2024年中考数学复习之题型全归纳解三角形(解析版)

解三角形

【专题目录】

技巧1：解直角三角形的五种常见类型

技巧2：求锐角三角函数值的常用方法

技巧3:“化斜为直”构造直角三角形的方法

技巧4：构造三角函数基本图形解实际问题的四种数学模型

【题型】一、锐角三角函数的定义

【题型】二、利用正弦的相关知识求解

【题型】三、利用余弦的相关知识求解

【题型】四、利用正切的相关知识求解

【题型】五、特殊角的三角函数值

【题型】六、解直角三角形

【题型】七、利用解直角三角形解决实际问题

【考纲要求】

1、理解锐角三角函数的定义，会运用锐角三角函数解直角三角形.

2,掌握特殊锐角（30。，45°,60。）的三角函数值，并会进行计算.

3、了解直角三角形的定义，掌握边角之间的关系，并能进行有关计算.

4.利用解直角三角形的知识解决简单的实际问题.

【考点总结】一、锐角三角形函数与解直角三角形

在RtAABC中，NC为直角，则NA的锐角三角函数为（/A可换成NB）

\

定义表达式取值范围关系

正

..乙4的对边0<sin^4<1

sinA=-----------s-in/=@sin4=cos5

弦斜边c（/A为锐角）

锐角三角函数cosA-sin5

余

,乙4的邻边,b0<cosA<1

cosA=-----c-o--s--A-----sin2A+cos2A=1

弦斜边c（/A为锐角）

,1//的对边,a

正tanA=---------....—tanA--tanA>0

NA的邻边b

切(NA为锐角)

锐

角

角

、是在直角三角形中定义的，是锐角(注意数形结合，构造直角三角

形l.sinAcosANA

形)。

函

2.sinA、cosA是一个比值(数值，无单位)。

数3.sinA、cosA的大小只与NA的大小有关，而与直角三角形的边长无关。

与三角函数30°45°60°

j_

解sina正

特殊角的三角函T2~T

直数值COS<7

~2~~2

角tana.1V3

在Rta/BC中，ZC=90°,NA,AB,/C的对边分别为a,b,C.

(1)三边之间的关系：a2+b2=c2；

角(2)锐角之间的关系：N4+NB=90。；

直角三角形的边

(3)边角之间的关系：

形

角关系..a,b,a

sinA=-,cosA=-,tanA

ccb

,bDa,口b

sinBD=~,cosB=—,tanB=—.

ca

(1)已知一条直角边和一个锐角(如。，//),

其解法为：/2=90。-/4c=+6=;（或6=^^）；

smAtanA

解直角三角形的(2)已知斜边和一个锐角(如c,//),

几种类型及解法其解法为：AB=90°-AA,a=c-smA,b=c-cosb=\jc2-a2）；

(3)已知两直角边a,b,

其解法为：c=\]a2+b2,

由tan/=F，得N4/8=90。-/4

b

(4)已知斜边和一直角边(如c,a),

其解法为：b=yjc2-a2,由sin/=@,求出NN,NB=90。-NA.

c

【考点总结】二、解直角三角形的应用

、人低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角；当从高处

XKi则低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角.

仰角与俯角q

解直k

g

角三

角形克角是坡面与水平面所成的角；坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度（或

史比），常用，•表示，也就是坡角的正切值，坡角越大，坡度越大，坡面越陡.

的应

用tuna

坡角与坡度।\

/

城角

—/

【技巧归纳】

技巧1:解直角三角形的五种常见类型

【类型】一、已知两直角边解直角三角形

1.如图，在比AABC中，ZC=90°,a,b,c分别为NA,ZB,NC的对边，a=20b=6,解这个直

角三角形.

【类型】二、已知一直角边和斜边解直角三角形

2.如图，ZACB=90°,AB=13,AC=12,ZBCM=ZBAC,求s加上BAC的值和点B到直线MC的距

离.

'A

MC

【类型】三.已知一直角边和一锐角解直角三角形

3.如图，在△ABC中，ZB=90°,ZC=30°,AB=3.

⑴求AC的长;

⑵求BC的长.

