河南省郑州市2023-2024学年高一年级下册6月期末考试数学试题（含答案）

郑州市2023-2024学年下期期末考试

高一数学试题卷

注意事项：

本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分.考试时间i2o分

钟，满分150分,考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，

在试题卷上作答无效.交卷时只交答题卡.

第I卷（选择题，共58分）

一、选择题:本题共8小题,每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项

中,只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.

1.已知复数Z=（l+力（1—a），化简得z=

A.2iB.-2iC.2+iD.2-i

2.用斜二测画法画水平放置的四边形ABCD的直观图为菱形AiBiGDi，

已知AiG=5,BiDi=4,则四边形ABCD的面积为

A.20B.572C.10D.2072

3.端午节吃粽子是我国的一个民俗，记事件A="甲端午节吃甜粽子”，记

9Q

事件B="乙端午节吃咸粽子”，且P（A）=5,P（B）=4,事件A与事件B相互

o4

独立，则P（AUB）=

AgB—C—D—

A.612J,4

4.已知不同平面a,由力不同直线机和〃，则下列命题中正确的是

A.若7n_La,/n_LF，则a〃£B.若m//a,〃〃a,则m//n

C.若/n_L〃，7nJ_a，则驾〃aD.若则aj_£

5.已知圆柱的底面直径和球的直径相等，圆柱的高是球的直径的2倍，则

圆柱的体积与球的体积的比值为

A.2B.当C.yD.3

V乙

高一数学试题卷第1页（共6页）

6.已知点入（1,0）,8（0,2）,。（3,2）,则不左在祝上的投影向量的坐标为

A.（―y,y）B.（yy）C.D.（一1,一1）

IJLi乙乙乙乙乙Z/

7.已知圆锥的表面积为9n,它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为

A.37rB.9%C.探TZD.

8,现有6个相同的盒子，里面均装有6张除图案外其它无区别的卡片，第k

骁=1,2,3…6）个盒子中有k张龙形图案的卡片，6—%张兔形图案的卡片.现将

这些盒子混合后，任选其中一个盒子，并且从中连续取出两张卡片，每次取后不

9

放回,若第二次取出的卡片为兔形图案的概率为1•，则卜=

O

A.2B.3C.4D.5

二、多选题:本题共3小题,每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有

多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知复数z=/n—2+（承一l"GnGR）,z在复平面内对应的点记为M,则

下列结论正确的是

A.若zGR,则m=l

B.若z为纯虚数，则m=2

C.若点M在第一象限，则m>2

D.若£为Z的共轲复数，且£=Z,则771=2

10.人均可支配收入和人均消费支出是两个非常重要的经济和民生指标,

常被用于衡量一个地区经济发展水平和群众生活水平.下图为2018〜2023年

前三季度全国城镇居民人均可支配收入及人均消费支出统计图，据此进行分

析，则

2018~2023年前三季度全国城镇居民人均可支配收入

及人均消费支出统计图

一一城镇居民人均可支配收入（元）

兀“*城镇居民人均消费支出（元）

45000-

40000-

35000-

30000-

25000-_______

1?000-1而22^^2315

10000■

5000■

u201820192020202120222023年份

高一数学试题卷第2页（共6页）

A.2018〜2023年前三季度全国城镇居民人均消费支出逐年递增

B.2018〜2023年前三季度全国城镇居民人均可支配收入逐年递增

C.2018~2023年前三季度全国城镇居民人均可支配收入的极差比人均

消费支出的极差小

D.2018~2023年前三季度全国城镇居民人均消费支出的中位数为

21180元

11.如图所示，在棱长为2的正方体ABCD—AiBiGDi中，E、尸分别为

AB、BC的中点，贝!!

A.EF_LBDi

B.EF〃面AiBCDi

C.直线BD】与平面ABCD所成的角为亳

9

D.四面体BCEF的体积为告

O

第n卷（非选择题，共92分）

三、填空题:本题共3小题,每小题5分，共计15分.

12.设2=匚4+，,则\z\=______.

JL乙Z

13.在△ABC中，内角4,8,。所对的边分别为0,6,“若B=苧方=6,22+

0

c2=273acJIJAABC的面积为.

14.如图，在四边形ABCD中，AB〃GD,AB=

4,CD=3,AD=西,NDAB=S若P为线段AB上

一动点（包含端点），则较,动的取值范围为

四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算

步骤.

15.（本小题13分）

已知向量a,b满足|M=4,b=（-1,2）.

高一数学试题卷第3页（共6页）

(I)若a〃九求向量a的坐标；

(H)若(a—b)_Lb,求a与b夹角6的余弦值.

16.(本小题15分)

如图，在三棱锥A-BCD中，平面ABDJ_平面BCD,AB=A。,。为BD的

中点.

(1)证明：04，平面88；

(H)若△OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，DE=2EA,且

三棱锥E-BCD的体积为4,求侧面ACD与底面BCD所成二面角的余弦值.

17.(本小题15分)

在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且6sinB-csinC+

(c-a)sinA=O.

(I)求角B;

(□)若6=2,求448。面积的最大值.

18.(本小题17分)

2024年4月25日，神舟十八号载人飞船顺利发射，本次乘组将首次在空间

站实施水生生态项目，即要实现“太空养鱼”，意味着我们有能力在太空构造新

的生态环境和生态系统.郑州航天电子技术有限公司为此次任务提供了科技产

品和技术服务，该公司为了提高单位职工的工作热情，开展了知识比赛，满分

120分,100分及以上为“航天达人”，结果航天达人有力人，这力人按年龄分成了

高一数学试题卷第4页(共6页)

5组，其中第一组：[20,25）,第二组：[25,30）,第三组：[30,35）,第四组：

[35,40）,第五组：[40,45],得到的频率分布直方图如下图，已知第一组有10个

人.

