2024年中考数学突破费马点与加权费马点详细总结（解析版）

专题2-2费马点与加权费马点详细总结

/■/题型•解读/

知识点梳理

【常规费马点】

【加权费马点】

题型一普通费马点最值问题

题型二加权费马点•单系数型

题型三加权费马点•多系数型

趣也满分•技巧/

知识点梳理

【常规费马点】

【问题提出】如图△ZAC所有的内角都小于120度，在△力6。内部有一点尸，连接口、PB、PC,

当PA+PB+PC的值最小时，求此时ZAPB与乙APC的度数.

资料整理

【问题处理】如图1,将A/C殴着点。顿时针旋转60度得到△48,则△ZC&A4C尸，CP=CP,AP

=A'P,叉•：2PCP=60°,CP是等边三角形，‘尸尸1=%,：.PA+PB+PC=FA+PB+PP,

如图2,当且仅当点氏P、尸、4共线时，84+尸8+尸。最小，最小值为此时48尸。=乙4尸。=心力尸8

=120°

【问题归纳】如费马点就是到三角形的三个顶点的距离之和最小的点.费马点结论：

1对于一个各角不超过120。的三角形，费马点是对各边的张角都是120°的点，所以三角形的费马点也叫三

角形的等角中心；

②对于有一个角超过120。的三角形，费马点就是这个内角的顶点.

【如何作费马点】如图3,连接力4,我们发现△ZC4为等边三角形，点唯48上，同理，我们可以得到等

边△843,点尸也在。8上，因此，我们可以以△Z6C三角形任意两边为边向外构造等边三角形，相应连线

的交点即为费马点。（最大角小于120。时）

图3

【例1】如图，在△/BC中，乙4cB=90°,AB=AC=\,P是△/BC内一点，求P4+P8+PC的最小值.

资料整理

A

【分析】如图，以NC为边构造等边△/CD,连接AD,3D的长即为P/+P3+PC的最小值.至于点尸的位

置？这不重要！

如何求BD?考虑到AABC和4ACD都是特殊的三角形，过点D作DH_LBA交BA的延长线于H点，根

据勾股定理，50?=3才2+£>^2即可得出结果.

【练习1】如图，已知矩形/BCD,4B=4,BC=6,点M为矩形内一点,点£为8C边上任意一点，则MA+MD+ME

的最小值为.

【分析】依然构造60°旋转，将三条折线段转化为一条直线段.

分别以/〃、为边构造等边△/£)/<等边△/MG,连接尸G,

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易证△/GE:.MD=GF

ME+MA+MD=ME+EG+GF

过/作FH1BC交BC于H点、,线段的长即为所求的最小值.

【加权费马点】

如果所求最值中三条线段的系数有不为1的情况，我们把这类问题归为加权费马点问题，解决方法类似，也

是通过旋转进行线段转化，只不过要根据系数的情况选择不同的旋转或放缩方法。

【类型一单系数类】

当只有一条线段带有不为1的系数时，相对较为简单，一般有两种处理手段，

一种是旋转特殊角度：V2对应旋转90；下）对应旋转120°

另一种是旋转放缩，对应三角形三边之比

【例3】在等边三角形Z8C中，边长为4,6为三角形力6。内部一点，求4P+AP+JIPC的最小值

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A

【简析】本题有2种解题策略，旋转特殊角和旋转放缩

【策略一：旋转特殊角】如图1,尸。绕点C逆时针旋转90。，易知户尸=血"C,46即为所求

方法一：如图2,B,P,P,4共线时取最小，此时乙6尸。=4/=135°,易知BP=AP=24i,

PC=CH-PH=273-2,：.PP=2A/6-2V2,PB+PP+AP=276+272

方法二：作AH1BC千H,易知乙4CH=30°,:.AH=2,CH=2退nBH=4+2退,由勾股可得46

=2^/6+2V2

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【策略二：旋转放缩】可按如下方法去旋转放缩（方法不唯一）

如图4,将三角形8尸。绕点6旋转45°,再扩大为原来的0倍，得到△3尸‘。

则4P+BP+血PC=AP+PP'+P'CzAC'

