重庆市七校联盟2024届高三年级下册三诊考试数学试题（含解析）

重庆市七校联盟2024届高三下学期三诊考试数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知集合/={xeN|%2-4尤-5V。},3={0,1洛，则/门2=（）

A.{xll<x<2}B.{x|0<x<2}C.{0,1,2}D.{1,2}

2.已知z=3（aeR）是纯虚数，则2万的值为（）

A.-1B.1C.2D.-

4

3.已知向量2=（2,3）,B=（加一1,2加+1）,若1//B，则加=（）

A.3B.-C.—D.—5

88

4.设尸,7是三个不同的平面，a,b是两条不同的直线，则下列命题中为真命题的是（）

A.若a工/3,aua,bu0,贝心B.若a//B,aua,bu/3,则a//6

C.若a//a,bu〃，则。与人异面D.若。「|/?=。,。_17,尸_17,则。

5.已矢口-=3cos]o+胃，则tana=()

A.2B.yC.3D.-

23

6.已知抛物线C:y=4x2的焦点为F,该抛物线上一点。到片-1的距离为4,贝I」|尸尸|=()

497

A.3B.4C.-D.-

162

7.已知＞=/(%+1)+1为奇函数，则/(—1)+/(0)+/⑴+八2)+/(3)=()

A.—12B.—10C.—6D.—5

8.如图，函数/00=为皿5+0），>0,0>0,,归|^的图像与》轴的其中两个交点分别为

A,B,与了轴交于点C,。为线段BC的中点，|。凶=6|。。|,\OA\=2,\AD\=^~,则下

列说法正确的是（）

试卷第1页，共4页

A./(x)的最小正周期为12兀B./（x）的图象关于直线x=8对称

C./(2)=/(-4)D.x+2）为偶函数

二、多选题

9.已知直线/:x+叼-加+3=0,圆C:（尤-iy+（y-2）2=5,则下列说法正确的是（）

A.直线/恒过定点（-3,1）B.直线/与圆。相交

C.当直线/平分圆。时，加=-4D.当点C到直线/距离最大时，m=-

4

10.已知在直三棱柱/8C-44。中，ABLBC,AB=BC=2,直线4c与底面所成角

的正弦值为鱼，则（）

3

A.直三棱柱-4耳。的体积为4|

B.点耳到平面48c的距离为血

c.当点。为线段4c的中点时，平面。平面DCG

D.E,F分别为棱CG上的动点，当/E+M+E4］取得最小值时，A{F=EF

11.已知函数/（x）=e2=a%2（。为常数），则下列结论正确的是（）

A.当。=1时，%）在（0,7（0））处的切线方程为2》7+1=0

B.若"X）有3个零点，则。的取值范围为任,+8）

C.当a=/时，x=l是/（%）的极大值点

D.当〃=5时，/（X）有唯一*零点％0，且—1<%（）<—5

三、填空题

12.已知〃=log25,8=5',则.

试卷第2页，共4页

13.设/,2是一个随机试验中的两个事件，且尸(/)=；,尸(3)=；,尸(4u3)=；,则

P(B\4)_.

14.有序实数组(国,％,…称为〃维向量，|网|+上|+…+同为该向量的范数，范

数在度量向量的长度和大小方面有着重要的作用.已知〃维向量3=(%,/,…,x”)，其中

苍€｛0,1,2｝,7=1,2,…记范数为奇数的3的个数为4,则4=；4„+1=•(用

含〃的式子表示)

四、解答题

15.已知函数/(x)=/一10x+3“lnx在点(1,7(1))处的切线与直线尤+4y-l=0垂直.

⑴求。的值；

⑵求函数/(x)的极值.

16.已知在数列｛%｝中，01=1，册+1=4].

(1)求证：数列[十]是等差数列，并求数列｛。/向｝的前"项和s”；

(2)在AABC中，角4,8,C的对边分别为a",0,且。=,bcosC+ccosB=-2acosA,

“〃+lan

求小BC面积的最大值.

17.如图，在四棱锥尸—/BCD中，PBC1ABCD,ZPBC=9(f,AD//BC,

/ABC=90°,245=2AD=BC=2.

