高考数学一轮复习题型讲解+训练：常用逻辑用语（原卷版+解析）

2023高考一轮复习讲与练

02常用逻辑用语

秣；t考阙方向

1.（2023北京）设a,力均为单位向量，则［a—3W=|3a+"'是"a'的

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

2.（2023天津）设xeR,则“|x-一|<一”是“三<1”的

22

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.（2023上海）已知aeR,则“a>l”是“工<1”的（）

a

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.既非充分又非必要条件

4.（2023新课标I）设有下面四个命题

B：若复数z满足^cR,则ZWR；p,：若复数z满足Z2WR,则ZWR；

Z

］

“3:若复数Z,z2满足ZJZJeR,则4=马；p4：若复数zeR,则彳wR.

其中的真命题为（）

A.Pi，p3B.Pi,p4C.P2，P3D.P］，P4

5.（2023浙江）已知等差数列｛%｝的公差为d,前”项和为S"，贝U"d>0”是“S4+S6〉2S5”的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

7T7TI

6.（2023天津）设CeR,则“|。一一|<一”是“sin9<-”的

12122

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

7.（2023山东）已知命题p：Vx>0,ln（x+l）>0；命题q：若a>b,则/>/,下列命题为真命题

的是

A.p/\qB.pAqC.p/\qD.p/\q

8.（2023北京）设机，〃为非零向量，则"存在负数2,使得加=彳〃"是"帆•〃<（）"的

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

9.（2023年北京）设a力是向量，则"⑷=|臼”是“|a+W=|a-W”的

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

10.（2023年山东）己知直线a,b分别在两个不同的平面a,6内，贝/直线a和直线b相交"是"平面a和

平面6相交”的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

11.（2023年天津）设｛4｝是首项为正数的等比数列，公比为q,则"q<0"是"对任意的正整数〃，

4“-1+。2“<°”的（）

A.充要条件B.充分而不必要条件

C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件

锦典例备为考

常用逻辑用语

特

充

充

全

特

全

称

要

要

称

称

称

命

条

条

命

命

命

题

件

件

题

题

题

的

的

的

的

的

的

应

判

应

判

应

判

用

断

断

用

用

断

类型一、充分条件与必要条件的判断

1、充分条件与必要条件的概念

记p,q对应的集合分别为A,B,则

p是q的充分条件p=qAQB

p是q的必要条件q0PA^B

p是q的充要条件p~^Q且Q~^PA=B

p是q的充分不必要条件p=q且q弁pAB

p是q的必要不充分条件pAq且q=^pAB

p是q的既不充分也不必要条件pAq且q*p且A贴

2、判断充分、必要条件的2种方法：

（1）定义法：直接判断“若p,则q”“若q,则p”的真假.在判断时，确定条件是什么、结论是什么。

（2）集合法：利用集合中包含思想判定.抓住“以小推大”的技巧，即小范围推得大范围，即可解

决充分必要性的问题。

1.已知集合74=„=3匕左€阴，3=｛%限=62,2€叫，贝！I"xeA"是"xeB"的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

2.在等比数列｛。"｝中，"%>%"是"。3>4"的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

a>—3a+b>—6

3.已知，“：〈，则P是夕的（）

b>-3[ab>9

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.非充分非必要条件

4.ABC中，"A>3"是"cos2A<cos23"的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.（多选题）已知a,Z?eR,则使“a+b>l”成立的一个必要不充分条件是（）

4b+1

A.a2+b2>1B.|。|+|6|>1C.2"+2">lD.-+——>10

ab

6.已知空间中的两条直线m，〃和两个平面a,分，则的充分条件是（）

A.m±a,m0B.mua,nu0,m1n

C.mua,mD.m±n,m±a,n±J3

类型二、全（特称）称命题的判断

1.全称量词和存在量词

量词名称常见量词符号表示

全称量词所有、一切、任意、全部、每一个等V

存在量词存在一个、至少有一个、有些、某些等3

2.全称命题、特称命题及含一个量词的命题的否定

命题

语言表示符号表示命题的否定

名称

全称对〃中任意一个X,有YxGM,

三刘£弘㈱夕（照）

命题夕（X）成立夕（x）

特称存在〃中的一个X。，使mxoeM,

PxGM,03

命题,（刘）成立夕（Xo）

3.全称命题与特称命题真假判断的方法

要判断全称命题p（x）”是真命题，需要对集合〃中的每一个元素X,证明p（x）成立；要判断

特称命题是真命题，只要在限定集合内找到一个X=X。，使0（刘）成立即可.