补充：也可以按图5方式旋转

【练习2】在Rt4/16。中，AC=3,BC=2。,尸为三角形为EC内部一点，求/0+AP+岳C的最小值

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B

【策略一：旋转特殊角】如图1,尸。绕点C逆时针旋转120。，则市叩=6PC，

AP+BP+PC=AP'+BP+PP'<A'B=2/i

图1

【策略二：旋转放缩】如图2,A4PC绕点/逆时针旋转30。，再扩大为原来的百倍,

则AP+BP+43PC=PP'+BP+P'C'>BC',计算略

图2

【类型二多系数类】

其实当三条线段的三个系数满足勾股数的关系时，都是符合加权费马点的条件的。

以不同的点为旋转中心，旋转不同的三角形得到的系数是不同的，对于给定的系数，我们该如何选取旋转

中心呢？我们总结了以下方法：

1.将最小系数提到括号外；

2.中间大小的系数确定放缩比例；

3.最大系数确定旋转中心（例如最大系数在PA前面，就以A为旋转中心），旋转系数不为1的两条线段所

资料整理

在的三角形.

【例3】如图，在AABC中，乙4c3=60。，BC=3,/C=4,在AABC内部有一点P,连接P4,PB,PC,

则⑴!「2+"必+尸。的最小值为；⑵1p/+J_p8+PC的最小值为

2222

【简答】(1)将最小系数g提到括号外，得到g(PZ+百05+2PC)

中间大小系数为百，故放大倍数为百倍，最大系数在PC前面，故以点C为旋转中心，旋转APBC.

如图1,将APBC绕点C逆时针旋转90°,并放大为百倍，B'P'=^BP，PP'=2PC.

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—PA+Y3PB+2PC)=—(PA+PP'+P'B')N—AB，=，—

2、>2VJ22

(2)将最小系数,提到括号外，得到!(6R4+PB+2PC),

BC

图2

如图2,将AAPB绕点C逆时针旋转90°,并放大为百倍，A'P'=13AP，PP'=2PC.

百P4+PB+2PC)=⑷P」BP+PP)ng⑷B=而

【练习3】如图，在A/IE。中，ACB=60°,BC=36，AC=6,在△/IE。内部有一点尸，连接

PA,PB,PC,则2P4+P3+忌。的最小值为________.

A

BC

【简答】<APAC绕点C顺时针旋转90°并放大2倍，得到△P/C,P'/=2PA,PP'=V5PC

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2PA+PB+V5PC=A'P'+P'P+PB>AB,A'C=2AC=12,ZA'CB=90°+60°=150°,

]n

AH=-AC=6,CH=—AC=6s/3，BH=96，由勾股定理可得乂B=3屈，

22

2PA+PB+小PC的最小值为35.

^核心.题型/

题型一普通费马点最值问题

1.（2021滨州）如图，在△N8C中，AACB=90°,ABAC=30°,AB=2,点尸是△NBC内一点，则

PA+PB+PC的最小值为-

【答案】V7

【解析】将4ABP绕点A顺时针旋转60。到△ABP,连接PP,B'C.

则AB'=AB=2,PB=P'B',乙BAB'=60°,PA=P'A,乙PAP'=60°,

APTA是等边三角形，.-.PA=P,P.

ABAC=30°,.•.乙B'AC=90°,

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AACB=90°,:AC=^AB=百,

，B，C=y/AC2+B'A2=V7.

---PA+PB+PC=P'P+P'B'+PCNB'C,

PA+PB+PC的最小值为J7.

2.问题背景：如图1,将△ZEC绕点Z逆时针旋转60°得到44。£DE与BC交于点、R可推出结论:

PA+PC=PE.

问题解决：如图2,在△/U/VG中，MN=6,/_M=75°,MG=4也，点。是△/U/VG内一•点，则点。到

△MNG三个顶点的距离和的最小值是.

【解析】过悬H作HQLNM文NM延长线干Q点,根据乙MWG=75°,AGMH=60°,可得乙4例Q=45°,

二△山Q是等腰直角三角形’：.MQ=HQ=4,•.•的=行而=即讳=2回

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4.如图，在△26。中，ZCAB=90°,AB=AC=2,尸是△ZEC内一点，求四+尸8+尸。的最小值.

【解析】如图1,以2。为边构造等边A/IC。，连接6。，8。的长即为〃+尸8+尸。的最小值.

