人教版九年级下册数学知识要点

第二十六章.反比例函数

知识点一：反比例函数的概念及其图象、性质

k

(1)定义：形如片，60)的函数称为反比例函数，k叫做比例系数，自变量

X

Z反比例函的取值范围是韭霎的一切实数.

(2)形式：反比例函数有以下2种基本形式：

数的概念k

①片1;③xy=k.(其中k为常数，且k，0)

-;②y=kx-

X

例：函数y=3xm+i,当m=-2时,则该函数是反比例函数.

y随x变化的情况

攵的符号图象经过象限

每个象限内，函数y的值

k>Gy图象经过第

V随x的增大而减小.

x

2.反比例函0一、三象限

数的图象(X、y同号)

y

和性质每个象限内，函数y的值

攵<0J图象经过第

随X的增大而增大.

Or

二、四象限

(x、y异号)

(1)由两条曲线组成，叫做双曲线；

3.反比例函

(2)图象的两个分支都无限接近x轴和y轴，但都不会与x轴和y轴相交；

数的图象(3)图象是中心对称图形，原点为对称中心；也是轴对称图形，2条对称?由分

别是平面直角坐标系一、三象限和二、四象限的角平分线.

特征

只需要知道双曲线上任意一点坐标，设函数解析式，代入求出反比例函数系数

4.待定系数

%即可.例：已知反比例函数图象过点(-3,-1),则它的解析式是y=3/x

法

知识点二：反比例系数的几何意义及与一次函数的综合

(1)意义：从反比例函数/七0)图象上任意一点向X轴和y轴作垂线,垂

X

线与坐标轴所围成的矩形面积为因，以该点'一个垂足和原点为顶点的三角

形的面积为l/2|k|.

(2)常见的面积类型：

>粘口忤

5系数攵的B7CX、|o6d

Sa皿=41kIS^=1k\S=1k1SS=1k1(OA=AQ

几何意义eocaABCD

失分点警示

已知相关面积，求反比例函数的表达式，注意若函数图象在第二、四象限，则

k<0.

例：已知反比例函数图象上任一点作坐标轴的垂线所围成矩形为3,则该反比

例函数解析式为：y=°3或了=-°3

--------------

(1)确定交点坐标：【方法一】已知一个交点坐标为(a,b),则根据中心对

称性，可得另一个交点坐标为(-a,-b).【方法二】联立两个函数解析式，

利用方程思想求解.

(2)确定函数解析式：利用待定系数法，先确定交点坐标，再分别代入两个函

数解析式中求解

(3)在同一坐标系中判断函数图象：充分利用函数图象与各字母系数的关系，

可采用假设法，分k>0和k<0两种情况讨论，看哪个选项符合要求即可.

5与一次函也可逐一选项判断、排除.

(4)匕缴函数值的大小：主要通过观察图象，图象在上方的值大，图象在下月

数的综合的值小，结合交点坐标，确定出解集的范围.

涉及与面积有关的问题时，①要善于把点

的横、纵坐标转化为图形的边长，对于不好直“

接求的面积往往可分割转化为较好求的三角形、.

面积；②也要注意系数k的几何意义.木木

例：如图所示，三个阴影部分的面积按从

小到大的顺序排列为：S，AOC=S，OPE>S«BOD

□PCED、入

知识点三：反比例函数的实际应用

(1题意找出自变量与因变量之间的乘积关系；

7.般少

(2设出函数表达式；

(3)依题意求解函数表达式；

骤

(4)根据反比例函数的表达式或性质解决相关问题.

第二十七章、相似

知识点一：比例线段

，比例在四条线段a,b,ca中，如果a与。的比等于。与a的比，即"

bd

线段那么这四条线段a,b,c,d叫做成比例线段，简称比例线段.

(1)基本性质："=°oad-be;(b、d/0)

2.比例bd

的基⑵合比性质：=o=；(b、d/0)

bdbd

本性(3)等比性质：2=£=…=丝=Kb+d+...+*H0)o

bdn

质

__________=k.(b、d、…、n/0)

b+d+…+〃

(1)两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比.八],

例.即如图所示，若4MlM，则竺=竺..y

3.平行线(2)平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长

分线段线)，所得的对应线段成比例.

即如图所示，若ABIICD,则0A=°B.

成比例

~OD7JC

定理

(3)平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的

三角形和原三角形相似.

如图所示，若DEIIBC,则AADESAABC.

AC/5-1

点C把线段力8分成两条线段ZC和6c如果一弋c~c，那

=-------70.618

AB2

.黄金分

4么线段Z8被点C黄金分割.其中点C叫做线段Z8的黄金分割点,ZC

割

与28的比叫做黄金比.ACB

例：把长为10cm的线段进行黄金分割，那么较长线段长为5(户-l)cm

知识点二：相似三角形的性质与判定

(1)两角对应相等的两个三角形相似(AAA).

如图,若NA=ND,NB=NE,则AABOADEF.~\

5.相似三

(2)两边对应成比例，目夹角相等的两个三，7角形

角形

相似.如图，若NA=ND,王=学，Z\则△

的判DFDE

ABJDEF.

定(3)三边对应成比例的两个三角形相似.如图，

若非则AABOADEF."XAd

(1)对应角相等，对应边成比例.

⑵周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方.

5相似

⑶相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线

三角形的

的比等于相似比.

性质

例：(1)已知AABC-ADEF,AABC的周长为3,ADEF的周长为2,则SBC与&DEF

的面积之比为914.

(2)如图，DEllBC,AF_LBC,已知SAADE:SAABC=1:4,则AF:AG=1:2.

第二十八章、锐角三角函数

知识点一：用[角三角函数的定义

n/的对边a

正弦：s\nA=---------=-B

斜边c

a

[.锐角三”的邻边b

余弦：cos/=--------------=_

斜边ccr

角函数

//的对边a

正切：tanZ二_________=_.

”的邻边b

\^度数

30°45°60°

三角函蔡\

2.特殊角

1也搐

sinA

的三角函222

J2j_

数值cosA

22

tanA1J3

"T

知识点二：解直角三角形

3.解直角在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个

三角形锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的

的概念过程叫做解直角三角形.

(1)三边之间的关系：前+9=:；

(2)锐角之间的关系:"+/8=90。;

4解直角

ab

(3)边角之间的关系：sin/==cosB=cos/l=sinB=,

三角形的z

cc

常用关系a

tan/l=.

b

知识点三：解直角三角形的应用

⑴仰、俯角：视线在水平线上方的角叫做仰角.视线在水平线下方的

5.仰角、俯角叫做俯角.

⑵坡度：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(或者叫做坡

角、坡比)，用字母/表示.坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，

用谯示，则有/=tana.

度、坡角

⑶方向角：平面上，通过观察点。作一条水平线(向右为东向)和一

和方向

条铅垂线(向上为北向),则从点。出发的视线与水平线或铅垂

角

线所夹的角，叫做观测的方向角.

(1)弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；

(2)将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际

问题转化为解直角三角形问题；

(3)选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；

(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到

问题的解.

5解直角

解直角三角形中"双直角三角形"的基本模型：

三角形实

(1)叠合式(2)背靠式

际应用的

一般步骤

解题方法：这两种模型种都有一条公共的直角边，解题时，往往

通过这条边为中介在两个三角形中依次求边，或通过公共边相等，

列方程求解.例如17年14年中考题