七年级数学下册 平行线解答题压轴（解析版）

专题02平行线解答题压轴

1.某学习小组发现一个结论：已知直线。〃b,若直线c〃a,则c〃4他们发现这个结论

运用很广，请你利用这个结论解决以下问题：

已知直线点E在A8、。之间，点尸、。分别在直线48、CD±,连接PE、

EQ.

(1)如图1,运用上述结论，探究/PE。与NAPE+NC0E之间的数量关系.并说明理

由；

(2)如图2,PF平分/BPE,QF平分/EQ。，当/尸EQ=13O°时，求出/尸尸。的度

数；

(3)如图3,若点E在。的下方，PF平分/BPE,QH平分/EQD,Q8的反向延长

线交尸尸于点R当NPEQ=80°时，请直接写出/尸尸。的度数.

(2)115°；

(3)140°.

【解答】解：(1)NPEQ=NAPE+NCQE,

如图1,过点E作EH77AB,贝!]EH〃A8〃CO,

"."AB//EH,

：.ZAPE=ZPEH,

又,：CD〃EH,

：.ZCQE=ZHEQ,

'：ZPEQ=ZPEH+HEQ,

：.ZPEQ=ZAPE+ZCQE；

(2)如图2,由(1)得，ZPEQ^ZAPE+ZCQE^130°；

VZAPE+ZBP£=180°,ZCQE+ZDQE=1SO°,

ZBPE+ZDQE=360°-130°=230°,

又：PF平分/BPE,QF平分/EQD,

：.Z1=Z2,Z3=Z4,

.,.Z1+Z3=A(/BPE+NDQE)=AX230°=115°,

在四边形PE。/中，

/尸尸。=360°-(Z1+Z2+ZPE2)=360°-(115°+130°)=115°；

(3)140°,如图3,延长PF交CD与点

；PF平分NBPE,QH平分/EQD,

：.Z1=Z2,Z3=Z4,

'：AB//CD,

：.ZBPE=ZDNE,Z2=ZPMC=Z1,

又•：NDQE=/DNE+/E,即2/4=2/1+80°,

AZ4-Nl=40°,

：.ZPFQ=AFQD+APMC=\^°-Z4+Zl=180°-(Z4-Zl)=180°-40°=1

40°.

2.【问题情景】如图1,若AB〃CD,NAEP=45°,/PFD=120：过点尸作

贝!]ZEPF=105°；

【问题迁移】如图2,AB//CD,点P在A3的上方，点、E,尸分别在A3,C。上，连接

PE,PF,过尸点作PN〃AB,问NPEA,ZPFC,/EPF之间的数量关系是/PFC=

ZPEA+ZFPE,请在下方说明理由；

【联想拓展】如图3所示，在（2）的条件下，已知NE7*=36°,NPE4的平分线和N

PFC的平分线交于点G,过点G作GH〃A3,则NEGF=18。

图1图2图3

【答案】(1)105°；

(2)ZPFC=ZPEA+ZFPE；

(3)18°.

【解答】(1)-AB//PM,

：.Z1=ZAEP=45°,

9：AB//CD,

：.PM//CD,

・・・N2+N尸尸。=180°,

VZPF£)=120°,

.*.Z2=180°-120°=60°,

/.Z1+Z2=45O+60°=105°.

即NEP尸=105°,

故答案为：105°.

(2)/PFC=NPEA+/EPF.

理由：,:PN〃AB,

:・/PEA=/NPE,

丁ZFPN=NNPE+NFPE,

：./FPN=NPEA+/FPE,

,:PN〃AB,AB//CD,

：.PN//CD,

：.ZFPN=NPFC,

/./PFC=NPEA+/FPE,

故答案为：ZPFC=ZPEA+ZFPE.

(3)*：GH//AB,AB//CD,

J.GH//AB//CD,

；・NHGE=/AEG,ZHGF=ZCFG,

又•・・NPEA的平分线和NPR?的平分线交于点G,

;-ZHGE=ZAEG-j-ZAEP,ZHGF=ZCFG=j-ZCFP-

由(2)可知，ZCFP=ZFPE+ZAEP,

：.ZHGF^l.CZFPE+ZAEP),

2

：.ZEGF=ZHGF-ZHGE=1.(36°+ZAEP)-ZHGE=1S°.

2

故答案为：18°.

3.已知：如图，直线尸。〃MN,点C是P0,MN之间(不在直线产。，MN上)的一个动

点.

(1)若N1与/2都是锐角，如图1,请直接写出/C与/I,/2之间的数量关系.

(2)若小明把一块三角板(/A=30°,ZC=90°)如图2放置，点D,E,尸是三角

板的边与平行线的交点，若/AEN=/A,求48。尸的度数.