考虑到△Z6C和△/C。都是特殊的三角形，所以构造特殊直角三角形

如图2,过点。作84交84的延长线于〃点，根据勾股定理，BD2=BH2+DH2=^+a/^

ZC=4,46=点尸是△力6C内一动点，贝U84+阳

+尸。的最小值为

原图

【解析】如图1,将△力尸。逆时针旋转30°,得△力户。，6C即以+用+尸。最小值，考虑到

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ABCA=30°,二46。。=90°,作可得8C=3。，:.BC=«

6.如图，已知矩形ZEC。，28=4,6C=6,点"为矩形内一点，点E为AC边上任意一点，则A〃4+

MD+例£的最小值为.

【解析】如图1,依然构造60。旋转，将三条折线段转化为一条直线段.分别以4W为边构造等边△力〃£

等边△4WG,连接回G,易诬AAMgAAGF,MD=GF:.ME+MA+MD=ME+EG+GF

如图2,逢F作FHLBC交BC干H线段尸”的长即为所求的最小值.FG=4+

7.4B、C、。四个城市恰好为一个边长为2a正方形的四个顶点，要建立一个公路系统使得每两个城市

之间都有公路相通，并使整个公路系统的总长度（/尸+BP+PQ+DQ+CQ）最小，则应当如何修建？

最小长度是多少？

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【解析】如图1,A/IB0绕点8逆时针旋转60°,得到同样，将AOCQ绕点。顺时针旋转60°,

得到△Z7CQ,连结44DD,贝△0C/7均为等边三角形，连结尸。、QQ,则ABaP,

△QCQ均为等边三角形，AP+BP+PQ+DQ+CQ=AP+PP+PQ+QQ+DQ

如图2,当点4,P,P,Q,Q,。'共线时，整个公路系统的总长取到最小值，为线段4Z7的长，此时点

P,在。'上，最小值为

Q4（2+2后）a

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2023•随州中考真题

8.1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点4B,C,求

平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明,

该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题.

(1)下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：(其中①处从“直角”和“等边”中选择填空，

②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数，④处填写该三角

形的某个顶点)

当的三个内角均小于120。时，

如图1,将△ZPC绕，点。顺时针旋转60。得到连接PP,

由尸C=PC,ZPCP'=60P,可知△PCC为①三角形.故PP=PC,又P/=P4,故

PA+PB+PC=PA'+PB+PP'>A'B,

由②可知,当B,P,P,Z在同一条直线上时，尸/+P8+PC取最小值，如图2,最小值为/'8,此时

的尸点为该三角形的“费马点”，且有N4PC=ZBPC=NAPB=③；

已知当“3C有一个内角大于或等于120。时，“费马点”为该三角形的某个顶点.如图3,若N3/C“20。，

则该三角形的“费马点”为W点.

(2)如图4,在U8C中，三个内角均小于120。，且/C=3,BC=4,ZACB=30°,已知点尸为的“费

马点”，求尸/+P3+PC的值；

图4图5

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(3)如图5,设村庄4B,。的连线构成一个三角形，且已知4C=4km,5c=2百km,44c8=60。.现欲

建一中转站。沿直线向4B,。三个村庄铺设电缆，已知由中转站尸到村庄4B,。的铺设成本分别为

a元/km,a元/km,元/km,选取合适的尸的位置，可以使总的铺设成本最低为元.(结

果用含a的式子表示)

【答案】(1)①等边；②两点之间线段最短；③120。；④A.

(2)5

(3)2713a

【解题思路】(1)根据旋转的性质和两点之间线段最短进行推理分析即可得出结论；

(2)根据(1)的方法将绕，点。顺时针旋转60°得到A/'PC,即可得出可知当日P,P,力在

同一条直线上时，P/+PB+尸。取最小值，最小值为/'3,在根据N/C8=30。可证明

N4C4'=ZA'CP'+NBCP+ZPCP'=90°,由勾股定理求H8即可，

(3)由总的铺设成本=a(P/+PB+JlPC),通过将绕，点。顺时针旋转90。得到得到等

腰直角△尸PC,得到®PC=PP'，即可得出当6,P,P',2在同一条直线上时，P/'+P8+PP取最小

值，即尸4+P8+&PC取最小值为/力，然后根据已知和旋转性质求出/'3即可.