【类型】四、已知斜边和一锐角解直角三角形

4.如图，在R/^ABC中，ZC=90°,ZB=45°,a,b,c分别为NA,ZB,NC的对边，c=10,解这个

【类型】五、已知非直角三角形中的边（或角或三角函数值）解直角三角形

题型L化斜三角形为直角三角形问题（化斜为直法）

5.如图，在aABC中，点D是AB的中点，DCLAC,且3NBCD=：,求NA的三角函数值.

C

ADB

题型2：化解四边形问题为解直角三角形问题

6.如图，在四边形ABCD中，对角线AC,BD交于点E,一/BAC=90。，NCED=45。，/DCE=30。，DE

=/，BE=2/.求CD的长和四边形ABCD的面积.

题型3：化解方程问题为解直角三角形问题

7.已知a,b,c分别是AABC中NA,ZB,NC的对边，关于x的一元二次方程a(l-x?)+2bx+c(l+x?)

=0有两个相等的实数根，且3c=a+3b.

⑴判断4ABC的形状；

⑵求sinA+sinB的值.

参考答案

1.解：，：a=2出,b=6,

Hi儿也,ZA=30°..-.ZB=60°.

b63

2,解：:AB=13,AC=12,ZACB=90°,

.-.BC=^AB2-AC2=A/169-144=亚5.

:.sinZBAC=-=上.过点B作BDJ_MC于点D.

AB13

设点B到直线MC的距离为d,则BD=d.

ZBCM=ZBAC,sinZBAC=sinZBCM.

.".sinZBCM=-^~-5,

BC13

即点B到直线MC的距离为

3.解：(1)由题意知s%C=学，即==£二，则AC=6.

AR,即也==L,则BC=34j.

(2)由题意知tanC=——

BC;3BC

4.解:-.ZB=45°,ZC=90°,c=10,

：.ZA=45°,a=b=5也.

5.解：如图，过点D作CD的垂线交BC于点E.

在放4CDE中，

ir)F

■：tanZBCD=1=^,；.可设DE=x,贝l」CD=3x.

•/CDIAC,.'.DE//AC.

又•.•点D为AB的中点，二点E为BC的中点.

.-.DE=-AC.

2

.-.AC=2DE=2x.

在知4ACD中，ZACD=90°,AC=2x,CD=3x,

.-.AD=AJAC2+CD2=44x2+9x2=标

ACD3x3T3

A-AD-后X-13

AD413X13

3A=或3x3

AC2x2

方法技巧：本题中出现了打〃/BCD=；,由于NBCD所在的三角形并非直角三角形，因此应用正切的

定义，构造出一个与之相关的直角三角形进行求解.

6.解：如图，过点D作DHLAC于点H.

AD

'：ZCED=45°,DH_LEC,DE=/,

/.EH=DEcos45。=业也=1.

2

，DH=1.

又,."DCE=30。,

PH

/.HCCD==2.

sin30°

•/ZAEB=ZCED=45°,ZBAC=90°,BE=2也,

/.AB=AE=2.AC=AE+EH+HC=2+1+/=3+A/3.

「•S四边形ABCD=；x2x(3+3)+；*1*(3+3)=31+9

方法技巧：题目中所给的有直角和30。，45。角，因此我们可以通过构造另一个直角三角形，然后运用

特殊角的三角函数值求出某些边的长，进而求出四边形的面积.

7.解：(1)将方程整理，得(c-a)x2+2bx+(a+c)=0,则

A=(2b)2-4(c-a)(a+c)=4(b2+a2-c2).

.•.方程有两个相等的实数根，.•・△=(),即b2+a2=c4

AABC为直角三角形.

(2)由3c=a+3b,得a=3c-3b.①

将①代入a2+b2=c2,得(3c-3b¥+b2=c2.

/.4c2-9bc+5b2=0,即(4c-5b)(c-b)=0.

4

由①可知，brc,4c=5b.b='c.②

将②代入①,得a=；c.

.,.在MaABC中，

.A.Dab347

sinA+sinB=—+—=—+—

cc555

点拨：解决本题的突破口是由一元二次方程根与判别式的关系得到一个关于a,b,c的等式.从解题

过程可以看出，求三角函数值时，只分析出直角三角形中三边的比例关系即可求出其值.

技巧2：求锐角三角函数值的常用方法

【类型】一、直接用锐角三角函数的定义

1.如图，在用AABC中，CD是斜边AB上的中线，若CD=5,AC=6,

则tanB的值是()

T.

2.如图，在AABC中，AD1BC,垂足是D,若BC=14,AD=12,tan/BAD=7,求C的值.

