2024年中考数学压轴题冲刺卷（含解析）

2024年中考数学冲刺专题卷12压轴题

一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符

合题目要求的）

1.（2024•江苏中考真题）如图，ZkABC中，AB=AC=2,ZB=30°,AABC绕点A逆时针旋转a（0〈a<120°）

得到AAB'C',与BC,AC分别交于点D,E.设CD+nE=x,AAEC'的面积为V,则V与为的函数

图象大致为（）

【答案】B

【解析】

连接B'C,作AHLB'C,垂足为H,

VAB=AC,ZB=30°,

AZC=ZB=30°,

「ZXABC绕点A逆时针旋转a(0<a<120°)得到AAB'C,

.♦.AB'=AB=AC=AC'=2,NAB'C=NC'=30°,

.•.AH」AC'=1,

2

C，H=yjAC'2—AH2=V3,

.*.B/C=2C'H=2出，

「AB'=AC,

.♦.NAB'C=/ACB',

VZABZD=/ACD=30°,

.'./AB'C-ZAB,D=ZACB/-ZACD,

即NDB'C=ZDCB,,

/.B,D=CD,

VCD+DE=x,

.\B,D+DE=x,即B'E=x,

：.CE=B，C-B'E=2百-x,

.•.y=-C,E-AH=-X（2J3-x）Xl=--%+73,

222

视察只有B选项的图象符合题意，

故选B.

1,

2.(2024•四川中考真题)如图，抛物线y=—必-4与左轴交于4、3两点，P是以点C(0,3)为圆

-4

心，2为半径的圆上的动点，。是线段%的中点，连结OQ.则线段的最大值是()

A.3B.叵।

D.4

2

【答案】C

【解析】

1,

•..抛物线丁=一厂一4与x轴交于4、3两点

-4

AA(-4,0),B(4,0),即0A=4.

在直角三角形COB中

BC=yj0C2+0B2=A/32+42=5

：Q是AP上的中点，。是AB的中点

.".OQ为4ABP中位线，即OQ=-BP

2

又：P在圆C上，且半径为2,

...当B、C、P共线时BP最大，即0Q最大

此时BP=BC+CP=7

17

OQ=-BP=-.

22

3.(2024•山东中考真题)如图，点A的坐标是(-2,0),点B的坐标是(0,6),C为OB的中点，将△ABC绕

人的图象恰好经过A3的中点D,则k的值是()

点B逆时针旋转90°后得到AA'B'C.若反比例函数y=

X

A0x

A.9B.12C.15D.18

【答案】c

【解析】

作轴于

A0x

•：ZAOB=ZAHB=ZABA=90°，

AABO+ZABH=90°，ZABO+ZBAO=90°,

：.ZBAO=ZA,BH,

BA=BA，

AOB^BHA'(AAS),

：.OA=BH,OB=A;H,

•••点A的坐标是(—2,0),点3的坐标是(0,6),

OA=2,OB=6,

ABH=OA=2,AH=OB=6,

：.OH=4,

.••A(6,4),

,:BD=AD，

：.0(3,5),

•反比例函数y=七的图象经过点。，

x

：.k=15.

故选：C.

4.(2024•四川中考真题)如图，在四边形ABCD中，ABDC,ZADC=9Q，AB=5,CD=AD=3,

点E是线段CD的三等分点，且靠近点C,NEEG的两边与线段AB分别交于点/、G,连接AC分别

3

交EF、EG于点H、K.若3G=—,NFEG=45°，则HK=()

2

DEC

AFGB

A.巫B.述「3A/2口13^

3626

【答案】B

【解析】

VZADC=90，CD=AD=3,：.AC=3A/2>

37

VAB=5,BG=-,：.AG=~,

22

?ECKEK

ABDC,：.ACEK:AAGK,：.-

/\G~AK~KG'

