2024年中考数学复习：将军饮马最值问题典例剖析

将军饮马最值问题典例剖析

【传说】早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦.一天，一位罗马将军专程去拜访他,

向他请教一个百思不得其解的问题.将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营B开会，应该怎样走才

能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它.从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今.

【问题原型】将军饮马造桥选址

【涉及知识】两点之间线段最短，垂线段最短；三角形两边三边关系；轴对称；平移；

【解题思路】找对称点，实现折转直

【基本模型】1.两定一动型：两定点到一动点的距离和最小

例：在定直线1上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B的距离之和最小，即PA+PB最小.

作法：连接AB,与直线1的交点Q,Q即为所要寻找的点，即当动点P跑到了点Q处，PA+PB最小，且最小值等于A

原理：两点之间线段最短。

定'定直线

证明：连接AB,与直线1的交点Q,P为直线1上任意一点，在八PAB中，由三角~竭/

形三边关系可知：AP+PBMAB（当且仅当PQ重合时取=）

定点打

例：在定直线1上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B的距离之和最小，即

PA+PB的和最小.

关键：找对称点

作法：作定点B关于定直线1的对称点C,连接AC,与直线1的交点Q,即为所要寻找

的点，即当动点P跑到了点Q处，PA+PB和最小，且最小值等于AC.

原理：两点之间，线段最短

证明：连接AC,与直线1的交点Q,P为直线1上任意一点，在^PAC中,由三

角形三边关系可知:AP+PCMAC（当且仅当PQ重合时取=）

2.两动一定型［得

例:在ZMON的内部有一点A,在0M上找一点B,在ON上找一点C,使得△BAC周长最短.

作法:作点A关于OM的对称点A；作点A关于ON的对称点A",连接A；A”与OM交于

点B,与ON交于点C,连接AB,AC,△ABC即为所求.

原理：两点之间，线段最短

例：在NMON的内部有点A和点B,在OM上找一点C,在ON上找一点D,使得四边形ABCD周长最短.

作法：作点A关于OM的对称点4,作点B关于0N的对称点,夕，连接4、B',与0M交于点C,与ON交于点D,连接AC,

BD,AB.四边形ABCD即为所求.

原理：两点之间，线段最短

3.两定两动型最值

例：已知A、B是两个定点，在定直线1上找两个动点M与N,且MN长度等于定长d（动

点M位于动点N左侧），使4M+MN+NB的值最小.

提示：存在定长的动点问题一定要考虑平移

A

作法一：将点A向右平移长度d得到点A，，作A，关于直线1的对称点.4,连接4ms交直线1于点N,将点N向左平移长度d,

得到点Mo

作法二：作点A关于直线1的对称点Ai,将点Ai向右平移长度d得到点.4,连接A2B,

交直线1于点Q,将点Q向左平移长度d，得到点Q。

原理：两点之间，线段最短，最小值为A"B+MN

例：（造桥选址）将军每日需骑马从军营出发，去河岸对侧的瞭望台观察敌情，已知河流的宽度为30米，请问，在何地修浮

桥，可使得将军每日的行程最短？

❽军营

I亚生台

例:直线11〃卜，在直线h上找一个点C,直线12上找一^1\点D,使得（CD1b且AC+BD+CO最短.

作法：将点A沿CD方向向下平移CD长度d至点A',连接A'B,交12于点D,过点D作DC±。于点C,连接AC.则桥CD

即为所求.此时最小值为A'B+CD.

原理：两点之间，线段最短，

4.垂线段最短型

例:在NMON的内部有一点A,在OM上找一点B,在ON上找一点C,使得AB+BC最

短.

原理：垂线段最短

点A是定点,OM,ON是定线，点B、点C是OM、ON上要找的点，是动点.

作法:作点A关于OM的对称点A',过点A作A，C_LON,交OM于点B,B、

C即为所求。

例：在定直线1上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B的距离之差最小,即PA-P

B最小.

