2024年湖南卷中考数学中考试题及答案

2024年湖南卷中考数学中考试题及答案

数学本试题卷共6页.时量120分钟.满分120分.

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号写在答题卡和本试题卷上，并认真核对条形码

上的姓名、准考证号和相关信息：

2.选择题部分请按题号用2B铅笔填涂方框，修改时用橡皮擦干净，不留痕迹；

3.非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，否则作答无效：

4.在草稿纸、试题卷上作答无效；

5.请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁；

6.答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸.

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.在日常生活中，若收入300元记作+300元，则支出180元应记作（）

A.+180元B.+300元C.-180元D.-480元

2.据《光明日报》2024年3月14日报道：截至2023年末，我国境内有效发明专利量达到

401.5万件，高价值发明专利占比超过四成，成为世界上首个境内有效发明专利数量突破400

万件的国家，将4015000用科学记数法表示应为()

A.0.4015xlO7B.4.015xlO6C.40.15xlO5D.4.015xl03

3.如图，该纸杯的主视图是（）

主视方向

bVcn©

4.下列计算正确的是（)

A.3tz2-2c(2=1B.a3-i-a"=a{a0)C.a~-a3—a6D.(2a)3=6a3

5.计算0xV7的结果是（）

A.2币B.70C.14D.714

6.下列命题中，正确的是（

A.两点之间，线段最短B.菱形的对角线相等

C.正五边形的外角和为720。D.直角三角形是轴对称图形

7.如图，AB,4。为＜。的两条弦，连接。3,OC,若/A=45。，则N3OC的度数为

C.90°D.135°

8.某班的5名同学1分钟跳绳的成绩（单位：次）分别为：179,130,192,158,141.这

组数据的中位数是（）

A.130B.158C.160D.192

9.如图，在ABC中，点DE分别为边AB,AC的中点.下列结论中，错误的是（）

A.DE//BCB.AADESAABCC.BC=2DED-SAOE=5SABC

10.在平面直角坐标系中，对于点P（x,y）,若X,y均为整数，则称点户为“整点”.特

别地，当上（其中孙*。）的值为整数时，称“整点”P为“超整点”，己知点尸（2。-4,。+3）

在第二象限，下列说法正确的是（）

A.a<—3B.若点?为‘'整点”，则点户的个数为3个

C.若点尸为“超整点”，则点尸的个数为1个D.若点尸为“超整点”，则点尸到两坐

标轴的距离之和大于10

二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分.

11.计算：-（-2024）=.

12.有四枚材质、大小、背面图案完全相同的中国象棋棋子

“篦“㉚”，将它们背面朝上任意放置，从中随机翻开一枚，

恰好翻到棋子“鲍”的概率是.

2

13.分式方程’7n的解是.

14.一个等腰三角形的一个底角为40。，则它的顶角的度数是度.

15.若关于x的一元二次方程二一4彳+2左=0有两个相等的实数根，则A的值为.

16.在一定条件下，乐器中弦振动的频率f与弦长/成反比例关系，即/=]为常

数.女工0）,若某乐器的弦长/为0.9米，振动频率/■为200赫兹，则次的值为.

17.如图，在锐角三角形ABC中，是边BC上的高，在54,BC上分别截取线段BE,BF,

使BE=BF；分别以点色尸为圆心，大于〈EP的长为半径画弧，在NABC内，两弧交于

点、P,作射线交AD于点〃，过点〃作于点儿若MN=2,AD=4MD,则

AM=________

18.如图，左图为《天工开物》记载的用于春（chdng）捣谷物的工具一一“碓（dui）”的

结构简图,右图为其平面示意图，已知AB，CD于点8,A3与水平线/相交于点若

3c=4分米，03=12分米.ZBOE=60°,则点。到水平线/的距离C尸为分米（结

果用含根号的式子表示）.

19.计算：|-3|+|-1j+cos60°一

20.先化简，再求值：±1.上+3,其中x=3.

xx+2x

21.某校为了解学生五月份参与家务劳动的情况，随机抽取了部分学生进行调查、家务劳动

的项目主要包括：扫地、拖地、洗碗、洗衣、做饭和简单维修等.学校德育处根据调查结果

制作了如下两幅不完整的统计图：

请根据以上信息，解答下列问题：

(1)本次被抽取的学生人数为一人；

(2)补全条形统计图：

(3)在扇形统计图中，”4项及以上”部分所对应扇形的圆心角度数是一。；

(4)若该校有学生1200人,请估计该校五月份参与家务劳动的项目数量达到3项及以上的学

生人数.

