2024年安徽省之约中考数学第一次联考试卷（含详细答案解析）

2024年安徽省名校之约中考数学第一次联考试卷

一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.计算1一（一3）的结果是（）

A.-2B.4C.-4D.2

2.一个长方体的左视图、主视图及相关数据如图所示，则其俯视图的面

积为（）

A.6

B.8

C.12

D.24

3.下列运算正确的是（）

A.2a•3a=6a2B.4a-3a=1C.a+a=a2D.a34-（—a2）=a

4.据《安徽经济新闻网》2024年1月10日报道：2024年伊始，合肥高新区传来好消息，南岗科技成果加

速器北区已经正式开工建设.总投资约16.9亿元，占地面积约179亩，总建筑面积约24.7万平方米.其中数据

16.9亿用科学记数法表示为（）

A.1.69x10B.1.69X108C.1.69X109D.1.69x1O10

5.如图，AB//CD,点E为直线A8上方一点，连接8。，DE,BE.若DELCD,E

BE=DE,ABDC=25°,则乙4BE的度数是（）

A.125。A6

B.130°CD

C.135°

D.140°

c—x+3<2%

6.不等式组邑Md—%的解集，在数轴上表示正确的是（）

7.如图，以正方形纸片ABC。的顶点A为圆心，A3长为半径画弧，得到扇形纸片区4。,

用这个纸片制作一个无底的圆锥.若正方形的边长为1,则圆锥底面的半径为(

3

D.1

8.无论x取何实数时，二次函数y=/-(2m+l)x+的值始终为正数，则根的取值范围是()

A.m>-B.m<-Cm>D.m<--

44-~44

9.2024年元旦期间，某超市为了增加销售额，举办了“购物抽奖”活动：凡购物达到200元即可抽奖1

次，达到400元可抽奖2次，…，依次类推.抽奖方式为：在不透明的箱子中有四个形状相同的小球，四个

小球上分别写有对应奖品的价值为10元、15元、20元和“谢谢惠顾”的字样；抽奖1次，随机从四个小

球抽取一个；抽奖2次时，记录第1次抽奖的结果后放回箱子中再进行第2次抽取，…，依次类推.小明和

妈妈一共购买了420元的物品，获得了两次抽奖机会，则小明和妈妈获得奖品总值不低于30元的概率为

()

1131

AyByC.-D.-

10.如图，在口ABC。中，AB=4,AD=2,^DAE=60°,OE为N/WC的R7

角平分线，点尸为。E上一动点，点G为C尸的中点，连接AG,则AG的/

最小值是()----------/

AEB

A.2B.2<3C.4D.4<3

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

11.若估算，1而-的值在整数”和5+1)之间，则71=.

12.若2,3,6,a,b这五个数据的方差是3,则4,5,8,a+2,6+2这五个数据的方差是.

13.如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数y=g(x>0)的图象交于点A,B,与x轴交于点

C(3,0),与y轴交于点。(0,2).若4。=AB=BC,贝心=.

14.抛物线丫=a/+bx+c交x轴于2(-1,0),B(3,0),交y轴的负半轴于C,顶点

为D.

(1)当AABD是等腰直角三角形时，点。的坐标为；

(2)当△ABC是直角三角形时，a的值为.

三、解答题：本题共9小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题8分)

计算：(一犷】-|T2-2|+(7r+1)°-(—1严4.

16.(本小题8分)

春节期间，某商店用21000元购进一批纯牛奶，很快售完；第二次购进时，每箱的进价提高了5%,同样

用21000元购进的数量比第一次少了20箱.求第一次购进每箱纯牛奶的进价.

17.(本小题8分)

在正方形网格中，每个小正方形的边长为1,△力BC在平面直角坐标系中的位置如图所示.

(1)在所给网格中，以点O为位似中心，作出AABC的位似图形△&&&,使△&B1G与AABC的位似比为

2：1,并写出点&的坐标；

(2)作出△2BC绕点C顺时针旋转90。后的图形4A2B2C.