作法：连接AB,作AB的中垂线与1的交点，即为所求点P,此时|PA-PB|=0

原理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等

例：在定直线1上找一个动点C,使动点C到两个定点A与B的距离之差最大,即

CA-CBI最大

作法:延长BA交/于点C,点C即为所求,即点B、A、C三点共线时，最大值为AB

的长度。

原理：三角形任意两边之差小于第三边

例：在定直线1上找一个动点C，使动点C到两个定点A与B的距离之差最大，即|PA—PBI最大

作法：作点B关于1的对称点B',连接ABI交1于点P即为所求，最大值为AB的长度。

原理：三角形任意两边之差小于第三边

【经典范例】

例1.如图:知:AM±MN,BN_LMN,垂足分别为M,N.点C是MN上使AC+BC的值最小

的点若AM=3,BN=5,MN=15,贝!]AC+BC=17.

【分析】以MN为轴作A点对称点A；连接A,B交MN于C,则A'B就是AC+BC最小值;根据勾股定理求得A'B的长，即可求

得AC+BC的最小值.

【解答】解:作A点关于直线MN的对称点A',连接A,B交MN于C,则AC+BC=A'C+BC=A'B,A'B就是AC+BC的最小

直延长BN使ND=A'M,连接A'D,

VAM±MN.BN±MN,

...AA，〃BD,

，四边形ADNM是矩形.

；.ND=AM=3,A'D=MN=15,

，BD=BN+ND=5+3=8,

A'B=V152+82=17,AC+BC=17„故答案为17.

例2.如图,矩形ABCD中,AB=2,BC=3,分别以A、D为圆心,1为半径画圆,E、F分别是。A、OD上的一动点,P是BC上的一

动点则PE+PF的最小值是工.

【分析】以BC为轴作矩形ABCD的对称图形ABCD以及对称圆D\连接AD交BC于P,交。A、G)D于E、F,连接PD,交。

D于F,EF就是PE+PF最小值;根据勾股定理求得AD的长,即可求得PE+PF最小值.

【解答】解:如图，以BC为轴作矩形ABCD的对称图形A，BCD以及对称圆A；连接AD交BC

于P,则DE就是PE+PD最小值；

,矩形ABCD中,AB=2,BC=3.圆A的半径为I.

A'D'=BC=3,AA'=2AB=4,AE=D'F=1,

二AD'=5,EF=5-2=3.

/.PE+PF=PF+PE=EF=3.

例3.如图,NAOB=60。,点P是NAOB内的定点且0P=百,若点M、N分别是射线OA、0B上异

于点0的动点，则△PMN周长的最小值是J_.

【分析】作P点分别关于OA、0B的对称点C、D,连接CD分别交OA、OB于M、N,如图,利用轴对称的性质得MP=MC,N

P=ND,OP=OD=OC=V3,ZBOP=ZBOD,NAOP=NAOC,所以NCOD=2NAOB=120。,利用两点之间线段最短判断此时△PMN周长最

小，作OH_LCD于H,则CH=DH,然后利用含30度的直角三角形三边的关系计算出CD即可.

【解答】解:作P点分别关于OA、OB的对称点C、D,连接CD分别交OA、OB于M、N.如图，则MP=MC,NP=ND,OP=OD

=OC=V3,ZBOP=ZBOD,ZAOP=ZAOC,

.,.PN+PM+MN=ND+MN+MC=DC,ZCOD=ZBOP+ZBOD+ZAOP+ZAOC=2ZAOB=120°,

此时△PMN周长最小，作OH_LCD于H,则CH=DH,

KOCH=30OH=-OC=叵,CH=V3OH=CD=2CH=3

222，

例4.如图.在矩形ABCD中=6,4。=3动点P满足Sp.=白必加…，则点P到A、B两点距离之和PA+PB的最小值为一2

V13

【分析】先由SpM=白诙匕RE得出动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线1上，作A关于直线1的对称点E,连接

AE,BE,则BE的长就是所求的最短距离.然后在直角三角形ABE中，由勾股定理求得BE的值，即可得到.PA+PB的最小值.

【解答】解:设^ABP中AB边上的高是h.

.‘PB-3^±JgABCD'

11

：.-AB-h=-AB-AD,

23

2

h=-AD=2,

3

・・・动点p在与AB平行且与AB的距离是2的直线1上，

如图，作A关于直线1的对称点E,连接AE,BE,则BE的长就是所求的最短距离.

在RtAABE中，；AB=6,AE=2+2=4,

:.BE=ylAB2+AE2=<62+42=2V13,gpPA+的最小值为2A.