1_CKEK

.CKEK2

'AK~KG~1

2

CK+AK=3,\/2，♦•CK-.........,

3

过E作石AB于“，则四边形A£>EM是矩形,

3

，£M=AT)=3,AM=DE=2,；.MG=一,

2

EG=ylEM2+MG2=述，

2

..EK2,...EK=@

.~KG73

ZHEK=ZKCE=45°，ZEHK=ACHE,

HEEC1_3

AHEK:AHCE,：.HK~EK~45~45，

~T

:.设HE=3x,HK=0，

EHHK

AHEK:AHCE,：.——=——，

HCEH

3x1—i-

・・・厂20=17,解得：%=辿，.・.HK=2,

、5x~\----66

AFMGB

5.（2024•辽宁中考真题）如图，正方形/皿和正方形C6笈的顶点4D,£在同一条直线上，顶点aC,

G在同一条直线上.。是班的中点，的平分线加过点〃交庞于点〃，连接加交比于点瓶连接

BC-S

OH.以下四个结论：①GH1BE；②△倒8△例F；③一=A/2-1；④优”"=2-应，其中正确的结

CG3HOG

论是（

C.①③④D.②③④

【答案】A

【解析】

如图，

四边形ABCD和四边形CGFE是正方形,

；.BC=CD,CE=CG,ZBCE=ZDCG,

在4BCE和4DCG中，

BC=CD

<NBCE=ZDCG

CE=CG

：.ABCE^ADCG(SAS),

/.ZBEC=ZBGH,

VZBGH+ZCDG=90°,ZCDG=ZHDE,

NBEC+/HDE=90°,

/.GH±BE.

故①正确；

「△EHG是直角三角形，。为EG的中点,

.".OH=OG=OE,

.•.点H在正方形CGFE的外接圆上，

：EF=FG,

・・・NFHG=NEHF=NEGF=45°，ZHEG=ZHFG,

・•・AEHM^AGHF,

故②正确；

ABGH^AEGH,

，BH=EH,

又TO是EG的中点，

・・・HO〃BG,

・•・ADHN^ADGC,

DNHN

,~DC~~CG

设EC和OH相交于点N.

设HN=a,则BC=2a,设正方形ECGF的边长是2b,则NC=b,CD=2a,

b-2a_a

2a~2b

即a2+2ab-b2=0,

解得：a=b=(T+&)b,或8=(-1-72)b(舍去)，

—=V2-1

2b

.•竺4

CG

故③正确；

ABGH^AEGH,

；.EG=BG,

VHO是AEBG的中位线，

1

.*.HO=-BG,

2

1

.\HO=-EG,

2

设正方形ECGF的边长是2b,

；.EG=2夜b,

，HO=6b,

V0H/7BG,CG〃EF,

，OH〃EF,

AMHOAMFE,

.OM_OH_V2b_V2

"EM-EF

；.EM=0OM,

.OM.。"_1_£1

"OE（1+V2）OMl+y/2

.S&HOM=忘i

SAHOE

VEO=GO,

••SAHOE-SAHOG>

.S^HOM_^2_]

S^HOG

故④错误，

故选：A.

6.（2024•湖北中考真题）抛物线》=改2+"+。的对称轴是直线工二―[,且过点（1,0）.顶点位于其

次象限，其部分图像如图所示，给出以下推断：

①历>0且c<0；

②4Q-2/?+C>0；

③8a+c>0；

@c=3a-3b；

2

⑤直线y=2x+2与抛物线y=ax^-bx+c两个交点的横坐标分别为百、“，则%+々+玉•%2=-5.其中

正确的个数有（）

A.5个B.4个C,3个D.2个

【答案】C

【解析】

•・•对称轴在y轴左侧，图象与y轴交于y轴正半轴，

ab>0,c>0,故①错误，

•・•图象过点(1,0),对称轴为x=-l,

・•・图象与x轴的另一个交点为(-3,0),

・・,抛物线的开口向下，

・・a<0,

x=-2时,4a-b+c>0,故②正确,

b

•・•对称轴x=——=-1,

2a

.*.b=2a,

Vx=l时，a+b+c=0,

3a+c=0,

8a+c=5a<0,故③错误，

3a+c=0,

・・c=-3a.,

3a_3b=3a-3X2a=-3a=c,故④正确,

ax?+bx+c=2x+2,

整理得：ax2+(b-2)x+c-2=0,

2

・・・直线y=2%+2与抛物线y=ax+bx+c两个交点的横坐标分别为石、%2,

b—2c—2—2。+2+(-3〃)-2,—

xi+x2+xi•X2=------+-----=------------------二一5，故⑤正确，

aaa

综上所述：正确的结论为②④⑤，共3个.

