2024年高考数学专项复习：圆锥曲线中的二级结论及应用（解析版）

2024年高考数学专项复习圆锥曲线中的二级

结论及应用(解析版)

圆锥曲线中的二级结论及应用

圆锥曲线有许多形式结构相当漂亮的结论,记住圆锥曲线中一些二级结论，能快速摆平一切

圆锥曲线压轴小题。

L设P点是椭圆考■+%=l(a>6>0)上异于长轴端点的任一点，E、后为其焦点,记/瓦PE=依则

ab~

(1)|P)|P£|=J：4；(3)e-.

1+cosJ2smZPr^2+smZ

2.设P点是双曲线考■—<=l(a>0,b>0)上异于实轴端点的任一点，用，区为其焦点，记NF[PF2=e,则

ab

⑴冏"%⑵S'?产心；⑶

3.设4B为圆锥曲线关于原点对称的两点，点P是曲线上与4石不重合的任意一点，则

4.设圆锥曲线以,yo)(y°于0)为中点的弦AB所在的直线的斜率为k.

(1)圆锥曲线为椭圆至^+=1(Q>b>0)，则kAB=5^AB'^OM~e2—1.

abaJ。

2

(2)圆锥曲线为双曲线马—%—l(a>0,b>0),则kAB=&"o,kAB-kOM=e—1.

abay0

⑶圆锥曲线为抛物线y2=2Pxe>0)，则kAB=£.

y。

5.过椭圆名+£=l(a>b>0)的右焦点F且倾斜角为a(a/90°)的直线交椭圆于A,B两点，且|力|=

a2b2

4屈I,则椭圆的离心率等于八弋1—.

(只+IJcosdf

6.过双曲线芸—%=l(a>0,6>0)的右焦点F且倾斜角为a(a丰90°)的直线交双曲线右支于A,B两点，

ab

且I瓦^|=可丽I,则双曲线的离心率等于一，二1—.

+ljcosdf

7.过抛物线y2=2Pxe>0)的焦点F倾斜角为，的直线交抛物线于A,B两点,则两焦半径长为,,“,

1—cost/

P1.1-22P_p2

l+cos^wW7'12^?"

1.已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过户的直线Z与E相交于A,B两点，且AB的中点为“

(―12,—15),则E的方程为()

2222221

AX#_1XyXyXy

A-9一瓦—1BR.7—豆—1Cn.g—9—1nD.口—彳―1

2.已知双曲线E的中心为原点，F(l,0)是E的焦点，过F的直线Z与E相交于A,6两点且AB的中点为

N(—4,—5),则双曲线E的渐近线的方程为()

A.Vbx±2y=0B.2x±V5y—0C.4±±59=0D.5x+4：y—0

3.已知椭圆A+学=l(a>b>0)的离心率为e=坐，经过右焦点且斜率为k(k>0)的直线交椭圆于4

ab2

B两点，已知力=3而，则％=()

A.1B.V2C.V3D.2

4.如图,过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A,B,交其准线，于点。，若F是AC的中

点，且以同=4,则线段AB的长为()

「16D.日

A.5B.6C-T

O

5.(2021.贵州.遵义师范学院附属实验学校高二期末(文))已知A,B分别为双曲线C：名-£■=l(a>0,b

ab

>0)的左、右顶点，P是。上一点,且直线AP,BP的斜率之积为2,则。的离心率为

A.V2B.V3C.V5D.V6

6.已知双曲线。：孚—率=l(k>0)的左、右焦点分别为月，月,且/月/与=等，则△用P£的面积为(

K53

).

A.V2B.V3C.5V3D.6

7.设椭圆与+*=l(a>b>0)的左,右顶点分别为A,5,点P在椭圆上异于A,8两点，若AP与BP的斜

ab

率之积为一］，则椭圆的离心率为()•M

A.：B。C.卓D.

Jz/

8.在椭圆9=1上，△PR月为焦点三角形，如图所示.

23y

(1)若。=60°,则4PFM的面积是；

(2)若&=45°,B—75°,则椭圆离心率e=.

9.(2022.荆州模拟)已知P是椭圆(+y2：1上的一点，回，月是椭圆的两个焦点，当中邑=时，则

△PEE的面积为.

10.已知椭圆。:考■+*=l(a>b>0)的左口右顶点分别为A、B,点P在椭圆上且异于A、B两点，。为坐标

CLb2

原点,若直线AP与BP的斜率之积为-十,则椭圆。的离心率为

11.已知一条过点P(2,l)的直线与抛物线y2=2c交于4B两点，P是弦AB的中点,则直线AB的斜率为

12.已知椭圆E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线，与E相交于46两点，且AB中点为

M(2,-l)，则E的离心率e=.

13.过双曲线—芸=1的右焦点歹，作直线I交C的两条渐近线于48两点，A,B均位于9轴右侧，且

a2b2

满足AF=V3FB,O为坐标原点，若AOFA=120°,则双曲线C的离心率为

14.设F为抛物线C：靖=3,的焦点,过F且倾斜角为30。的直线交。于4B两点，。为坐标原点,则为

15.设F为抛物线C-.靖=16x的焦点，过F且倾斜角为？的直线交。于A、B两点，。为坐标原点，则△AOB

0

的面积为O

•••

圆锥曲线中的二级结论及应用

圆锥曲线有许多形式结构相当漂亮的结论,记住圆锥曲线中一些二级结论，能快速摆平一切

圆锥曲线压轴小题。

1.设P点是椭圆4+*=l(a>6>0)上异于长轴端点的任一点，E、后为其焦点,记/理?同=依则

ab~

2

(1)|PE||P£|=J：(2)SApF1F2=fetan4；(3)e=.