例5.如图,ZAOB=30。,，点M、N分别在边OA、OB上，且（OM=1,ON=3“点NQ分别在边OB、OA±,MMP+PQ+QN

的最小值是一VTo

【分析】作M关于OB的对称点作N关于OA的对称点N”,连接MN卿为,MP+PQ+QN的最小值.

【解答】解:作M关于OB的对称点M，,作N关于OA的对称点N',连接M'N',即为.MP+PQ+QN的最小值.根据轴对称的

定义可知：XV'OQ=4M'O3=30。，4ON"=60°,

0NN，为等边三角形,△0MM，为等边三角形，

:.Z-N'OM'=90。，

・••在Rt△M'ON'中,MN'=V32+l2=故答案为V10.

例6:如图,在正方ABCD中,=6„MN是BC边上的动线段,且MN=1,,则四边形AMND周长的最小值为亚.

【分析】在AD上截取AE=1,作EF1BC于点G,则DE的长就是AN+DM的最小值，利用三角函数求得DF的长，则四边形

周长的最小值即可求得.

【解答】解：在AD上截取AE=1,作EF1BC于点G.则DE的长就是.AN+DM的最小值，则在直角乙DEF中，DF=

VDE2+EF2=V（6-I）2+122=13.

则四边形AMND的周长的最小值是13+6+1=20.故答案是:20.

例7.如图.在矩形ABCD中,AB=4,4D=6,AE=4,AF=2,.是否在边BC、CD上分别存在点G、H，使得四边形EFGH的周

长最小？若存在，求出它周长的最小值；若不存在，请说明理由.

【分析】作E关于CD的对称点作F关于BC的对称点连接E/Z得到此时四边形EFGH的周长最小，根据轴对称的性质

得至UBF'=BF=AF=2,DE'=DE=2,^A=90。,于是得至!]AF'=6,AE'=8,求出E'F'=10,EF=2遮即可得至!]结论；

【解答】解:⑴如图1,A4DC即为所求；

（2）存在,理由：作E关于CD的对称点E',，作F关于BC的对称点心连接EF,交BC于G,交CD于H,连接FG,EH,则FZ

=FG,1K'H=EH,则此时四边形EFGH的周长最小，由题意得：B卜’=BF=AF=2,DE'=DE=2,乙4=90",

•••AF'=6,AE'=8,.-.E'F'=10,EF=2V5,

二四边形EFGH的周长的最小值=EF+iiG+GH+HE=EF+E'F'=245+10,

在边BC、CD上分别存在点G、H，使得四边形EFGH的周长最小，最小值为2西+10;

例8.如图所示，AB、AC、BC是某新区的三条规划路，其中4B=6km,AC=3km,AC=60°,BC瓦■所对的圆心角为（60°

,,新区管委会想在BC路边建物资总站点P,在AB,AC路边分别建物资分站点E、F,也就是，分别在曲线段AB和AC上选取点

P、E、F.由于总站工作人员每天都要将物资在各物资站点间按P-E-F-P的路径进行运输，因此，要在各物资站点之间规划道路

PE、EF和FP.为了快捷、环保和节约成本.要使得线段PE、EF、FP之和最短，试求PE+EF+FP的最小值.（各物资站点与所在道路

之间的距离、路宽均忽略不计）

【分析】设连接AP,OP,分别以AB、AC所在直线为对称轴，作出P关于AB的对称点为M,P关于AC的对称点为N,连

接MN,交AB于点E,交AC于点F,连接PE、PF,所以AM=AP=4M设AP=r,易求得：MN=所以PE+EF+PF=ME+

EF+FN=MN=即当AP最小时..PE+EF+PF可取得最小值.

【解答】解：设连接AP,OP分别以AB、AC所在直线为对称轴，作出P关于AB的对称点为M,P关于AC的对称点为N,连

接MN,交AB于点E,交AC于点F.连接PE、PF,AM=AP=AN,

•••^MAB=乙PAB,4NAC=乙PAC,

ZBAC=ZPAB+ZPAC=ZMAB+ZNAC=60°,

ZMAN=120°,

AM.P、N在以A为圆心,AP为半径的圆上，

设AP=r,易求得:MN=V3r,

•.,PE=ME,PF=FN,，PE+EF+PF=ME+EF+FN=MN=V5r,

...当AP最小时,PE+EF+PF可取得最小值，

1/AP+OP>OA,AP>OA-OP,即点P在OA上时,AP可取得最小值，设AB的中点为Q,AQ=AC=

3,,.,ZBAC=60°,.\AQ=QC=AC=BQ=3,

二ZABC=ZQCB=30°,/.ZACB=90°,由勾股定理可知:BC=3V3,

•••乙BOC=60",OB=OC=3V3,

AOBC.,.ZOBC=60°,ZABO=90°,

由勾股定理可知：。4=3V7,

.,.PE+EF+PF的最小值为（3g-9）km.