4.全称命题与特称命题的进行否定的步骤

（1）改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写.

（2）否定结论：对原命题的结论进行否定.

1.命题“V。，b>0,a+^22和b+工N2至少有一个成立”的否定为（）

ba

A.Va,b>0,a+°<2和b+^<2至少有一个成立

ba

B.Va,b>0,a+工22和b+422都不成立

ba

C.3a,b>0,a+工<2和b+4<2至少有一个成立

ba

D.3o,b>0,a-\----22和b+!》2都不成立

ba

2.命题“三。>0,方程x?—无+c=0有解"的否定是（）

A.Bc>0>方程x+c=0无解B.3c>0,方程无2—尤+c=0有解

c.Vc>0,方程尤2一x+c=o无解D.VoO,方程x+c=0有解

3.（多选题）下列说法正确的有（）

A.VXGT?,—-<1B.HXG/?,—<x+1

x+1x

12n若"：n2则与〃2

C.若p:3nsN,n>T,则可：V〃EN,n<2D.V〃>4,2>n,<4,曾<n

4.（多选题）下列关于二次函数y=（x-2）2-1的说法正确的是（）

A.\/xeR,y=(x-2)2-1>1B.BXERFy=(x-2)2-l<a

C.\/a<-l,HXER,y=(x-2)2D-1.=HXa]w%，(七一2)—1——2)—1

5.(多选题)已知函数f(x)=X+COSX--,则下列选项正确的是()

2

A.3xoe^O,^,/(xo)>OB.3x0e^O,^,/(xo)<O

C.Vxe^O,1^,/(x)>O

0oD.VXOG^O,1^,/(XO)<O

6.下列命题中，真命题是()

B.VxG(0,JI),sinx>cosx

C.x+x=­2D.VxG(0,+°°),e，>x+l

类型四、充分、必要条件的应用

已知充分、必要条件求参数取值范围的解题策略:

（1）解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合的包含、相等关系，然后列出有

关参数的不等式（组）求解.

（2）涉及参数问题，直接解决较为困难时，可用等价转化思想，将复杂、生疏的问题转化为简单、熟悉

的问题来解决，如将之间的关系转化成0,g之间的关系来求解.

［提醒］求解参数取值范围时：（1）注意对区间端点值的处理；（2）注意条件的等价变形.

7T

1.（多选题）已知aeR,则使命题㈤，f-sin尤-a20"为真命题的一个充分不必要条件是（）

乃2_4乃2_4

A.a<\B.a<2C.a<-----D.a<-----

44

2.已知集合4={2,3},B={X|X2+/7ZX+6=0},若“xeA”是“％eB”的必要条件，则实数加的取

值范围是（）

A.-2V6<m<2V6B.-2V6<m<2V6

C.-2V6<m<2V6D,-2V6<m<2V6

3.（多选题）命题"V无e氏2丘2+区一=<0"为真命题的一个充分不必要条件是（）

O

A.（—3,0）B.（—3,0］C.（一3,—1）D.（―3,+（»）

4.已知集合「={幻/一5<%<2。+5},。={》|（1+%）（1-；0〉0},若“无cP”是“xe。”的必要不充分条

件，则实数。的取值范围是.

5.写出一个使命题“玄42,3）,皿2一.一3>0”成立的充分不必要条件（用机的值或范围作答）.

类型五、特称、全称命题的应用

1.（多选题）若命题仅2-1b2+4（1-4卜+3<0”是假命题，则上的值可能为（）

A.-1B.1C.4D.7

2.若命题“Vxe{x|0<2x—3<5},一次函数y=3x—a的图象都在x轴下方”为真命题，则实数。的取

值范围是（）

A.m<12B.m>12C.m<12D.m>12

3.（多选题）若叫e1,2,使得2年-入。+1<0成立是假命题，则实数4可能取值是（）

3L9

A.—B.2A/2C.3D.—

272

4.已知命题夕：壬〃e{4-1<mW1},4一5々+3<m+2，若。是假命题,则实数a的取值范围是.