3.如图，直线y=$+：与X轴交于点A,与直线y=2x交于点B.求:

（1）点B的坐标;

(2)5ZHZBAO的值.

【类型】二、利用同角或互余两角三角函数间的关系

4,若/A为锐角，且S%A=5，则cosA的值为（）

A.1B也C也D.-

222

i7

5.若a为锐角，且cosa=三贝Us%（90。-a）的值为（）

B—

13吟

6,若a为锐角，且s加2a+co/BO。=1,贝!Ja=,

【类型】三、巧设参数

7.如图，在放aABC中，ZB=90°,ZA=30°,以点A为圆心，BC长为半径画弧交AB于点D,分别以

点A,D为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点E,连接AE,DE,则NEAD的余弦值是（）

礴432

【类型】四、利用等角来替换

8.如图，已知在用ZXABC中，ZACB=90°,CD是斜边AB的中线，过点A作AEJ_CD,AE分别与CD,

CB相交于点H,E且AH=2CH,求s而B的值.

参考答案

1.c

RD

2,解：/AD1BC,/.toZBAD=^.

AD

aaRD

'：tanZBAD=-,AD=12,：.-=^.：.BD=9.

4412

/.CD=BC-.BD=14-9=5.

二在山△ADC中，AC=A/AD2+CD2=122+52=13.

AC13

13

y=—x+一，

3.解：(1)解方程组22

y=2x.

x=1,

得

ly=2.

二点B的坐标为(1,2).

(2)如图,过点B作BC，x轴于点C,则OC=1,BC=2.

ia

由QX+广。，解得x=-3.

则A(-3,0)..'.OA=3..-.AC=4.

.-.AB="JAC2+BC2=2^5.

../nArBC22

…sinZBAG==-F=—

AB2455

即sin.ZBAO=

4.D5.B6.30°

7.B点拨：如图,设BC=x.

在4△ABC中,ZB=90°,ZBAC=30°,

AB=\/3x.

根据题意，得AD=BC=x,AE=DE=AB=A/3X.

如图，作EM_LAD于M,

则AM..=-AD=-x.

22

1

cosZEAD=-=Ala

AE岳6

故选A

8.解：「CD是斜边AB的中线,

，CD=AD=BD.

/.ZDCB=ZB.

•/ZACD+ZDCB=90°,ZACD+ZCAH=90°,

/.ZDCB=/CAH=ZB.

在ACH中，AH=2CH,

厂CH

AC=A/5CH./.sinB=sinZCAH=~F=——.

勺5cH5

技巧3:“化斜为直”构造直角三角形的方法

【类型】一、无直角、无等角的三角形作高

1.如图，在aABC中，已知BC=l+3,ZB=60°,ZC=45°,求AB的长.

【类型】二、有直角、无三角形的图形延长某些边

2.如图，在四边形ABCD中，AB=2,CD=1,ZA=60°,ZD=ZB=90°,求四边形ABCD的面积.

【类型】三、有三角函数值不能直接利用时作垂线

3.如图，在AABC中，点D为AB的中点，DCLAC,sinZBCD=1,求A的值.

ADB

【类型】四、求非直角三角形中角的三角函数值时构造直角三角形

4.如图，在AABC中，AB=AC=5,BC=8.若NBPC=g/BAC,求加〃NBPC的值.

参考答案

1解：如图，过点A作ADLBC,垂足为点D.

设BD=x,在尺f^AABD中，AD=BDtanB=x-tan60°=A/5X.

在氏4ACD中，,.•/C=45°,.

ZCAD=90°-ZC=45°.

ZC=zCAD.二CD=AD=岳.

•.BC=1+^3,.■.岳+x=l+«

解得x=l,即BD=1.

cosBcos60°

BD

2.解：如图，延长BC,AD交于点E.

•/ZA=60°,ZB=90°,.*.ZE=30°.

在用△ABE中，BE=

tanEtan30°

在7?ZACDE中，EC=2CD=2.,

/.DE=ECcos30°=2x2=

2

四边形他-x

SABCD=SffiAABE-SffiAECD=^AB-BE-^CDED=]x2x21

2

点拨：本题看似是四边形问题，但注意到NB=90。，ZA=60°,不难想到延长BC,AD交于点E,构

造出直角三角形，将所求问题转化为直角三角形问题来解决.

