2024届高三新高考数学模拟预测训练二

2024届高三新改革高考数学模拟预测训练二

本套试卷根据九省联考题型命制，题型为8+3+3+5模式

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.（本题5分）有一组样本数据：15,16,11,11,14,20,11,13,13,24,13,18,则

这组样本数据的上四分位数是（）

A.11B.13C.16D.17

2.（本题5分）己知过点P（2,2）的直线/与圆C:（x-l）2+y2=5相切，且与直线/：依+y+1=。

垂直，贝（）

A.2B.-C.—D.—2

22

3.（本题5分）记数列｛4｝的前”项和为S“，若弓=1,5“+5“+[=31+2〃+1,则邑。=（）

A.590B.602C.630D.650

4.（本题5分）设加，〃是两条不同的直线，«,£是两个不同的平面，下列命题中真命题是

（）

A.若7"//0,“〃。,则根〃"；B.若机ua,〃u尸，加〃"，则tz//月；

C.若机_La,n/la,则机_L〃；D.若根ua,”ua,加〃,，〃//〃，则a//〃.

5.（本题5分）某学校高二年级开设4门校本选修课程，某班男生201寝室的5名同学

选修，每人只选1门，恰有1门课程没有同学选修，则该寝室同学不同的选课方案有（）

A.360种B.600种C.960种D.972种

6.（本题5分）己知。是，ABC的外心，AB+AC=2AO|O^|=|AB|,则向量AC在向量BC

上的投影向量为（）

3UUD

A.--BCB.邛配C.-BCD.上BC

444

7.（本题5分）若函数=coss（G>0）在（0㈤内恰好存在8个小,使得

则。的取值范围为（）

-197、（1971「725A（725~

A.B.C.D.

62J162」\_26J126」

22

8.（本题5分）已知椭圆E：二+与=l（a>b>0）的左焦点为尸，过焦点厂作圆V+

ab

的一条切线/交椭圆E的一个交点为A,切点为。，^.OA+OF=2OQ（。为坐标原点），则

椭圆E的离心率为（）

A.@B.—C.—D.—

3332

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

9.（本题6分）在.ABC中，角AdC所对的边分别为〃也c,下列说法中正确的是（）

A.若反osC+ccosB=6,则ABC是等腰三角形

B.若a=2,6=3,A=30,则符合条件的有两个

C.若sin2A=sin23,贝IABC为等腰三角形

D.若sin23+sin2C=sin2A,则ASC为直角三角形

10.（本题6分）已知非零复数4，z?在复平面内对应的点分别为Z-Z2,0为坐标原点,

则下列说法正确的是（）

A.若匕一1|=匕一1|,则闻=阂

B.若[z]+Z2|=|z「Z2|,则OZ「OZ；=0

C.若[Z[+Z2|=|Z1-Z2],则z/Z2=0

D.若|Z1+Z2|=|Z||+|Z2|,则存在实数乙使得Z2=,

11.（本题6分）已知函数的定义域为R,/（x+1）是奇函数，且VxeR,恒有/（〃x））=x,

当xe[a,l]时（其中0<a<l）,〃x）=alog"（x+b）.若/⑼+则下列说法正确的

是（）

A.“X）图象关于点。,0）对称

B.图象关于点（0,1）对称

C.4a+b=l

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.（本题5分）已知A=MO>13=｛尤尤42｝,若=则实数机的取值

范围是.

13.（本题5分）在正四棱柱ABCD-A4GA中，AB=4,AAt=6,M,N分别是AB,AD

的中点，则平面MNG截该四棱柱所得截面的周长为

14.（本题5分）记表max砌的｛/（X）｝示“力在区间可上的最大值，则max邳j]||x2-x+c||

取得最小值时，。=.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（本题13分）设函数〃x）=lnx+仪+6,曲线y=〃x）在点处的切线方程为

y=6x-3.

⑴求a,6的值；

2

⑵证明：/（x）＞---1.