18.(本小题8分)

定义：a,b,根为实数，若a+b=m,则称。与6是关于，的对称数.

(1)2与4是关于的对称数，7与是关于3的对称数；

(2)若a=-2久2+3(/+x)一%且。与6是关于-1的对称数，试用含有尤的代数式表示b.

19.(本小题10分)

数学兴趣小组在学习解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识进行综合实践活动.他们选择测量

一座砖塔AB的高度，在点C处测得砖塔顶端A的仰角为45。，再从C点出发沿斜坡走到达斜坡上

的。点，在点。处测得砖塔顶端A的仰角为30。.若斜坡b的坡比i=l：3,且点B,C,E在同一水平线

上.

(1)求点D到水平线BE的距离；

(2)求砖塔AB的高度(结果保留根号).

20.(本小题10分)

如图，已知点P为。。外一点，点A为。。上一点，直线PA与。。的另一个交点为点8,AC是。。的直

径，NP4C的平分线交。。于点。，连接CD并延长交直线PA于点M,连接。D.

(1)求证：OD“BM；

(2)若tanzNCD=a。。的直径为4,求的长度.

21.(本小题12分)

为了迎接中考体育测试，学校想了解九年级学生的准备情况，随机抽取了部分学生的检测成绩进行调查，

并将调查结果绘制成如图的条形统计图和扇形统计图，其中：A等级表示检测分数为57分〜60分，B等级

表示检测分数为53分〜56分，C等级表示检测分数为49分〜52分，。等级表示检测分数为48分及以下.

请你结合图中信息解答下列问题：

(1)样本中8等级的人数所在扇形统计图中的圆心角的度数是；

(2)把条形统计图补充完整；

(3)已知该校九年级的学生有600人，根据样本估计全校九年级学生。等级的人数；

(4)根据抽样调查的结果，为学校提一个合理的建议.

人数(A)

A

44%

D

28%

22.(本小题12分)

问题情境：在RtAABC中，^ACB=90°,AC=6,BC=8,C£＞是边A8上的高，点E为AC上一点，连

接。E,过点D作。FIDE交2C于点?

猜想与证明：

(1)如图1,当点E为边AC的中点时，试判断点F是否为边BC的中点，并说明理由；

(2)如图2,连接EF,试判断ADEF与AABC是否相似，并说明理由；

问题解决：

(3)如图3,当CE=CF时，试求线段CP的长.

23.(本小题14分)

已知抛物线y=a(x+2)(久一4)(a为常数，且a<0)与无轴交于A,8两点(点A在点B的右侧)，与y轴交

于点C,经过点2的直线y=gx与抛物线的另一交点为点。，与>轴的交点为点瓦

(1)如图1,若点。的横坐标为3,试求抛物线的函数表达式；

(2)如图2,若DE=BE,试确定。的值；

(3)如图3,在(1)的情形下，连接AC,8C,点尸为抛物线在第一象限内的点，连接8P交AC于点°,当

S^APQ-SABCQ取最大值时，试求点P的坐标.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：1—(—3)

=1+3

=4,

故选：B.

根据有理数的减法法则计算即可.

本题考查了有理数的减法法则，减去一个数，等于加上这个数的相反数，即：a-b=a+(-b).

2.【答案】C

【解析】解：由图可得：俯视图为长为4,宽为3的长方形，

•••其俯视图的面积为3X4=12,

故选：C.

根据俯视图的长与主视图的长相等，俯视图的宽与左视图的长相等，即可得出俯视图的长和宽，即可得

解.

本题考查了三视图，正确记忆相关内容是解题关键.

3.【答案】A

【解析】解：A、2a-3a=6a2,故原选项计算正确，符合题意；

B、4a-3a=a,故原选项计算错误，不符合题意；

C、a+a=2a,故原选项计算错误，不符合题意；

D、a3+(-a2)=-a,故原选项计算错误，不符合题意；

故选：A.