3.解：如图，过点B作BELCD,交CD的延长线于点E.

•.•点D是AB的中点，.-.AD=DB.

又NACD=NBED=90。，ZADC=ZBDE,

AACD^ABED./.CD=DE,AC=BE.

RF1

在MZ\CBE中，sinZBCE=-=A,

BC3

.-.BC=3BE.

.".CE=AJBC2-BE2=2^2BE.

.-.CD=gcE=2BE=啦AC.

.,ACD@ACC

..tanA=----=--------=

ACAC

方法点拨：构造直角三角形，把所要求的量与已知量建立关系是解题的关键.

4.解：如图，过点A作AE_LBC于点E,

ZBAE=-/BAC.

2

ZBPC=ZBAE.

在放ABAE中，由勾股定理得

AE=\/AB2-BE2=,_42=3,

BF4

tanZBPC=tanZBAE=—=一

AE3

技巧4：构造三角函数基本图形解实际问题的四种数学模型

【类型】一、构造一个直角三角形解实际问题

1.如图是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图，汽车靠墙一侧OB与墙MN平行且距离为0.8私已知

小汽车车门宽AO为1.2机，当车门打开角度NAOB为40。时，车门是否会碰到墙？请说明理由(参考数据:

sin40°=0.64,cos40°~0.77,tan40°=0.84).

【类型】二、构造形如的两个直角三角形解实际问题

2.黔东南州某校吴老师组织九(1)班同学开展数学活动，带领同学们测量学校附近一电线杆的高.已知电线

杆直立于地面上，某天在太阳光的照射下，电线杆的影子(折线BCD)恰好落在水平地面和斜坡上，在D处

测得电线杆顶端A的仰角为30。，在C处测得电线杆顶端A的仰角为45。，斜坡与地面成60。角，CD=4私

请你根据这些数据求电线杆的高(AB)(结果精确到1%，参考数据：也句.4,3句.7).

A

【类型】三、构造形如“NA”的两个直角三角形解实际问题

3.如图，学校的实验楼对面是一幢教学楼，小敏在实验楼的窗口＜2测得教学楼顶部D的仰角为18。，教学

楼底部B的俯角为20。，量得实验楼与教学楼之间的距离AB=30m.

(1)求/BCD的度数.

⑵求教学楼的高BD(结果精确到0.1%,参考数据：320%0.36,tan18°~0.32).

【类型】四、构造形如”的两个直角三角形解实际问题

4.如图，某数学兴趣小组要测量一栋五层居民楼CD的高度.该楼底层为车库，高2.5〃?；上面五层居住,

每层高度相等.测角仪支架离地L5小，在A处测得五楼顶部点D的仰角为60。，在B处测得四楼顶部点E

的仰角为30。，AB=14m.求居民楼的高度（结果精确到0.1小，参考数据：每1.73）.

D

□、

□

□M

60。入43涓八

~C,

2.5mI-I-1.5m

CAB

参考答案

1解：如图，过点A作AC,OB,垂足为点C,

在加△ACO中，ZAOC=40°,AO=1.2m,

/.AC=AOsinZAOC~0.64x1,2=0.768(加).

•.・汽车靠墙一侧OB与墙MN.平行且距离为0.8m,

车门不会碰到墙.

2.解：延长AD交BC的延长线于点G,作DHLBG于点H,如图所示.

在用ZXDHC中，ZDCH=60°,CD=4m,

则CH=CDcosZDCH=Axcos60°=2(w,)>

DH=CD-si"/DCH=4*s%60°=2\5(m).

•.DH,1BG,又易知NG=30。,

.cDH23,,、

..H14G=-------=----------=6(m).

tanGtan30°

CG=CH+HG=2+6=8(冽).

设AB=xm,

/ABIBG,ZG=30°,ZBCA=45°,

/.BC=xm,BG=AB=—=m.

tanGtan30°

,「BG-BC=CG,

.'.^3x-x=8.

解得x-ll.

答：电线杆的高约为11加

3.解：(1)如图,过点C作CELBD于点E,则有/DCE=18。，ZBCE=20°,

D

mm

mm

mm

mm

AB

ZBCD=ZDCE+ZBCE=180+20°=38°.