22.如图，在四边形ABCZ)中，AB〃CE>,点£在边上，请从“①N3=/4£E>；

②AE=BE,=CD”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上(填序号)，再

解决下列问题：

(1)求证：四边形3cDE为平行四边形；

(2)若ADSAB,AD=8,BC=10,求线段AE的长.

23.某村决定种植脐橙和黄金贡柚，助推村民增收致富，已知购买1棵脐橙树苗和2棵黄金

贡柚树苗共需110元；购买2棵脐橙树苗和3棵黄金贡柚树苗共需190元.

(1)求脐橙树苗和黄金贡柚树苗的单价；

(2)该村计划购买脐橙树苗和黄金贡柚树苗共1000棵，总费用不超过38000元，问最多可以

购买脐橙树苗多少棵？

24.某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动.

活动主题测算某水池中雕塑底座的底面积

测量工具皮尺、测角仪、计算器等

某休闲广场的水池中有一雕塑，其底座的底面为矩形ABCD,其示意图

如下：

@

模型抽象

__________

活动GEFH

过程

①在水池外取一点£,使得点C,B,£在同一条直线上；

②过点£作G"，CE,并沿EH方向前进到点F,用皮尺测得EF的长

测绘过程

为4米；

与数据信

③在点尸处用测角仪测得NCFG=60.3。，/BFG=45°,ZAFG=21.8°；

息

④用计算器计算得：sin6O.3°®0.87,cos60.3°«0.50,

tan60.3°«1.75.sin21.8°®0.37,cos21.8°®0.93,tan21.8°®0.40.

请根据表格中提供的信息，解决下列问题(结果保留整数):

(1)求线段CE和的长度：

(2)求底座的底面ABCD的面积.

25.已知二次函数y=-无2+c的图像经过点人(_2,5),点产&,%),Q(%,%)是此二次函数

的图像上的两个动点.

⑴求此二次函数的表达式；

(2)如图1,此二次函数的图像与x轴的正半轴交于点8,点尸在直线AB的上方，过点尸作

「(7，彳轴于点乙交相于点。，连接AC,OQ,PQ.若%=%+3,求证考侬的值为定值；

⑶如图2,点户在第二象限，3=-2占，若点〃在直线PQ上，且横坐标为占-1,过点〃

作MNLx轴于点从求线段MN长度的最大值.

26.【问题背景】

已知点/是半径为r的O上的定点，连接。4,将线段。4绕点。按逆时针方向旋转

«(0°<a<90°)得到OE，连接AE,过点/作。的切线1,在直线1上取点C,使得ZCAE

为锐角.

【初步感知】

(1)如图1,当戊=60。时，ZCAE=_°；

【问题探究】

(2)以线段AC为对角线作矩形ABCD,使得边A。过点£,连接CE,对角线AC,3D相

交于点F.

①如图2,当AC=2厂时，求证：无论。在给定的范围内如何变化，BC=CD+ED总成立:

4CF2

②如图3,当仁广演一时,请补全图形,并求tana及的值.

图3

1.c

【分析】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什

么是一对具有相反意义的量.首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义，结合题意

解答即可；

【详解】解：收入为“+”，则支出为…，

那么支出180元记作-180元.

故选：C.

2.B

【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为axlO"，其中1<|a|<10,n

可以用整数位数减去1来确定.用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数〃

的确定方法.

科学记数法的表示形式为ax10"的形式，其中1<忖<10,〃为整数.确定〃的值时，要

看把原数变成a时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝

对值大于10时，〃是正数；当原数的绝对值小于1时，〃是负数.

【详解】解：4015000用科学记数法表示为4.015x106.

故选：B.

3.A

【分析】直接依据主视图即从几何体的正面观察，进而得出答案.

此题主要考查了简单几何体的三视图，正确把握观察角度是解题的关键.

【详解】解：该纸杯的主视图是选项A,

故选：A.