根据单项式乘以单项式、合并同类项、单项式除以单项式的运算法则逐项判断即可.

本题考查了单项式乘以单项式、合并同类项、单项式除以单项式，熟练掌握运算法则是解此题的关键.

4.【答案】C

【解析】解：16.9亿=1690000000=1.69X109.

故选：C.

科学记数法的表示形式为ax的形式，其中〃为整数，据此解答即可.

本题考查科学记数法的表示方法，掌握形式为ax10”的形式，其中1<|a|<10,w为整数是关键.

5.【答案】D

【解析】解：・・,48//。。，ABDC=25°,

••・4ABD=180°-Z.BDC=155°,

•・,DE1CD,

・•・乙EDC=90°,

・•・乙BDE=乙EDC一乙BDC=65°,

BE—DE,

・•・乙EBD=乙BDE=65°,

・•・乙ABE=360°-乙EBD-乙ADB=140°.

故选：D.

由两直线平行同旁内角互补得出=155。，由等边对等角求出NEBD=NBDE=65。，再由乙48E=

360。一NEBD-N4DB,计算即可得出答案.

本题考查了平行线的性质关键是掌握等边对等角、几何图中角度的计算.

6.【答案】B

—X+3<2支①

【解析】解：｛竽<4一②‘

解不等式①得：x>l,

解不等式②得：%<2,

・•.不等式组的解集为：1<XW2,

在数轴上表示如图所示：

故选：B.

分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定

不等式组的解集.

本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大

小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.

7.【答案】A

【解析】解：设圆锥的底面半径为r,

由题意得：2仃=喘竺，

loll

解得：r=；，

故选：A.

根据圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，求出半径即可.

本题考查了圆锥的计算，掌握这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长是解题的关键.

8.【答案】D

【解析】解：由题知，因为二次函数y=/-(2机+1)%+爪2的值始终为正数，且。=1>0,

所以[—(2m+I)]2—4xm2<0,

解得，m<--j.

故选：D.

二次函数值始终为正数，则其开口向上且与x轴没有交点，据此可解决问题.

本题主要考查二次函数图象与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数图象的性质和数形结合思想的运用.

9.【答案】C

【解析】解：列表得：

101520谢谢惠顾

1020253010

1525303515

2030354020

谢谢惠顾1015200

由表格可得，共有16种等可能出现的结果，其中小明和妈妈获得奖品总值不低于30元的情况有6种，

••・小明和妈妈获得奖品总值不低于30元的概率=21

loO

故选：C.

列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可.

本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两

步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，解答本题的关键是掌握概率的求法：概率等于

所求情况数与总情况数之比.

10.【答案】B

【解析】解：如图所示:

当点尸与点D重合时，点G在点Gi处，此时DGi=CG「

当点尸与点E重合时，点G在点G2处，此时CG2=EG2，

G1G2为ACDE的中位线，

G±G2//DE,且G1G2=^DE,

・・•点G为C尸的中点，

GG]为ACDF的中位线，

1

.­.GGJ/DF,GG1=^DF,

.•.点G在G1G2上运动，当4G1G1G2时，AG的值最小，

•.•在口A8CD中，AB=4,AD=2,^DAE=60°,

AB“CD,CD=AB=4,

..乙

­ADC=180°-Z,DAE=120",DGr=CG1=AD^2,

：.ND2G1=NDGM=180°-丁。。1=30。，

DE为N4DC的角平分线，

.­.乙CDE=：乙ADC=60",

ZCG1G2=4CDE=60°,

.­.乙4G&=180°-乙CG&-4AG]D=90°,即4Gl1G&,

.・•4G的最小值为力G「

e•,DE//G1G2,

•*.DE_L24Gl,

vAD=DGlfAADE=60°,

AG】=2AD-sin60°=2x2x苧=2/3>

故选：B.