16.（本题15分）如图，在三棱台ABC-AB©中，与4C相交于点。,84平面

ABC,AB=6,BC=4,BB[=2，Aq=屈,AE=2EB,且。E|平面BCG4.

s

⑴求的值;

3ABC

（2）求直线CC,与平面AB,C所成角的正弦值.

17.（本题15分）“九子游戏”是一种传统的儿童游戏，它包括打弹子、滚圈子、踢毯子、顶

核子、造房子、拉扯铃子、刮片子、损结子、抽陀子九种不同的游戏项目，某小学为丰富同

学们的课外活动，举办了“九子游戏”比赛，所有的比赛项目均采用2aT（〃Z2,〃eN*）局"胜

的单败淘汰制，即先赢下〃局比赛者获胜.造房子游戏是同学们喜爱的项目之一，经过多轮

淘汰后，甲、乙二人进入造房子游戏的决赛，己知每局比赛甲获胜的概率为。（。＜2＜1）,

乙获胜的概率为1-0.

2

（1）若〃=2,p=-,设比赛结束时比赛的局数为X,求X的分布列与数学期望；

⑵设采用3局2胜制时乙获胜的概率为外，采用5局3胜制时乙获胜的概率为A,若月>鸟，

求。的取值范围.

18.（本题17分）彗星是太阳系大家庭里特殊的一族成员，它们以其明亮的尾巴和美丽的外

观而闻名，它的运行轨道和行星轨道很不相同，一般为极扁的椭圆形、双曲线或抛物线.它

们可以接近太阳，但在靠近太阳时，由于木星、土星等行星引力的微绕造成了轨道参数的偏

差，使得它轨道的离心率由小于1变为大于或等于1,这使得少数彗星会出现“逃逸”现象,

终生只能接近太阳一次，永不复返.通过演示，现有一颗彗星已经“逃逸”为以太阳为其中一

个焦点离心率为右的运行轨道，且慧星距离太阳的最近距离为2石-2.

（1）求彗星“逃逸”轨道的标准方程；

⑵设双曲线的两个顶点分别为A，A,过4，人作双曲线的切线4，12,若点P为双曲线

上的动点，过p作双曲线的切线，交实轴于点。，记直线PA与4交于点M，直线即交4于

点N.求证：M,N,。三点共线.

19.（本题17分）随着大数据时代来临，数据传输安全问题引起了人们的高度关注，国际上

常用的数据加密算法通常有AES、DES、RSA等,不同算法密钥长度也不同，其中RSA的密

钥长度较长，用于传输敏感数据.在密码学领域，欧拉函数是非常重要的，其中最著名的应

用就是在RSA加密算法中的应用.设p,q是两个正整数，若°,q的最大公约数是1,则称p,

4互素.对于任意正整数小欧拉函数是不超过〃且与〃互素的正整数的个数，记为9（”）.

⑴试求夕⑴+夕⑼,。⑺+0（21）的值;

⑵设p,q是两个不同的素数，试用p,左表示。（明（左eN*）,并探究而与夕（。）和。⑷

的关系；

⑶设数列｛%｝的通项公式为令“='展。（3"'）（冽eN*）,求该数列的前加项的和

参考答案：

1.D

【详解】将样本数据由小到大排列依次为：11，11，11，13,13,13,14,15,16,18,20,

24,

因为12x；=9,所以这组数据的上四分位数为等更=17.

故选：D

2.D

2-0

【详解】点尸⑵2)在圆—+V=5上，则%,=0=2,

设切线斜率为3

所以_〃=勺=_/=bp=2,贝Ua=—2.

故选：D.

3.A

【详解】因为S“+SX=3〃2+2〃+1,

所以5的+S“+2=3(〃+1)2+2(〃+1)+1,

两式相减可得an+l+an+2=6〃+5=65+1)-1.

2

由q=l,51+S2=3xl+2xl+l=6,角星得〃2=4,

所以％+“2=5,满足上式，故%+。用=6"一1,

所以S20=(6+%)+(%+〃4)++(69+%0)

10x(5+113)

=5+17+29++113=——------^=590.

