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《高等数学复习》教程

第一讲函数、连续与极限

一、理论要求

1.函数概念与函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期）

性质几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数）

2.极限极限存在性与左右极限之间的关系

夹逼定理和单调有界定理

会用等价无穷小和罗必达法则求极限

3.连续函数连续（左、右连续）与间断

理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、

介值）

二、题型与解法

A.极限的求法(1)用定义求

(2)代入法(对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子)

(3)变量替换法

(4)两个重要极限法

(5)用夹逼定理和单调有界定理求

(6)等价无穷小量替换法

(7)洛必达法则与Taylor级数法

(8)其他(微积分性质，数列与级数的性质)

(8)其他(微积分性质，数列与级数的性质)

1.lim……=11marctanx-x=J_（等价小量与洛必达）

^->oln（l+2x3）-o2x36

2.已知lim■二卫区=o,求lim6+/）

x->0%⑶x->0

解：

-36sin6x+2y,+xyn216cos6x+3^,,+xyn,

%->o6x%一>06

=-216W-（0）=0.y,（0）=72

lim6+/（x）=礴£=礴22=%=36（洛必达）

x->0厂x->02xx->022

3.lim（—（重要极限）

%->1x+1

4.已知a、b为正常数，

解:令

33

蚂1n"蚂51nM）（变量舂揉）

/.t-（〃。产2

]

5.lim（cosx）ln（1+x2）

x->0

解：令

limIn?=lim-tanX=?=e-1/2（变量裁换）

x->o%->o2x2

6.设连续，，求

（洛必达与微积分性质）

7.已知在x=0连续，求a

解：令（连续性的概念）

解：令a=limln（cosx）/x2=-1/2（连续性的概念）

三、补充习题（作业）

1.limf「=-3（洛必达）

尤->。Vl-X-COSVX

2.limctgx（-———-）（洛必达或Taylor）

%一>°sinxx

x\e~ldt

3.lim」一-=1（洛必达与微积分性质）

\-e~x

第二讲导数、微分与其应用

一、理论要求

1.导数与微分导数与微分的概念、几何意义、物理意义

会求导（基本公式、四则、复合、高阶、隐、反、参数

方程求导）

会求平面曲线的切线与法线方程

2.微分中值定理解Roll、Lagrange>Cauchy>Taylor定理

理会用定理证明相关问题

3.应用会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题，能

画简图

会计算曲率（半径）

二、题型与解法

A.导数微分的基本公式、四则、复合、高阶、隐函数、参数方程求导

计算1.决定，求

2.决定，求

解：两边微分得x=0时，将x=0代入等式得y=l

3.决定，则

3.y=_y(x)由2*=x+y决定，则dy1=0=(In2-l)dx

B.曲线切法线4.求对数螺线夕=e。在(夕，。)=(*2,»/2)处切线的直角

问题坐标方程。

解：

y_e〃n=-x

5.f(x)为周期为5的连续函数，它在x=l可导，在x=0

的某邻域内满足f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+o(x)o求

f(x)在(6,f(6))处的切线方程。

解：需求，等式取x->0的极限有：f(l)=0

山^/(I+sin%)-3/(1-sinx)

%->。sin%

sm=Wn(m[-1---+-'-)-一-/-⑴--1-3"--(--i---一-/-⑴-J1

f。tt

=4/'(l)=8.-./"(l)=2.-.y=2(x-6)

C.导数应用问6.已知，

口击，求点的性质。

题

解：令，故为极小值点。

7.,求单调区间与极值、凹凸区间与拐点、渐进

线。

解：定义域

y'=0=驻氤=ORx=3

y"=0=>拐点％=0；x=1：铅垂；y=x+2：斜

8.求函数y=(X-l)/2+arc3nx的单调性与极值、渐进线。

解:

解:

2

角军：/=三二e"/2+arcm=驻点x=。与》=-1

1+X

渐：y=e"(x-2)与y=x-2

D.幕级数展开9./『sin(xT)2d/=sinx2

axJQ

问题sin(xTiT)2-*-)6+.一+(-1)，，

(2"+1)!

(4n-1)(2〃+1)!

4n-l

松21317nA

fsin(x-r)=-x-—x+---+(-l)----------------------------------1_...

J。33!7(4n-l)(2n+l)l

d12(2n-l)

px216Hr2

—fsin(x—t)dt=x---xH----------F(—1)-------1—=sinx

dP。3!(2n+l)!