故选C.

7.如图，在四边形力及力中，AD//BC,ZABl=90o,£是26上一点，且应工若BC=2,CD=3,则

方与龙的数量关系正确的是

A.C及道DEB.C&叵DE

C.C匕3DED.C躇2DE

【答案】B

【解析】过点。作掰，闱垂足为〃,除2,.•.阱1,依据勾股定理可得D+AF《DC?-CH°=20，

'：AD//BC,ZAB(=90°,.\ZA=90°,AZAED^ZADJ^90

AT)AEDE

又,：DEICE,：.AAED^ABEOW,:./ADE=/BEC,JRSADEsRSBEC,：.—=—设BJEFX,

BEBCCE

即_L=拽二I,解得尸0,.•._^=生，即上0£>E，故选B.

则/£=20-尤,

x272cH

8.（2024•山东中考真题）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且NEAF=45°,AE、

BE

AF分别交BD于M、N,连按EN、EF、有以下结论：①AN=EN,②当AE=AF时，——=2-、笈，③BE+DF=

EF,④存在点E、F,使得NF>DF,其中正确的个数是（

C.3D.4

【答案】B

【解析】

①如图1,

图1

•・•四边形ABCD是正方形，

・・・NEBM=NADM=NFDN=NABD=45°,

•・・NMAN=NEBM=45°,NAMN=NBME,

・•・AAMN^ABME,

.AM_MN

•・•ZAMB=ZEMN,

.・・AAMB^ANME,

・•・NAEN=NABD=45°

・・・NNAE=NAEN=45°,

•••△AEN是等腰直角三角形，

・・・AN=EN,

故①正确；

②在4ABE和4ADF中，

AB=AD

・.・</ABE=/ADF=90°,

AE二AF

ARtAABE^RtAADF(HL),

・・・BE=DF,

VBC=CD,

・・・CE=CF,

假设正方形边长为1,设CE=x,则BE=l-x,

图2

VAE=AF,CE=CF,

・・・AC是EF的垂直平分线，

・・・AC_LEF,OE=OF,

1J?

Rt^CEF中，OC=-EF=—x,

22

△EAF中，ZEA0=ZFA0=22.5°=NBAE=22.5°,

AOE=BE,

VAE=AE,

ARtAABE^RtAAOE(HL),

・・・AO=AB=1,

AC=yf2=AO+OC,

x—2-，

.BE_=1_(2_衣=(夜_])(2+衣=受

,,EC2-7222

故②不正确；

③如图3,

...将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABH,则AF=AH,ZDAF=ZBAH,

VZEAF=45°=/DAF+NBAE=NHAE,

VZABE=ZABH=90°,

.•.H、B、E三点共线，

在AAEF和中，

AE=AE

<ZFAE=ZHAE,

AF=AH

AAAEF^AAEH(SAS),

；.EF=EH=BE+BH=BE+DF,

故③正确；

④ZXADN中，ZFND=ZADN+ZNAD>450,

ZFDN=45",

；.DF>FN,

故存在点E、F,使得NF>DF,

故④不正确；

故选B.

二、填空题(本大题共4个小题，每小题6分，共24分)

x-21

------V—x+2a

9.若数a使关于x的不等式组《22有且仅有四个整数解，且使关于y的分式方程--+

一y一2

2x+4>—a

2

--=2有非负数解，则满意条件的整数a的值是

2-y

【答案】-2

x—2,1x<3

------<—x+2

【解析】解不等式组《22,可得<〃+4，;不等式组有且仅有四个整数解,

x>--------

2%+4〉—a2

解分式方程一二十―一二2,可得尸”2,

2y-22-y2

又;分式方程有非负数解，.』三0,且上2,即^—20,匕上手2,解得心-2且收2,・・・-2WM3,

22

且aW2,

.••满意条件的整数a的值为-2,故答案为：-2.

