1(ZABC+/A)

2

AOCD=AOBC+AO

；./O=/OCD-/OBC=LAABC+]_/4-L/ABC=LZA=30°.

2222

③在图3中：,「BO平分/EBC,C。平分NBCZ)

・,.4OBC=3乙EBC,4OCB=—BCD

，OBC+/OCB=L"EBC+/BCD)=L(N/+//C5+/3CQ)=J_(/4+180。)=j_(60°+180°)=120°

2222

.-.Z0=180°-UOBC+^OCB)=60。.故答案为:120。，30°,60°.

(2)证明：:OB平分N48C,0c平分NNCB,

：.AOBC=^AABC,AOCB=^AACB,

Z0=180°-{AOBC+AOCB)=180°-；"4BC+2CB)=180°-:(180°-//)=90°+gN4

(3)^^ABO2=AO2BOi=£OiBC=a,AACO2=ABCO2=P，

.-.2ct+>180o-115o=65°,a+丑=180。-135。=45。解得：a=20°,乃=25°

，//8C+//C2=3a+2£=60°+50°=110°,ZA=70°.

【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质等知识，熟练掌握三角

形内角和定理，以及基本图形是解题的关键.

模型2.角平分线加平行线等腰现（角平分线+平行线）

【模型解读】

1）过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形；2）有角平分线时，过角一边上的点作角平

分线的平行线，交角的另一边的直线于一点，也可构造等腰三角形。

【模型图示】

已知如图1,OP为ZAOB的角平分线,点尸角平分线上任一点时,辅助线的作法大都为过点尸作尸加〃08

或PMH0A即可.即有△。必?是等腰三角形，利用相关结论解决问题.

B,1

如图1如图2

已知如图2,OC平分NA0B，点。是CU上一点,过点D作DE//OC交0B的反向延长线于点E,则OD=OE.

注意：平行线、角平分线、等腰△知二推一即：

①4DIIBC+4c是"4D的角平分线nAABC是等腰三角形；

②4DIIBC+/\ABC是等腰三角形n/C是N34D的角平分线；

③/C是NB4D的角平分线+4/2C是等腰三角形n4DIIBC.

常见模型：

1.（2022•安徽•二模）如图，在A48C中，乙43c与4cB的平分线m，CD交于点“过点。作跖〃BC,

分别交AB,/C于点瓦F.若BE=2,CF=3,BC=9,则/£的长为（）

A

A.2.5B.4.5C.3.75D.6.75

【答案】A

【分析】由角平分线的性质得到=NACD=NDCB,由两直线平行内错角相等得到

ZEDB=ADBC,NFDC=ZDCB,进而证明BE=ED,CF=DF,解得EF的长，再根据平行线判定

△AEFfABC,最后根据相似三角形的对应边成比例解答.

【详解】解：:BD平分NABC,O平分N4C3,:.NABD=NDBC,NACD=NDCB

'JEF//BC:.ZEDB=ZDBC,ZFDC=ZDCB

AABD=AEDB,/ACD=/FDCBE=ED,CF=DF

:BE=2,CF=3EF=DE+DF=BE+FC=2+3=5

Z/FF5

'：EF//BC:.AAEF“ABC：.——=——=-

ABBC9

4E「4/E=10.•./£=2.5故选：A.

AE+BE

【点睛】本题考查等角对等边、平行线的性质、角平分线的性质、相似三角形的判定与性质等知识，是重

要考点，掌握相关知识是解题关键.

2.（2022•重庆•九年级专题练习）如图，ZUBC中，NNBC与NNCB的平分线交于点凡过於F作DEIIBC

交N2于点。交4c于点E,那么下列结论：①△3。尸和△“尸都是等腰三角形；②DE=BD+CE；®AADE

的周长等于与/C的和；®BF>CF-,⑤若N/=80。，贝必即。=130。.其中正确的有—.（填正确的

序号）

D,E

BC

【答案】①②③⑤

【分析】根据等腰三角形的判断与性质和平行线的性质及三角形三边的关系即可求解.