例9.在等腰△4BC中,AB=AC=4,BC=3,AD1BC.点E、F分别在AD,CA上运动，且.AE=CF,当E、F运动过程中，是否

可以得出.BF+CE的和的最小值？这个值是多少呢?

例10.如图,在菱形ABCD中”BC=5,4C=8,对角线AC、BD交于点O,P、Q为BD上的两个动点,且BP=OQ,则AAPQ的周长

的最小值是-3+V73

简析：线线最值转化点线最值

易得PQ=50=3,4。=4,

方法一：相对运动将军饮马问题相当于PQ不动，点A在平行于BD且距离BD长度为4的直线上运动，作点P关于MN的对

称点P',连接P'Q,则P'Q的长为AP+4Q的最小值，由勾股定理求得P'Q=V73,4PQ的周长的最小值是V73+3.

方法二：沿河饮马

连接PC,则PC=4P,将PC平移至QC,连接CC\则QC=PC=AP,AQ+QC>AC=E,.•"APQ的周长的最小值是

V73+3.

【走向中考】

1.如图，在R3ABC中，NC=90。,AC=3,BC=4,D、E分别是AB、BC边上的动点则+DE的最小值为（）

c

E

D

24

A,.—48B.—C.5

55

【分析】作点A关于BC的对称点A,,过点A作A1D±AB交BC、AB分别于点E、D,根据轴对称确定最短路线问题,A'D的

长度即为AE+DE的最小值，利用勾股定理列式求出AB,再利用.乙4BC的正弦列式计算即可得解.

【解答】解:如图.作点A关于BC的对称点A,,过点A作.A'D148交BC、AB分别于点E、D,则A,D的长度即为AE+DE的

最小值,AA'=2AC=2x3=6,

•・•ZACB=90°,BO4,AC=3,

:.AB=y/BC2+AC2=V32+42=5,

.nA/-<BC

smZ.BAC=—=-4

AB5

A'D=AA'°sinZBJ4C=6X、=g，即AE+DE的最小值是y.

故选:B.

2.如图,/40B=30。,点P为ZAOB内一点（OP=10,,点M、N分别在OA、OB上，求△PMN周长的最小值（）

P、

A.5B.10C.15D.20

【分析】分别作点P关于OA、OB的对称点PAP2,连PI、Pz,交OA于M,交OB于NgPMN的周长=PiPz,然后证明AOPiPz

是等边三角形，即可求解.

【解答】解：分别作点P关于OA、OB的对称点P*P2,连Pi、Pz,交OA于M,交OB于N,则OP\=OP=0P2,^P10A=

APOA,APOB=乙PzOB,

MP=PMPN=P2N,则4PMN的周长的最小值==PR^PiOP2=2/-AOB=6（）0

OPiPz是等边三角形.△PMN的周长：=P1P2,--PR=0Pi=0P2=0P=10.

故选:B.

3.如图,当四边形PABN的周长最小时,a的值为

【分析】作B关于x轴的对称点C,连结CN,作平行四边形PNCD,因为AB、PN为定值,所以PA+BN最小即可，因为BN=CN

=PD,所以只要AP+PD最小,作直线AD交x轴于Q,当P与Q重合时,AP+PD=AD最小.

【解答】解:作B关于x轴的对称点C,连结CN,作平行四边形PNCD.

•；AB、PN为定值，；.PA+BN最小即可，,.,BN=CN=PD,.,.只要AP+PD最小

作直线AD交x轴于Q,当P与Q重合时,AP+PD=AD最小

,•'A(1,3)、B(4,1),AC(4,-1),.,.D(2,-1)

，直线AD为:y=-4x+7当y=0时,x=1,；.Q为

VP,Q重合a=\,

't纪3)

IDc

4.如图,在五边形ABCDE中，./.BAE=136。,NB=NE=90。,,在BC,DE上分别找一点M,N,使得△4MN的周长最小时，则

乙AMN+乙4NM的度数为四二.-------E

【分析】根据要使4AMN的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和ED的对称点A；

A；即可得出NAA，M+NA，=NHAA，=44。,进而得出NAMN+NANM=2(NAA，M十NA")即可得出答案.