巩国珠刃

1.已知复数Z,则"z2=-z"是"Z为实数"的（）条件

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

2.已知命题?HxeR,℃2+2%+1=0,若命题o是假命题，则实数a的取值范围是（）

A.{a\a31}B.{a\a<V\C.{a\a>1}D.{a\a<V\

3.“log"，w>0"是的（）条件

A.充分非必要B.必要非充分C.充要D.既非充分也非必要

4.设xeR,贝！|"sinx=l"是"cosx=0”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

5.已知a,b是不同的直线，方是不同的平面，且则“a〃人是"c〃夕”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要

6.已知命题0：YxGR,af+2x+3>0.若命题p为假命题，则实数a的取值范围是（）

a|a<ga|O<aV；

A.B.

C.<a|a<-D.tz|G>j

7.若夕是q的充分条件，q是厂的必要条件，q是$的充分条件，厂是s的必要条件，贝"是。的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

8.使“a>b”成立的一个充分不必要条件是（）

A.a>b+lB.—>1C.a2>及D.a3>b3

b

9.（多选题）下列命题的否定中，是全称命题且为真命题的有（）

A.七06尺，片-无o+：<OB.所有的正方形都是矩形

C.3x0eR,焦+2/+2=。D.至少有一个实数%,使/+1=0

10.（多选题）下列命题中，是全称命题且是真命题的是（）

A.\/xeR,%2-尤+120B.所有正方形都是矩形

4

C.V无eR,%2+2X+2^0D.HXGR,x3+1=0

11.下列命题正确的是（）

A."关于x的不等式32+x+"?>。在R上恒成立，，的一个必要不充分条件是根

B.设x,yeR,则“乂.2且y..2"是“/+,⑷，的必要不充分条件

C."a>l"是",<1”的充分不必要条件

a

D.命题"*e[0』,x+%0"是假命题的实数。的取值范围为{臼a>0}

12.（多选题）下列说法正确的是（）

A."Vr>0,ex>x+l”的否定形式是“HxWO,ex<x+l"

B."sinx=彳1"的一个充分不必要条件是"x=5?兀"

26

C.两个非零向量.，6，",=M，且://力"是"ai"的充分不必要条件

D.VxeT?,x2+x+l>0

13.（多选题）下列命题为真命题的是（）

A.命题P：“HxeR,尤2+3尤一2<0"的否定为M：“VxeE,^2+3^-2?0"

B.若。，b,加为实数,则"由2>加严是"a>b"的充分不必要条件

C.平面向量a，b的夹角为锐角的充要条件是a-b>0

D若b为实、数，，则\a>是\k\a6b>>l2的充要条_件

14.（多选题）下列说法正确的是（）

TT

A."x=/是"tanx=l"的充分不必要条件

B.若a、bcR,则“毛+/"0〃是%、6不全为0”的充要条件

C.命题都有闭<1"的否定是"现21,使得|修21”

D.命题P：“若°>>，则a”〉AW"的否定是真命题

15.（多选题）下列说法正确的是（）

A.若a,beR^.a+b>4,贝!Ja,b至少有一个大于2

B."3x&R,2工=1"的否定是"以€11,2n'

C."a>l,b>l",是"而>1"的必要不充分条件

D.ABC中，A是最大角，贝「sinZQsinZB+si/C^ABC为钝角三角形”的充要条件

A4-mb

16.能够说明"若，均为正数，则"‘是真命题的充分必要条件为.

a+ma

21

17.己知q>0,b>0,a+2b=l请写出使得"/"<-+："恒成立的一个充分不必要条件为________.（用

ab

含根的式子作答）

18.已知p：x2-（2o-2）x+（o-3）（fl+l）<0,q：/+>2<0.若p是q的必要不充分条件，则实数a的取

值范围是.

19.设a：尤4一5或x>l,P：%<-2m-2^x>-2m+l,meR,a是£的充分不必要条件，贝！I

实数加的取值范围是.

20.已知/={x|a〈x〈a2},B={x\（x-l）（x-4）<0},命题0：x^A,命题g：xGB.

（1）若1G4求实数a的取值范围；

（2）若〃是。的充分不必要条件，求实数a的取值范围.

21.求证：关于x的方程/+如+2=0有一个根小于1，另一个根大于1的充要条件是加<一3.

22.请在①充分不必要条件，②必要不充分条件，③充要条件这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，

若问题中的实数加存在，求出加的取值范围；若不存在，说明理由.

已知集合4={%|—2<x<6},B={x\l-m<x<l+m},若xeA是xeB成立的条件，判断实数

加是否存在？

23.不等式痣>1的解集是A,关于x的不等式入4…5底。的解集是反

(1)若机=1,求AB；

(2)若=求实数"?的取值范围.