(3)将图2中的三角板进行适当转动，如图3,直角顶点C始终在两条平行线之间，点

G在线段CZ)上，连接EG,且有/CEG=NCEM,给出下列两个结论：

①磔生的值不变；

ZBDF

②NGEN-尸的值不变.

其中只有一个是正确的，你认为哪个是正确的？并求出不变的值是多少.

【答案】见试题解答内容

【解答】解：(1)ZC=Z1+Z2.

理由：如图1,过C作CO〃P0,

'."PQ//MN,

：.CD//MN,

：.Z1=ZACD,N2=NBCD,

：.ZACB=ZACD+ZBCD^Z1+Z2.

（2）VZAEN=ZA=30°,

AZMEC=30°,

由（1）可得，ZC=ZMEC+ZPDC=90°,

/.ZPDC=90°-ZMEC=60°,

：.ZBDF=ZPDC=60°；

（3）结论①伞此的值不变是正确的，

ZBDF

设NCEG=NCEM=x,则/GEN=180°-2%,

由（1）可得，/C=NCEM+/CDP,

：.ZCDP=90°-ZCEM=90°-x,

AZBDF=90°-x,

.ZGEN^180°-2X^2（定值），

ZBDF900-x

即@此的值不变，值为2.

ZBDF

4.对于平面内的NM和/N,若存在一个常数左＞0,使得NM+k/N=360°,则称NN为

的左系补周角.如若NM=90°,NN=45°,则/N为NM的6系补周角.

图1图2

(1)若NH=120°,则NX的4系补周角的度数为60°

(2)在平面内点E是平面内一点，连接BE,DE.

①如图1,Z£)=60°,若是/E的3系补周角，求NB的度数.

②如图2,/ABE和NCDE均为钝角，点F在点E的右侧，且满足Z

COF="NCr>E(其中"为常数且">1),点尸是NABE角平分线BG上的一个动点，在

尸点运动过程中，请你确定一个点尸的位置，使得N3尸。是的左系补周角，并直接

写出此时的左值(用含”的式子表示).

【答案】(1)60°；

(2)①NB=75。；

②当BG上的动点P为NCDG的角平分线与BG的交点时，满足是N尸的左系补

周角，此时k—2n.

【解答】解：(1)设NH的4系补周角的度数为x°,根据新定义得，120+4x=360,

解得，%—60,

NX的4系补周角的度数为60°,

故答案为60；

(2)①过E作跖〃4B,如图1,

J_____________B

D

图I

:.NB=NBEF,

,JAB//CD,

J.EF//CD,ZD=60°,

:.ND=/DEF=60°,

VZB+60°=ZBEF+ZDEF,

即/B+60°=ZBED,

VZB是/BED的3系补周角，

：.ZBED=360°-3ZB,

：.ZB+6Q°=360°-3ZB,

:.NB=75°；

②当BG上的动点P为/CDE的角平分线与BG的交点时，满足/BP。是NF的k系补

周角，此时左=2〃.

5.如图1,AD//BC,DE平分/ADB,ZBDC=ZBCD.

(1)求证：/DEC+/ECD=90°；

(2)如图2,BF平分/A8D交C。的延长线于点尸，若/ABC=100°,求/斤的大小；

(3)如图3,若H是上一动点，K是8A延长线上一点，KH交BD于点、M,交

于点O,KG平分NBKH,交DE于点、N,交BC于点G,当点“在线段8c上运动时(不

与点8重合)，求/BAD+/DMH的值.

ZDNG

【答案】(1)证明见解答；

(2)ZF=40°；

(3)2.

【解答】(1)证明：如图1,

ZADC+ZBCD^180°,即NBCr)+NBDC+/Ar>B=180°,

平分NAOB,

ZADB=2ZEDB,

,:NBDC=/BCD,

：.2(NBDC+NEDB)=180°,

；./BDC+/EDB=90°,即/CZ)E=90°,

：.ZDEC+ZECD=90°；

(2)解：如图2,

：8尸平分/ABO,

ZABF=ADBF,

设/ABF=/OBP=a,

VZABC=100°,

,\ZCB£)=100°-2a,

ZBDC=ZBCD,

：.ZBDC=ZBCD=1.(180°-NCBD)=40°+a,

2

ZBDC=ZF+ZDBF,

：.NF=ZBDC-NDBF=4Q°+a-a=40°；

（3）解:

在△8MK中,

又•.,NBA£)=180°-(ZABD+ZADB),

：.ZDMH+ZBAD=(180°-ZABD-NBKH)+(180°-ZABD-NAOB)=360°

ZBKH-2ZABD-ZADB=2[180°-」(/BKH+/ADB)-ZABD],

2

•:KG平分NBKH,OE平分N4DB,

NBKG=L/BKH,ZBDE=^ZADB,

22

.../DNG=NKNE=180°-ZBKG-ZAED=180°-1/BKH-ZABD-NBDE=18

2

0°-工JBKH+/ADB)-AABD,

2

2[180°-y(ZBKH+ZADB)-ZABD]

-ZBAD+ZDMH

ZDNG侬。权BKiBjJ

6.已知：直线EV分别交直线AB,CO于点G,H,S.ZAGH+ZDHF=180°.

