第三章 微型专题 力的合成与分解 简单的共点力的平衡问题

第页微型专题力的合成与分解简单的共点力的平衡问题[学习目标]1.进一步理解力的效果分解法和正交分解法.2.理解什么是平衡状态，掌握共点力的平衡条件.3.会用合成法或正交分解法求解平衡问题.一、共点力平衡的条件及三力平衡问题1.平衡状态：物体处于静止或匀速直线运动的状态.2.平衡条件：合外力等于0，即F合＝0.3.推论(1)二力平衡：若物体在两个力作用下处于平衡状态，则这两个力一定等大、反向.(2)三力平衡：若物体在三个共点力作用下处于平衡状态，则任意两个力的合力与第三个力等大、反向.(3)多力平衡：若物体在n个共点力作用下处于平衡状态，则其中任意n－1个力的合力必定与第n个力等大、反向.例1在科学研究中，可以用风力仪直接测量风力的大小，其原理如图1所示.仪器中一根轻质金属丝悬挂着一个金属球.无风时，金属丝竖直下垂；当受到沿水平方向吹来的风时，金属丝偏离竖直方向一个角度.风力越大，偏角越大.那么风力大小F跟金属球的质量m、偏角θ之间有什么样的关系呢？图1答案F＝mgtanθ解析选取金属球为研究对象，它受到三个力的作用，如图甲所示.金属球处于平衡状态，这三个力的合力为零.可用以下两种方法求解.解法一力的合成法如图乙所示，风力F和拉力FT的合力与重力等大反向，由平行四边形定则可得F＝mgtanθ.解法二正交分解法以金属球为坐标原点，取水平方向为x轴，竖直方向为y轴，建立直角坐标系，如图丙所示.由水平方向的合力Fx合和竖直方向的合力Fy合分别等于零，即Fx合＝FTsinθ－F＝0Fy合＝FTcosθ－mg＝0解得F＝mgtanθ.【考点】静态平衡问题分析【题点】三力平衡问题物体在三个力或多个力作用下的平衡问题，一般会用到力的合成法、效果分解法或正交分解法，选用的原则和处理方法如下：1.力的合成法——一般用于受力个数为三个时1确定要合成的两个力；2根据平行四边形定则作出这两个力的合力；3根据平衡条件确定两个力的合力与第三个力的关系等大反向；4根据三角函数或勾股定理解三角形.2.力的效果分解法——一般用于受力个数为三个时1确定要分解的力；2按实际作用效果确定两分力的方向；3沿两分力方向作平行四边形；4根据平衡条件确定分力及合力的大小关系；5用三角函数或勾股定理解直角三角形.3.正交分解法——一般用于受力个数为三个或三个以上时1建立直角坐标系；2正交分解各力；3沿坐标轴方向根据平衡条件列式求解.针对训练1如图2所示，光滑半球形容器固定在水平面上，O为球心.一质量为m的小滑块，在水平力F的作用下静止于P点.设滑块所受支持力为FN，OP与水平方向的夹角为θ，下列关系正确的是()图2A.F＝eq\f(mg,tanθ) B.F＝mgtanθC.FN＝eq\f(mg,tanθ) D.FN＝mgtanθ答案A解析方法一：合成法.滑块受力情况如图所示，由平衡条件知：F＝eq\f(mg,tanθ)，FN＝eq\f(mg,sinθ).方法二：正交分解法.将小滑块受的力沿水平、竖直方向分解，如图所示.mg＝FNsinθF＝FNcosθ联立解得：F＝eq\f(mg,tanθ)，FN＝eq\f(mg,sinθ).二、利用正交分解法分析多力平衡问题1.将各个力分解到x轴和y轴上，根据共点力平衡的条件：Fx＝0，Fy＝0.2.对x、y轴方向的选择原则是：使尽可能多的力落在x、y轴上，需要分解的力尽可能少，被分解的力尽可能是已知力.3.此方法多用于三个或三个以上共点力作用下的物体平衡，三个以上共点力平衡一般要采用正交分解法.