【详解】⑴解：:PC=P'C,APCP'=60P,

△PCP为等边三角形；

PP'=PC,/尸'PC=NPP'C=60°,

叉PA'=PA,itPA+PB+PC=PA'+PB+PP'>A'B,

由两点之间线段最短可知，当B,P,P',力在同一条直线上时，尸N+PB+PC取最小值，

最小值为A'B,此时的Q点为该三角形的“费马点”，

4BPC+4ppe=180°,AA'P'C+APP'C=180°,

ZBPC=120°,ZA'P'C=120°,

又；AAPC=^A'P'C,

ZAPC=ZAP'C=no°,

AAPB=360°-AAPC-ZBPC=120°,

AAPC=ABPC=AAPB=120°；

ABAC>120°,

BC>AC,BC>AB,

BC+AB>AC+AB,BC+AC>AB+AC,

三个顶点中，顶点/到另外两个顶点的距离和最小.

又：已知当&48C有一个内角大于或等于120。时，“费马点”为该三角形的某个顶点.

该三角形的“费马点''为点4

故答案为：①等边；②两点之间线段最短；③120°；④A.

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(2)将尸。绕，点。顺时针旋转60。得到△力/9，连接PP,

由(1)可知当3P,P,/在同一条直线上时，R4+PB+尸。取最小值，最小值为45,

Af

*/ZACP=ZA,CP,,

ZACP+ABCP=ZA'CP'+ZBCP=ZACB=30°,

又•「ZPCP'=60°

/BCA'=ZA'CP'+/BCP+/PCP=90°,

由旋转性质可知：AC=A'C=3,

A'B=yjBC2+A'C2=A/42+32=5，

尸/+尸8+尸(7最小值为5,

(3)・.•总的铺设成本=PA-a+PB・a+Pega=a(PA+PB+y[2PC)

当PA+尸3+血尸C最小时，总的铺设成本最低，

将4APC绕，点。顺时针旋转90°得到“'PC,连接PP',A'B

由旋转性质可知：P'C=PC,ZPCP'=AACA'=90°,P'A'=PA,A'C=AC=4km,

PP'=4IPC,

PA+PB+42PC=PA+PB+PP,

当6,P,P',力在同一条直线上时，尸4+PB+PP取最小值，即尸/++取最小值为/'3,

ZACB=60°,AACA'=90°,

a43=30。，

A'H=-A'C=2km,

2

HC=y/AC2-AH2=A/42-22=273(km)，

BH=BC+CH=273+2V3=4>/3(km),

A'B=ylAH2+BH2=7(4A/3)2+22=2后(km)

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尸/+尸8+拒产C的最小值为2而km

总的铺设成本=PA-a+PB-a+PCga=a（PA+PB-h/2PQ=2j\3c（元）

广东省江门市一模

9.如图，在&48C中，Z5/C=90。,48=5,/C=2g,点尸为内部一点，则点尸到。8c三个顶点

之和的最小值是,

【答案】V67

【分析】将绕着点2顺时针旋转60°,得到连接EP,CH,过点C作CNi/〃，交的

延长线于/V,由旋转的性质可得N84P=NH/E,AE=AP,AH=AB=5,ABAH=60°,BP=HE,易

得△/£尸是等边三角形，可得AE=AP=EP,进而得到4P+BP+PC=EP+EH+PC,当点”£P、C

共线时，/尸+8尸+PC有最小值"C,再求出CN和的长度，由勾股定理可求解.

【详解】解：将“BP绕着点力顺时针旋转60。，得到连接EP,CH,过点。作CN1AH,交HA

的延长线于N,

ZBAP=ZHAE,AE=AP,AH=AB=5,ZBAH=60°,BP=HE,

ZHAB=ZEAP=60°,

△/£尸是等边三角形，

AE=AP=EP,

AP+BP+PC=EP+EH+PC,

当点HE、P、。共线时，4P+BP+PC有最，1、值HC.

ZNAC=180°-ABAH-^BAC=180°-60°-90°=30°,AC=2^-

CN=-AC=43,

2

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AN=ylAC2-CN2=^(2A/3J"-(V3J"=3,

HN=AH+AN=5+3=S.

在RtaCNH中，CH=^JHN2+CN2=,6+（石『=而,

即点尸到“3C三个顶点之和的最小值是对

武汉中考

10.问题背景：如图1,将△ABC绕点/逆时针旋转60°得到△/£>£,DE与BC交于点、P,可推出结论:

PA+PC=PE.