（1）如图1,求证：AB//CD；

（2）如图2,点M,N分别在射线GE,HF上，点P,。分别在射线GA,HC±,连接

MP,NQ,且/MPG+/NQH=90°,分别延长MP,NQ交于点K,求证：MKLNK；

（3）如图3,在（2）的条件下，连接KH,KH平■济/MKN,且HE平分NKHD,若

ZDHG^ZMPG）求NKMN的度数•

图1图2图3

【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）50°.

【解答】（1）证明：'：ZCHG=ZDHF,ZAGH+ZDHF=180°,

AZAGH+ZCHG=180°,

J.AB//CD-,

（2）证明：过K作KR〃AB,如图,

,JAB//CD,

.,.RK//AB//CD,

：.ZMPG=ZMKRf/NQH=/RKN,

VZMPG+ZNQH=90°,

/./MKR+/NKR=9S

：.ZMKN=90°,

：.MK±NK；

(3)解：如图，过M作过K作KR〃A3,

9

：AB//CDf

：.MT//AB//CD//KRf

*：KH平济/MKN,

：./MKH=NNKH=45°

•NDHG二号NMPG'

・••设N0"G=17x,/MPG=7x,

•:HE平分/KHD,

：.ZKHM=ZDHG=17x,

：.ZKHD=34x：.ZKHQ=180°-34x,

•:CD〃KR,

；・NRKH=NKHQ=1800-34%,

\9MT//AB//KR

：.ZTMP=ZMKR=ZMPG=7x,/TMH=/MHD=T7x,

♦：/MKH=45°,

：.ZRKH+ZMKR=180°-34x+7x=45°,

/.x=5°,

9：ZKMN=ZTMH-ZTMP,

：.ZKMN=17x-7x=10x=50°.

7.在数学实践活动课上，小亮同学利用一副三角尺探索与研究共直角顶点的两个直角三角

形中的位置关系与数量关系.（其中乙4=30°,ZB=60°,ZC=Z£>=45°）

（1）将三角尺如图1所示叠放在一起.

①与NBOC大小关系是相等，依据是同角的余角相等.

②与/AOC的数量关系是互补.

（2）小亮固定其中一块三角尺△COD不动，绕点0顺时针转动另一块三角尺，从图2

的与0C重合开始，到图3的与0C在一条直线上时结束，探索△AOB的一边与

丛COD的一边平行的情况.

①求当4B〃C。时，如图4所示，乙40C的大小；

②直接写出ZAOC的其余所有可能值.

【答案】（1）①相等，同角的余角相等；②互补;

(2)①75。；②30。，45°,120°,135

【解答】解：（1）@VZAOB=ZCO£>=90°,

AZAOC+ZAOD=90°,ZAOC+ZBOC=9Q°,

.,./A0D=N20C,（同角的余角相等），

故答案为：相等，同角的余角相等；

②/AOC与/B。。互补.

VZAOB=ZCOD=9Q°,

AZAOD+ZBOD+ZBOD+ZBOC^1SO°.

ZAOD+ZBOD+ZBOC=ZAOC,

：.ZAOC+ZBO£>=180°,

即/AOC与互补，

故答案为：互补；

（2）①如图，过点。作OE〃AB,贝UOE〃4B〃C。,

图4

'：OE//AB//CD,

：.ZA=ZAOE=30°,ZC=ZCOE=45°,

：.ZAOC=ZAOE+ZCOE=300+45°=75°

②当AB〃OC时，如图，

此时NAOC=/A=30°；

当。4〃CD时，如图，

此时，NAOC=/C=45°；

当48〃CD时，

由①得，NAOC=75°

当AB〃。。时，如图,

此时，ZBOD=ZB=60°,

/.ZA(?C=360°-90°-90°-60°=120°；

AZAOC=360°-90°-90°-45°=135°；

综上，NAOC的其余所有可能值为30°,45°,120°,135°.

8.已知：直线EF分别交直线AB,CD于点G,H,S.ZAGH+ZDHF=1SO°.

