2025届浙江省金华十校高三数学试题下学期第二次阶段考试试题含解析

2025届浙江省金华十校高三数学试题下学期第二次阶段考试试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知双曲线的左、右焦点分别为，圆与双曲线在第一象限内的交点为M，若．则该双曲线的离心率为A．2 B．3 C． D．2．根据如图所示的程序框图，当输入的值为3时，输出的值等于（）A．1 B． C． D．3．若，，则的值为（）A． B． C． D．4．若集合，，则下列结论正确的是（）A． B． C． D．5．函数的定义域为，集合，则（）A． B． C． D．6．已知等差数列的前n项和为，且，则（）A．4 B．8 C．16 D．27．已知，则不等式的解集是（）A． B． C． D．8．函数的图象可能为（）A． B．C． D．9．如图，中，点D在BC上，，将沿AD旋转得到三棱锥，分别记，与平面ADC所成角为，，则，的大小关系是（）A． B．C．，两种情况都存在 D．存在某一位置使得10．已知命题p：“”是“”的充要条件；，，则（）A．为真命题 B．为真命题C．为真命题 D．为假命题11．设正项等差数列的前项和为，且满足，则的最小值为A．8 B．16 C．24 D．3612．港珠澳大桥于2018年10月2刻日正式通车，它是中国境内一座连接香港、珠海和澳门的桥隧工程，桥隧全长55千米．桥面为双向六车道高速公路，大桥通行限速100km/h，现对大桥某路段上1000辆汽车的行驶速度进行抽样调查．画出频率分布直方图（如图），根据直方图估计在此路段上汽车行驶速度在区间[85，90）的车辆数和行驶速度超过90km/h的频率分别为（）A．300， B．300， C．60， D．60，二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．不等式的解集为________14．若的展开式中所有项的系数之和为，则______，含项的系数是______（用数字作答）.15．某班星期一共八节课（上午、下午各四节，其中下午最后两节为社团活动），排课要求为：语文、数学、外语、物理、化学各排一节，从生物、历史、地理、政治四科中选排一节.若数学必须安排在上午且与外语不相邻（上午第四节和下午第一节不算相邻），则不同的排法有__________种.16．六位同学坐在一排，现让六位同学重新坐，恰有两位同学坐自己原来的位置，则不同的坐法有________种（用数字回答）.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知椭圆：（）的左、右焦点分别为和，右顶点为，且，短轴长为.（1）求椭圆的方程；（2）若过点作垂直轴的直线，点为直线上纵坐标不为零的任意一点，过作的垂线交椭圆于点和，当时，求此时四边形的面积.18．（12分）我们称n（）元有序实数组（，，…，）为n维向量，为该向量的范数.已知n维向量，其中，，2，…，n.记范数为奇数的n维向量的个数为，这个向量的范数之和为.（1）求和的值；（2）当n为偶数时，求，（用n表示）.19．（12分）已知椭圆：的两个焦点是，，在椭圆上，且，为坐标原点，直线与直线平行，且与椭圆交于，两点.连接、与轴交于点，.（1）求椭圆的标准方程；（2）求证：为定值.20．（12分）设（1）证明:当时，；（2）当时，求整数的最大值.（参考数据：，）21．（12分）已知数列和，前项和为，且，是各项均为正数的等比数列，且，．（1）求数列和的通项公式；（2）求数列的前项和．22．（10分）如图，湖中有一个半径为千米的圆形小岛，岸边点与小岛圆心相距千米，为方便游人到小岛观光，从点向小岛建三段栈道，，，湖面上的点在线段上，且，均与圆相切，切点分别为，，其中栈道，，和小岛在同一个平面上.沿圆的优弧（圆上实线部分）上再修建栈道.记为.用表示栈道的总长度，并确定的取值范围；求当为何值时，栈道总长度最短.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．D【解析】