问题解决：如图2,在△ACVG中，MN=6,乙止75°,MG=4也，点。是△AWG内一点，贝U点。到△AWG

三个顶点的距离和的最小值是

图2

【答案】2庄

【分析】本题的问题背景实际上是提示了解题思路，构造60°的旋转，当然如果已经了解了费马点问题，

直接来解决就好了！

如图，以MG为边作等边△MGH,连接NH,则NH的值即为所求的点O到△MNG三个顶点的距离和的最

小值.（此处不再证明）

过点H作HQ_LNM交NM延长线于Q点，

根据乙NMG=75;ZGMH=60°,可得乙HMQ=45",

△MHQ是等腰直角三角形，

.-.MQ=HQ=4,

NH=JNQ2+HQ?=V100+16=2729.

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2023•四川宜宾・中考真题

11.如图，抛物线y="2+及+。经过点/（TO）,顶点为耐（-1,冽）,且抛物线与歹轴的交点8在（0,-2）和

（0,-3）之间（不含端点），则下列结论：

③当ANBM为直角三角形时，在一05内存在唯一点R使得以+尸。+尸8的值最小，最小值的平方为

18+973.

其中正确的结论是.（填写所有正确结论的序号）

【答案】①②

【解题思路】根据条件可求抛物线与x轴的另一交点坐标，结合图象即可判断①；设抛物线为

y=a（x-l）（x+3）,即可求出点例的坐标，根据割补法求面积，判断②；分三种情况讨论，然后以点。为

旋转中心，将A4O5顺时针旋转60°至^AOA,连接AA，PP，/Z，得到PA+PO+PB=PA+PP'+PB>AB,

判断③.

【详解】解：•.・抛物线了="2+法+0经过点/（-3,0）,顶点为

对称轴x=-l,

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，抛物线与x轴的另一交点坐标为(1,0),

由图象可得：当一3vx时，ywO；

.,.①正确，符合题意；

•:抛物线与x轴的另一交点坐标为(1,0),

,设抛物线为V=a(x-l)(x+3),

当x=-l时，y=-4a,当x=0时，y=-3a,

M(-l,-4a),8(0,-3a),

如图所示，过点例作平行于y轴的直线/,过点2作/E_L/,过点6作8N1/,

3>/3

设直线48的解析式为y=Kx+5,

-3左'+6=0

把8(0,-3a),/(-3,0)代入得:

b'=-3a

k'=-a

解得:

b'=-3a

直线48的解析式为y=-ax-3a,

当％=-1是，y=-2a,

F(-l,-2a),

MF=2a,

.―2"3=延

22

解得：a=—f故②正确;

2

,:点8是抛物线与y轴的交点,

，当x=0时，y=-3a,

.•.8(0,-3a),

•••4ABM为直角三角形,

当NAMB=90°时，

AM2+BM2=AB2.

资料整理

AM=J(-2y+[-4a)2=kl6a2BM=^(-l)2+(-a)2=Vl+a2,AB=(-3)，(-3〃)2=#+即2

4+16a2+l+a2=9+9a2,整理得：8a2=4,

解得：a=—^~—(舍)

22

当48M=90°时，

AB2+BM2=AM2,

；4+16。？=9+9〃+l+°2,整理得：6/=6

解得：0=1或-1(舍)

.•.3(0,一3),

当NM43=90°时，

AB'+AM1=BM\

：.4+16a2+l+a2=9+9a2,无解；

以点。为旋转中心，将4顺时针旋转60。至A/O4,连接44',PP,如图所示,

OP=PP',AP=AP.

PA+PO+PB=P'A'+PP'+PB>A'B,

••,"04为等边三角形，/(TO)

373

-----，

2

54=一9/+6--

42

当3(0,-3)时,

资料整理

22

AP=++3=18+9』，此时不符合题意，故③错误;

故答案为：①②.

一题四问，从特殊到一般

12.背景资料：在已知zU8c所在平面上求一点P,使它到三角形的三个顶点的距离之和最小.这个问题是

法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”.如图

1,当“8C三个内角均小于120。时，费马点P在28C内部，当N4P2=N/PC=NCPB=12(r^^则

PZ+P3+PC取得最小值.