(1)如图1,求证：AB//CD-,

(2)如图2,点M,N分别在射线GE,HF上，点P,。分别在射线GA,HC上，连接

MP,NQ,且NMPG+NNQH=90°,分别延长MP,NQ交于点K,求证：MKLNK；

(3)如图3,在(2)的条件下，连接KH,若KH平分/MKN,且HE平分/KHD,若

NDHG=5/MPG,请直接写出NKMN的度数.

【答案】(1)见解析；

（2）见解析；

（3）NKMN的度数为60°.

【解答】（1）证明：VZAGH+Z£）HF=180°,

又,：NDHF=/EHC,

：.ZAGH+ZEHC=\S0°,

J.AB//CD；

（2）证明：如图，由（1）知，AB//CD,

过K作KO〃AB,

'JAB//CD,

J.KO//CD

'：KO//AB

NMPG=AMKO,

'：KO//CD,

：.ZNQH=ZNKO,

■:/MPG+NNQH=90°,

:./MKO+NNKO=90°,

则/MKN=90°,

即MK±NK.

(3)解：如图，过M作过K作KR〃AB,

9

\AB//CDf

：.MT//AB//CD//KRf

•；KH平分/MKN,

:・NMKH=/NKH=45°,

■:NDHG=5NMPG,

・••设N0"G=5x,ZMPG=x,

•:HE平分/KHD,

：.ZKHM=NDHG=5x,

：.ZKHD=Wx,

：.ZKHQ=\SO0-10%,

*：CD//KR.

：.NRKH=ZKHQ=180°-lOx,

\'MT//AB//KR,

：.ZTMP=ZMKR=ZMPG=x,ZTMH=ZMHD=5xf

VZMKH=45°,

/.ZRKH+ZMKR=1SO°-10x+x=45°,

/.x=15°,

,：ZKMN=ZTMH-ZTMP,

：.ZKMN=5x-x=4x=60°.

9.已知直线直线c分别与直线〃，b相交于点E,R点A,B分别在直线〃，b_b,

且在直线。的左侧，点P是直线。上一动点（不与点方重合），设NB4E=N1,ZA

PB=N2,ZPBF=Z3.

(1)如图，当点P在线段EF上运动时，试探索/I,Z2,/3之间的关系，并给出证

明；

(2)当点尸在线段跖外运动时，请你在备用图中画出图形，并判断(1)中的结论是

否还成立？若不成立，请你探索Nl,Z2,/3之间的关系(不需要证明).

【答案】见试题解答内容

【解答】(1)Z1+Z3=Z2,

证明：图1

过P作

'：a//b,

：.a//b//PM,

：.Zl=ZAPM,/3=NBPM,

.\Z1+Z3=ZAPM+ZBPM,

即/1+N3=N2；

(2)不成立,

有两种情况：图2

①如图2,此时/1+/2=/3,

理由是：

：.Z3=ZPQE,

'：Z1+Z2=ZPQE,

.".Z1+Z2=Z3；

此时N2+N3=/l,

理由是：

：.Z1=ZPQF,

'：Z2+Z3=ZPQF,

.\Z2+Z3=Z1.

10.问题情境

在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线ASCD和一块含60°角的直角三角

尺EFG（/EFG=90°,ZEGF=60°”'为主题开展数学活动.

操作发现

（1）如图（1）,小明把三角尺的60°角的顶点G放在CD上，若N2=2/l,求N1的

度数；

（2）如图（2）,小颖把三角尺的两个锐角的顶点E、G分别放在和CQ上，请你探

索并说明NA跖与NPGC之间的数量关系；

结论应用

（3）如图（3）,小亮把三角尺的直角顶点尸放在CD上，30°角的顶点E落在AB上.若

ZAEG=a,则ZCFG等于60°-a（用含a的式子表示）.

图⑴图(2)图(3)

【答案】见试题解答内容

【解答】解：(1)如图1,-：AB//CD,

：.Z1=ZEGD,

又：/2=2/1,

：.Z2=2ZEGD,

又/GE=60°,

Z£GD=-1(180°-60°)=40°,

3

AZ1=40°；

(2)如图2,,：AB//CD,

：.ZA£G+ZCGE=180°,

BPZAEF+ZFEG+ZEGF+ZFGC=180°,

又•：NFEG+NEGF=9Q°,

：.ZAEF+ZFGC=90°；

(3)如图3,'：AB//CD,

AZA£F+ZCF£=180°,

KPZAEG+ZFEG+ZEFG+ZGFC=180°,

又；/GFE=90°,NGEF=3G°,ZAEG^a,

AZGFC=180°-90°-30°-a=60°-a.