2

故选：A

4.C

【详解】若m//a,〃//a,则加〃〃或加与孔相交或加与〃异面，故A错误；

若mui,nu°,miln,则夕或。与夕相交，故B错误；

若用_La,nlla,由直线与平面垂直的性质可得机_L〃，故C正确；

若mua,〃ua,m//f3,nlIp,当加与〃相交时，有a//£,否则，。与夕不一定平行,

故D错误.

故选：C.

5.B

【详解】从4门课程中取出3门课程，有C：种方法,

C2c之

把5名同学分成3组，按1:1:3分组有C；种方法，按2:2:1分组有卡种方法,

把3门课程分配给上述分成的每一组有A；种方法,

C2C2if)x3

所以该寝室同学不同的选课方案有C；(C；+中闺=4x(10+1^)x6=600(种).

r\，2，

故选：B

6.C

【详解】由AB+AC=2AO，所以。是5c的中点，又。是,ABC的外心,

则NBAC=90,再由但=|叫"。小"烟"口小小。「

则,ABO为正三角形，ZAC5=30,

113

角度一：如图，过点A作垂足为。，则CD=-BC,

244

3

所以向量AC在向量5C上的投影向量等于。C=：BC.

4

角度二：设wq=2,则„=I,所以卜4=衣二F=后,

ACBC73x2xcos30-3

所以向量AC在向量3。上的投影向量等于石钎3C=-----金-----BC=-BC

4

故选：C.

7.D

7173.1

【详解】由题意可得：/(x)=sinCDX——-cosCDX=——SinCOX——COSCDX-coscox

622

A/3.371

=————coscox=CDX——

223

由=?可得sin（。毛一[=土;，

兀（兀兀

因为xe（0,兀），（D>0,贝!J0x—1e]—W，0TT—§

8.A

【详解】由题意可知：圆/+>2=廿的圆心为点。，半径为匕，c>b,

设椭圆E的右焦点为工，连接AF”

因为。A+OB=2OQ,可知点。为AF的中点，

且点。为尸鸟的中点，则。。〃人西，|钻|=2|。0=%,

由椭圆定义可知：|/S|=2a—|A£卜2a—⑦,

因为Q为切点，可知。。，A尸，则A居_1.4月,

可得|电「+|A尸「=优产「，即4/+（2。-26）2=4c?=4（4-6?）,

h2

解得2a=36,即±=—,

a3

所以椭圆石的离心率

故选：A.

9.ABD

【详解】对于A,由已知有Z?=hcosC+ccos8,故

sinB=sinBcosC+sinCeosB=sin(B+C)=sinA,所以/?二〃，故A正确；

对于B,我们只需要确定满足条件的。的个数，由余弦定理知。满足的方程是

/=/+°2—26ccosA,即4=9+02_3后，而该方程有两个解c=上叵主且，故B正确；

2

对于C,若4=工，B=?C=-,则sin2A=sin«=sin@=sin22,但，ABC不是等腰三

63233

角形，故C错误；

对于D,若sin25+sin2C=sin2A,则有

2sinAcosA=sin2A=sin2B+sin2C=2sin(i5+C)cos(B-C)=2sinAcos(B-C).

故cosA=cos(_B-C),y/Ajfu0=cos(B-C)-cosA=cos(B-C)+cos(B+C)=2cosBcosC.

TTTT

这表明cos3=0或cosC=0,即8=—或C=—,故D正确.