（I）根据频率分布直方图，估计这力人年龄的第80百分位数；

（口）现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任“航天工程”

的宣传大使.若第四组宣传大使的年龄的平均数与方差分别为36和擀,第五组

宣传大使的年龄的平均数与方差分别为42和1,据此估计这t人中35〜45岁所

有人的年龄的平均数和方差.（分层随机抽样中各层抽取的样本量、样本平均数

和样本方差分别为:帆，五s：；〃，&，以记总体的样本平均数为赤，样本方差为52,

则W=x+—^r-y,｛加+高）21+疝5?+。-

m7+.nm+nm-rn

19.（本小题17分）

[x=ax-\-by,

在平面直角坐标系zOy中，利用公式《,」」①（其中a,6,c,d为实

,y=cx-\-ay,

数），将点尸（z，V）的坐标变换为点尸'（力'”'），我们称该变换为线性变换，也称

①为坐标变换公式，该变换公式①可由a,b,c,d组成的正方形数表「1唯一

[ab\—

确定，我们将称为二阶矩阵，矩阵通常用大写英文字母A,B,…表示.

\cdI

高一数学'试题卷第5页（共6页）

（I）在平面直角坐标系工。）中，已知P（3,l）,按照二阶矩阵T=

变换得到点P'，求点P'的坐标；

（口）如图，在平面直角坐标系zOy中，将点PGo）绕原点O按逆时针旋

转a角得到点P'（£，J）（到原点距离不变），求坐标变换公式及对应的二阶矩

阵；

（皿）向量审=（1，"（称为行向量形式），也可以写成磔=这种形式

的向量称为列向量，线性变换坐标公式①可以表示为：（：）=1"［（"），则称

d八;y

（：）是二阶矩阵（:与向量（；）的乘积，设二阶矩阵A=（：:卜沆=（：卜

元=（1是任意两个向量,求证:A（况+4）=A况+A4.

P'(x',y')

高一数学试题卷第6页（共6页）

郑州市2023-2024学年下期期末考试

高中一年级数学评分参考

第I卷（选择题，共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.

题号12345678

答案ADBADCAA

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

题号91011

答案ABCBDABD

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分.

12.避；13.—V3_____;14.」斗,9]__.

54

四、解答题：本题共5小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（本小题13分）

解：(1)va//b,5=26=(-2,22),

v\a\=4,:.22+422=16,2=±竽,

6分

(2)v(3-6)16,

(a-b)^b=0,即a^b-b2=0,|5|-|&|cos^=5,

4xV5413分

16.（本小题15分）

试卷第1页，共4页

解：(1)在三棱锥/—BCD中，因为。为的中点，

且48=40,则OZLAD,又平面4&D，平面BCD,

平面ABDPI平面BCD=BD,OAc平面ABD,

所以。1_L平面8co..........7分

3

(2)由题意可得三棱锥/-BCD与三棱锥E-BCD底面积相同，高之比等于一,

2

所以体积之比也为:.七,="_2=W

L20

因平面5CD,所以。/为三棱锥4-3C。的高，

由因为AOCD是边长为1的等边三角形，所以8A”八=也，则s人“八=",

ZAC/C1J4ZXDCZ/2

所以^A-BCD=；SABCD,=~~T*'OA=1,

36

作（W，CD,连NM,则NAMO即为平面ACD与面BCD所成二面角的平面角.

•/OA=1,OM=—,OALOM,:.AM=—.

22

cosZ.AMO=.........15分

V77

17.（本小题15分）

解：（1）因为6sin8—。sinC+（。一。）sin/=0.,

所以由正弦定理得〃-c2+（c-a）a=0,

整理得/+/—

由余弦定理得COS3="-+C2-*=_L,

2ac2

JT

因为0<3<］，所以3=w；.........7分

22

（2）由余弦定理得/=a+c-lac-cosB，

由（1）知COSB=L,且6=2,

2

所以22=a?+c2—ac2ac—ac—ac^

当且仅当。=c时等号成立，即囱4,

所以S=工•ac•sin8—x4xsin—=V3,

试卷第2页，共4页

即当A43c为正三角形时，A43C面积最大值为6；...................15分

18.(本小题小分)

解：⑴设第80百分位数为a,

H0.01X5+0.07X5+0.06x5=0.7<0.8,

0.01x5+0.07x5+0.06x5+0.04x5=0.9>0.8,

故a位于第四组：［35,40)内，所以0.7+(a-35)x0.04=0.8,

解得。=37.5..................7分

(2)设第四组的宣传使者的年龄平均数》=36,方差s；=g，第五组的宣传使者的年龄平均

数>=42，方差$=1，

设第四组和第五组所有宣传大使的年龄平均数为彳，方差为Y,

42

则一N2%4x+2y4x36+2x42

z=------------=----------=------------------=

666

即第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为38岁，

贝心2=!(4s；+4x4+2s；+2x16)=-(10+16+2+32)=10,

66

即第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差为10,

据此估计这m人中年龄在35〜45岁的所有人的年龄平均数为38,方差约为10...17分

19.(本小题17分)

［x'=lx3+lxl=4

解：⑴尸二,1“一P=(4,—2)..................4分

y=-lx3+lxl=-2

(2)设OP=OP=Y,APOx=6,则l=/馍5。，y=rsin0,AP,Ox=6+a,

故x'=rcos(9+a)=rcos8cosa—Tsinesina=xcosa—