【解答】解:作A关于BC和ED的对称点A;A",连接AA”,交BC于M,交ED于N,则AA”即为△AMN的周长最小值.作D

A延长线AH,

VZBAE=136°,AZHAA'=44°,AZA'+ZA'=ZHAA'=44°,

ZA'=ZMAA',ZNAE=ZA",且NA'+NMAA，=NAMN,ZNAE+ZA'=ZANM,

ZAMN+ZANM=ZA'+ZMAA'+ZNAE+ZA"=2(ZA,+ZA')=2x44°=88°,故答案为：88°.

5.如图,△ABC中,AB=4,NBAC=30。,若在AC、AB上各取一点M、N使BM+MN的值最小,则这个最小值为一2b

AB

【分析】作点B关于AC的对称点B,过B，作B'N±AB于N,交AC于M.此时BM+MN的值最小.通过证明^B'AB是等边三角

形，根据等边三角形的性质求解.

【解答】解:如图，作点B关于AC的对称点B,过B作B1N±AB于N,交AC于M.此时BM+MN的值最小.BM+MN=B'N.

^.^点B与点B关于AC对称....AB，=AB,又^.^NBAC=30。，...NBAB=60。，.^.△B,AB是等边三角形

.,.B'B=AB=4,ZB'BN=60°,又：：.B'N=B'B=2同故答案为:2篇

6.如图所示，正方形ABCD的对角线长为6,AABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P,使P

D+PE的和最小，则这个最小值为_3V2

【分析】由于点B与D关于AC对称.所以连接BD,交AC于P点.此时PD+PE的最小值=BE,而BE是等边△4BE的边，BE

=4B,由正方形ABCD的边长为6,可求出AB的长，从而得出结果.

【解答】解:设BE与AC交于点P,连接BD,

点B与D关于AC对称,PD=PB,PD+PE=PB+PE=8E最小.

即P在AC与BE的交点上时,PD+PE最小,为BE的长度；

•.,正方形ABCD的对角线长为6,.-.AB=-=3或又：△是等边三角形，

BE=AB=3&.故所求最小值为3vl.故答案为：3VI

7.如图,sinzC=，长度为2的线段ED在射线CF上滑动，点B在射线CA上，且BC=5,则△80E周长的最小值为2+2版.

F

【分析】如图作BK〃CF,使得BK=DE=2,作K关于直线CF的对称点G,连接BG交CF于D,此时△BDE的周长最小.

【解答】解:如图作BK〃CF,使得.BK=DE=2,,作K关于直线CF的对称点G,连接BG交CF于D；此时△BDE的周长最

小.在RtABGK中,易知.BK=2,GK=6,

BG=V22+62=2V10,

ABDE周长的最小值为BEC+D'E+BD=KD'+DE+BD'=D'E+BD'+GD'=D'E+BG=2+2V10.

故答案为：2+2V10.

8.如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8,点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，则.PM

+PN的最小值是“

【分析】要求PM+PN的最小值，PM、PN不能直接求，可考虑通过作辅助线转化PN、PM的值，从而找出其最小值求解.

【解答】解:如图:作ME1AC交AD于E,连接EN,则EN就是PM+PN的最小值，

VM,N分别是AB、BC的中点，，BN=BM=AM,YMELAC交AD于E,，AE=AM,

，AE=BN,AE〃BN,...四边形ABNE是平彳亍四边形，...EN=AB,EN〃AB,

而由题意可知，可得AB=7(6-2)2+(84-2)2=5,.-.EN=AB=5,PM+RN的最小值为5.

故答案为:5.

a

A

9.如图.AABC中,AB=AC,^BAC=45°,BC=2,,D是线段BC上的一个动点，点D是关于直线AB、AC的对称点分别为M、

N,则线段MN长的最小值是_2+2V2.