故答案为：60°-a.

11.【阅读与思考】

如图，已知NA=64°.点尸是射线AM上一动点(与点A不重合)，BC、B

D分别平分乙48尸和NPBN,分别交射线AM于点C,D.

【思考与探究】

(1)①乙的度数是116°；

②•：AM〃BN,：.NACB=ZCBN；

③/CBD的度数是58。；

【猜想与探究】

(2)当点尸运动时，ZAPB与/ADB之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，

请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律；

(3)当点尸运动到使NAC8=NA2D时，NABC的度数是多少？

【答案】(1)①116°；②CBN；③58°；

(2)不变,2：1；

(3)29°.

【解答】解：(1)@'：AM//BN,ZA=64°,

.•./ABN=180°-ZA=116°,

故答案为：116°；

②'：AM“BN,

：.ZACB=ZCBN,

故答案为：CBN；

⑨：AM//BN,

・・・NA3N+NA=180°,

AZABN=180°-64°=116°,

/.ZABP+ZPBN=116°,

•「BC平分NABP,8。平分NP5N,

:./ABP=2/CBP,4PBN=2/DBP,

：.2ZCBP+2ZDBP=116°,

/.ZCBD=ZCBP+ZDBP=5S°；

(2)不变，

NAPB：ZADB=2：1,

*：AM//BN,

:・/APB=/PBN,ZADB=ZDBN,

•:BD平分/PBN,

：.ZPBN=2ZDBN,

：.AAPB：ZADB=2：1；

(3)'：AM//BN,

：.ZACB=/CBN,

当NAC3=NA8D时，

则有NC3N=ZABD,

：.ZABC+ZCBD=ZCBD+ZDBN,

：.ZABC=/DBN,

由(1)ZABN=116°,

：.ZCBD=5S°,

：・/ABC+/DBN=58°,

/.ZABC=29°,

故答案为：29°.

12.课题学习：平行线的“等角转化”功能.

(1)阅读理解：如图1,已知点A是5C外一点，连接A3、AC,求N8+N84C+NC的

度数.阅读并补充下面推理过程.

解：过点A作EO〃BC,AZB=ZEAB,ZC=ZDAC,*：ZEAB-^-ZBAC+ZD

AC=180°,AZB+ZBAC+ZC=180°.

解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将/8AC、

/B、/C“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决.

（2）方法运用：如图2,已知求的度数；

（3）深化拓展：已知A8〃C£）,点C在点。的右侧，ZADC=5Q°,BE平分/ABC,

OE平分/AOC,BE,OE所在的直线交于点E,点£在直线AB与CD之间.

①如图3,点2在点A的左侧，若NABC=36°,求N3即的度数.

②如图4,点B在点A的右侧，且AB<CD,AD<BC.若NA2C=〃°,求/BED度数.（用

含〃的代数式表示）

E~~

【答案】（1）ZEAB；ZDAC；

（2）360°；

（3）①43°；②（205-^-n）°,

【解答】解：（1）9：ED//BC,

：.ZB=ZEAB,NC=ND4C（两直线平行，内错角相等）;

故答案为：NEAB；ZDAC；

(2)过。作C/〃A3,

\9AB//DE,

：.CF//DE,

AZD+ZFC£>=180°,

■:CF//AB,

AZB+ZFCB=180°,

AZB+ZFCB+ZFCD+ZD=360°,

AZB+ZBCD+ZD=360°；

(3)①过E作EG〃A3,

9：AB//DC,

C.EG//CD.

:・/GED=/EDC,

平分乙4OC,

AZEDC=yZADC=25°，

：.ZGED=25°,

石平分NA5C,

AZABE=yZABC=18o

,:GE〃AB,

；・NBEG=NABE=18°,

；・/BED=NGED+NBEG=250+18°=43°；

②过E作尸石〃AB,

点垂足为点

(1)若NC=40°,则NA4M=130°；

(2)如图2,过点3作BDLAM,交的延长线于点。，求证：ZABD=ZC；

(3)如图3,在(2)问的条件下，BE平分NDBC交AM于点E,若NC=NDEB,求

ZDEB的度数.

【答案】见试题解答内容

【解答】(1)解：过点3作3E〃AM,则AM〃3E〃NC,

■:BE//NC,ZC=40°,

：.ZCBE=ZC=40°.

VABXBC,

AZABC=90°,

/.ZABE=90°-40°=50°.

9：AM//BE,

：.ZBAM+ZABE=\S°,

：.ZBAM=180°-50°=130°.

故答案为：130°；

(2)证明：如图2,过点3作8/〃。M,则NADB+NDB尸=180°.

\9BD±AM,

：.ZADB=90°.