4.B

【分析】本题考查了合并同类项，同底数塞的乘除法，积的乘方，根据以上运算法则逐项分

析即可.

【详解】解：A、3a2-2a2=a2,故该选项不正确，不符合题意；

B、a34-a2=a(a0),故该选项正确，符合题意；

C、a2-a3=a5,故该选项不正确，不符合题意；

D、(2«)3=8a3,故该选项不正确，不符合题意;

故选：B.

5.D

【分析】此题主要考查了二次根式的乘法，正确计算是解题关键.

直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案.

【详解】解：①乂币=用，

故选：D

6.A

【分析】本题考查了命题与定理的知识，多边形外角性质，菱形性质及轴对称图形的特点，

解题的关键是掌握这些基础知识点.

【详解】解：A、两点之间，线段最短，正确，是真命题，符合题意；

B、菱形的对角线互相垂直，不一定相等，选项错误，是假命题，不符合题意；

C、正五边形的外角和为360。，选项错误，是假命题，不符合题意；

D、直角三角形不一定是轴对称图形，只有等腰直角三角形是轴对称图形，选项错误，是假

命题，不符合题意；

故选：A.

7.C

【分析】本题考查了圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的

圆心角的一半是解题的关键.根据圆周角定理可知=即可得到答案.

【详解】根据题意，圆周角NA和圆心角/3OC同对着BC，

ZA=-ZBOC,

2

NA=45。，

/.ZBOC=2ZA=2x45。=90°.

故选：C.

8.B

【分析】本题考查了中位数，找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个

数或两个数的平均数为中位数.据此求解即可.

【详解】解：从小到大排序为130,141,158,179,192,最中间的数是158,

・••中位数是158,

故选：B.

9.D

【分析】本题考查了三角形中位线的性质，相似三角形的判定和性质，由三角形中位线性质

可判断A、C；由相似三角形的判定和性质可判断B、D,掌握三角形中位线的性质及相似

三角形的判定和性质是解题的关键.

【详解】解：：点O,E分别为边AB,AC的中点，

DE//BC,BC=2DE,故A、C正确；

DE//BC,

：.AADE^AABC,故B正确；

AADEsAABC,

SADE=W2钻。,故D错误；

故选：D.

10.C

【分析】本题考查了新定义，点到坐标轴的距离，各象限内点的特征等知识，利用各象限内

点的特征求出a的取值范围，即可判断选项A,利用“整点”定义即可判断选项B,利用“超

整点”定义即可判断选项C,利用“超整点”和点到坐标轴的距离即可判断选项D.

【详解】解：•••点尸(2a-4,a+3)在第二象限,

J2。-4<0

[a+3>0

-3<a<2,故选项A错误；

点P(2a-4,a+3)为“整点"，-3<”2,

整数a为—2,-1,0,1,

点户的个数为4个，故选项B错误；

“整点”?为(-8,1),(-6,2),(<3),(-2,4),

耳_一^^6--3'耳―4'^2~

“超整点”产为(-2,4),故选项C正确;

•.•点P（2a-4,a+3）为“超整点”，

点尸坐标为（一2,4）,

点P到两坐标轴的距离之和2+4=6,故选项D错误，

故选：C.

11.2024

【分析】本题考查了求一个数的相反数，熟练掌握相反数的定义是解题的关键.根据相反数

的定义，即可求解.

【详解】解：一（—2024）=2024,

故答案为：2024.

12.-

4

【分析】本题考查了概率，熟练掌握概率公式是解本题的关键.概率=所求情况数与总情况

数之比.

根据概率公式计算即可.

【详解】解：•••共有4枚棋子，

从中任意摸出一张，恰好翻到棋子“⑳”的概率是1.

故答案为：—

4

13.x=l

【分析】先给方程两边同乘最简公分母x+1,把分式方程转化为整式方程2=x+l,求解后并

检验即可.

【详解】解：方程的两边同乘x+1,得2=x+l,

解得x=l.

检验：当x=l时，x+l=2#0.

所以原方程的解为x=L

故答案为:x=l.

【点睛】此题考查了解分式方程，掌握解分式方程的一般步骤及方法是解题的关键.

14.100

【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形内角和，解答时根据等腰三角形两底角相等,

求出顶角度数即可.

【详解】解：因为其底角为40°,所以其顶角=180。-40。'2=100。.