【分析】连接AM,AN,AD,于是得到^MAN是等腰直角三角形,求得MN=当AM取最小值时,MN最小,即AD取最

小值时,MN最小，当AD±BC时,AD最小，过B作BH±AC于H,得到4炉=4+2企,根据勾股定理得到4D=鱼+1,再根据

MN=近4。即可解决问题；

【解答】解:如图,连接AM,AN,AD,

,•,点D是关于直线AB、AC的对称点分别为M、N,，AM=AD=AN,

，ZMAB=ZDAB,ZNAC=ZDAC,

ZBAC=45°,ANMAN=90。，.♦.△MAN是等腰直角三角形,MN=y[2AM,

当AM取最小值时,MN最小,即AD取最小值时,MN最小，

当AD_LBC时,AD最小,过B作BH_LAC于H,AH=BH=~AB,

CH=(1-BH2+CH2=BC2,.-.(当甸?+[(1-=4,

AB2=4+2V2,

在RtAADB中,AD2=AB2-BD2=3+2V2•••.AD=y/2+1,MN=V2AD=2+V2,

，线段MN长的最小值是2+VI

A

10.如图矩形ABCD中,AB=2,BC=3,以A为圆心,1为半径画圆,E是OA上一动点,P是BC上的一动点，则PE+PD的最小值是

【分析】以BC为轴作矩形ABCD的对称图形A,BCD以及对称圆A；连接A'D交BC于P,则DF就是PE+PD最小值；根据勾

股定理求得A'D的长，即可求得PE+PD最小值.

【解答】解:如图，以BC为轴作矩形ABCD的对称图形A，BCD以及对称圆A；连接A'D交BC于P,则DE就是PE+PD最小值;

:矩形ABCD中,4B=2,BC=3,圆A的半径为1,.;A'D'=BC=3,DD'=2DC=4,AE'=1,&D=5,，DE，=5-1=4,，PE

+PD=PE'+PD=DE'=4.故答案为4.

11.如图，矩形ABCD中.AB=4,BC=8,E为CD边的中点，点P、Q为BC边上两个动点,且PQ=2,当BP=支时,四边形APQE的周

长最小.

【分析】要使四边形APQE的周长最小，由于AE与PQ都是定值，只需.AP+EQ的值最小即可.为此，先在BC边上确定点

P、Q的位置，可在AD上截取线段AF=DE=2,作F点关于BC的对称点G,连接EG与BC交于一点即为Q点，过A点作FQ的

平行线交BC于一点，即为P点，贝耻匕时.AP+EQ=EG最小,然后过G点作BC的平行线交DC的延长线于H点,那么先证明.

乙GEH=45。,再由CQ=EC即可求出BP的长度.

【解答】解:如图,在AD上截取线段AF=DE=2,作F点关于BC的对称点G,连接EG与BC交于一点即为Q点，过A点作FQ

的平行线交BC于一点，即为P点，过G点作BC的平行线交DC的延长线于H点.

•.,GH=DF=6,EH=2+4=6,ZH=90°,/.ZGEH=45°,AZCEQ=45°,

设BP=x,贝[]CQ=BC-BP-PQ=8-x-2=6-x,

在^CQE中，；ZQCE=90°,ZCEQ=45°,，CQ=EC,，6-x=2,解得x=4.

故答案为4.

12.如图，已知直线胡以5办之间的距离为8,点P到直线。的距离为6,点Q到直线力的距离为,PQ=4闻,在直线A上有

一动点A,直线.A上有一动点B,满足.4B1以且PA+AB+BQ最小.此时4PA+BQ=16.

【分析】作PE_L，i于E交。于F,在PF上截取PC=8,连接QC交。于B,作BA1。于A,此时PA+AB+BQ最短.作QD_LPF于

D.首先证明四边形ABCP是平行四边形,PA+BQ=CB+BQ=QC.利用勾股定理即可解决问题.

【解答】解:作PE_L。于E交卜于F,在PF上截取PC=8,连接QC交％于B.作BA1h于A,此时PA+AB+BQ最短作QD±

PF于D.

在RtAPQD中，•；/D=90°,PQ=4V30,PD=18,

DQ=yjPQ2-PD2=V156,CD=PD-PC=18-8=10,

AB=PC=8,AB//PC,四边形ABCP是平行四边形，，PA=BC,

4156+1()2=16.故答案为16.

13.如图,在正方形ABCD中,AB=8,AC与BD交于点O,N是AO的中点点M在BC边上,且BM=6.P为对角线BD上一点，则P

M-PN的最大值为-2.