1+cosJ2smZFr^2+smZ

2.设P点是双曲线考■—4=l(a>0,b>0)上异于实轴端点的任一点，用，耳为其焦点,记4F[PF2=e,则

ab

⑴冏"%=f；⑵S'?尸心；⑶-J詈瑞西.

3.设为圆锥曲线关于原点对称的两点，点P是曲线上与4B不重合的任意一点，则%收《成=62—1.

4.设圆锥曲线以M(x0,%0)为中点的弦AB所在的直线的斜率为k.

2272

=2

(1)圆锥曲线为椭圆~\Q—1(Q>b>0)，则kAB=丁匕^AB,^OM6—1.

abaJ。

2

(2)圆锥曲线为双曲线马—%—1(。>0,b>0),则kAB=匕*o，kAB-kOM=e—1.

abay0

⑶圆锥曲线为抛物线y2=2PMp>0)，则kAB=£.

y。

5.过椭圆名+%=l(a>b>0)的右焦点F且倾斜角为a(a/90°)的直线交椭圆于A,B两点，且|力|=

a2b2

4屈I,则椭圆的离心率等于八弋1—.

(只+IJcosdf

6.过双曲线考■—%=l(a>0,6>0)的右焦点F且倾斜角为a(a丰90°)的直线交双曲线右支于A,B两点，

ab

且|力|=可丽I,则双曲线的离心率等于一，二1—.

+ljcosdf

7.过抛物线y2=2Pxe>0)的焦点F倾斜角为。的直线交抛物线于A,B两点,则两焦半径长为,,“,

1—cost/

P1.1-22P_p2

l+cos^WW-7'12^?"

1.已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过户的直线Z与E相交于A,B两点，且AB的中点为“

(―12,—15),则E的方程为()

AX2#_1X2y2X2y2X2y1

A-9一瓦—1BR.7—豆—1Cn.g—9—1Dn.口—彳―1

【答案】B

【解析】由题意可知k=-方-?=i,k=-q■，由双曲线中点弦中的斜率规律得%。・卜廿

AB—12—oMO—12—U4

与■，即,=与■，又9=/+/,联立解得a2=4,b2—5,故双曲线的方程为乡=L

2

a4a45

2.已知双曲线E的中心为原点，F(l,0)是E的焦点，过F的直线Z与E相交于A,B两点且AB的中点为

N(—4,—5),则双曲线E的渐近线的方程为()

A.Vbx+2y—0B.2a?±V5y—0C.4c±5y=0D.5a:±4y=0

【答案】A

2

【解析】kAB=一7?=1,kON=二^，由结论kOM=e-l

e?—1=■|~看=4b2=5a2,可得双曲线的渐近线方程为c±2g=0,故选：A.

3.已知椭圆《+鸟=l(a>b>0)的离心率为e=空,经过右焦点且斜率为fc(fc>0)的直线交椭圆于4

ab2

B两点，已知血=3屈，则％=()

A.1B.V2C.V3D.2

【答案】B

【解析】=3,由结论可得，e=^~,由规律得^^-cosa=-|—y,cosa=^~,fc=tana=V2.

乙ZD十_LO

4.如图,过抛物线/=2Pxe>o)的焦点F的直线交抛物线于点4B,交其准线,于点。，若F是AC的中

点,且以同=4,则线段的长为()

【答案】C•M

【解析】因为+总寸=2,|4F|=4,所以|朋=所以|AB|=\AF\+|期=4+今=当

\AF\\BF\p333

5.（2021.贵州.遵义师范学院附属实验学校高二期末（文））已知A,B分别为双曲线C：名—学=l（a>0,6

ab

>0）的左、右顶点，P是。上一点,且直线AP,BP的斜率之积为2,则。的离心率为

A.V2B.V3C.V5D.V6

【答案】B

2

【解析】由结论可得KAP-kPB=e-l=2,e=故选B

6.已知双曲线C：单-*=l（k>0）的左、右焦点分别为用，且/取字=等,则△取坐的面积为（

K53

）.

A.V2B.V3C.5V3D.6

【答案】。

【解析】由<—当=>0）,6=0，/号P£=4.由结论可知=5V3.

k53tanf

7.设椭圆司+乌=l（a>b>0）的左,右顶点分别为A,5,点P在椭圆上异于A,8两点，若AP与BP的斜

率之积为一方,则椭圆的离心率为（）

A.[B.4C.乎D.容

3222

【答案】空

22

【解析】kAP-kBP="e—1="e=e=

8.在椭圆1+4=1上，△?用E为焦点三角形，如图所示.

259

⑴若。=60°,则4PFE的面积是；

（2）若^=45°,0=75°,则椭圆离心率e=.

【答案】（1）3/（2）汽短

2

【解析】⑴由结论得S^=,即SAP”2=3A/3.

PF1F26tan•••

(2)由公式e=sin(a+0)_等2「=①手.

sina+sm£sin45+sin752

2

9.(2022.荆州模拟)己知P是椭圆与+y=1上的一点，耳,月是椭圆的两个焦点，当AFXPF2=看时，则

4O

△PE月的面积为.

【答案】空

O

【解析】由结论可得：S=b2tan-^-，可得S=1-tan-^-=

263

10.已知椭圆。：弓+与=1(。>b>0)的左口右顶点分别为4点P在椭圆上且异于A、B两点，O为坐标

ab

原点,若直线AP与BP的斜率之积为-十,则椭圆。的离心率为.

【答案】乎

【解析】kAP-kBp=-■:

22

KAP-kPB=e—1=—■手,e=e=,所以椭圆的离心率e=

11.己知一条过点F(2,l)的直线与抛物线y2=2/交于4B两点，P是弦AB的中点,则直线AB的斜率为

【答案】1

【解析】由结论可知kAB=—=1

yo

12.已知椭圆H的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过