—x_640__...、

⑶设P：实数x满足/_4依+3a2<0,其中。>0,命题0：实数x满足-2->0•若「是"的必要不充分

条件，求实数。的取值范围.

亮的定义域为集合A,函数g(x)=Jf-Qa+Dx+^+a的定义域为集合B,

24.已知函数/(x)=

(1)当a=0时，求AB；

(2)设命题p：xeA,命题p是q的充分不必要条件，求实数。的取值范围.

2023高考一轮复习讲与练

02常用逻辑用语

稼龙考明方向

L（2023北京）设4,力均为单位向量，贝广,―34=囱+中是"4,万"的

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

答案：C

【解析】V\a-3b\=\3a+l^,二（a-3Z>）2=（3a+Z>）2,；.a2-6ab+9b2=

9a2+6a-b+b~,

又|a|=传|=1,a•方=0,.反之也成立，故选C.

11：

2.（2023天津）设xeR,则“|x-一|<一”是“^<1”的

22

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

答案：A

11,

【解析】通解由|x-一|<-,得。<为<1,所以0<丁<1；由丁<1,

22

11[

得x<l，不能推出0<x<l.所以“|x-一—”是“丁<1”的充分而不必要条件，

22

故选A.

11二

优解由|x-一|<-,得0<x<l,所以0<尤3<1,所以充分性成立；

22

取X=_L,贝J_—工|=3〉工，（-1）3=--<1,所以必要性不成立.故选A.

44242464

3.（2023上海）已知aeH,贝ij"a>l”是“工<1”的（）

a

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.既非充分又非必要条件

答案：A

【解析】由。>1可得，<1成立；当工<1,即4―1=匕4<0,

aaaa

解得a<0或a>l,推不出a>l一定成立；所以“a>l”是“工<1”的充分非必要

a

条件.故选A.

4.（2023新课标I）设有下面四个命题

为：若复数Z满足LeR,则zeR；Z：若复数z满足z?eR,则zwR；

z

2：若复数满足Z]Z2CR,则Z[=马；「4：若复数zwR,则彳eR.

其中的真命题为（）

A.Pi，P3B.Pi，P4C.p2,P3D,P2,P4

答案：B

[1It,

【解析】设2=。+历（a,beR）,则一=-------二eR,得3=0,所以zwR,

2（a+历）a2+b2

Pi正确；z2=（«+bi）2^a2-b2+2abieR,则ab=0,即。=0或Z?=0,不能确

定z$R,P2不正确；若ZER,则Z?=0,止匕时N=a—历=a^R,正确.选B.

5.（2023浙江）已知等差数列｛4｝的公差为d,前〃项和为S„,贝『'd>0”是“S4+S6>2s5”

的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

答案：C

【解析】•••（S6—S5）—（S5—SD=&—%=d，当d>0，可得J+S6>2§5；当S4+S6>2S5,

可得d〉0.所以“d>0”是“邑+$6〉2s$”充分必要条件，选C.

7T7TI

6.（2023天津）设R,贝|“|。一五|〈五”是“sin6<5”的

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

答案：A

【解析】由|。—一|<一，得0<。<生，所以sin6<一,反之令9=0,有sin8<一成

1212622

TTTTTTTT,I

立，不满足|夕-一|<一,所以“|。-一|<一”是“sin8<—”的充分而不必要条

121212122

件.选A.

7.（2023山东）已知命题p：Vx>0,ln（x+1）>0；命题q：若a>〃，贝”〃>分,下

列命题为真命题的是

A.p/\qB.pNqC.rp八qD.p/Cq

答案：B

【解析】Vx>0,x+l>l,所以ln（x+l）>0，所以p为真命题;右a>b>0，则a?>b2'

若》<a<0,则0<-a<-），所以/<〃，所以为假命题.所以0A7为真命题.选

B.

8.（2023北京）设机，〃为非零向量，贝/存在负数2,使得帆=彳〃"是"g〃<0"的

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

答案：A

【解析】因为帆，〃为非零向量，所以帆力=17〃||〃|COS<»/,〃><0的充要条件是

cos<m,n><Q.因为4<0,则由可知根,〃的方向相反，<nz,”〉=180,所

以cos<»/,〃><0,所以“存在负数,，使得帆=2〃"可推出"帆•〃<（）”；而加・〃<€）

可推出cos<»/,〃><0,但不一定推出根,〃的方向相反，从而不一定推得“存在负数4,

使得帆=2〃"，所以“存在负数；I,使得帆=2〃”是“加•〃<（）”的充分而不必要条件.