或：

10.求/(x)=%2ln(l+x)在x=0处的“阶导数/⑺(0)

解：

尸5n

=X3-—+------+(-l)'T—^+O(x")

23n-2

/W(0)=(-l)n-'--

n—2

E.不等式的证11.设，

明证：1)令

g'(x),g"(x),g"'(x)=-'J<0,g'(0)=g"(0)=0

(1+x)

：.x&(0,1)时g”(x)单调下降，g"(x)<0,g'(x)单调下降

g'(x)<0,g(x)单调下降，g(x)<0；得证。

2)令

h(x)=---------,xe(0,1),A'(x)<0,单调下降，得证。

ln(l+x)x

F.中值定理问12.设函数具有三阶连续导数，且，

口有，求证：在(-1,1)上存在一点

题

证：

其中〃e(0,x),xe

将x=l,x=T代入有

两式相减：

笛e①772L3/"<(a=1[/"<(71)+/"<(72)]=3

13.,求证：

证：

令/⑺=帝羽中道=¥

b-ag

人/、In/，/、1-lnZ八/八/2、Inf2

令。⑺=—，。⑺=——<0/.涯)>(p(e)T>—

ttJe~

(关键：构造函数)

ln2&-ln2«>^-(Z?-a)(关键：构造函数)

e~

三、补充习题(作业)

,W(o)=-j

1./(%)=In

2.曲线|在(0,1)处切线为y+2x-1=0

y=e1cos2z

3.y=xln(e+L)(x>0)的渐进线方程为=x+』

xe

4.证明x>0时(炉-l)lnx2(x-1-

证：令

g6=g<l)=o,g"⑴=2>0

xe(0,l),g'”<0,g”>2]„n；xe(0,l)^'<0

xe(l,+8),g”，>0,g”>2j5[xe(l,8),g，>05

第三讲不定积分与定积分

一、理论要求

1.不定积分掌握不定积分的概念、性质(线性、与微分的关系)

会求不定积分(基本公式、线性、凑微分、换元技巧、

分部)

2.定积分理解定积分的概念与性质

理解变上限定积分是其上限的函数与其导数求法

会求定积分、广义积分

会用定积分求几何问题(长、面、体)

会用定积分求物理问题(功、引力、压力)与函数平均

值

二、题型与解法

dx

A.积分计算1.\-^==f;=arcsin^+C

J“(4-x))J4-(X-2)22

2.Je2r(tanx+l)26&c=Je2rsec2xdx+2je2vtanxtix=e2'tanx+C

3.设，求

解：

="Xta(l+ex)+[(1—---)dx=x—(1+二)ln(l+/)+C

Jl+ex

4.

r®arctanx,1,10ra‘x乃"c

-----z——ax=——arctanx,0+lim(----------)dx=——F—ln2

%2xbfgJiX1+X242

B.积分性质5.连续，，且，求并讨论在的连续性。

解：

xf(x)-[f(y)dyA

(p\x)=--------------------"(0)=-/.lim9，(0)=A/2="(0)

x2x-＞。

6.—[VU2-t2)dt=-—[7(^2-r2M?2-%2)

dxio2dxJ。

drx2c

=五』。/(y)J(y)=V(X)

C.积分的应用7.设在[0,1]连续，在(0,1)上，且，又与

x=l,y=0所围面积S=2。求，且@=时S绕x轴旋转

体积最小。

f(x)=^-x~+(4-l)x,/V'=y2dxy=0:.a=-5

8.曲线，过原点作曲线的切线，求曲线、切线与x轴

所围图形绕x轴旋转的表面积。

解：切线绕x轴旋转的表面积为

曲线y=K开绕x轴旋转的表面积为

f2/ryds=—（5君-1）

Ji6

总表面积为2（11君-1）

6

三、补充习题（作业）

ifinsin九7i.八「

1.--------dx=-cotxlnsin2x-cotx-x+C

Jsinx

x+5

2」dx

—6犬+13

orarcsinVx7

o.-----广——dx

JJx

第四讲向量代数、多元函数微分与空间解析几何

一、理论要求

1.向量代数理解向量的概念（单位向量、方向余弦、模）

了解两个向量平行、垂直的条件

向量计算的几何意义与坐标表示

2.多元函数微理解二元函数的几何意义、连续、极限概念，闭域性

分质

理解偏导数、全微分概念

能熟练求偏导数、全微分

熟练掌握复合函数与隐函数求导法

3.多元微分应理解多元函数极值的求法，会用Lagrange乘数法求

用极值

4.空间解析几掌握曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线的求

何法

会求平面、直线方程与点线距离、点面距离

二、题型与解法

A.求偏导、全1.有二阶连续偏导，满足，求

微分解：

1

2.z=f(xy)+y(p(x+y),求d

xoxoy

3.,求

3.y=y(x),z=z(x)由z=xf{x+y\F(x,y,z)=。决定，求dz/dx

B.空间几何问4.求正+亦+正=&上任意点的切平面与三个坐标

题轴的截距之和。

解：

5.曲面/+2/+322=21在点(1,-2,2)处的法线方程。

C.极值问题6.设是由确定的函数，求的极值点与极值。

三、补充习题(作业)

