指数对数函数复习教师版(知识点+习题)

指数函数与对数函数知识点总结

〔一〕指数与指数幕的运算

1.根式的概念：一般地，如果x"=a,那么X叫做a的〃次方根，其中九>1,

且〃£N*.

负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0,记作协=0。

当〃是奇数时，疗=a,当〃是偶数时，叱=|a|=,"

-a(a<0)

2.分数指数赛

正数的分数指数赛的意义，规定：

m_

an=(a>0,加,〃£N",〃>1)

m1

--11*

an=——=__(a>0,m,neN>1)

m

nam

an

0的正分数指数原等于0,0的负分数指数原没有意义

3.实数指数球的运算性质

〔［〕a.ar—ar+s(tz>0,r,5e7?);

〔2〕(a')'=a"(a>0,r,s^R)；

〔3〕(》=a”(a>0,r,s&R).

〔二〕指数函数及其性质

1、指数函数的概念：一般地，函数y=a"(a〉0,且aw1)叫做指数函

数，其中x是自变量，函数的定义域为R.

注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1.

2、指数函数的图象和性质

a>10<a<1

\

\

\

-7

0,10

定义域R定义域R

值域y>0值域y>0

在R上单调递在R上单调递

增减

非奇非偶函数非奇非偶函数

函数图象都过函数图象都过

定点〔0,1〕定点〔0,1〕

注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：

〔1〕在[a,b]上，£鱼)=2*9〉0且2彳1)值域是任缶)』(吻或

[f(b),f(a)];

〔2〕假设XHO,那么f(x)wl；f(x)里遍所有正数当且仅当xwR;

〔3〕对于指数函数f(x)=aX(a〉O且awl),总有~l)=a;

二、对数函数

〔一〕对数

1.对数的概念：一般地，如果优=N(a>O,a/l),那么数x叫做«。为

底N的对数，记作：x=logaN〔a—底数，N—真数，logaN一对

数式〕

说明：①注意底数的限制a>0,且awl;

0炉=NologaN=x-

(3)注意对数的书写格式.log*

两个重要对数：

①常用对数：以10为底的对数IgN;

@自然对数：以无理数e=2.71828…为底的对数的对数InN.

指数式与对数式的互化

幕值真数

ab=Nolog”N=b

底数

指数对数

〔二〕对数的运算性质

出口果。>0,且a#l,M>0,N>0,那么：

①logfl(M•N)=lognM+logflN；

②loga*=log〃"—log*;

③log“Af"=〃log。M(neR).

注意：换底公式

log.b=bgcb〔。>0,且awl；c>0,且cwl;b>0).

logcfl

利用换底公式推导下面的结论

⑴logZ?"=­logflZ?;〔2〕\Ogab=—^—.

mlog。a

〔二〕对数函数

1、对数函数的概念：函数y=log。x(a>0,且aHl)叫做对数函数，

其中x是自变量，函数的定义域是〔0,+8〕.

注意：①对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意区

分。如：y=21ogz尤，y=bg52都不是对数函数，而只能称其为对数

型函数.

(2)对数函数对底数的限制：(a>0,且awl).

2、对数函数的性质：

a>10<a<1

11

/

0.1Q

定义域x>0定义域x>0

值域为R值域为R

在R上递增在R上递减

函数图象都

函数图象都过定

过定点〔1,

点〔1,0〕

0〕

(三)幕函数

幕函数f(X)的图象过点(3,旧),那么f(x)的解析式是

指数函数练习

1、假设函数f(x)=a-+3(a>0且aWl),那么f(x)一定过点

A.无法确定B.(0,3)C.(1,3)D.(2,4)

2、假设f(x)=(2aT)x是增函数，那么a的取值范围为

A.a<-B.-<a<lC.a>lD.a21

22

3、)=加]的定义域为.

4.函数y=42+2x—24的单调递减区间是t1

A.(—oo,-6]B.[—6,+oo)C.(—oo,—l]D.[—l,+oo)

5.函数/(》)=2中的值域是〔)

A.(0,1]B.(0,1)C.(0,+oo)D.R

6.函数y=f+2/_l(a>0且。/1)在区间.词上有最大值14,那么a的值是.