(1)如图2,等边08C内有一点P,若点P到顶点/、B、C的距离分别为3,4,5,求N4P5的度数，为

了解决本题，我们可以将A/AP绕顶点A旋转到△/CP处，此时A/CP=A/AP这样就可以利用旋转变换,

将三条线段加、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出4尸3=；

知识生成：怎样找三个内角均小于120。的三角形的费马点呢？为此我们只要以三角形一边在外侧作等边三

角形并连接等边三角形的顶点与“8C的另一顶点，则连线通过三角形内部的费马点.请同学们探索以下问

题.

(2)如图3,“3C三个内角均小于120。，在AABC外侧作等边三角形连接CS',求证：CB'过&4BC

资料整理

的费马点.

(3)如图4,在A7A48C中，ZC=90°,AC=1,N/8C=30。，点尸为“8C的费马点，连接AP、BP、CP,

求尸/++的值.

(4)如图5,在正方形48co中，点E为内部任意一点，连接/£、BE、CE,且边长48=2；求AE+BE+CE

的最小值.

【答案】(1)150。；⑵见详解;(3)"(4)V6+V2.

【分析】(1)根据旋转性质得出ANB尸式△/CP,得出乙A4P=4C/P,AAPB=AAP'C,AP=AP'=3,BP=CP'=4,

根据AABC为等边三角形，得出Z-R4c=60°,可证A/PP为等边三角形，PP'=AP=3>,44Pp=60°,根据勾

股定理逆定理尸尸'2+尸,02=32+42=25=尸。2,得出APPC是直角三角形，4Ppe=90。，可求4/PC=2/PP+

4尸PC=60°+90°=150°即可；

(2)将网逆时针旋转60°,得到△NB'P,连结尸P,才艮据△/尸8二△43'P,AP=AP',PB=PB',AB=AB',

根据乙PAP'=aBAB'=60°,AAPP'和ANB夕均为等边三角形，得出PP'=AP,根据

尸/+尸8+尸。=勿'+尸'2'+2(:，根据两点之间线段最短得出点C,点P,点P,点皮四点共线时，PA+PB+PC

最小=C2',点P在C2'上即可；

(3)将△4P2逆时针旋转60°,得到A/PBl连结BB',PP',得出△4P2',可证AAPP，和

均为等边三角形，得出PP=4P,BB'=AB,乙ABB'=60°,才艮*居P4+PB+PC=PP'+P'B'+PC,可得点C,

点尸，点P,点8'四点共线时，PA+PB+PC^,=CB',利用30°直角三角形性质得出48=2/C=2,根据勾股

定理BC='AB?-AC2=也2_仔=5可求3夕=/2=2,根据4c28'=4/8C+/ABB'=300+60°=90°,在

2

RtACB"中，B，C=NBC2+BBS="可+2=77即可；

(4)将ABCE1逆时针旋转60。得到△CE31连结EEIBB',过点〃作8户_£/8,交A3延长线于尸，得出

△BCE"ACE'BlBE=B'E',CE=CE',CB=CB',可证AEC。与ABC9均为等边三角形，得出EE'=EC,BB'=BC,

乙B'BC=60°,AE+BE+CE=AE+EE'+E'B',得出点C,点£,点E',点夕四点共线时，

4E+BE+CE=4E+EE'+E'B'最，i、=AB',根据四边形/BCD为正方形，得出N8=BC=2,AABC=90°,可求

乙产2B'=180°-4/8C-4c83'=180°-90。-60。=30°,根据30°直角三角形性质得出BF=-BB'=-x2=]勾股定

22

理BF=ylBB'2-B'F2=A/22-12=V3，可求AF=AB+BF=2+6，再根据勾股定理

AB'=yjAF2+B'F2="2+阴+仔=&+逝即可.

【详解】(1)解：连结PP,

AABP"AACP',

ABAP=ACAP',AAPB=AAP'C,AP=AP'=3,BP=CP'=4,

­/△43C为等边三角形，

乙BAC=60°

APAP'=/LPAC+Z-CAP'=匕PAC+乙BAP=6Q°,

△/PP为等边三角形，

,:.PP'=AP=3,AAP'P=60°,

在APPC中，PC=5,

PP'2+P'C2=32+42=25=PC2,

资料整理

/\PP'C是直角三角形，4Ppe=90°,

AAP'C=^APP+APPC=6Q°+9Q°=150°,

AAPB=^AP'C=15Q°,

故答案为150°；

(2)证明：将A/PB逆时针旋转60°,得到连结PP,

•••△APB/4ABP,

:.AP=AP',PB=PB',AB=AB',

■：APAP'=ABAB,=60°,

LAPP，和"BB幽为等边三角形，

:.PP'=AP,

-：PA+PB+PC=PP'+P'B'+PC,

，点C,点P,点P',点B'四点共线时，PA+PB+PC最小=C2',

点尸在CB'上,

CB'过AABC的费马点.