AZDBF=90°,ZABD+ZABF=90°.

又TAB上BC,

：.ZCBF+ZABF=90°.

ZABD=ZCBF.

9：AM//CN,

:・BF〃CN,

：.ZC=ZCBF.

：.ZABD=ZC.

(3)解：设/DEB=x。，由(2)可得NA5Z)=NC,

•:/C=/DEB,

：.ZABD=ZC=ZDEB=x°.

过点B作8歹〃。如图3,

ZDEB=ZEBF,ZC=ZFBC.

：.NCBE=/EBF+NFBC=NDEB+NC=2x°.

VZ.DBC=ZABC+ZABD=90°+x°.

平分/DBC,

/.ZDBC=2ZCBE=4x°,即4x=90+x,解得x=30.

.・./£）班的度数为30°.

DAEM

BX"...尸

N图3c

DAM

氏........F

.............E

NC

图1

14.已知：AB//CD,E、G是A8上的点，F、H是CD上的点，Z1=Z2.

(1)如图1,求证：EF//GH-,

(2)如图2,过尸点作BMLGH交G8延长线于点作/BEF、的角平分线

交于点N,EN交GH于点P,求证：NN=45°；

(3)如图3,在(2)的条件下，作NAG8的角平分线交CD于点°,若3NFEN=4N

HFM,直接写出,GQH的值.

ZMPN

【答案】见试题解答内容

【解答】解：（1）证明：・・・43〃8,

・・・N2=N3,

又・・・N1=N2,

AZ1=Z3,

：.EF//GH；

图1

(2)如图2,过点N作NK〃CD,

：.KN//CD//AB,

：.ZKNE=Z4,N6=N7,

设N4=x,Z7=y,

YEN、尸N分别平分N3EF、/DFM,

NENK=N5=N4=x,N6=N8=N7=y,

又,：AB〃CD,

：.ZEFZ)=180°-(Z4+Z5)=180°-2x,

又•：FM1GH,

：.ZEFM=90°,

.*.180°-2x+2y=90°,

/.x-y=45°，

/ENF=/ENK-Z6=x-y=45

•：3/FEN=ANHFM,即3尤=4X2y,

•••rA-8-y,

.,.x-y=—丫-尸45。

3'

：.y=21°,x=72°,

又和GQ是角平分线，

GQLEN,

.•./GQH=NEGQ=180°-90°-72°=18°,

又,：NMPN=NFEN=x=72°,

•NGQH1

••/MPN7,

故答案为工.

4

15.已知，平分NAO8交射线8c于点E,ZBDE^ZBED.

(1)如图1,求证：AD//BC；

(2)如图2,点尸是射线ZM上一点，过点尸作PG〃瓦)交射线BC于点G,点、N是F

G上一点，连接NE,求证：ZDEN^ZADE+ZENG；

(3)如图3,在(2)的条件下，连接。N,点尸为3。延长线上一点，DM平分/BDE

交8E于点若DN平分/PDM,DEIEN,ZDBC-Z.DNE=ZFDN,求/EDN的度

数.

A

DDFA

BEC

图1图2

图3

【答案】（1）证明过程见解答;

（2）证明过程见解答;

(3)NEDN的度数为45°.

【解答】（1）证明：:OE平分NAD3,

・•・ZADE=NBDE,

ZBDE=/BED,

：.NADE=/BED,

J.AD//BE；

图2

:・/DEH=/BDE,

丁

ZBDE=ZADEf

：.ZADE=NDEH,

,:BD〃FG,

J.EH//FG,

：.ZHEN=/ENG,

ZDEN=/DEH+/HEN,

：.ZDEN=/ADE+/ENG：

(3)解：设N3OM=2x,

TOM平分N3OE,

/.NBDM=ZMDE=2x,

：.ZADE=/BDE=2/BDM=4x,

：.ZADB=2ZBDE=Sx,

\'AD//BCf

/.ZB=180°-ZAZ)B=180°-8x,

•:DE_LEN,

：.ZDEN=90°,

由(2)得：ZDEN=ZADE+ZENG,

：.NENG=ADEN-ZAZ)E=90°-4x,

,:DN平分/PDM,

：.ZMDN=XZPDM^1.(180°-ZBDM)(180°-2x)=90°-x,

222

/.ZEDN=ZMDN-ZMDE=90°-x-2x=90°-3x,

・•・ZDNE=90°-/EDN=3x,ZFDN=ZADE-/EDN=4x-(90°-3x)=7x-90°,

ZDBC-ZDNE=/FDN,

A180°-8x-3x=7x-90°,

解得：x=\5°,

/.ZEDN=90°-3x=45°,

・・・NEDN的度数为45°.