10.(2024•江苏中考真题)如图，过点C(3,4)的直线y=2x+Z?交x轴于点A,ZABC=90°,AB=CB,曲线

k

y=—(x>0)过点B,将点A沿y轴正方向平移。个单位长度恰好落在该曲线上，则。的值为.

x

【答案】4

【解析】

分别过点B、点C作y轴和X轴的平行线，两条平行线相交于点M,与X轴的交点为N,则/M=/ANB=90°,

把C⑶4)代入y=2x+Z?,得4=6+b,解得：b=-2,

所以y=2x-2,

令y=0,则0=2x-2,解得:x=l,

所以A(l,0),

VZABC=90°,

・・・NCBM+NABN=90°，

VZANB=90°,

・・・NBAN+NABN=90°,

JZCBM=ZBAN,

XVZM=ZANB=90°,AB=BC,

・•・AABN^ABCM,

AAN=BM,BN=CM,

VC(3,4),・••设AN=m,CM=n,

m+n=4m=3

则有《1C，解得<

"2+1—〃=3n-\

・・・0N=3+l=4,BN=1,

・・・B(4,1),

k

•・,曲线y=—(x>0)过点B,

x

・・・k=4,

4

••y——，

x

・・,将点A沿y轴正方向平移。个单位长度恰好落在该曲线上，此时点A移动后对应点的坐标为(1,a),

a=4,

故答案为：4.

k

11.（2024•四川中考真题）如图，反比例函数y=—（龙〉0）的图象经过矩形Q4BC对角线的交点“，分

别交A3,BC于点、D、E.若四边形OD班的面积为12,则左的值为.

【答案】4

【解析】

；E、。位于反比例函数图象上，

SAOCE=万阳，SAOAD=，

过点M作MGJ_y轴于点G,作肱VI.光轴于点N,

四边形0NMG是矩形,

,,S矩形0AMG=I札

•••M为矩形ABCO对角线的交点,

,,S矩形ABCO=4s矩形01yMG=4阀，

••・函数图象在第一象限,

k>0,

S矩形ABCO=SAOCE+^\OAD+S四边彩ODBE=~k+―k+12=4k,

12.（2024•辽宁中考真题）如图，直线y=！x+l与x轴交于点〃,与y轴交于点4过点/作ABLAM,

3

交x轴于点8,以为边在48的右侧作正方形延长4c交x轴于点身，以/心为边在4方的右侧作

正方形46c4…依据此规律接着作下去，再将每个正方形分割成四个全等的直角三角形和一个小正方形，

每个小正方形的每条边都与其中的一条坐标轴平行，正方形46K4,…，4_1纥_。—4中的阴影

r\4n-2

【答案】.

32"

【解析】

在直线y=gx+l中，当x=0时，y=l；当y=0时，x=—3；

A04=1,OM=3,：.tanZAM0=~,

3

•••ZOAB+ZOAM=90°，ZAMO+ZOAM=90°，

ZOAB=ZAMO,

tanNOAB=——=-,OB=—.

OA33

：正方形ABCA,中的四个小正方形都与△//全等,

第一个阴影正方形的边长为：1-工=2,

33

同理：tanZCBE=空=tanZOAB=

1BC3

BC=-BC=-AC=-AB,

1333

4

:.Aa=—AB,

sgs

16

同理可得S3=^S2=Is-

4(2丫

x—=X

9

故答案为：:

32,,

三、解答题(本大题共3个小题，每小题12分，共36分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

13.(2024•山西中考真题)综合与探究

如图，抛物线y=ox?+bx+6经过点A(-2,0),B(4,0)两点，与V轴交于点C,点D是抛物线上一个动点,

设点D的横坐标为加(1＜相＜4).连接AC,BC,DB,DC.

(1)求抛物线的函数表达式；

3

(2)ABCD的面积等于△AOC的面积的一时，求m的值；

4

(3)在(2)的条件下，若点M是x轴上的一个动点，点N是抛物线上一动点，试推断是否存在这样的点M,使

得以点B,D,M,N为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请干脆写出点M的坐标；若不存在，请说明理

由.

【答案】⑴y=—^^+5工+6；(2)3；(3)^(8,0),^2(0,0),^3(714,0),^4(-714,0).