当点E与点。重合时，点G在点Gi处，此时DGi=CG「当点尸与点E重合时，点G在点G2处，此时

CG2^EG2,由三角形中位线定理得出点G在G1G2上运动，当4G1G1G2时，AG的值最小，由等边对等角

结合三角形内角和定理得出ND4Gl=NDGM=30°,求出N2G1G2=90。得出AG的最小值为求出

AG1的长即可得解.

本题考查了三角形中位线定理、等腰三角形的性质、平行四边形的性质、解直角三角形的应用，正确记忆

相关知识点是解题关键.

11.【答案】4

【解析】解：-=5"-=2",

又•••（2，^）2=20,16<20<25,

即42<20<52,

4<<5,

又><125-，砺的值在整数〃和（几+1）之间，

••・n=4.

故答案为：4.

先化简，然后用平方法估算2/的大小即可.

本题考查估算无理数的大小，熟练掌握有理数大小比较方法是关键.

12.【答案】3

【解析】解：由题意知，数据4,5,8,a+2,b+2这五个数据是将原数据分别加2所得，

・••新数据的波动幅度与原数据一致，

这五个数据的方差是3,

故答案为：3.

根据每个数据都加上一个数（或减去一个数）时，平均数也加或减这个数，方差不变，即可得出答案.

本题主要考查方差的意义，如果数据与、血、……、久兀的方差是S2,那么：①一组新数据勺+从x2+

b、...、2+b的方差仍是S2（b是常数）;②一组新数据a/、a%2、....、的方差是a2s2,标准差是

|a|S（a是常数）;③一组新数据a%i+6、ax2+b>....、a/+b的方差是a2s2,标准差是|a|.

13.【答案吗

【解析】解：C（3,0）,以0,2）,

OC=3,OD=2,

如图，作AElx轴于£,

・•.AE//OD,

:、*ACEs&DC。，

.AE_AC_CE

''~0D~~CD~~oc"

AD=AB=BC,

,—AC_=—2,

CD3

242

AE=^0D=1,CE=^0C=2,

・・.OE=OC-CE=3—2=1,

4

・•・z（W），

k=1xg=%

故答案为：*

由题意得出。C=3,OD=2,作4E1无轴于E,则乙4EC=NDOC=90。，得出4E〃。。，进而得出4

ACES&DC0,由相似三角形的性质得出第=晔=焉，求出2（1金，再代入反比例函数即可得出答案.

UUC*UC*D

本考查了相似三角形的判定与性质、反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数图象上点的坐标特

征是解题的关键.

14.【答案】（1,—2）苧

【解析】解:⑴•••4（一1,0）,5（3,0）,

OA=1,OB=3,

AB=4,

设函数的对称轴与无轴的交点为E,

・・・△4BD是等腰直角三角形，

DE=AE=BE=2,

・・・0点坐标为(1,一2),

故答案为：(1,一2)；

(2)vCOLAB,AC1BC,

・•.AACB=乙COB=90°,

・•.Z.ACO+Z,OAC=乙BAC+乙ABC=90°,

•••Z-ACO=乙ABC,

•••△OAC^LOCB,

OC2=OAxOB=3,

•・・C点在y轴的负半轴上，

•••c=-

将点4(-1,0),8(3,0)代入y=ax2+b%—3中,

(CL—b—V-3=0

，l9a+3Z?-/3=0，

(73

CL=­z-

解得13,

b=

v3

故答案为：苧.

(1)设函数的对称轴与X轴的交点为E,根据题意可得DE=4E=BE=2,由此求。点坐标即可;

(2)先证明△OACSAOCB,可得。C2=。4xOB=3,求出c的值，再用待定系数法求函数的解析式即

可.

本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，相似三角形的判定及性质，直角三角

形的性质是解题的关键.

15.【答案】解：(-1)-1-|<2-2|+(7r+1)°-(-1产24

=-2-(2-<2)+1-1

=-2-2+/2+1-1

=-4+y/~2.

【解析】首先计算乘方、零指数幕、负整数指数塞和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即

可.

此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高

级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从

左到右的顺序进行.