16.将一副三角板中的两个直角顶点。叠放在一起(如图①)，其中NA=30°,NB=60°,

/D=NE=45°.

(1)猜想NBC0与NACE的数量关系，并说明理由；

(2)若NBCD=4NACE,求N3CD的度数；

（3）若按住三角板ABC不动，绕顶点C转动三角板。CE,试探究/8C£）等于多少度时

CE//AB,并简要说明理由.

【答案】(1)ZBCD+ZACE=180°,理由见解析；

(2)144°；

(3)等于150°或30°时，CE//AB.

【解答】解：(1)ZBC£)+ZACE=180°,理由如下：

*.•/BCD=ZACB+ZACD=90°+ZACD,

：.ZBCD+ZACE=90°+ZACD+ZACE=900+90°=180°；

(2)如图①，设/ACE=a,则NBCO=4a,

由(1)可得/8CO+/ACE=180°,

/.4a+a=180°,

.,.a=36°,

：.ZBC£)=4a=144°；

(3)分两种情况：

①如图1所示，当NBC£)=150°时，AB//CE.

*：ZBCD=150°,ZACB=ZECD=90°,

/.ZACE=30°,

・・・NA=NACE=30°,

J.AB//CE.

②如图2所示，当NBCD=30°时，AB//CE.

：.ZBCE=ZB=60°,

：.AB//CE.

综上所述，NBC。等于150°或30°时，CE//AB.

17.已知：直线环分别与直线A3,CD相交于点G,H,并且NAGE+NDHE=180°.

EEE

(1)如图1,求证：AB//CD；

(2)如图2,点M在直线48,C£)之间，连接GM,HM,求证：ZM=ZAGM+ZCH

M；

(3)如图3,在(2)的条件下，射线GH是N8GM的平分线，在的延长线上取点

N,连接GN,若NN=/AGM,ZM^ZN+^ZFGN,求/M/G的度数.

2

【答案】见试题解答内容

【解答】(1)证明：如图1,VZAG£+ZD/f£=180°,NAGE=NBGF.

：.ZBGF+ZDHE=180°,

J.AB//CD；

(2)证明：如图2,过点M作

又；AB〃CD,

J.AB//CD//MR.

：.ZGMR=ZAGM,ZHMR=ZCHM.

ZGMH=ZGMR+ZRMH=ZAGM+ZCHM.

图2

(3)解：如图3,令NAGM=2a,NCHM=0,则NN=2a,ZM=2a+p,

•.,射线G8是/BGM的平分线，

•'•ZFGM=yZBGM=y(180°-ZAGM)=90°。

ZAGH=ZAGM+ZFGM=2a+90°-a=90°+a,

VZM=ZN-^ZFGN'

•,.2Cl+P=2Cl4yZFGN'

:.NFGN=2B，

过点、H作HT〃GN,

则/W?T=/N=2a,NGHT=NFGN=26,

/GHM=ZMHT+ZGHT^2a+2p,

ZCHG=ZCHM+ZMHT+ZGHT=0+2a+20=2a+30,

,JAB//CD,

：.ZAGH+ZCHG=180°,

.•.90°+a+2a+3B=180°,

a+p=30°,

ZGHM=2(a+p)=60°.

18.【探究结论】

(1)如图1,AB//CD,E为形内一点，连结AE、CE得至UNAEC,贝!l/AEC、ZA>Z

C的关系是/AEC=/A+/C(直接写出结论，不需要证明)：

【探究应用】利用(1)中结论解决下面问题：

(2)如图2,AB//CD,直线分别交AB、CD于点、E、F,EG1和EG2为N8EF内满

足/1=/2的两条线，分别与/EFD的平分线交于点G1和G2,求证：ZFGI£+ZG2=

180°.

(3)如图3,已知AB〃CD,尸为CD上一点，/EFD=60°,NAEC=3NCEF,若8°

<ZBAE<20°,NC的度数为整数，则NC的度数为42°或41°

图1图2图3

【答案】(1)ZAEC=ZA+ZC；

(2)证明过程见解答；

(3)42°或41°.

【解答】(1)解：过点£作即〃A8,

・•・ZA=Z1,

\'AB//CDfEF//AB,

：.EF//CDf

AZ2=ZC.