1.2=/(盯」)+8(上),求袅_

yxoxoy

2.z=f(xy,-+g(-)),

yxox

3.2-11tp,u=InJx2+y2,(p=arctan),求d2

%

第五讲多元函数的积分

一、理论要求

1.重积分熟悉二、三重积分的计算方法（直角、极、柱、球）

y)cfy

JaJjl(x)

于(X,y)dxdy=<pr2(6)

D

f时：::矶::"尤,，z)dz

「z2「62(z)rr2(z,^)

JJJ于(x,y,z)dxdydz=<[dz\dO\于(r,e,z)rdr

vJzlJei(z)Jrl(z,0)

f(r,0,(p)r2sm(pdr

JaJ*l(9)Jrl(0,(p)

会用重积分解决简单几何物理问题（体积、曲面面积、

重心、转动惯量）

Z=f（x,y）=>A=J1Jl+z'；+z'jdxdy

2.曲线积分理解两类曲线积分的概念、性质、关系，掌握两类曲线

积分的计算方法

£f(x,y)dl=<L-.\；_=£7(x(。,y⑺)Jx：+y；dt

L:r=r(0)=>//(rcosC,rsin0)y1r2+r'2dO

Ja

熟悉Green公式，会用平面曲线积分与路径无关的条

件

熟悉Green公式，会用平面曲线积分与路径无关的条件

3.曲面积分理解两类曲面积分的概念（质量、通量）、关系

熟悉Gauss与Stokes公式，会计算两类曲面积分

/（X，%z）dS=Jk，/（x,y,z（x,y））^l+z'l+z'^dxdy

Gauss:正2.mV.切V（通量，散度）

Stokes:^F-dr=J£（VxF）.曲（旋度）

二、题型与解法

A.重积分计算1./=UL(x2+y2)dvq为平面曲线，[12z绕z轴旋转一

周与Z=8的围域。

解：

2./=[[/-1+)dxdy,D为y=-a+\a2-x2(a>0)与

4a2—x?一丫2

_2i

y=-x围域。(/=〃2(------)

162

3.,

求]/(x,y)dxdy,D:x2+y2>2x(49/20)

B.曲线、曲面生/=jsin｝；-Z?(x+y))cbc+(excosy-ax)dy

L

积分L从A(2a,0)沿y=,2QX—♦至0(0,0)

解：令

1-j=JJ(/?-a)dxdy-j(-bx)dx=+2)a2b--a3

L+LlLID°22

5-为以a。)为中心，ROD为半径的圆周正向

解：取包含(0,0)的正向，

f=£-L=0/-14尸

L-L1

6.对空间x>0内任意光滑有向闭曲面S,

,且在x>0有连续一阶导数，，求。

解:

I]0e

,+(---Dy=—e2x=>y=—(ex-1)

第六讲常微分方程

一、理论要求

1.一阶方程熟练掌握可分离变量、齐次、一阶线性、伯努利方程求

法

2.高阶方程会求严=F(x),y"=F(x,y')(y'=p(x)),y')(y'=p(y))

3.二阶线性常y''+py'+q=Q^^+PX+q=G

4丰%->%=+c,e"'

系数

Ajc

n<4=丸2—M=(G+c2x)e

ax

A=a±i/3yx=e(c1COS/2Y+C2sinpx)

aw力”九二Q”(x)e©

xe(xx

/(x)=尸〃(％)e如n<a=4。d2f%=Qn^(非齐次)

20

a-/I[and%2->y2-QnMxe^

ar

f(x)=e(/7z(x)cos/?¥+Pj(x)sinfix)

w2f为=e%/(x)cos0x+G(x)sin0x(非

=4>s'

a±i/3=为今y2=xe^®(x)cos/?r+^(x)sin0x(n=max(z,j)

齐次)

二、题型与解法

A.微分方程求1.求(3x2+2xy-y2}dx+(x2-2xy)dy=0通解

xy-xy-x=c)

2.利用代换丁=」化简V'cos犬一2ysin%+3ycos%=ex并

xCSX

求通角翠。(M"+4M=e,y=q°^+2c2sinxH——-——)

cosx_5cosx

3.设是上凸连续曲线，处曲率为，且过处切

线方程为y=x+l,求与其极值。

解：

解।

2

y''+y'+l=0ny=In|cosg-x)|+l+gln2,ymax=l+gln2

三、补充习题(作业)