【详解】①「BF是NABC的角平分线，CF是NACB的角平分线，.•./ABF=NCBF,ZACF=ZBCF,

­.DE//BC,.-.ZCBF=ZBFD,ZBCF=/EFC（两直线平行，内错角相等），

.".ZABF=ZBFD,ZACF=ZEFC,，DB=DF,EF=EC,

.•.△BDF和ACEF都是等腰三角形，.•.①选项正确，符合题意；

②・.DE=DF+FE,DB=DF,EF=EC,，DE=DB+CE,.•.②选项正确，符合题意；

③•・•△ADE的周长为=人口+口£,

「DE=DB+CE,「.△ADE的周长为=AD+DB+AE+CE=AB+AC,.•.③选项正确，符合题意；

④根据题意不能得出BF>CF,.•.④选项不正确，不符合题意；

⑤•.•若/A=80°,ZABC+ZACB=180°-ZA=180°-80°-100°,

■.-ZABF=ZCBF,ZACF=ZBCF,/.ZCBF+ZBCF=1x100°=50°,

ZBFC=180°-ZCBF-ZBCF=180°-50°=130°,

二.⑤选项正确，符合题意；故答案为：①②③⑤.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及角平分线的定义及平行线的性质；题目利用了两直线平行，内错

角相等，及等角对等边来判定等腰三角形的；等量代换的利用是解答本题的关键.

4.（2022•沈阳市九年级专项训练）已知：如图，4ACD是ZkABC的一个外角，CE、CF分别平分2ACB、

ZACD,EF//BC,分另I交AC、CF于点H、F求证：EH=HF

【答案】见解析

卜分析】由角平分线的定义可得乙BCE=ZACE,rACF=ADCF,由平行线的性质可得乙BCE=2CEF,

ZCFE=ZDCF,利用等量代换可得2ACE=ZCEF,ZCFE=ZACF,根据等角对等边即可求得

EH=CH=HF,进而求得EH=HF.

【详解】/CE,CF分另IJ平分乙ACB、ZACD,二乙BCE=4ACE,乙ACF=4DCF,

;EF〃BC,ZBCE=ACEF,4CFE=4DCF,

ZACE=ZCEF,ZCFE=ZACF,，EH=CH,CH=HF,，EH=HF.

【点睛】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，根据等角对等边求解是解题关键.

4.(2022•河南南阳•三模)阅读理解：如图(1),△/8C中，以3为圆心，以适当长为半径画弧，与BC

和3/分别交于点X,丫再分别以点X,Y为圆心，大于‘打的长为半径画弧，两弧交于点。，作射线

2

与/C交干点£,过点E作EF〃BC交48于F.

观察思考：依据上述操作可，①N4BE与NCBE的大小关系为;②BF与EF的数关系为.

拓展延伸：如图(2)在△48C中，/48C的平分线与三角形外角N/CG的平分线交于点过。作。尸〃8c

分别交NC,4B于点、E,F,请判断M与5fCE之间的数量关系，并说明理由.

问题解决：如图(3),在口/BCD中，乙4=30。，AD=2拒,连接助，将△N8D沿四折叠，使点/落在

直线。C上方的处，当△4。。是直角三角形时，请直接写出线段N3的长度.

【答案】观察思考：①N4BE=NCBE；②BF=EF；拓展延伸：时=跖+£。；问题解决4或6

【分析】观察思考：①根据作图可知3E是N/8C的角平分线，可彳导ZABE=/CBE,

②根据斯//3C可得NC3£=NFE8,等量代换可得，ZABE=ZCBE；等角对等边即可得，BF=EF；

拓展延伸：方法同上可得3尸=ED,ED=EC,进而可得BF=EF+EC；

问题解决：分Z^DC=90。和/。4c=90。，两种情形，根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求