9.（2023年北京）设a力是向量,则“|a|=|臼"是“|a+w=|a”的

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

答案：D

【解析】取。=—方力0，贝山。|=|万快0,|a+M=|0|=0,\a-b\=\2a\^0,所以

\a+b\^\a-b\,故由|a|=|加推不出|a+8|=|a—川.由|a+L|=|a—切,得

\a+b\1=\a-b^,整理得a•方=0,所以aD,不一定能得出|a|=|〃|,故由

|a+b|=|a—中推不出|。|=传1，故"|a|=IW"是“|。+川=十一切”的既不充分

也不必要条件，故选D.

10.（2023年山东）已知直线a,b分别在两个不同的平面a,6内，则"直线a和直线b相

交"是"平面a和平面6相交”的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

答案：A

【解析】若直线a,。相交，设交点为尸，则匕，又aua,Z?u尸，所以Pca,Pc/?,

故a,夕相交.反之，若a,万相交，则。,。可能相交，也可能异面或平行.故"直线。和

直线b相交"是"平面a和平面6相交”的充分不必要条件.故选A.

11.（2023年天津）设｛4｝是首项为正数的等比数列，公比为q,贝旷q<0"是"对任意的正

整数〃,%"-1+/2"<。"的（）

A.充要条件B.充分而不必要条件

C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件

答案：C

n

【解析】由题意得，an^alq~\al>0),+生〃=6/"?=q/""l+q),

若q<0,因为1+4得符号不定，所以无法判断。2“-1+。2”的符号；反之，若

%+」2,<0,即01425T)(乡+1)<0,可得。<一1<°,故"q<0"是"对任意的正整

数“，出“-I+。2〃<°"的必要不充分条件，故选C.

针柒例备名考

/----------------------\

常用逻辑用语

特

王

充

充

全

称

称g

要

要

称

称

命

命

条

条

命

命

题

题

件

件

题

题

的

的

的

的

的

的

应

判

判

应

应

判

用

断

断

用

用

断

类型一、充分条件与必要条件的判断

1、充分条件与必要条件的概念

记p,q对应的集合分别为A,B,则

p是q的充分条件p0qA^B

p是9的必要条件q=pA卫B

p是q的充要条件p0q且q=pA=B

p是q的充分不必要条件p=q且q今pAB

p是q的必要不充分条件pAq且q=^pAB

p是q的既不充分也不必要条件pAq且q*p且磔8

2、判断充分、必要条件的2种方法：

(1)定义法：直接判断“若p,则q”“若q,则p”的真假.在判断时，确定条件是什

么、结论是什么。

(2)集合法：利用集合中包含思想判定.抓住“以小推大”的技巧，即小范围推得

大范围，即可解决充分必要性的问题。

1.已知集合A={x|x=3上/eN},B=^x\x=6z,zeN},贝!j"xeA"是"xeB"的

()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要

条件

答案：B

【解析】因为A={x|%=3左，左eN},B=^x\x=6z,z^N^,所以集合3是集合A的子集,

所以“xeA”是的必要不充分条件。

2.在等比数列{4}中，"%＞%"是"/＞必”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要

条件

答案：C

分析：根据条件，由等比数列通项公式可得［＞。?。4。-4)＞。、生〉/。。/。-/)》。，

结合因式分解及充分、必要性定义判断条件间的关系.

【详解】设公比为4,由下＞出=生一%＞。0%(1-4)＞。,

由%&o%—必＞。oq/—＞oo%q2(i-/)〉。，所以

qq-(1_/(］+q+夕-)＞0.

3

由1+q+q-+->0,q#0,可得%>4O%(1-4)>0,所以"4>%"是

4

"生＞小”的充要条件.

a>—3a+b>—6

3.已知p：〈，，，则P是夕的()

b>-3[ab>9

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.非充分非必要条件

答案：B

【解析】对于命题P：［bu＞＞—_33'可得到但是"与9没有关系，当命题

a+b>-6

整理(a+3)S+3)=〃Z?+3(〃+b)+9>9+9—18=0,即得至lj

ab>9

ci