。的值是3或

A-

注：利用指数函数的单调性求最值时注意一些方法运用，比方：换元法，整体代入等.图象变换及应用问题

7.为了得到函数y=9x3*+5的图象，可以把函数y=3'的图象).

A.向左平移9个单位长度，再向上平移5个单位长度

B.向右平移9个单位长度，再向下平移5个单位长度

C.向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度

D.向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度

8.曲线♦•G.Cj.C,分别是指数函数，y=c.和1y=的图象那么a/，c，d与]的大小

关系是().

(⑷a<b<\<c<d

(的a<b<}<d<c

©b<a<]<c<d

(^)b<a<\<d<c应选(。),

9.-lWxW2,求函数f(x)=3+2・3*1-9'的最大值和最小值

9

_%+2x+2

io.求函数y=，的定义域，值域和单调区间

11.求函数y=的单调区间.

2

12.(1)/(%)=-----+冽是奇函数，求常数勿的值；

3X-1

(2)画出函数y=|3'-1|的图象，并利用图象答复：A为何值时，方程|3*—1|=在解？有一解?

有两解？

13.将函数＞=2工的图象向左平移一个单位，得到图象Q,再将Q向上平移一个单位得到图象G,作

出Cz关于直线尸x对称的图象C3,那么C3的解析式为.

对数函数练习

例1.⑴3"=2,用〃表示log?4—logs6；［2)log32=a,3"=5,用〃、/?表示log3V3O.

2

a

解：11)*.*3=2,/.a=log32,log34-log36=log3-32—l=—1.

(2):3"=5,:.b=log35,

又：log?2-a,log3V30=^-log3(2x3x5)=(log32+log33+log35)=%(a+)+l)

例2.求以下函数的定义域：

22

⑴y=logax；⑵y=logfl(4-x)；⑶y=loga(9-x)

例3.求以下函数的值域：

22

⑴y=log2(x+3)；(2)y=log2(3-%)；(3)y=logfl(x-4x+7)［。>0且a2l).

解：⑴令f=x+3,那么ydog?/,Z>0,y^R,即函数值域为R.

⑵令/=3—/，那么0</«3,y<log23,即函数值域为(—oo,k)g23］.

⑶令/=x2—4x+7=(x—2y+323,当a>l时，y>log„3,即值域为［log,3,+8),

当0<a<l时，y<logfl3,即值域为(—8,log03].

例4.比拟以下各组数中两个值的大小：

(1)log23.4,log28.5；〔2)log031.8,log032.7；[3)log。5.1,logfl5.9.

例5.求函数y=210gl(光之一3%+2)的单调区间。

3

函数y=2logi(x2一3x+2)在(2,+oo)上递增，在(-oo,1)上递减。

3

说明：利用对数函数性质判断函数单调性时，首先要考察函数的定义域，再利用复合函数单调性的判断

方法来求单调区间。

例6.假设函数y=—log?。？—奴—。)在区间(-8,1-百)上是增函数，a的取值范围。

解：令M=g(x)=r-ax-a,1,函数y=-log2M为减函数，

在区间(7,1-6)上递减，且满足心0,••.归J6,解得

U=g(%)=X2

g(l-y/3)>0

2-2y/3<a<2,所以，a的取值范围为[2—2班,2].

1、集合M={x|x<3}N={x|log^>l>那么MAN为

A.°B.{x|0<x<3}C.{x|l<x<3}D.{x|2<x<3}

2、假设a=log2，b=log；,c-log28，那么

A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.b>c>a

3.设函数产lg(/-5x)的定义域为M,函数尸lg(x-5)+lgx的定义域为N,那么

A.MUN=RB.M=NC.MoND.McN

log：1

4.假设f(x)={2，2那么.

5.函数y=logx-1(3-x)的定义域是

6.求函数y=k(g](x2—2x-3)的单调区间.

2

5

7.函数y=lg[9%2+(左+2)%+1|的定义域为一切实数，求k的