解即可求得4B的长

【详解】观察思考：①根据作图可知3E是乙43C的角平分线，，乙44£=NC8£,

②:EF//BCNCBE=ZFEB,

zABE=zCBE-,QZFBE=4FEB,:.BF=EF；

拓展延伸：BF=EF+ECQBD平分NABCN4BD=NCBD

'：DFIIBCZFDB=NDBCZ.FBD=NFDB：,FD=FB

：CD平分AACGAACD=AGCD

'：DF//BC：.NEDC=ADCGN4CD=NEDC

EC=EDFD=EF+ED=EF+EC，BF=EF+EC

问题解决：当Z^DC=90。时，如图，延长HD交于点E,

A'

:四边形/CB。是平行四边形ABHDC：AD1DC.-.A'E1AB

折叠,A'D=AD,AB=AB：N4=30°/.ZEA'B=30°

:.EB=；ABEB=^AB:.AE=EB;NA=30。,AD=26DE=y[3

Rt^ADE中，AE=ylAD2-DE2=“2可-=3AB=2AE=6

四边形ABCD是平行四边形，CD=AB

；折叠，A'D=AD,AB=ABDC=A'B

：.四边形4。3c是矩形，NADB=ZA'DB=90°

,；ZA=30o,4D=2右:.DB=^AB

AD=y]AB2-DB2=#,DBDB=2AB=2DB=4

综上所述，4B的长为4或6

【点睛】本题考查了作角平分线，等边对等角，平行线的性质，平行四边形的性质，矩形的性质与判定,

勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，灵活运用以上知识是解题的关键.

模型3.面积模型

【模型解读与图示】

已知条件：BG、CG、ZG分别是2/2C、AACB、4A4c的平分线

辅助线：过点G作GOLBC、GELAC,FGLAB（求面积需要高，作垂直得到高）

结论：S^ABC^-DG-CI\ABC

1.（2022•内蒙古•九年级期末）如图，A/8C的三边BC,C4长分别是20,30,40,其三条角平分

线将A/BC分为三个三角形，则Lw$2Se。等于（）

A.1：1：1B,1：2：3C,2：3：4D,3：4：5

【答案】C

【分析】过点。作OD，4c于。，OE1AB于E,OFIBC于F,根据角平分线的性质：角平分线上的点

到角两边的距离相等，可得：OE=OF=OD,依据三角形面积公式求比值即可得.

【详解】解：过点。作ODL/C于。，OE14B于E,0FL3C于尸，

二点。是三条角平分线交点，\OE=OF=OD、

S

:SABO：ABCO=S^CAO=~AB-OE：-BC-OF：-AC-OD=AB:BC:AC=2:3:4,故选：C.

【点睛】题目主要考查角平分线的性质及三角形面积公式，理解角平分线的性质是解题关键.

2.（2022•安徽滁州•二模）如图，A/BC的面积为gem：的平分线8尸与/尸垂直，垂足为点P,

4B:BC=2:5,那么△4PC的面积为cm2.

【答案】

【分析】延长/P交8c于7,根据3尸为N4BC的角平分线，可得NBR4=NAPT=90°,

NPBA=4PBT,可证ABPZgBPr(/"),则有"=尸7,得以.=以皿，S^ACP=S^CPT,即有

&咏=；几,=）百，再根据4B：8C=2:5,且N/3C的角平分线到N3与BC的距离相等，可得

ABP"S4PBC=2:5,则4XBP=）S^pBC=《百，再根据4zpc=§△48C-星Z8P-2PBe求解即可.

【详解】如图延长力尸交BC于T,

1/BPVAT,/.ZBPA=ZBPT=90°,

••5尸为N/BC的角平分线，/.ZPBA=ZPBT,

在zXB尸4与5尸丁中，

APBA=ZPBT

<BP=BP，.二ABPA沁BPT(ASA),PA=PT,

ZBPA=ZBPT

：•S»BPA=S&BPT，S△ACP=S&CPT,••&P8C=2枭幺8。=,V^(cni)

・「AB:BC=2:5,且/ABC的角平分线到AB与BC的距离相等,

SAABP,SNBC=2.5,

则4,8.=gSvBc=gx；6=g6(cm2).