(3)解：将A/PB逆时针旋转60。，得到A/P9,连结BB',PP',

△APB/LAP'B',

:.AP'=AP,AB'=AB,

APAP'=ABAB'=60°,

/XAPP'和AABB'均为等边三龟形,

:.PP'=AP,BB'=AB,AABB'=60°,

-：PA+PB+PC=PP'+P'B'+PC

.•.点C,点P,点P',点3'四点共线时，PA+PB+PC最小=C8',

ZC=90°,AC=\,AABC=30°,

;.AB=2AC=2,根据勾股定理BC=yjAB2-AC2=万丁=6

:.BB'=AB=2,

■：4Ca8'=Z/8C+乙ABB'=30°+60°=90°,

资料整理

2

.•.在RtACB夕中，B'C=^BC-+BB'+22=V7

(4)解：将ABCE逆时针旋转60。得到△CE61连结BB',过点"作皮尸_LN3,交N3延长线于立

△BCE"LCEE,

:.BE=B'E',CE=CE',CB=CB',

■：AECE'=ABCB'=60°,

△£1(??与△8C9均为等边三角形，

:.EE'=EC,BB'=BC,283c=60。，

AE+BE+CE=AE+EE'+E'B',

，点C,点E,点点8'四点共线时，AE+BE+CE=AE+EE'+E'B'^=AB',

■：四边形ABCD为正方形，

:.AB=BC=2,/LABC=90°,

"B8'=180°-乙NBC-4C38'=180°-90°-60°=30°,

■：B'FX.AF,

BF=；5"=；x2=1,BF=yjBB'2-B'F2="一F=扣,

AF=AB+BF=2+百,

.■,AB'=^AF2+B'F2=^(2+V3)2+l2=V6+V2,

AE+BE+CE最“、=AB'=&+V2.

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AD

题型二加权费马点•单系数型

2023•武汉・慧泉中学校月考

3

13.如图，Rt/MLSC中，ZCAB=30°,3C=5,点尸为28C内一点，连接尸4P。尸C,则尸C+PB+百尸/

的最小值为

【答案】-V13

2

【分析】作辅助线如详解图，根据等腰三角形的性质和勾股定理可求得Z)P=6/尸，于是所求

PC+PB+43PA的最小值转化为求DE+尸。+PB的最小值，根据两点之间线段最短可得。E+PZ)+尸5的最

小值即为线段班的长，然后求出班的长即可解决问题.

【详解】解：将尸绕点/逆时针旋转120。，得到△/££>,连接DP,EB,过点£作£尸_L3/交8/的延

长线于点下，过点工作1DP于点”，如图，

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则AD=AP,DE=CP,/DAP=120°,4EAC=120°,

AMIDP,

DM=PM,AADM=ZAPM=30°,

AM=-AP,

2

__________h

：.PM=y]AP2-AM2=—AP,

2

DP=2PM=43AP,

：.PC+PB+y!3PA=DE+PD+PB>EB,即PC+PB+的最小值为班的长（当点£D,P.B四点

共线时取最小值），

3

•.RtZi/5C中，ACAB=30°,Be、,

AB=2BC=3,AC=^32=1^3,

AE=AC=—>

2

ZCAB=30°,ZEAC=120°,

AEAF=30°,

则在直角三角形/■中，EF=-AE=^-,AF=^EF=-,

244

，收=3+；=*•.・2£=，8尸+£尸=/（乎]+（曰）2=|屈

西安市铁一中二模

14.已知，如图在“3C中，44c3=30。，BC=5,AC=6,在“3C内部有一点。连接DN、。及OC.则

DA+DB+亚DC的最小值是.

【答案】①.