(2)由题意得，CE=AB=30m,

在J?rACBE中，BE=CEtan20°,

在RtACDE中，DE=CE-tan18°,

/.教学楼的高BD=BE+DE=CEtan20°+CE-tan18°~20.4(m).

答：教学楼的高约为20.4九

4.解：设每层楼高为XM,由题意得MC=MC-CC=2.5-L5=1(M),

贝ljDC=(5x+l)m,EC=(4x+l)m.

在此△DCA，中，ZDAV=60°,

.CA，=DC=*5x+i)..

tan6003

在心△ECB，中，ZEBV=30°,

EC，

.CB，==3(4x+i)m.

tan30°

,.AB=CE-C'A，=AB,

.'.^3(4x+l)-；(5x+1)=14.

解得x-3.18.

/.DC=DC'+CC=5x+1+1.5=18.4(⑼.

答：居民楼的高度约为18.4冽.

【题型讲解】

【题型】一、锐角三角函数的定义

例1、在中，乙4=90°,AB=6,BC=1Q,那么下列结论正确的是（）

c44.34

A.tanC=—B.cotC=—C,sinC——D.cosC=—

3545

【答案】D

【分析】

先根据勾股定理解出AB,再逐项根据三角函数的定义判断即可.

【详解】

根据勾股定理可得：AC=^BC2-AB1=8，

厂AB3AC4.八AB3AC4

则tanC=-----==一；cotC=-----=—；sinC==—:cosC=------=—；

AC4AB3BC5BC5

故选：D.

【点睛】

本题考查锐角三角函数的定义，熟悉基本定义是解题关键.

【题型】二、利用正弦的相关知识求解

例2、如图，在RtaACB中，ZC=90°,sinB=0.5,若NC=6,则5C的长为（）

A.8B.12C.673D.1273

【答案】C

【提示】利用正弦的定义得出AB的长，再用勾股定理求出BC.

AT

【详解】解:VsinB=——=0.5,

AB

/.AB=2AC,

/AC=6,

/.AB=12,

-BC=^AB2-AC2=6A/3,

故选C.

【题型】三、利用余弦的相关知识求解

3

例3、在放AA8c中，乙C=90°,如果ZC=3,cosZ=—,那么45的长为（）

一4

9,25

A.—B.4C.5D.—

44

【答案】B

【分析】

根据cosA=--=即可得出AB的值

AB4

【详解】

解：在RtZxABC中，ZC=90°,AC=3,

„AC3

又：cosAA=-----=—,

AB4

.'.AB=4

故选：B.

【点睛】

本题考查锐角三角函数的定义，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.

【题型】四、利用正切的相关知识求解

例4、如图，在△ABC中，ZC=90°,设AB,/C所对的边分别为a,b,c,贝4（)

csinSC.a=btanBD.b=ctanS

【答案】B

【提示】根据三角函数的定义进行判断，即可解决问题.

【详解】•.《1△ABC中，ZC=90°,乙4、DB、NC所对的边分别为a、b、c

sinB=—,即6=csinB,则A选项不成立，B选项成立

c

tan8=2,即6=atanB,则C、D选项均不成立

a

故选：B.

【题型】五、特殊角的三角函数值

例5、如图，等边三角形ABC和正方形ADEF都内接于0O,则40:45=()

A.2VL3B.血：百C.V3：V2D.73:272

【答案】B

【提示】过点0作(W，,ONLAD,设圆的半径为r,根据垂径定理可得AOBM与AODN是直角

三角形，根据三角函数值进行求解即可得到结果.

【详解】如图，过点0作(Wi,ONLAD,设圆的半径为r,

.•.△OBM与aODN是直角三角形，OD=OB=r,

•等边三角形ABC和正方形ADEF都内接于0(9,

..Z0BM=30°，/办=ZZZ7V=45°,

g«

■■DV=GD«tan45°=-r-W=6cos30°=-r■

22

AD=2Z3V=yfir>BC=>

AD:AB=V2r:板=收:百.

故答案选B.

【题型】六、解直角三角形

例6、比萨斜塔是意大利的著名建筑，其示意图如图所示.设塔顶中心点为点8,塔身中心线48与垂直中

心线/C的夹角为乙4,过点3向垂直中心线NC引垂线，垂足为点Z>.通过测量可得45、BD、4D的

长度，利用测量所得的数据计算NN的三角函数值，进而可求NN的大小.下列关系式正确的是（）

A.sin八也,AB,AD.“AD

B.cosA=---C.tanA=---D.sin^4=---

ABADBDAB

【提示】确定NZ所在的直角三角形，找出直角，然后根据三角函数的定义求解;

【详解】由题可知，AABD是直角三角形，ABDA=90°,

.“BD,AD,BD

sinA-...cos7i=---,tanA----

ABABAD

二.选项B、C、D都是错误的，

故答案选A.