1.已知函数丁=y(x)在任意点处的增量Ay=上空+o(Ax),y(0)=i,求y⑴。(碇，)

1+x-

2x2x2x

2.求=e?£的通解。(j=c1e~+c2e+xe)

3.求(y+J尤2+y?)dx-xcfy=0(x>0),y⑴=0的通角轧(y=g(x?-1))

2

4.求y”一2y」e2x=o(o)=,(0)=i的特解。(y=L+L(3+2x)e*

''''44

第七讲无穷级数

一、理论要求

1.收敛性判别级数敛散性质与必要条件

常数项级数、几何级数、P级数敛散条件

正项级数的比较、比值、根式判别法

交错级数判别法

2.幕级数幕级数收敛半径、收敛区间与收敛域的求法

塞级数在收敛区间的基本性质(和函数连续、逐项微

积分）

Taylor与Maclaulin展开

3.Fourier级了解Fourier级数概念与Dirichlet收敛定理

数会求［-/,/］的Fourier级数与［0,/］正余弦级数

第八讲线性代数

一、理论要求

1.行列式会用按行（列）展开计算行列式

2.矩阵几种矩阵（单位、数量、对角、三角、对称、反对称、

逆、伴随）

矩阵加减、数乘、乘法、转置，方阵的幕、方阵乘积

的行列式

矩阵可逆的充要条件，会用伴随矩阵求逆

矩阵初等变换、初等矩阵、矩阵等价

用初等变换求矩阵的秩与逆

理解并会计算矩阵的特征值与特征向量

理解相似矩阵的概念、性质与矩阵对角化的冲要条件

掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法

掌握实对称矩阵的特征值与特征向量的性质

3.向量理解n维向量、向量的线性组合与线性表示

掌握线性相关、线性无关的判别

理解并向量组的极大线性无关组和向量组的秩

了解基变换与坐标变换公式、过渡矩阵、施密特方法

了解规范正交基、正交矩阵的概念与性质

4.线性方程组理解齐次线性方程组有非零解与非齐次线性方程组有

解条件

理解齐次、非齐次线性方程组的基础解系与通解

掌握用初等行变换求解线性方程组的方法

5.二次型二次型与其矩阵表示，合同矩阵与合同变换

二次型的标准形、规范形与惯性定理

掌握用正交变换、配方法化二次型为标准形的方法

了解二次型的对应矩阵的正定性与其判别法

第九讲概率统计初步

一、理论要求

1.随机事件与了解样本空间（基本事件空间）的概念，理解随机事

概率件的关系与运算

会计算古典型概率与几何型概率

掌握概率的加减、乘、全概率与贝叶斯公式

2.随机变量与理解随机变量与分布的概念

分布理解分布函数、离散型随机变量、连续型变量的概率

密度

掌握0-1、二项、超几何、泊松、均匀、正态、指数

分布，会求分布函数

掌握0-1.二项、超几何、泊松、均匀、正态、指数分

布，会求分布函数

掌握0-1、二项、超几何、泊松、均匀、正态、指数

分布，会求分布函数

3.二维随机变理解二维离散、连续型随机变量的概率分布、边缘分

量布和条件分布

理解随机变量的独立性与不相关概念

掌握二维均匀分布、了解二维正态分布的概率密度

会求两个随机变量简单函数的分布

4.数字特征理解期望、方差、标准差、矩、协方差、相关系数的

概念

掌握常用分布函数的数字特征,会求随机变量的数

学期望

掌握常用分布函数的数字特征,会求随机变量的数学

期望

5.大数定理了解切比雪夫不等式，了解切比雪夫、伯努利、辛钦

大数定理

了解隶莫弗-Laplace定理与列维-林德伯格定理

6.数理统计概理解总体、简单随机样本、统计量、样本均值、样本

念方差与样本矩

了解分布、t分布、F分布的概念和性质，了解分位

数的概念

了解正态分布的常用抽样分布

7.参数估计掌握矩估计与极大似然估计法

了解无偏性、有效性与一致性的概念，会验证估计量

的无偏性

会求单个正态总体的均值和方差的置信区间

8.假设检验掌握假设检验的基本步骤

了解单个与两个正态总体的均值和方差的假设检验

第十讲总给

1.极限求解变量替换(作对数替换)，洛必达法则，其他(重

要极限，微积分性质，级数，等价小量替换)

1.lim—[(%+—)+(%+—)+...+(%+―——)=