例2如图3所示，物体的质量m＝4.4kg，用与竖直方向成θ＝37°的斜向右上方的推力把该物体压在竖直墙壁上，并使它沿墙壁在竖直方向上做匀速直线运动.物体与墙壁间的动摩擦因数μ＝0.5，取重力加速度g＝10N/kg，求推力F的大小.(sin37°＝0.6，cos37°＝0.8)图3答案88N或40N解析若物体向上做匀速直线运动，则受力如图甲所示.Fcosθ＝mg＋fFsinθ＝FNf＝μFN故推力F＝eq\f(mg,cosθ－μsinθ)＝eq\f(4.4×10,0.8－0.5×0.6)N＝88N若物体向下做匀速直线运动，受力如图乙所示.Fcosθ＋f′＝mgFsinθ＝FN′f′＝μFN′故推力F＝eq\f(mg,cosθ＋μsinθ)＝eq\f(4.4×10,0.8＋0.5×0.6)N＝40N【考点】静态平衡问题分析【题点】多力平衡问题针对训练2(多选)如图4所示，建筑装修中，工人用质量为m的磨石对斜壁进行打磨，当对磨石加竖直向上、大小为F的推力时，磨石恰好沿斜壁向上匀速运动，已知磨石与斜壁之间的动摩擦因数为μ，则磨石受到的摩擦力是()图4A.(F－mg)cosθ B.μ(F－mg)sinθC.μ(F－mg)cosθ D.μ(F－mg)答案AB【考点】共点力及平衡【题点】多力平衡问题三、利用解析法或图解法分析动态平衡问题1.动态平衡：是指平衡问题中的一部分力是变力，是动态力，力的大小和方向均要发生变化，所以叫动态平衡，这是力平衡问题中的一类难题.2.基本方法：解析法、图解法和相似三角形法.3.处理动态平衡问题的一般步骤(1)解析法：①列平衡方程求出未知量与已知量的关系表达式.②根据已知量的变化情况来确定未知量的变化情况.(2)图解法：①适用情况：一般物体只受三个力作用，且其中一个力大小、方向均不变，另一个力的方向不变，第三个力大小、方向均变化.②一般步骤：a.首先对物体进行受力分析，根据力的平行四边形定则将三个力的大小、方向放在同一个三角形中.b.明确大小、方向不变的力，方向不变的力及方向变化的力的方向如何变化，画示意图.③注意：由图解可知，当大小、方向都可变的分力(设为F1)与方向不变、大小可变的分力垂直时，F1有最小值.例3如图5所示，一小球放置在木板与竖直墙面之间.设墙面对小球的压力大小为FN1，木板对小球的支持力大小为FN2.以木板与墙连接点为轴，将木板从图示位置开始缓慢地转到水平位置.不计摩擦，在此过程中()图5A.FN1始终减小，FN2始终增大B.FN1始终减小，FN2始终减小C.FN1先增大后减小，FN2始终减小D.FN1先增大后减小，FN2先减小后增大答案B解析方法一：解析法对球进行受力分析，如图甲所示，小球受重力G、墙面对小球的压力FN1、木板对小球的支持力FN2而处于平衡状态.则有tanθ＝eq\f(G′,FN1)＝eq\f(G,FN1)，FN1＝eq\f(G,tanθ)将木板从图示位置开始缓慢地转到水平位置过程中，θ逐渐增大，tanθ逐渐增大，故FN1始终减小.从图中可以看出，FN2＝eq\f(G,sinθ)，θ逐渐增大，sinθ逐渐增大，故FN2始终减小.选项B正确.方法二：图解法小球受重力G、墙面对小球的压力FN1、木板对小球的支持力FN2而处于平衡状态.由平衡条件知FN1、FN2的合力与G等大反向，θ增大时，画出多个平行四边形，如图乙，由图可知θ增大的过程中，FN1始终减小，FN2始终减小.选项B正确.【考点】动态平衡问题分析【题点】图解法求动态平衡问题针对训练3用绳AO、BO悬挂一个重物，BO水平，O为半圆形支架的圆心，悬点A和B在支架上.