本题首先可以通过题意画出图像并过点作垂线交于点，然后通过圆与双曲线的相关性质判断出三角形的形状并求出高的长度，的长度即点纵坐标，然后将点纵坐标带入圆的方程即可得出点坐标，最后将点坐标带入双曲线方程即可得出结果。【详解】根据题意可画出以上图像，过点作垂线并交于点，因为，在双曲线上，所以根据双曲线性质可知，，即，，因为圆的半径为，是圆的半径，所以，因为，，，，所以，三角形是直角三角形，因为，所以，，即点纵坐标为，将点纵坐标带入圆的方程中可得，解得，，将点坐标带入双曲线中可得，化简得，，，，故选D。本题考查了圆锥曲线的相关性质，主要考察了圆与双曲线的相关性质，考查了圆与双曲线的综合应用，考查了数形结合思想，体现了综合性，提高了学生的逻辑思维能力，是难题。2．C【解析】

根据程序图，当x<0时结束对x的计算，可得y值．【详解】由题x=3，x=x-2=3-1，此时x>0继续运行，x=1-2=-1<0，程序运行结束，得，故选C．本题考查程序框图，是基础题．3．A【解析】

取，得到，取，则，计算得到答案.【详解】取，得到；取，则.故.故选：.本题考查了二项式定理的应用，取和是解题的关键.4．D【解析】

由题意，分析即得解【详解】由题意，故，故选：D本题考查了元素和集合，集合和集合之间的关系，考查了学生概念理解，数学运算能力，属于基础题.5．A【解析】

根据函数定义域得集合，解对数不等式得到集合，然后直接利用交集运算求解.【详解】解：由函数得，解得，即；又，解得，即，则.故选：A.本题考查了交集及其运算，考查了函数定义域的求法，是基础题.6．A【解析】

利用等差的求和公式和等差数列的性质即可求得.【详解】.故选:.本题考查等差数列的求和公式和等差数列的性质,考查基本量的计算,难度容易.7．A【解析】

构造函数，通过分析的单调性和对称性，求得不等式的解集.【详解】构造函数，是单调递增函数，且向左移动一个单位得到，的定义域为，且，所以为奇函数，图像关于原点对称，所以图像关于对称.不等式等价于，等价于，注意到，结合图像关于对称和单调递增可知.所以不等式的解集是.故选：A本小题主要考查根据函数的单调性和对称性解不等式，属于中档题.8．C【解析】

先根据是奇函数，排除A，B，再取特殊值验证求解.【详解】因为，所以是奇函数，故排除A，B，又，故选：C本题主要考查函数的图象，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.9．A【解析】

根据题意作出垂线段，表示出所要求得、角，分别表示出其正弦值进行比较大小，从而判断出角的大小，即可得答案．【详解】由题可得过点作交于点，过作的垂线，垂足为，则易得，．设，则有，，，可得，．，，；，；，，，．综上可得，．故选：．本题考查空间直线与平面所成的角的大小关系，考查三角函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．10．B【解析】

由的单调性，可判断p是真命题；分类讨论打开绝对值，可得q是假命题，依次分析即得解【详解】由函数是R上的增函数，知命题p是真命题．对于命题q，当，即时，；当，即时，，由，得，无解，因此命题q是假命题．所以为假命题，A错误；为真命题，B正确；为假命题，C错误；为真命题，D错误．故选：B本题考查了命题的逻辑连接词，考查了学生逻辑推理，分类讨论，数学运算的能力，属于中档题.11．B【解析】

方法一：由题意得，根据等差数列的性质，得成等差数列，设，则，，则，当且仅当时等号成立，从而的最小值为16，故选B．方法二：设正项等差数列的公差为d，由等差数列的前项和公式及，化简可得，即，则，当且仅当，即时等号成立，从而的最小值为16，故选B．12．B【解析】

由频率分布直方图求出在此路段上汽车行驶速度在区间的频率即可得到车辆数，同时利用频率分布直方图能求行驶速度超过的频率．【详解】由频率分布直方图得：在此路段上汽车行驶速度在区间的频率为，∴在此路段上汽车行驶速度在区间的车辆数为：，行驶速度超过的频率为：．故选：B．本题考查频数、频率的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．【解析】

通过平方，将无理不等式化为有理不等式求解即可。【详解】由得，解得，所以解集是。本题主要考查无理不等式的解法。14．【解析】的展开式中所有项的系数之和为，，，项的系数是，故答案为（1），（2）.15．1344【解析】

分四种情况讨论即可【详解】解：数学排在第一节时有：数学排在第二节时有：数学排在第三节时有：数学排在第四节时有：所以共有1344种故答案为：1344考查排列、组合的应用，注意分类讨论，做到不重不漏；基础题.16．135【解析】