22

故选：ABD

10.BD

【详解】取4=2i,z2=-l+i,此时上一1|="一1|,但是闵中闾，故A错误；

22

设Z]=o+6i(a,6eR,6+从w0),z2=c+di(^c,deR,c+d^0),则OZ]=(a,6),

OZ2=(Gd)，

所以马+Z2=〃+c+(Z?+d)i,Z\—z[=〃-c+(Z?—d)i,

又|马+Z2I=忖-Z2I,所以J(〃+c)2+3+疗=y](a-c)2+(b-d)2，

整理得ac+9=0,所以OZ]・OZ2=ac+bd=0,故B正确；

取4=1,z2=if此时|zi+Z2|=|zi—Z2|,但是zaw。，故C错误；

因为忖+22|=闾+目，所以Jm+c)2+/+d)2=J/+/+&2短2,

即(a+c)2+(Z7+d)2=a2+b2+2-Ja2+b2-y/c2+d2+c2+d2>

整理得(如?-历)2=0,所以以/=6c,则OZ；//OZ2=>存在实数r使(a,b)=《c,d),

所以存在实数乙使得Z2=%,故D正确.

故选：BD.

11.ABC

【详解】对于A项，由〃x+l)是奇函数得〃-x+l)+/(x+l)=。，

所以函数/(x)关于点(1,0)对称，故A项正确；

对于B项，由函数/(尤)的定义域为R,且/(X)关于点(1,0)对称，贝=

所以/'⑴=alog.(l+b)=0,因0<a<l,故解得8=0.

由〃”x))=x得点(f(x),x)在函数y=〃x)图象上，

又点(xj(x))在函数y=/(X)图象上，

所以函数y=/(x)图象关于直线y=x对称.

又由“X)关于点(1,0)对称，可得了(X)关于(。,1)对称，故B项正确；

对于C项，由函数〃尤)关于点(0,1)对称得/(0)=1,

由函数〃尤)关于点(1,0)对称得L力，

故由可得

①当0<aW<时，ye［a,l］,所以/匚］=Hog二=:，(%=〃，

因g(x)=£(0,；］是增函数,又g(；)=0,故得。=；;

②当时，由函数“X)关于直线、=无对称可知函数“X)在(。,1)内单减，

所以又"a)=ajg［=；，所以a<；，

这与题设。>9矛盾，舍去.所以“=；,又匕=0,即4。+6=1,故C项正确；

44

对于D项，由上分析，当xe时，/(x)=^loglx=-|log2x,

14」4a8

显然/［；］=!，由函数/(X)关于y=x对称，可知U=；，

由/W关于点(。,1)对称得了,j=2一/1)=2-；=|,故D项错误.

故选：ABC.

12.

21-x

【详解】不等式二>1化简可得=>0,

x+1x+1

所以一1<%<1,则&=3-1<%<1},

因为=所以A=3,所以机W-1,

即{司加4-1}.

故答案为：{时机4-1}.

13.14及

【详解】延长M0,C8相交于点“，连接交2用于点G,连接MG,

因为正四棱柱ABC。一4耳62中，AB=4,AAi=6,M,N分别是AB,AQ的中点,

所以肱V=JAM2+AZV2=20，BH=AN,Cq=6,

GBBH1,__________「

因为，HBGsHCC],-=—=故8G=2,GH=[BG?+BH2=2及，

CCjC/iJ

在。R上取点。，连接NQ，GQ,则NQNDM+DQ2=26,

同理可知GQ=NH,所以四边形GQNH为平行四边形，

故G,”,N,Q四点共面，

则平面MNG截该四棱柱所得的截面为五边形NMGC.Q,

MG=QMB。+BG2=2V2，CQ=JCB+BG=742+42=40，

同理GQ=4及，

故截面周长为MV+MG+C]G+GQ+NQ=2及+20+40+4&+20=140.

H

故答案为：140

2

【详解】maxve[01]||x-x+c||取得最小值，

即为=尸-x+c|在区间[0』上的最大值取得最小值,

因为的对称轴尤=；,且"0)=/⑴=1,

所以“X)的最大值为或/(。)=/(1)=同，

当c-；=|d时，即c=；,

0\1C

当°=:时，/(HL取最小值，最小值为"

V、/nidA乂

故答案为：—.