•.QC—abc—ABP—SxPBC-A/3————

故答案为：\百.

【点睛】本题主要考查面积及等积变换的知识点，熟悉相关性质是解题的关键.

3.（2022・湖北武汉•九年级期中）问题背景：角平分线上的点到角两边的距离相等.若一个多边形的每个内

角角平分线都交于一点。，点。叫做该多边形的内心，点。到其中一边的距离叫做厂.

问题解决：如图1,在面积为S的△力5。中，BC=a,AC=b,AB=c,内心。到边力。的距离为〜试说

明/=2s

a+b+c

类比推理：如图2,存在内心。的四边形/5C。面积为S,周长为/,用含有S与/的式子表示内心。到边

的距离r=;

理解应用：如图3,在四边形48CD中，ABHDC,AB=21,CD=11,AD=BC=13,对角线AD=20,

点。”分别为△的与的内心，它们到各自三角形的边的距离分别为彳和公管的值.

【答案】问题解决：见解析；类比推理：用不；理解应用：7

【分析】问题解决：连接。4、OB、OC,ZUBC被划分为三个小三角形.利用三角形的面积公式求解即可.

类比推理：已知已给出示例，我们仿照例子，连接CM,OB,OC,OD,则四边形被分为四个小三角形,

且每个三角形都以内切圆半径为高，以四边形各边作底，这与题目情形类似.仿照证明过程，「易得.

理解应用：上面已告诉我们内切圆半径的求法，如是我们再相比即得结果,但求内切圆半径需首先知道三

角形各边边长，根据等腰梯形性质，过点。作垂线，进一步易得8。的长，则彳、2、乙易得.

r2

【详解】解：问题解决：如图(1),在面积为s的A45C中，BC=a,AC=b,AB=c,三条角平分线的

交点。到三边的距离为L连接。4、OB、OC,A43C被划分为三个小三角形.

：S=SXOBC+SLOAC+SXOAB=万8。"+万:/吕"=5(。+6+C)•厂，

2s

。+6+C

类比推理：如图2中，连接。4、OB、OC.OD,

=-ar+-br+-cr^--dr=-(a+b+c+d)r

22222

2s2s

/.r=-----故---答---案----为:

a+b+cda+b+c+d

理解应用：.・•/8//C。，，SA^：SA8c°=43:8=21:11；

2sMBD_2sHBD

AB+BD+AD~54

2sAe03=2sAeZ)B

CD+CB+BD~44

.45422、S322—4

一，'2sA8s27SR8B27119-

44

【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形面积计算以及等腰梯形等相关知识的综合应用，这类创新性

题目已经成为新课标热衷的考点，同时要求学生在日常的学习中要注重自我学习能力的培养.

模型4.角平分线定理模型（角平分线分线段成比例（二级结论））

【模型解读与图示】

条件：已知如图，40是/A4c的角平分线,

ABBD

证明思路：过点。作昆DFLAC,再利用等面积的思路，证得:

~AC~~CD

简证：邑幽=也SABDABAB_BD

DE=DFA

S^ACDCDS^ACD7c'^C~CD

1.（2021嘿龙江大庆•中考真题）已知，如图1,若4。是“3C中4/C的内角平分线，通过证明可得

ADDF）

*=等，同理，若月E是A4BC中N34C的外角平分线，通过探究也有类似的性质.请你根据上述信息，

yiCzCD

求解如下问题：如图2,在A4BC中，8。=2,。。=3,40是4/3。的内角平分线，则A4BC的8c边上的中

线长I的取值范围是

图1图2

【答案】11</<2y5

【分析】根据题意得到设45=2左，AC=3k,在△45。中，由三边关系可求出左的范围，反向延

长中线/E至尸，使得=连接CF,最后根据三角形三边关系解题.