悬点A固定不动，将悬点B从图6所示位置逐渐移动到C点的过程中.分析绳OA和绳OB上的拉力的大小变化情况.图6答案绳OA的拉力逐渐减小绳OB的拉力先减小后增大解析解法一力的效果分解法在支架上选取三个点B1、B2、B3，当悬点B分别移动到B1、B2、B3各点时，对AO、BO绳的拉力分别为FTA1、FTA2、FTA3和FTB1、FTB2、FTB3，如图所示，从图中可以直观地看出，FTA逐渐变小，且方向不变；而FTB先变小，后变大，且方向不断改变；当FTB与FTA垂直时，FTB最小.解法二合成法将AO绳、BO绳的拉力合成，其合力与重力等大反向，逐渐改变OB绳拉力的方向，使FB与竖直方向的夹角θ变小，得到多个平行四边形，由图可知FA逐渐变小，且方向不变，而FB先变小后变大，且方向不断改变，当FB与FA垂直时，FB最小.【考点】动态平衡问题分析【题点】图解法求动态平衡问题1.(三力平衡问题)用三根轻绳将质量为m的物块悬挂在空中，如图7所示.已知ac和bc与竖直方向的夹角分别为30°和60°，则ac绳和bc绳中的拉力分别为()图7A.eq\f(\r(3),2)mg，eq\f(1,2)mg B.eq\f(1,2)mg，eq\f(\r(3),2)mgC.eq\f(\r(3),4)mg，eq\f(1,2)mg D.eq\f(1,2)mg，eq\f(\r(3),4)mg答案A解析分析结点c的受力情况如图，设ac绳受到的拉力为F1、bc绳受到的拉力为F2，根据平衡条件知F1、F2的合力F与重力mg等大、反向，由几何知识得F1＝Fcos30°＝eq\f(\r(3),2)mg，F2＝Fsin30°＝eq\f(1,2)mg，选项A正确.【考点】静态平衡问题分析【题点】三力平衡问题2.(动态平衡问题)如图8所示，电灯悬挂于两墙之间，更换水平绳OA使连接点A向上移动而保持O点的位置不变，则A点向上移动时()图8A.绳OA的拉力逐渐增大B.绳OA的拉力逐渐减小C.绳OA的拉力先增大后减小D.绳OA的拉力先减小后增大答案D解析对O点受力分析，如图所示，利用图解法可知绳OA的拉力先变小后变大，故A、B、C错误，D正确.【考点】动态平衡问题分析【题点】图解法求动态平衡问题3.(多力平衡问题)出门旅行时，在车站、机场等地有时会看见一些旅客推着行李箱，也有一些旅客拉着行李箱在地面上行走.为了了解两种方式哪种省力，我们作以下假设：行李箱的质量为m＝10kg，拉力F1、推力F2与水平方向的夹角均为θ＝37°(如图9所示)，行李箱与地面间为滑动摩擦力.动摩擦因数为μ＝0.2，行李箱都做匀速运动.试分别求出F1、F2的大小并通过计算说明拉箱子省力还是推箱子省力.(sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g＝10m/s2)图9答案见解析解析拉行李箱时，对行李箱受力分析，如图甲所示.F1cosθ＝f1F1sinθ＋FN1＝mgf1＝μFN1解得F1＝eq\f(μmg,cosθ＋μsinθ)≈21.7N推行李箱时，对行李箱受力分析，如图乙所示.F2cosθ＝f2FN2＝F2sinθ＋mgf2＝μFN2解得F2＝eq\f(μmg,cosθ－μsinθ)≈29.4NF1<F2，即拉箱子省力.【考点】力的正交分解【题点】正交分解法处理平衡问题一、选择题考点一三力平衡问题1.(多选)如图1所示，两根等长的轻绳将日光灯悬挂在天花板上，两绳与竖直方向的夹角都为45°，日光灯保持水平，所受重力为G.