【分析】作以BD为对称轴作N的对称点N',连接PN',MN\依据PM-PN=PM-PNMMN何得当P,M,N三点共线时,取再

求得%=%=去即可得出PM〃AB〃CD,NCMN・90。,再根据△CM为等腰直角三角形，即可得到CM=MN'=2.

BMAN3

【解答】解:如图所示，作以BD为对称轴作N的对称点N1,连接PN',MN',根据轴对称性质可知,PN=pN',：.PM-PN

=PVM-PN'<MN'„当P,M,N三点共线时,取“=”，

•..正方形边长为8,AC=y]2AB=为AC中点,二AO=0C=4V2,

TN为OA中点,ON=2V2,0Nn=CN=2V2,AN=6a,;.BM=6,

;CM=48-8M=8-6=2,J.*=累=gJ.PM/AB/CD/CMN'=90°

•1,ZN'CM=45°,AN,CM为等腰直角三角形,CM=MAT=2,即PM-PN的最大值为2.故答案为:2.

14.如图.矩形ABCD中,AB=20cm,BC=10cm,若在AC、AB上各取一点M、N,使BM+MN的值最小，求这个最小值.

【分析】作点B关于直线AC的对称点B1,交AC与E,连接B'M,过B作B'G14B于G,交AC于F,再由对称性可知B,M+MN=

BM+MN>B'G,再由等号成立条件得出4c=10遍,再根据△ABC的面积分别求出BE、BB，的值，由相似三角形的判定定理得出△方

GBAABC),再根据相似三角形的性质即可求解.

【解答】解:如图，作点B关于直线AC的对称点B；交AC与E,连接B'M,过B作B'G148于G,交AC于F.由对称性可知BM

+MN=BM+MN>B'G,当且仅当M与F、点N与G重合时,等号成立,AC=10V5,

・，点B与点B关于AC对称，，BEJ_AC,

SABC=171C-BE=^AB-BQ得BE=4V5,BB'=2BE=8V5,

SZB'BG+ZCBE=ZACB+ZCBE=90°,贝!j.乙B'BG=乙ACB,又乙B'GB=/.ABC=90°,

得B'GBABC,*^

B'G=喀等=16,故BM+MN的最小值是16cm.故答案为：16cm.

10V5

15.如图,点P、Q为NMON内两点，分别在0M与ON上找点A、B,使四边形PAQB的周长最小.

【分析】作点P关于直线OM的对称点P,作Q关于直线ON的对称点Q；连接PQ交0M于A,ON于B,于是得到结论.

【解答】解作点P关于直线0M的对称点P,作Q关于直线ON的对称点Q；连接PQ交OM于AQN于B,则此时四边形PA

QB的周长最小.

16.等腰△4BC中,AB=AC=5,BC=6,AD是BC边上的高线,M是AD上的动点,E是AB上的一动点，求EM+BM的最小值.

【分析】作E关于AD的对称点E',连接BF交AD于M,连接EM,过B作_1_4。于F.根据三线合一定理求出BD的长,根据

勾股定理求出AD,根据三角形面积公式求出BF,根据对称性质求出BM+EM=BE,根据垂线段最短得出BM+EM>弟即可得出答

案.

【解答】解:作E关于AD的对称点F,连接BE交AD于M,连接EM,过B作BF±AC于F,

：AB=AC=5,BC=6,AD是BC边上的高线,BD=DC=3,AD平分NBAC,

22

，E在AC上，在RtAABD中，由勾股定理得:AD=V5-3=4,.-.SABC=^xBCXAD=-xACXBF,

...BF=畛竺=第=胃，E关于AD的对称点E',EM=E'M,

ACbb

.,.BM+EM=BM+E,M=BE',根据垂线段最短得出：BE'>BF,即BM+EM>,即BM+EM的最小值是g,

17.(1)如图①，点A、B在直线1两侧,请你在直线1上画出一点P,使得/PA+PB的值最小；

(II)如图②，点E、F在直线1同侧，请你在直线1上画出一点P，使得PE+PF的值最小；

(III)如图③，点M、N在直线1同侧，请你在直线1上画出两点0、P,使得(OP=1cm,MO+0P+PN的值最小.

(保留作图痕迹，不写作法)

•pN

4・M・

•B

图①图②图③

【分析】⑴图①，显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点；

(II)图2,作E关于直线的对称点.连接FE即可；

(III)图③，画出图形，作N的对称点N\作NQ//直线1,NQ=lcm,连接MQ得出点O即可.