【详解】如图，反向延长中线ZE至尸，使得=连接CF,

ADDF)O

...8。=2,。。=3,/。是4/3<:的内角平分线，，多=乎=*

ACCD3

可设45=2鼠AC=3k,在△/BC中，BC=5,「.5左>5,k<5,/.1<k<5,

BE=EC

'：■乙1EB=ACEF:.AABE不FCE(SAS)AB=CF

AE=EF

由三角形三边关系可知，AC-CF<AF<AC+CF

:.k<AF<5k匚AE<的」<1<巨故答案为:-<!<—,

222222

【点睛】本题考查角平分线的性质、中线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形三边关系等知识，是

重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键.

2.(2022•北京东城•九年级期中)请阅读下面材料，并回答所提出的问题.三角形内角平分线定理：三角形

的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例.

已知：如图，AABC中，AD是角平分线.

证明：过C作CE//DA,交BA的延长线于E.

AD是角平分线,

/3=LE

.a。=4三.②

又■：-1DCE

.AB=BD

.<£DC.③

黜黝

二,点C一口窗

(1)上述证明过程中，步骤①②③处的理由是什么？(写出两条即可)

(2)用三角形内角平分线定理解答：已知，AABC中，AD是角平分线，AB=7cm,AC=4cm,BC=6cm,

求BD的长；

(3)我们知道如果两个三角形的高相等，那么它们面积的比就等于底的比.请你通过研究4ABD和4ACD

面积的比来证明三角形内角平分线定理.

42

【答案】(1)①平行线的性质定理；②等腰三角形的判定定理；③平行线分线段成比例定理；(2)jfcm.(3)

证明见解析.

【详解】试题分析：(1)由比例式与=照，想到作平行线，用到了平行线的性质定理；只要证明AE=AC

即可，用到了等腰三角形的判定定理；由CE//AD,写出比例式噌=黑，用到了平行线分线段成比例定

理(推论)；

(2)利用三角形内角平分线性质定理，列出比例式，代入数据计算出结果.

(3)根据三角形的面积公式进行证明即可.

试题解析：(1)证明过程中用到的定理有：

①平行线的性质定理；

②等腰三角形的判定定理；

③平行线分线段成比例定理；

(2):AD是角平分线，

BDAB

'~DC~^C'

又.；AB=7cm,AC=4cm,BC=6cm,

.BD7

6-BD~4，

42

BD=—(cm).

(3):△ABD和AACD的高相等，

—BDxhDri—ABxh

可得：4ABD和AACD面积的比-------――=—,-------

-DCxhDC-ACxh

22

-BDAB

可得：---

DCAC'

考点：相似形综合题.

3.(2022•江西赣州•九年级期末)定义:有一组对角互补的四边形叫做“对补四边形”，例如：在四边形/瓦力

中，Z^+ZC=180°,或N3+ND=180。，则四边形48co是“对补四边形”.

D

图⑴图⑵图(3)

(1)【概念理解】如图(1),四边形/BCD是“对补四边形”.

①若=3:2:1,则/D的度数是；

②若N5=90。，且/8=2&,/。=2,贝1］。2一或2=.

(2)【拓展延伸】如图(2),四边形48co是“对补四边形"，当AB=CB,且NEAF=^乙18(7时，猜测/E,

CF,E尸之间的数量关系，并加以证明.

⑶【类比运用】如图(3),如图(4),在四边形/BCD中，AB=CB,BD平分N4DC.

①如图(3),求证：四边形/3C。是“对补四边形”；

②如图(4),设3a,DC=b,连接/C,当乙43c=90。，且于时，求?的值.

'△ABC〉b

【答案】⑴①90。；②4

Q)4E+CF=EF,证明见解析

⑶①见解析；②：的值是2或;

【分析】(1)①根据“对补四边形”的定义，结合乙4：4B：NC=3：2：1,即可求出答案;

②根据“对补四边形”的定义，可由48=90。，得出/。=90。，再运用勾股定理即可得出答案；

(2)延长E/至点K,使得4K=CF,连接BK,依据“对补四边形”的定义，可证明△N3K,

再证明△BEKWBEF,从而可证得结论；

(3)①过点B作BMLAD于点M,BNLAC于点N,则=NBNC=90。，可证

RRt^ABM=RtACBN(HL),进而可证得结论；

②设/O=a,DC=6,可得再运用面积建立方程求解即可.