O

15.(l)a=5,b=-2

⑵证明见解析

【详解】(1)函数/(%)的定义域为(0,+。),/'(X)」+〃,

X

将％=1代入y=6%一3,解得y=3,即/⑴=3,

由切线方程＞=6冗-3,可知切线斜率尸⑴=6,

故a+Z?=3,l+a=6,

解得a=5,Z?=—2；

(2)由(1)知/(x)=lnx+5x-2,

2?

要证/(%)>-----1即证lnx+5x—1H----->0.

5xf5x

、2

设g(%)=1nx+5犬-1H----,

25x2+5x-2_（5x-l）（5x+2）

则g'（x）

57-=5?'

令g'(尤)=0,解得尤=/或(舍去)，

当xe(0,J时，g'(x)<0,g(x)单调递减；

当xe[,+co]时，g[x)>0,g(x)单调递增；

所以g(x)mm=g，]=2-ln5>0,

2

所以g(x)>0,BP/(%)>---1.

16.（1）5A^1C|=-

q4

⑵叵

10

【详解】（1）连接C出,

因为。E平面BCGB|,Z)Eu平面ABC],平面ABC〕I平面8。。出=68,

所以。EQB.因为AE=2£B，所以AD=2DC],

所以AG=：AC.因此A4=；3C,

qL1

所以=（2）="

04ABe

(2)由(1)可知，4G=；AC,

所以AC=2jF.

依题意，AC2=AB2+BC2,

所以AB，BC,BBi1平面ABC.

因此，以B为坐标原点，分别以B4,BC,34的方向为x轴，＞轴，z轴的正方向，建立如图

所示空间直角坐标系8-到z.

AZ

则A（6,0,0）,C（0,4,0）,耳（0,0,2）,A（3,0,2）,Q（0,2,2）.

所以4A=（3,0,0），4C=（0,4,—2）,CC|=（0,-2,2）.

设平面A与c的一个法向量为"=(x,y,z),

〃•耳A=3x=0,

由，

n-BxC=4y-2z=0,

取y=l,则犬=0,z=2,所以〃=（0,1,2）.

设CG与平面44c所成角为0,

\n-CCx2A/10

则sin。=—；----r=-；=------产=------.

V5X2A/210

即直线CG与平面所成角的正弦值为巫.

10

22

17.(1)分布列见解析，—

⑵*

【详解】(1)因为〃=2,所以比赛采用3局2胜制，X的所有可能取值为2,3,

22

P（X=2）*I+15

39

尸(X=3)=C；

X的分布列为

54??

所以召（X）=2x§+3x§=g.

（2）由题意知2=（l—p）2+C；（l—p）2p=（l_〃）2（］+2p）,

6=(1一P)3+C；(1-pFp+C；(1-p)3P2=(1一p)2(-6/+3/+2p+1).

由月〉E，得(l-02(-6/+3p2+20+l)>(l-p)2(l+2p),

且则(l-p)2>。，可得-6p3+3p2+2p+l>1+2°,

整理得1-2°＞0,解得0＜p＜；,

所以〃的取值范围为（o,；）.

X2V2

18.--匕=1

416

（2）证明见解析

【详解】（1）解：由题意知，彗星“逃逸”轨道的标准方程为双曲线,

fV2

不妨设双曲线的焦点在X上，设其方程为=-2=1（。＞0力＞0）,

ab

因为双曲线的离心率为6,可得£=石，即c=&a,

a

又因为慧星距离太阳的最近距离为2逐-2,可得c-a=2君-2,

22

解得。=2,c=2A/5,可得6=y]c-a=4，

22

所以彗星“逃逸”轨道的标准方程—-^=1.

416

（2）解：不妨设点尸（为,%）在第一象限,

2214x4x

由双曲线土-匕=1,可得y="一16,则y'=x8x=

4162J4/-16V4X2-16y

—,即切线的斜率为4=生

所以

必

则切线方程为且4%；—y；=16,可得4为x_yy=16,

44

令y=0,可得％=一,即点。的坐标为（一刀），

石

又由过4(-2,0)