【题型】七、利用解直角三角形解决实际问题

例7、如图，小明利用学到的数学知识测量大桥主架在水面以上的高度48,在观测点。处测得大桥主架顶

端/的仰角为30。，测得大桥主架与水面交汇点3的俯角为14°,观测点与大桥主架的水平距离。以为60

米，且Z2垂直于桥面.（点4民在同一平面内）

（1）求大桥主架在桥面以上的高度4W；（结果保留根号）

（2）求大桥主架在水面以上的高度（结果精确到1米）

（参考数据sin14°。0.24,cos14°80.97,tanl4°80.25,73）

【答案】⑴大桥主架在桥面以上的高度4W为20百米；⑵大桥主架在水面以上的高度N3约为50米.

【提示】

(1)在RtAACM中，根据锐角三角函数求出AM的长度.

(2)在Rt^BCM中，求出BM的长度，再求出AB的长度即可.

【详解】

解：(1)Q48垂直于桥面

ZAMC=ZBMC=90°

在中，CM=60,ZACM=30°

••AM

.tan乙4cAz=-----

CM

巧

AM=tan30°-CM=6Qx—=2073（米）

3

答：大桥主架在桥面以上的高度AM为20G米.

B水面

（2）在RtZiBMC中，CM=6Q,ZBCM=14°

..fMB

.tanZBCM=-----

CM

MB=tanl4°-CM=60x0,25工15

'：AB=AM+MB

^5=15+2073-50（米）

答：大桥主架在水面以上的高度AB约为50米.

解三角形(达标训练)

一、单选题

1.如图，在次△NBC中，ZC=90°,AC=3,BC=4,将绕点/逆时针旋转得到△48'C',使点C'

落在AB边上，连结区8',则COS/83C'的值为（）

.3n4V5„2A/5

5555

【答案】C

【分析】在必△48C中，由勾股定理可得43=5.根据旋转性质可得=/C=3,CP=CB=4,C3=2.利

用勾股定理可求出28‘，从而求出cosZB'BC'.

【详解】解：在瓦△/BC中，

AB=y)AC2+BC2=5,

由旋转旋转性质可得/C'=/C=3,CB=CB=4,

：.C'B=AB-AC'=2,

BB'=^C'B'2+C'B2=2y/5,

./R"_CB_2_V5

..cos4BBC-------------产-------.

BB'2#>5

故答案为：C.

【点睛】本题主要考查了旋转的性质以及解直角三角形，掌握解直角三角形是解题的关键.

2.2sin45。的值等于（）

A.旦B.心C.1D.V2

23

【答案】D

【分析】根据特殊角的三角函数值，即可得解.

【详解】解:2sin45°=2x—=V2.

2

故选：D.

【点睛】此题主要考查特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键.

3.如图，表示一条跳台滑雪赛道，在点/处测得起点8的仰角为35。，底端点C与顶端点3的距离为

50米，则赛道的长度为（）米.

5050

50cos35°D.

sin35°cos35°

【答案】C

【分析】根据锐角三角函数即可解决问题.

【详解】解：在放zx/BC中,

2^=35°,5。=50米,

sin35°=——

AB

50

：.AB=（米）.

sin35°

故选：C.

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的意义是解决本题的关键.

4.2tan30。的值等于（）

A.V3B,亟C.—]_

D.

322

【答案】B

【分析】tan30o=立，代入式子即可.

3

【详解】tan30°=3，

3

则2tan30°=38,

3

故选B.

【点睛】本体考查了锐角三角函数值相关计算，比较简单，熟练掌握特殊角三角函数值是解题的关键.

5.如图，点/为N4边上的任意一点，作ZC15C于点C,CD1/5于点。，下列用线段比表示tan。的值,

错误的是（）

A

B

CDACCDAD

A.----D.-----

BDBCAC-------------------------CD

【答案】C

【分析】根据/CLBC,CDLAB,可得N/+Na=90°Z^CD+Z^=90°,从而得//CD=Na,再根据正

切的定义，即可求解.