(1)解:①；Z/I:Z5:ZC=3:2:1

设/.A=3x,Z.B=2x,ZC=x,

根据“对补四边形”的定义，

ZA+ZC=180°,

即3x+x=180。，

解得x=45。，

ZB=2x=90°,

Z5+zr)=i80°,

.•.NO=90。.

故答案为：90°.

②在“对补四边形BCD中，连续4C,

-/4=90。，

则4D=90°,

在放中，BC2=AC2-AB2,

在比中，CD2=AC2-AD2

/.CD2-BC2=AC2-AD2-(AC2-AB2)=AB2-AD2=(2A/2)-2=8-4=4,

故答案为：4；

(2)解：AE+CF=EF,理由如下：

延长及4至点K,使4K=C尸，连接8K,

■.•四边形ABCD是“对补四边形”，

Z^Z)+ZC=180°,

又NBAK+/BAD=18(T,

/BAK=/BCD,

又「AK=CF,AB=CB,

:.4ABK2CBF〈SAS),

AABK=4CBF,BK=BF,

/.AKBF=ZABC,

•・ZEBF=-ZABC,

2

/.4EBF=-AKBF,

2

/.AEBK=ZEBF,

BK=BF,BE=BE,

:.ABEK2BEF{SAS),

/.EK=EF,

AE+CF=AE+AK=EK=EF；

(3)①证明：过点5作91/。，垂足为BNIDC,垂足为N,贝lJ/BM4=NBNC=90。,

BD平分NADC,

：.BM=BN,

又「AB=CD,

：,RMABM=Rt^CBN{HL),

・•./BAM=/C,

ZBAM+ZBAD=180°,

NC+N5/D=180。，即NB/O与NC互补，

••・四边形ABCD是“对补四边形”；

②由①知四边形是“对补四边形”,

AABC+AADC=\^°,

ZABC=90°,

/.ZADC=90°,

・「AD=a,DC=b,则/C?=+=/十〃，

•/AB=BC,

/.AB2=BC2=-AC2=-(a2+b2],

22[]

：.S.=-AB^CB=-AB2=-[a2+b2],S.=-ADCD=-ab,

△ADR(-C224\ACn22'

S&ACD_g

'二一不

iab

.-=:,即：2(A2_5(5+2=O,

；(/+〃)5bb

解得：?=2或！=：,

bb2

.•.£的值是2或;.

b1

【点睛】本题考查了勾股定理，四边形内角和，全等三角形判定和性质，三角形面积等知识，解题关键是

熟练掌握勾股定理和全等三角形判定和性质，准确理解并能够应用新定义“对补四边形”解决问题.

4.(2022•广西•九年级专题练习)问题背景：

一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论.如图1,已知/。是△NBC

ADDP)

的角平分线，可证%=空.小慧的证明思路是：如图2,过点。作CE///8,交的延长线于点£,

构造相似三角形来证明方=言.

ACx^L-)

AAC

XhZb

BDCBD：jCAEB

iJ

了

E

图1图2图3

AB_BD

⑴尝试证明：请参照小慧提供的思路，利用图2证明

AC-CD；

(2)应用拓展：如图3,在心△N8C中，Z^C=90°,。是边BC上一点.连接将△4。沿40所在

直线折叠，点C恰好落在边上的E点处.

①若NC=1,AB=2,求DE的长；

②若BC=m,4AED=Q,求DE的长(用含冽，口的式子表示).

【答案】⑴详见解析

(2)①。£=好；②DE=---

3tan(7+1

【分析】(1)利用/3//CE,可证得△48O~ECZ>,即普=票，由4D平分NA4C,可知/C=EC,即可

BDCD

证得结果；

(2)利用(1)中的结论进行求解表示即可.