16.【答案】解：设第一次购进每箱纯牛奶的进价为x元，则第二次购进每箱纯牛奶的进价为(1+5%)x,

由题意得：--20^-,

x=?(l+5%)x

解得：%=50,

经检验，x=50是分式方程的解，且符合题意；

・•・第一次购进每箱纯牛奶的进价为50元.

【解析】设第一次购进每箱纯牛奶的进价为x元，则第二次购进每箱纯牛奶的进价为(1+5%)乃根据

“同样用21000元购进的数量比第一次少了20箱”，列出分式方程，求解即可.

本题考查了分式方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出分式方程是解此题的关键.

17.【答案】解：(1)如图，AaiBiCi即为所求.

点4的坐标为(6,-6).

(2)如图,A2c即为所求.

【解析】(1)根据位似的性质作图，即可得出答案.

(2)根据旋转的性质作图即可.

本题考查作图-旋转变换、位似变换，熟练掌握旋转的性质、位似的性质是解答本题的关键.

18.【答案】3-1

【解析】解：(1)：2+4=6,6+2=3,

•••2与4是关于3的对称数，

又3x2—7=-1

7与-1是关于3的对称数.

故答案为：3；—1；

(2)根据题意得，-2久2+3(/+*)—4+b=—1x2,

解得，b=-x2-3%+2.

(1)运用对称数的定义进行解答即可；

(2)运用对称数的定义列出方程求解即可.

本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的混合运算法则是关键.

19.【答案】解：(1)如图1,作0G1BE于G,贝此DGC=90°,

图1

・•,斜坡CF的坡比i=1：3,

•,•GD-_1-«

CG3

设GD=xm,贝!|CG=3xm,

由题意得：CD=CD2=GD2+CG2,

x2+(3x)2=(2/TU),

解得：x=2,

GD=2m,

,.点D到水平线BE的距离为2m；

(2)如图2作于H,

图2

贝此DGB=乙DHB=乙HBG=90°,

四边形0GB反为矩形，

・•.DH=BG,BH=GD,

设AB=ym,则BC=AB=ym,

BG=8C+CG=(6+y)m,AH=AB—BH=(y—2)m,

•••tanZ.ADH=粤,

DH

"6+y3'

解得：y=(6+4V~3)>

AB=(6+4A/3)HI,

砖塔AB的高度为(6+473)m.

【解析】(1)作DG1BE于G,贝此DGC=90。，根据斜坡CF的坡比i=l：3,CD=2710m,结合勾股定

理求出GD的长即可得解；

(2)作DH1AB于X,则四边形。G28为矩形，设48=yzn,贝118c=AB=yzn,则BG=(6+y)zn,AH=

(y-2)zn,根据tanNADH=霏，求解即可得出答案.

Drl

本题考查了解直角三角形的应用，添加适当的辅助线，构造直角三角形是解此题的关键.

20.【答案】(1)证明：・・・40平分NP4C,

・•・/-MAD=Z.CAD,

OA=0D,

・•・Z,OAD=4ODA,

・•・/.MAD=Z-ODA,

OD//BM；

(2)解：如图，连接BC,

M

••・AC为。。的直径，。。的直径为4,

・•・2LADC=/-ABC=90°,AC=4,

1

tan乙4CD=

人AD1

tan乙4CD==—?

令AO=%,贝IJC。=2%,

由勾股定理得：AD2+CD2=AC2,

・•・%2+(2x)2=42,

解得：x=

4<5i8<5

・•・AD=—，CD=—，

•・•OD//BM,

Z-M=Z-ODC,

•••OD=OC,

Z.OCD=Z-ODC,

Z.M=Z-OCD,

.・.AM=AC=4,

•••乙ADC=90°,

•••CM=2CD=4月

BC2=CM2-(AM+AB)2,BC2=AC2-AB2,

AC2-AB2=CM2-+AB)2,BP42-71B2=(i^)2-(4+XB)2，

解得：AB=第

【解析】⑴由角平分线的定义得出4M4D="AD,由等角对等边得出NQ4D=4002,从而得出

^MAD=/.ODA,即可得证；

(2)连接BC,由圆周角定理得出乙4DC=乙4BC=90。，由tan乙4CD=：结合勾股定理得出4。=警，

求出2M=2C=4,。用=岑^,再结合勾股定理得出AC?—432=CM?—(&M+48)2,求解

即可得出答案.