【解析】

(1)抛物线y=ax2+/zx+c经过点A(-2,0),B(4,0),

4〃一2/7+6=0

16〃+4b+6=0

3

a=——

4

解得

b=-

2

33

二抛物线的函数表达式为y=--x2+-%+6；

⑵作直线DE，x轴于点E,交BC于点G,作CFLDE,垂足为F,

丁点A的坐标为(-2,0),；.0A=2,

由x=0,得丁=6,.,.点C的坐标为(0,6),；.OC=6,

SAOAC——•OA.,OC——x2x6=6,

22

・・_3

•SABCD=—SAA0C，

4

._3-9

・・SABCD=—X6二—,

42

设直线BC的函数表达式为丁=履+〃，

4k+n=Ok=—

由B,C两点的坐标得＜,，解得〈2,

n=6/

I[n=b

3

・•・直线BC的函数表达式为y=--x+69

_3

・••点G的坐标为(m,-—m+6),

3333

DG=——m9+—m+6—(—m+6)=——m?+3m,

4224

•••点B的坐标为(4,0),A0B=4,

•••SABCD=SACDG+SABDG=-DGCF+-DGBE=--DG(CF+BE)=-DGBO,

2222

132-»\432

SABCD=—(z------m+jtn)x4=—m~+otn，

242

/.——3m2~+zom=9—,

22

解得mA=1(舍)，，％=3,

/.加的值为3；

⑶存在，如下图所示，以BD为边或者以BD为对角线进行平行四边形的构图,

以BD为边时，有3种状况，

D点坐标为(3,—)，:.点N点纵坐标为土?，

当点N的纵坐标为”■时，如点此，

4

3315

此时——%2+—%+6=一,解得：石=-1,%2=3(舍)，

424

.・・3(-1,5，见。，。)；

当点N的纵坐标为-"时，如点N3,N4,

4

止匕时一乡/+乡尤+6=一竺，解得：%,=1+V14

42412

乂(1+^/1^,-■—),?/4(l—^/14,,

M3(714,0),M(—9,0)；

以BD为对角线时，有1种状况，此时N1点与N2点重合，

「M(-1,二)，D(3,；)，

44

ANiDM,

・・・BMi=NiD=4,

0Mi=0B+BMi=8,

.,.Mi(8,0),

综上，点M的坐标为：41(8,0),叫(0,0),弧(而0),M4(-714,0).

14.(2024•广东中考模拟)己知四边形ABCD是。。的内接四边形，AC是。。的直径，DEXAB,垂足为E.

(1)延长DE交。0于点F,延长DC,FB交于点P,如图1.求证：PC=PB；

(2)过点B作BGLAD,垂足为G,BG交DE于点H,且点0和点A都在DE的左侧，如图2.若AB=指，

【答案】（1）详见解析；（2）ZBDE=20°.

【解析】

（1）如图1,〈AC是。。的直径，

AZABC=90°,

VDE±AB,

AZDEA=90°,

・•・ZDEA=ZABC,

・・,BC〃DF,

・•・ZF=ZPBC,

•・•四边形BCDF是圆内接四边形，

二•NF+NDCB=1800,

VZPCB+ZDCB=180°,

JNF=NPCB,

・•・NPBC=NPCB,

・・・PC=PB；

(2)如图2,连接0D,

图2

〈AC是。。的直径，

AZADC=90°,

VBG±AD,

AZAGB=90°,

・•・ZADC=ZAGB,

ABG/7DC,

VBC/7DE,

四边形DHBC是平行四边形，

.\BC=DH=1,

在RtZ\ABC中，AB二百，tanZACB=—=V3,

BC

：.ZACB=60°,

1

・・・BC二一AC二OD,

2

ADH=0D,

在等腰△DOH中，ZD0H=Z0HD=80°,

・・・N0DH=20°,

设DE交AC于N,

VBC//DE,

JNONH=NACB=60°,

AZN0H=180°-(ZONH+ZOHD)=40°,

AZDOC=ZDOH-ZN0H=40°,

VOA=OD,

1

AZ0AD=-ZD0C=20°,

2

AZCBD=Z0AD=20°,

VBC//DE,

AZBDE=ZCBD=20°.

15.（2024•广西中考真题）如图1,在正方形A5CD中，点£是A3边上的一个动点（点E与点不

重合），连接CE,过点3作的，CE于点G,交AD于点尸.

（1）求证：AABF名ABCE；