则()图1A.两绳对日光灯拉力的合力大小为GB.两绳的拉力和重力不是共点力C.两绳的拉力大小分别为eq\f(\r(2),2)G和eq\f(\r(2),2)GD.两绳的拉力大小分别为eq\f(G,2)和eq\f(G,2)答案AC解析如图，两绳拉力的作用线与重力作用线的延长线交于一点，这三个力为共点力，B选项错误；由于日光灯在两绳拉力和重力作用下处于平衡状态，所以两绳的拉力的合力与重力G等大反向，A选项正确；由于两个拉力的夹角成直角，且都与竖直方向成45°角，则由力的平行四边形定则可知G＝eq\r(F\o\al(,12)＋F\o\al(,22))，F1＝F2，故F1＝F2＝eq\f(\r(2),2)G，C选项正确，D选项错误.2.在如图2所示的甲、乙、丙、丁四图中，滑轮光滑且所受的重力忽略不计，滑轮的轴O安装在一根轻木杆P上，一根轻绳ab绕过滑轮，a端固定在墙上，b端下面挂一个质量为m的重物，当滑轮和重物都静止不动时，甲、丙、丁图中木杆P与竖直方向的夹角均为θ，乙图中木杆P竖直.假设甲、乙、丙、丁四图中滑轮受到木杆P的弹力的大小依次为FA、FB、FC、FD，则以下判断正确的是()图2A.FA＝FB＝FC＝FDB.FD>FA＝FB>FCC.FA＝FC＝FD>FBD.FC>FA＝FB>FD答案B解析绳上的拉力大小等于重物所受的重力mg，设滑轮两侧轻绳之间的夹角为φ，滑轮受到木杆P的弹力F大小等于滑轮两侧轻绳拉力的合力大小，即F＝2mgcoseq\f(φ,2)，由夹角关系可得FD>FA＝FB>FC，选项B正确.3.如图3所示，两轻弹簧a、b悬挂一小铁球处于平衡状态，a弹簧与竖直方向成30°角，b弹簧水平，a、b的劲度系数分别为k1、k2，则a、b两弹簧的伸长量x1与x2之比为()图3A.eq\f(2k2,k1)B.eq\f(k2,k1)C.eq\f(k1,k2)D.eq\f(k2,2k1)答案A解析a弹簧的弹力FA＝k1x1，b弹簧的弹力FB＝k2x2，小球处于平衡状态，必有FAsin30°＝FB.即：k1x1sin30°＝k2x2，故eq\f(x1,x2)＝eq\f(2k2,k1)，A正确.4.如图4所示，质量为m的小物体静止在半径为R的半球体上，小物体与半球体间的动摩擦因数为μ，小物体与球心连线与水平地面的夹角为θ，则下列说法正确的是()图4A.小物体对半球体的压力大小为mgcosθB.小物体对半球体的压力大小为mgtanθC.小物体所受摩擦力大小为μmgsinθD.小物体所受摩擦力大小为mgcosθ答案D解析对小物体受力分析，小物体受重力、支持力及摩擦力，三力作用下物体处于平衡状态，则合力为零，小物体对半球体的压力FN＝mgsinθ，A、B错误；小物体所受摩擦力为静摩擦力，不能用f＝μFN来计算，摩擦力沿切线方向，在切线方向重力的分力与摩擦力相等，即f＝mgcosθ，C错误，D正确.5.如图5所示，一个半球形的碗放在桌面上，碗口水平，O点为其球心，碗的内表面及碗口是光滑的，一根细线跨在碗口上，线的两端分别系有质量为m1和m2的小球，当它们处于平衡状态时，质量为m1的小球与O点的连线与水平方向的夹角为α＝60°，两小球的质量比eq\f(m2,m1)为()图5A.eq\f(\r(3),3) B.eq\f(\r(2),3)C.eq\f(\r(3),2) D.eq\f(\r(2),2)答案A考点二利用正交分解法解决共点力平衡问题6.(多选)如图6所示，一个质量为3.0kg的物体，放在倾角为θ＝30°的斜面上静止不动.