NAEC=N1+N2,

AZAEC=ZA+ZC（等量代换），

故答案为：ZAEC=ZA+ZC；

（2）证明：由（1）可知：ZEG2F=Z1+ZDFG2,

WG2平分/。，

・・・ZEFG2=NDFG2,

VZ1=Z2,

.・・ZEG2F=N2+NEFG2,

VZEGIF+Z2+Z£FG2=180°,

・・・N尸GIE+NG2=180°；

（3）由（1）知：ZAEF=ZBAE+ZDFE,

设NCEP=x,则NAEC=3尤，

VZ£FD=60°,

'.x+?>x—ZBAE+600,

ZBAE=4x-60°,

XV80<ZBAE<2Q°,

.,.8°<4x-60°<20°,

解得17°<x<20°,

又，：NDFE是△CEF的外角，

NC=ZDFE-ZCEF=ZDFE-x,

的度数为整数，

；.x=18°或19°,

AZC=60°-18°=42°或NC=60°-19°=41°,

故答案为：42°或41°.

19.已知，直线分别与直线AB、CO相交于点G、H,并且/AGE+NZ）HE=180°.

（1）如图1,求证：AB//CD.

（2）如图2,点M在直线AB、之间，连接MG、HM,当/AGM=32°,ZMHC=

68°时，求NGMH的度数.

（3）只保持（2）中所求/GMH的度数不变，如图3,GP是/AGM的平分线，HQ是

的平分线，作HN〃尸G,则/QEW的度数是否改变？若不发生改变，请求出它

的度数.若发生改变，请说明理由.（本题中的角均为大于0°且小于180。的角）

【答案】（1）证明过程见解析；（2）ZGMH=100°；（3）NQHN=40；

【解答】（1）证明：VZAGE+ZBGE=\80°,ZAG£+ZDHE=180°,

ZBGE=ZDHE,

J.AB//CD.

(2)解：,."AB//CD,

：.ZAGH+ZCHG=12,0°,即/AGM+/MG8+/MHG+/AfflC=180°,

,?ZMGH+ZMHG+ZGMH=180°,

/GMH=ZAGM+ZMHC,

VZAGM=32°,ZMHC=6S°,

：.ZGMH=10Q°.

(3)解：的度数不发生改变，理由如下，

由(2)得，ZAGM+ZMHC=ZGMH^100°,

：.ZMGH+ZMHG=^0°,

■:GP、〃。分别平分NMGA和NMHD,

AZMGP^^.ZMGA,ZMHQ=1.ZMHD^1.(180°-ZMHC)=90°-1.ZMHC,

2222

/PGH=ZMGP+ZMGH^1.ZMGA+ZMGH,

2

'JHN//PG,

：.NGHN=ZPGH=^ZMGA+AMGH,

2

ZQHN=ZGHN-ZGHQ=(上/MGA+NMGH)-(ZMHQ-ZMHG)=^AMG

22

A+ZMGH-ZMHQ+ZMHG=^ZMGA+SO°-ZMHQ,

：.ZQHN=1ZMGA+SO°-(90°-IzMHC)=-10°+A(ZMGA+ZMHC)=-

222

10°+Axioo°=40°.

2

20.如图，AD//BC,的平分线交BC于点G,/BCD=90°.

(1)试说明：ZBAG=ZBGA；

(2)如图1,点尸在AG的反向延长线上，连接CP交A。于点E,若/BAG-NP=45°,

求证：C/平分/BCD

(3)如图2,线段AG上有点P,满足NA2P=3NPBG,过点C作。/〃AG.若在直线

AG上取一点M,使求上幽L的值.

ZGBM

【答案】(1)证明过程见解答；

(2)证明过程见解答；

(3)5或」.

3

【解答】(1)证明：・・工。〃3。，

J.ZGAD=ZBGA,

〈AG平分NA4O,

：.ZBAG=ZGAD

：.ZBAG=ZBGA；

(2)解：VZBGA=ZF+ZBCF,

：.ZBGA-/F=NBCF,

'：ZBAG=ZBGA9

：.ZZBAG-ZF=/BCF,

,：ZBAG-ZF=45°,

：.ZBCF=45°,

9：ZBCD=90°,

・・・C/平分N8CO；

(3)解：有两种情况：

①当M在8尸的下方时，如图5,

设NA3C=4x,

*.*ZABP=3ZPBGf

：.ZABP=3x,ZPBG=x,

*：AG〃CH,

：.ZBCH=NAG3=180°-4X=9O°_2X,

2

VZBCZ)=90°,

：.ZDCH=ZPBM=90°-(90°-2x)=2x,

：.ZABM=ZABP+ZPBM=3x+2x=5x,

NG3A/=2x-x~~Xy

：.ZABM：/GBM=5x：%=5；

②当Af在BP的上方时，如图6,

同理得：ZABM=ZABP-ZPBM=3x-2x=x,

ZGBM=2x+x=3x,

：.ZABM：/GBM=x：3尤=」.

3

综上，途里的值是5或工.