故答案为：100.

15.2

2

［分析］本题考查根据一元二次方程根的情况求参数.一元二次方程ax+bX+c=0(.*0)有

两个不相等的实数根，则A=〃-4ac>0;有两个相等的实数根，贝l］A=U-4ac=0;没有

实数根，则公=〃-4改<0.据此即可求解.

【详解】解：由题意得：A=/?2—4ac=(—4)--4xlx2A:=0,

解得:k=2

故答案为：2

16.180

k

【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，把/=0.9,7=200代入求解即

可.

【详解】解：把/=0.9,/=200代入了=5,得200=高，

解得左=180,

故答案为：180.

17.6

【分析】本题考查了尺规作图，角平分线的性质等知识，根据作图可知的平分/ABC,根

据角平分线的性质可知DM=M7V=2,结合=求出血，AM.

【详解】解：作图可知30平分/ABC,

:A。是边3c上的高，MN1AB,MN=2,

：.MD=MN=2,

AD=4MD,

：.AD=8f

：.AM=AD-MD=6f

故答案为：6.

18.(6-2^)##(-273+6)

【分析】题目主要考查解三角形及利用三角形等面积法求解，延长DC交，于点H,连接OC,

根据题意及解三角形确定出/=46，OH=80，再由等面积法即可求解，作出辅助线是解

题关键.

【详解】解：延长0c交/于点〃，连接OC,如图所示:

在RtZkO8H中，ZBOH=90°-60°=30°,OB=12dm

,88=12xtan30。=46，OH=8上

S&OBH=S&0CH+S&OBC

:.-OBBH=-OHCF+-OBBC

222

BP-X4A^X12=-X8V3XCF+-X12X4,

222

解得：CF=6-2A/3.

故答案为：（6-26）.

19.-

2

【分析】题目主要考查实数的混合运算，特殊角的三角函数、零次嘉的运算等，先化简绝对

值、零次累及特殊角的三角函数、算术平方根，然后计算加减法即可，熟练掌握各个运算法

则是解题关键.

【详解】解：1一3|+1—£|+cos60°-^

=3+1+--2

2

_5

"2,

ccx+14

20.------，一

x3

【分析】本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键.先计

算乘法，再计算加法，然后把x=3代入化简后的结果，即可求解.

【详解】解：之土上

xx+2x

(九+2)(x—2)%3

=---2-------1-

xx+2x

x-23

=----+—

XX

X+1

X

当x=3时，原式=?3+1=：4.

33

21.(1)100

(2)见解析

(3)36

(4)300人

【分析】题目主要考查条形统计图与扇形统计图，样本估计总体，求扇形统计图圆心角等,

理解题意，结合统计图得出相关信息是解题关键.

(1)根据参与1项家务劳动的人数及比例即可得出结果；

(2)先求出参加3项家务劳动的学生人数，然后补全统计图即可；

(3)用360度乘以4项及以上所占的比例即可；

(4)用总人数乘以参与家务劳动的项目数量达到3项及以上的比例即可.

【详解】(1)解：根据题意得：30+30%=100人，

故答案为：100;

(2)100-3-30-42-10=15,

补全统计图如下：

故答案为：36；

(4)1200X15+10=300A.

100

22.(1)①或②，证明见解析；

(2)6

【分析】题目主要考查平行四边形的判定和性质，勾股定理解三角形，理解题意，熟练掌握

平行四边形的判定和性质是解题关键.

(1)选择①或②，利用平行四边形的判定证明即可；

(2)根据平行四边形的性质得出DE=3C=1O,再由勾股定理即可求解.

【详解】(1)解：选择①，

证明：:NB=ZAED,

：.DE//CB,

•：AB//CD,

四边形BCDE为平行四边形；

选择②，

证明：':AE=BE,AE=CD,

：.CD=BE,

'：AB//CD,

四边形3CDE为平行四边形；

(2)解：由(1)得DE=BC=1。,

VADJ.AB,AD=8,

AE=y/DE2-AD2=6■

23.(1)50元、30元

(2)400棵

【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键是：

(1)设脐橙树苗和黄金贡柚树苗的单价分别为x元/棵，y元/棵，根据“购买1棵脐橙树

苗和2棵黄金贡柚树苗共需110元;购买2棵脐橙树苗和3棵黄金贡柚树苗共需190元”列

方程组求解即可；

(2)购买脐橙树苗a棵，根据“总费用不超过38000元”列不等式求解即可.