【解答】解：(I)如图①，连接A、B两点与直线的交点即为所求作的点P,这样PA+PB最小，理由是：两点之间，线段最

短；

(H)如图②，先作点E关于直线1的对称点E',再连接EF交1于点P,则PE+PF=E，P+PF=EE由“两点之间，线段最

短”可知，点P即为所求的点；

dE,/\p/

—\---------/--------'°\'、：

\!/p\\\

认石Q*-XN'

图①图②图③

(III)如图③，作N关于直线1的对称点N,过N作线段NQ〃直线1,且线段,N'Q=1cm,连接MQ,交直线1于O,在直线1上截

取(OP=1C7H,如图,连接NP,贝1］此时.M0+0P+PN的值最小.

18.某课题组在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：

直线1同旁有两个定点A、B,在直线1上存在点P，使得PA+PB的值最小.解法：作点A关于直线1的对称点A1,连接AB,则

A,B与直线1的交点即为P,且PA+PB的最小值为A'B.AK

三

一

C1~A

々-------/B

图①图②

请利用上述模型解决下列问题：

(1)几何应用：如图1,等腰直角三角形ABC的直角边长为2,E是斜边AB的中点,P是AC边上的一动点，则PB+PE的最

小值为一V10

(2)几何拓展如图2,AABC中,AB=2,ZBAC=30°,若在AC、AB上各取一点M、N使BM+MN的值最小，求这个最小值；

(3)代数应用：求代数式VP+1+7(4-%)2+4(0<x<4)的最小值.

【分析】⑴作点B关于AC的对称点B',连接B'E交AC于P.此时PB+PE的值最小.连接AB：先根据勾股定理求出AB，的长，

再判断出NB，AB=90。，根据勾股定理即可得出结论；

(2)作点B关于AC的对称点B,过B，作B'N±AB于N,交AC于M.此时BM+MN的值最小.通过证明4B,AB是等边三角形，

根据等边三角形的性质求解；

⑶将求代数式&E+7(4-x)2+4(0<x<4)的最小值转化为轴对称一最短路线问题.

【解答】解:⑴如图1所示.作点B关于AC的对称点B；连接B'E交AC于P,此时.PB+PE的值最小.连接AB'.

AB'=48=yjAC2+BC2=V22+22=2y/2,AE=^AB=V2,

VZB'AC=ZBAC=45°,AZB'AB=90°,

I22

.'.PB+PE的最小值=B'E=y/B'A2+AE2=』(2")+(V2)=同.故答案为：V10;

(2)如图2,作点B关于AC的对称点B,过B作B1N±AB于N,交AC于M.此时.BM+MN的值最小.

BM+MN=BN.I•点B与点B关于AC对称，=AB

又,:ZBAC=30°,.IZB'AB=60°,AAB'AB是等边三角形B'B=AB=2/B'BN=60°,

在RtABB'N中,BB'=2,ZB'BN=60°,.,.B'N=BB'sinZB'BN=V3;

(3)构造图形如图3所示，

其中:AB=4,AC=1,DB=2,AP=x,CA±AB于A,DB±AB于B.

•••PC+PD=VPT1+V(4-x)2+4,...所求的最小值就是求PC+PO的最小值.

作点C关于AB的对称点C,过C作CE垂直DB的延长线于E.则C'E=AB=4,DE=2+1=3,CD=y/CE2+DE2=V42+32=5,

•••所求代数式的最小值是5.

A

y\D

N-

图1图2图3

19.作图题：

(1)如图1,一^牧童从P点出发,赶着羊群去河边喝水，则应当怎样选择饮水路线，才能使羊群走的路程最短？请在图中画出

最短路线.

(2)如图2,直线1是一条河，A、B是两个村庄，欲在1上的某处修建一个水泵站M,向A、B两地供水，要使所需管道MA+

MB的K度耳又短1在图中标出M点.

(3)如图3,在一条河的两岸有AB两个村庄，现在要在河上建一座小桥，桥的方向与河岸方向垂直，桥在图中用一条线段C

D表示.试问：桥CD建在何处，才能使A到B的路程最短呢？请在图中画出桥CD的位置.画出示意图，并用平移的原理说明理由.

•p・B

•B