(1)

解：：ABIICE,

:"BAD=/DEC,

：AD平分/A4C,

/./BAD=/CAD,

；"CAD=/DEC,

.AC=EC,

•//BDA=/CDE,

^ABD〜ECD,

.ABCE

而一而‘

口n4BAC

即——=——，

BDCD

ABBD

'^C~~CDy

⑵

①由折叠可知，平分NBAC,CD=DE,

,〜、/曰ABBD

由⑴倚’就二五，

-：AC=\,AB=2,

BC=YIAC2+AB2=Vl2+22=V5.

.2V5-CD

,,一二,

1CD

解得：CD=M

3

：.DE=CD=--,

3

②由折叠可知//££>=NC=a,

AB

/.tana

7c,

AUBDm-CD

由①可知方=

ACCDCD

m-CD

tana

CD

m

CD=

tan(7+1

即：DE=CD=--—

tan(7+1

【点睛】本题主要考查的是相似三角形的综合运用，灵活转化比例关系是解题的关键.

课后专项训练

1.（2022•广东•佛山市南海区石门实验学校三模）如图，RtLABC中,NC=90。，BD平分/4BC交4c于

点D,点£为的中点，若48=12,CD=3,则△OBE的面积为（）

A.10B.12C.9D,6

【答案】C

【分析】如图：过。作。尸，/8于尸，然后根据角平分线的性质可得=8=3,然后再根据中点的定义求得

BE的长，最后根据三角形的面积公式求解即可.

【详解】解：如图：过。作。尸L42于尸，

•••ZC=90°,8。平分N/8C交ZC于点。，:.DF=CD=3

1•点E为的中点，AB=12：.BE="B=6

△D2E的面积为工BE。。/7=LX6X3=9.故选：C.

22

【点睛】本题主要考查了角平分线定理、中点的定义、三角形的高等知识点，作出△D8E的高并运用角平

分线定理求出成为解答本题的关键.

2.（2022•山东枣庄•二模）如图，AI，Bl,C/分别平分48/C、N4BC、ZACB,ID>BC,A4BC的周

长为18,ID=3,贝!]A48C的面积为（）

A.18B.30C.24D.27

【答案】D

【分析】过/点作于点及于点凡如图，利用角平分线的性质得到==历=〃)=3,然后根

据三角形面积公式得到SMBC=S^B+3丽+S,据此即可求得.

【详解】解：过/点作比，48于点瓦3L4C于点凡如图，

「•S/xur+3八加「+S=—xABx3+—xBCx3+—x^4Cx3=—{ABBC+AC)=—xl8=27

Z-l/idC-X1/1DI\IJDI

故选：D.

【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.也考查了三角形的面积.

3.(2022•福建模拟预测)如图，ZUBC外的一点尸到三边所在直线的距离相等，ABAC=80°,则NCP3

【分析】如图所示，由△4BC外的一点尸到三边所在直线的距离相等，可以推出AP和尸C分别是N/3C和

AACD的角平分线，则N4BP=NCAP=；N4BC,ZACP=ZDCP=,由三角形内角和定理可得

AACB=1800-AA-AABC=1000-2ACBP,从而可得NOW=g乙48=40°+乙CBP,再由三角形外角的

性质可得4cBp+ZCPB=ZDCP,由此即可得到答案.

【详解】解：・二△/BC外的一点尸到三边所在直线的距离相等,

二3尸和尸C分别是N48。和N/CD的角平分线，

NABP=4cBp=-ZABC,NACP=ADCP=-AACD,

22

AACB=180°-AA-AABC=100°-2/LCBP,

AACB+AACD=\SQ°,AACD=130°-AACB=^O°+ACBP

ZDCP=-AACD=W+ACBP

2

ZCBP+ZCPB=ZDCP,:.NCPB=40°,故答案为：40.

【点睛】本题主要考查了