本题考查了角平分线的定义、等边对等角、圆周角定理、解直角三角形、勾股定理，熟练掌握以上知识点

并灵活运用是解此题的关键.

21.【答案】72。

【解析】解：(1)样本中8等级的人数所在扇形统计图中的圆心角的度数是360。x(1-44%-28%-

8%)=72。，

故答案为：72°；

(2)本次抽取的总人数为：44+44%=100(人),

故样本中B等级的人数为：100-44-8-28=20(A),

补全条形统计图如图所示：；

(3)600X28%=168(A),

•••全校九年级学生D等级的人数为168人；

(4)由扇形统计图可得：A等级的人数所占的比例为44%,不到一半，。等级的

人数所占比例28%,故应该合理加强学生的训练.

(1)用360。乘以样本中8等级的人数所占的比例即可得出答案；

(2)先求出样本中B等级的人数，再补全统计图即可；

(3)用600乘以样本中。等级所占的比例即可；

(4)结合题中的数据提出建议即可.

本题考查了条形统计图与扇形统计图的信息关联，补全条形统计图、求扇形统计图圆心角度数、由样本估

计总体，灵活运用所给数据是解此题的关键.

22.【答案】解：(1)点尸是边BC的中点，理由：

^RtAABC/.ACB=90°,AC=6,BC=8,

AB=<AC2+BC2=V62+82=10,

•••CD是边AB上的高，

11

•••SAABC=^AC-BC=-AB-CD,

iAC-BC6x824

在RtABCD中，BD=VBC2-CD2=J82-(y)2=y,

CD1AB,

•••Z.B+Z.BCD=90°,

又乙4cB=Z.ACD+2BCD=90°,

•••Z-ACD=Z-B,

•・,DE1DF,

・•・乙EDC+乙CDF=90°,

CD1AB，

・•・乙CDF+乙BDF=90°,

•••乙EDC=Z-FDB,

，△CEDs工BFD,

tCE__CD_

•'~BF=~BDf

E点是AC的中点，

11

CE=-i4C=]X6=3,

解得，BF=4,

••.CF=BC-BF=8—4=4,

BF=CF,即点尸是8C边的中点;

(2)由(1)知4CEDSABFD,

24

DECDK3

••而=丽=红="

5

VCA_6_3

乂而-8-4,

.匹_丝

，'~DF~~CB，

tDE__DF_

''~CA~~CBJ

又乙EDF=乙ACB=90°,

DEfs卜ABC；

(3)由(1)知4CEDs△BFD,

._C£_3

••丽―丽—I'

4

・•.BF=^CE；

又CE=CF,CF+BF=BC,

4

CF+^CF=8,

解得，CF=y,

即线段CF的长为

【解析】(1)由勾股定理求出AB=10,由面积求出CD=三，再由勾股定理求出BD=当，证明ACDESA

BDF,得出唾=累，求出BF=4,CF=BC-BF=4,故可得点尸是8c的中点；

⑵由⑴知得案=去又粤=',可得常=胃，即第=<且NEDF=L4cB=90。，从而

可证△EDFS^ACB;

⑶由(1)得靠=案=,，求出BF="E,且CF=CE,由CF+BF=8,代入8F="£,从而可求出CP

的长.

本题主要考查勾股定理和相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用.

23.【答案】解:(1)在了=以久+2)(久一4)中，令y=0,则矶久+2)(%-4)=0,

解得：X-,--2,x2-4,

・•・4(4,0),8(-2,0),

1

-X+-O

将8(—2,0)代入y=找2(-2)

解得：6=1,

1,

•••y=-x+1