【分析】把ACDB顺时针旋转90。到(皮，过B作BELAC,交NC延长于E,则CD=C。，BD=B'D',

A.CDD'=ACD'D=45°,可求。D'=42CD，在必△CEB'中，可求CE=*,AE=—,BE=―,当点4D、

222

D'、夕四点在一直线时，/9最短，可求AB'=BD+&a)+/D=可.

【详解】解：把小⑺台顺时针旋转90。到△CD31过夕作夕E_L/C,交/C延长于E,

则CD=CD',BD=B'D',ACDD'=ACD'D^5°,

DZ)-CZXcos45°=41CD，

ZACB=30°,ZB'CB=90°,

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AB'CE=180°-/ACB-ZBCB'=1800-30°-90°=60°,

在RtACEB，中,

15

/.CE=BrC-cos60°=5x-=-,

22

,，517

.,.AE=AC+C£=6H—=—,

22

BE=5rC-sin60°=5x—,

22

当点/、D、D'、Q四点在一直线时，4夕最短，

AB'=BrDf+DrD+AD=BD+叵CD+AD=回.

故答案为：回.

D

:I

B

/D9

i

B'

2023'成都市郭都区中考二模

15.如图，矩形/SCO中，AB=2,8C=3,点E是48的中点，点厂是3c边上一动点.将ABEF沿着EF

翻折，使得点8落在点夕处，若点尸是矩形内一动点，连接尸9、PC、PD,则尸*+行尸。+尸。的最

小值为.

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【答案】V26-1

【分析】将△口）「绕点。顺时针旋转90。得到ACDP,连接PP,连接EDI由等腰三角形CPP得出

PP'=42PC，再由折叠得出点二的轨迹在点E为圆心，£2为半径的圆周上，所以EB*PB*PP*P'D'的

最小值为E。'，即PB'+母PC+PD的最小值为ED,-EB',经计算答出答案即可.

【详解】解：将△CDP绕点C顺时针旋转90。得到ACDP,

连接PPI连接£7T,

则8,C,。共线，PD=P'D',

：.CD'=CD=AB=2,

:.PP'=6PC，

二点、E是4B的中点，

:.EB=-AB=-x2=},

22

'：BD'=BC+CD'=3+2=5,

:.ED'=YBE〜D'B。

=Vl2+52

=A/26，

由△BE厂折叠成

EB=EB'=EA,

，点3在以点E为圆心，仍为半径的圆上，

EB'=\,

两点间线段最短，

，ED'<EB'+PBf+PP'+P'D1,

即瓦）vEB'+PB'+41PC+PD

：,426<]+PB'+42PC+PD,

:.PB'+s/2PC+PD>yf26-l,

则P8'+行尸C+PD的最小值为底T.

题型三加权费马点•多系数型

1A/5

16.在边长为4的正△Z8C中有一点尸，连接口、PB、PC,求（一/尸+8尸+匚尸。）2的最小值

22

【解析】如图1,△/尸。绕点。逆时针旋转90°,KPC,4C的中点MN

易知PM=—PC,MN=-PA=-PA,

222

则-AP+BP+—PC=MN+BP+PMWBN,6/V=20+8&即为所求

22

17.在等边三角形NEC中，边长为4,尸为三角形48。内部一点，求3/IQ+4EQ+5%的最小值

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A

33

【解析】如图1,尸。绕点。逆时针旋转90°,在尸C,Z'C上取MN,梭CM=—CF,CN=-CA\

44

533

易加PM=—PC,MN=-PA=-PA,3AP+4BP+5PC=4：(MN+BP+PMWBN

444

图1

18.在A/BC中，AB=3,AC=4,N84C的角平分线交5C于E,过C作射线NE的垂线，垂足为。，连

3PC+4PD+5PA

接30,当邑/CE-$△回取大值时，在A/C。内部取点P,则的最小值是

4

【答案】V29

【分析】延长C。交N8于点尸，过点A作8C边上的高得出尸/AADC,则8尸=1,根据NQ是

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BE3

/BAC的角平分线，得出==:，设S△噂=3S,则S△皿=4S,过点。分别作4C的垂线，垂足为",N,

EC4

得出S=，又《c，又ACE一院BED=21S,则当S"C最大时，SacE-4BED取得最大值，进而可得当

3

NC43=90°时，S“5c取得最大值，则NC4D=45°,延长氏4至C',使得^P'A1PA,