【详解】(1)解：设脐橙树苗和黄金贡柚树苗的单价分别为X元/棵，y元/棵,

x+2y=110

根据题意,

2x+3y=190

右,[x=50

解得力，

答：脐橙树苗和黄金贡柚树苗的单价分别为50元/棵，30元/棵；

(2)解：设购买脐橙树苗a棵，则购买黄金贡柚树苗(1000-。)棵,

根据题意，得504+30(1000—a)W38。。。，

解得aW400,

答：最多可以购买脐橙树苗400棵.

24.(1)7米；3米

(2)18平方米

【分析】题目主要考查解三角形的应用，理解题意，结合图形求解是解题关键.

CF

(1)根据题意得tanNCM=tan60.3o=——«1.75,即可确定CE长度，再由N5FG=45。得

EF

出8E=£F=4米，即可求解；

(2)过点/作于点瓶继续利用正切函数确定==6米，即可求解面积.

【详解】(1)解：EF的长为4米，ZCFG=60.3°,

CF

：.tanZCFE=tan60.3°=—«1.75,

EF

：.CE=1米;

'：NBFG=45°,

•*.BE=EF=4米,

：.CB=CE-BE=3米;

(2)过点4作AM_LG”于点弘如图所示:

VZAFG=21.8°,

Z.tanZAFG=tan21.8°=—«0.4,

MF

：AM=BE=4米，

MF=10米，

AB=ME=10-4=6^i,

.••底座的底面ABCD的面积为：3x6=18平方米.

25.(1)J=-X2+9

(2)为定值3,证明见解析

37

4

【分析】(1)用待定系数法求解即可；

⑵先求出直线A3的解析式，险,7+9),则。卜+3,-&+3)2+9),。(/一玉+3),

s

表示出PD=(x+2)(—x+3),8=-玉+3,代入令些即可求解；

^/\ADC

(3)设P(4-石2+9),贝|Q(-2%,-4X;+9),求出直线PQ的解析式，把了"-1代入即可

求出线段长度的最大值.

【详解】(1)•••二次函数了=-彳2+。的图像经过点4(一2,5),

***5=-4+c,

・"=9,

y--x2+9；

(2)当＞=。时，o=—f+9,

..Xj——3,X1=3,

・・・3(3,0),

设直线AB的解析式为y=kx+b,

-2k+b=5

3k+b=0

[k=-1

•6=3，

y——x+3,

设尸国一占2+9),则0卜+3,-(玉+3)2+9),双.―玉+3),

PD—+9—(—石+3)=_菁2+石+6=(玉+2)(—石+3),CD=—x1+3.

.SPDQ=(x+2)(-%i+3)(5+3->J=3

SADC(-%+3)(%+2)

q

・・・*也的值为定值；

、AADC

(3)设尸(%,一再之+9),则Q(—2%],—4%；+9),

设直线PQ的解析式为丁=如十几，

mxl+n=—Xy+9

-2/nXj+n=—4犬+9'

/二_2k+9，

2

y=xlx-2x1+9,

当兀=玉一1时，

,二玉(玉一1)-2玉2+9=—(玉+]]+?，

・・・当工=-：1时，线段MN长度的最大值冬37.

【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数与几何综合，数形结合是解答本题

的关键.

41

26.(1)30。；①证明见解析；②补全图形见解析，--4

J乙

【分析】(1)可证△(?"是等边三角形，则㈤=60。，由直线/是。的切线，得到

ZOAC=90°,故/04£=90°-60°=30°；

(2)①根据矩形的性质与切线的性质证明△OAEgZ\JFC。，则AE=CE>,而BC=AD,由

AD=AE+DE,得至1J3C=CZ)+DE；

②过点。作OG_LAE于点G,AH_LOE于点儿在Rt.AOC中，先证明点£在线段0C上,

tana=g=g,由等腰三角形的性质得NEOG=1a,根据互余关系可得

AO32

Z.EAH=Z.EOG=—a,可求tana=^^=d,解△OAE,求得tanZE4//=」

可证明

2OH3