若用竖直向上的力F＝5.0N提物体，物体仍静止，下述结论正确的是(g＝10m/s2)()图6A.物体受到的摩擦力减小2.5NB.斜面对物体的作用力减小5.0NC.物体受到的弹力减小5.0ND.物体受到的合外力减小5.0N答案AB解析未施加F时，对物体进行受力分析，如图甲所示由平衡条件，得f＝mgsin30°＝15NFN＝mgcos30°＝15eq\r(3)N施加F后物体的受力情况如图乙所示由平衡条件，得f′＋Fsin30°＝mgsin30°f′＝12.5NFN′＋Fcos30°＝mgcos30°FN′＝eq\f(25,2)eq\r(3)N即物体受到的摩擦力减小f－f′＝2.5N，弹力减小FN－FN′＝eq\f(5,2)eq\r(3)N.A正确，C错误；因物体仍静止，合外力仍为零，斜面对物体的作用力与mg和F的合力大小相等，方向相反，B正确，D错误.考点三动态平衡问题7.如图7所示，用绳索将重球挂在墙上，不考虑墙的摩擦，如果把绳的长度增加一些，则球对绳的拉力F1和球对墙的压力F2的变化情况是()图7A.F1增大，F2减小B.F1减小，F2增大C.F1和F2都减小D.F1和F2都增大答案C解析把球的重力往两个方向上分解如图所示，由图知两个力均减小，故选C.8.(多选)如图8所示，用竖直挡板将光滑小球夹在挡板和斜面之间，若逆时针缓慢转动挡板，使其由竖直转至水平的过程中，以下说法正确的是()图8A.挡板对小球的压力先增大后减小B.挡板对小球的压力先减小后增大C.斜面对小球的支持力先减小后增大D.斜面对小球的支持力一直逐渐减小答案BD解析取小球为研究对象，小球受到重力G、挡板对小球的支持力FN1和斜面对小球的支持力FN2三个力作用，如图所示，FN1和FN2的合力与重力大小相等，方向相反，FN2总垂直接触面(斜面)，方向不变，根据图解可以看出，在FN1方向改变时，其大小(箭头)只能沿PQ线变动.显然在挡板移动过程中，FN1先变小后变大，FN2一直减小.【考点】动态平衡问题分析【题点】图解法求动态平衡问题

二、非选择题9.(多力平衡问题)如图9所示，放在水平地面上的物体P的重量为GP＝10N，与P相连的细线通过光滑轻质定滑轮挂了一个重物Q拉住物体P，重物Q的重量为GQ＝2N，此时两物体保持静止状态，线与水平方向成30°角，则物体P受到地面对它的摩擦力f与地面对它的支持力FN各为多大？图9答案eq\r(3)N9N解析选取Q为研究对象，受力如图所示：由平衡条件可知：FT＝GQ ①选取P为研究对象，受力如图所示：建立如图所示的直角坐标系，在x轴上由平衡条件，有：FTx＝f＝FTcos30° ②在y轴上由平衡条件，有：FN＋FTy＝FN＋FTsin30°＝GP ③联立①②③得：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f＝\r(3)N，方向水平向左,FN＝9N，方向竖直向上))10.(多力平衡问题)一物体置于粗糙的斜面上，给该物体施加一个平行于斜面的力，当此力为100N且沿斜面向上时，物体恰能沿斜面向上匀速运动；当此力为20N且沿斜面向下时，物体恰能在斜面上向下匀速运动，求施加此力前物体在斜面上受到的摩擦力的大小.答案40N解析物体沿斜面向上运动时对物体受力分析如图甲所示.甲乙由共点力的平衡条件得x轴：F1－f1－mgsinα＝0，y轴：mgcosα－FN1＝0又f1＝μFN1物体沿斜面向下运动时对物体受力分析如图乙所示.由共点力的平衡条件得x轴：f2－F2－mgs