根据题意先确定2个人位置不变，共有种选择，再确定4个人坐4个位置，但是不能坐原来的位置，计算得到答案.【详解】根据题意先确定2个人位置不变，共有种选择.再确定4个人坐4个位置，但是不能坐原来的位置，共有种选择，故不同的坐法有.故答案为：.本题考查了分步乘法原理，意在考查学生的计算能力和应用能力.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（1）（2）【解析】

（1）依题意可得，解方程组即可求出椭圆的方程；（2）设，则，设直线的方程为，联立直线与椭圆方程，消去，设，，列出韦达定理，即可表示，再根据求出参数，从而得出，最后由点到直线的距离得到，由即可得解；【详解】解：（1）∵，∴解得，∴椭圆的方程为.（2）∵，∴可设，∴.∵，∴，∴设直线的方程为，∴，∴，显然恒成立.设，，则，，∴.∴，∴，∴解得，解得，∴，，∴.∵此时直线的方程为，，∴点到直线的距离为，∴，即此时四边形的面积为.本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的综合应用，考查计算能力，属于中档题．18．（1），.（2），【解析】

（1）利用枚举法将范数为奇数的二元有序实数对都写出来，再做和；（2）用组合数表示和，再由公式或将组合数进行化简，得出最终结果.【详解】解：（1）范数为奇数的二元有序实数对有：，，，，它们的范数依次为1，1，1，1，故，.（2）当n为偶数时，在向量的n个坐标中，要使得范数为奇数，则0的个数一定是奇数，所以可按照含0个数为：1，3，…，进行讨论：的n个坐标中含1个0，其余坐标为1或，共有个，每个的范数为；的n个坐标中含3个0，其余坐标为1或，共有个，每个的范数为；的n个坐标中含个0，其余坐标为1或，共有个，每个的范数为1；所以，.因为，①，②得，，所以.解法1：因为，所以..解法2：得，.又因为，所以.本题考查了数列和组合，是一道较难的综合题.19．（1）（2）证明见解析【解析】

（1）根据椭圆的定义可得，将代入椭圆方程，即可求得的值，求得椭圆方程；（2）设直线的方程，代入椭圆方程，求得直线和的方程，求得和的横坐标，表示出，根据韦达定理即可求证为定值.【详解】（1）因为，由椭圆的定义得，，点在椭圆上，代入椭圆方程，解得，所以的方程为；（2）证明：设，，直线的斜率为，设直线的方程为，联立方程组，消去，整理得，所以，，直线的直线方程为，令，则，同理，所以：，代入整理得，所以为定值.本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查椭圆中的定值问题，属于中档题.20．（1）证明见解析；（2）.【解析】

（1）将代入函数解析式可得，构造函数，求得并令，由导函数符号判断函数单调性并求得最大值，由即可证明恒成立，即不等式得证.（2）对函数求导，变形后讨论当时的函数单调情况：当时，可知满足题意；将不等式化简后构造函数，利用导函数求得极值点与函数的单调性，从而求得最小值为，分别依次代入检验的符号，即可确定整数的最大值；当时不满足题意，因为求整数的最大值，所以时无需再讨论.【详解】（1）证明：当时代入可得，令，，则，令解得，当时，所以在单调递增，当时，所以在单调递减，所以，则，即成立.（2）函数则，若时，当时，，则在时单调递减，所以，即当时成立；所以此时需满足的整数解即可，将不等式化简可得，令则令解得，当时，即在内单调递减，当时，即在内单调递增，所以当时取得最小值，则，，，所以此时满足的整数的最大值为；当时，在时，此时，与题意矛盾，所以不成立.因为求整数的最大值，所以时无需再讨论，综上所述，当时，整数的最大值为.本题考查了导数在证明不等式中的应用，导数与函数单调性、极值、最值的关系和应用，构造函数法求最值，并判断函数值法符号，综合性强，属于难题.21．（1），；（2）.【解析】

（1）令求出的值，然后由，得出，然后检验是否符合在时的表达式，即可得出数列的通项公式，并设数列的公比为，根据题意列出和的方程组，解出这两个量，然后利用等比数列的通项公式可求出；（2）求出数列的前项和，然后利用分组求和法可求出.【详解】（1）当时，，