【详解】解：-：ACiBC,CDLAB,

：.ZACB=ZBDC=ZADC=^°,

：.AA+^a=90°ZACD+ZA=90°,

ZACD=Z.a,

ACCD陋

/.tana=,tan<7=,tana.=tanZ.ACD=,

BCBDCD

二选项A、B、D正确，不符合题意；选项C错误，符合题意.

故选：C

【点睛】本题主要考查了求正切值，余角的性质，熟练掌握直角三角形中，锐角的正切值等于它的对边与

邻边的比值是解题的关键.

二、填空题

6.北京冬奥会雪上项目竞赛场地“首钢滑雪大跳台”巧妙地融入了敦煌壁画“飞天”元素.如图，赛道剖面图

的一部分可抽象为线段N8,已知坡45的长为30m,坡角约为42。，则坡48的铅直高度47约为

m.(参考数据：sin42°=0.67,cos42°=0.74,tan42°=0.90)

【答案】20.1

【分析】根据正弦函数的定义计算，得到答案.

【详解】解：在瓦△488中，AABH=42°,AB=30m,

AH

-：sin^ABH=——,

AB

：.AH=AB»smAABH~3QxO.61=2O.l（m）,

故答案为：20.1.

【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用一坡度坡角问题，掌握坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义

是解题的关键.

7.如图斜坡的坡比为1:2,竖直高度8c为1米，则该斜坡的水平宽度/C为米.

【答案】2

【分析】根据坡比的定义和正切三角函数计算求值即可；

【详解】解：.••斜坡48的坡比为1:2,

BC1

.'.tanZA=---=—,

AC2

：BC=\米，

:.AC=2米，

故答案为：2；

【点睛】本题考查了坡角、坡度（坡比）：坡面与水平面的夹角叫做坡角，坡面的铅直高度和水平宽度的比

叫做坡度，即坡角的正切；掌握相关定义是解题关键.

三、解答题

8.某校自开展课后延时服务以来，组建了许多兴趣小组，小明参加了数学兴趣小组，在课外活动中他们带

着测角仪和皮尺到室外开展实践活动，当他们走到一个平台上时，发现不远处有一棵大树，如图所示，小

明在平台底部的点。处测得大树的顶部3的仰角为60。,在平台上的点E处测得大树的顶部的仰角为30°.测

量可知平台的纵截面为矩形DCFE,。£=2米，DC=20米，求大树N3的高.（精确到1米，参考数据：

V2=1.41,73=1.73,V6x2.45）

【分析】延长即交N8于点G,设为x,利用三角函数解直角三角形用x表示出EG、NC,根据CD=EG

-/C列出方程求出x即可.

【详解】延长所交于点G,如图，

设A8=x米，贝l]2G=/2-2=(x-2)米，

在.RtABGE中，EG=(AB-2)+tan/8£G=-^|^=百*一2),

tan30

A

在RtABAC中CA=AB^tanZACB=—=—x,

tan6003

贝I]CD=EGAC=百(x-2)-gx=20,

解得：x=10V3+3=20.

答：大树48的高约为20米.

【点睛】本题考查解直角三角形，熟练掌握三角函数的概念是解题的关键.

解三角形(提升测评)

一、单选题

1.在△45。中，//=90。，若tan5=0.75,则cosC的值为()

A.0.5B.0.6C.0.8D.—

2

【分析】根据tarR的值，把边长设为北牝勾股定理求出5C边，再利用三角函数的定义求解

cosC.

【详解】在后△45C中，ZA=90°,

4c3

tanB=-----=0.75=—,

AB4

设ZC=3%,AB=4t,贝IJBC=5%,

AC

故，cosC=——=-=0.8.

BC5t

故选c.

【点睛】本题考查了锐角三角函数的计算、勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键.

2.如图，在ANBC中，NC=90。,cosA=g,AC=4日则25长为（）

A.4B.8C.873D.12

【答案】B

【分析】根据余弦的定义即可求解.

【详解】解：ZC=90°,cos^=—,y4C=4V3,

2

故选B.

【点睛】本题考查了已知余弦求边长，掌握余弦的定义是解题的关键.

3.如图，在中，AC=BC,分别以点/、。为圆心，大于〈/C的长为半径作弧，