⑴求证：CZ)_L平面心。；

(2)若二面角3-PC-。的余弦值为理，求直线PD与底面4BCD所成角的余弦值.

18.已知RC分别是椭圆「:W+】=l(a>b>0)的右焦点、上顶点，过原点的直线/交椭圆「

ab

71

于43两点，满足|/F|+|AF|=4,/FCO=].

试卷第3页，共4页

(1)求椭圆r的方程;

(2)设椭圆「的下顶点为。，过点。作两条互相垂直的直线4，，这两条直线与椭圆「的另一

个交点分别为N,设直线乙的斜率为依左wo),ADW的面积为s,当会＞当时，求后的

阳9

取值范围.

19.在概率统计中，常常用频率估计概率.已知袋中有若干个红球和白球，有放回地随机摸

球〃次，红球出现加次.假设每次摸出红球的概率为〃，根据频率估计概率的思想，则每次

摸出红球的概率P的估计值为°=".

n

(1)若袋中这两种颜色球的个数之比为1:3,不知道哪种颜色的球多.有放回地随机摸取3个

球，设摸出的球为红球的次数为y,则丫〜B(3,0).

注：［(丫=人)表示当每次摸出红球的概率为p时，摸出红球次数为左的概率)

(i)完成下表;

k0123

巴(1)271

46464

4(』)927

46464

5)在统计理论中，把使得与任=人)的取值达到最大时的作为。的估计值，记为方，

请写出方的值.

⑵把(1)中“使得［”=人)的取值达到最大时的。作为p的估计值p”的思想称为最大似然

原理.基于最大似然原理的最大似然参数估计方法称为最大似然估计.

具体步骤：先对参数。构建对数似然函数/(。)，再对其关于参数。求导，得到似然方程

/'(o)=o,最后求解参数。的估计值.已知y〜3(%P)的参数〃的对数似然函数为

/(〃)=支X,lnp+5(1一Xjn(l"),其中?d.求参数〃的估计值，并

Z=11=1.［1,第，次摸出红球一.......

且说明频率估计概率的合理性.

试卷第4页，共4页

参考答案:

1.C

【分析】由给定数集的范围和交集的定义求解.

【详解】={xeN|x2-4x-5<0}={0,1,2,3,4,5},又8={0,l,2},

则/口8={0,1,2}.

故选：C.

2.B

【分析】利用复数的代数形式的乘除运算进行化简，根据纯虚数的定义，由实部等于0,虚

部不等于0,列式求解即可得。，再结合复数的乘法运算以及共软复数的概念即可得答案.

【详解】

二•复数z=需是纯虚数,。+21—2。.

且z=l+2i=(l+2i)(l-2i)-------1--------1,

55

—=0

I5,解得。=一2,

匕三0

5

所以z=i,z=-i>

所以z,z=—/=1，

故选：B.

3.D

【分析】利用平面向量共线的坐标表示计算即可.

【详解】由题意可知2（2加+1）=3（m-1）=＞加=-5.

故选：D

4.D

【分析】ABC选项根据空间中直线与平面的位置关系直接判断即可，D选项需要通过画图

解释，另外需要结合线面垂直、面面垂直、线面平行的性质进行分析.

【详解】对A,若aL0,aua,bu0,则a与6相交、平行或异面都有可能，故A错误；

对B,若a//0,aua,bu0,则a//6或a与6异面，故B错误；

对C,若a//a,bu力，则。与6相交、平行或异面都有可能，故C错误；

对D,若=设口与/的交线为根,万与7的交线为小

答案第1页，共15页

在平面a内取4，山，在平面夕内取4，"，4,与°不重合，

由面面垂直的性质可得4，7,，7，所以〃〃2,

又4所以/"/£,由线面平行的性质定理得

所以有a_Ly,故D正确.

故选：D.

5.B

【分析】利用诱导公式得到sin[a+：]=3cos[a+：],即可求出tan(a+：j,再由两角和的

正切公式展开计算可得.

【详解】因为cos[；-a]=3cos(e+：j,

「兀(兀丫Ic/兀\

所以cos--Ia+~^\=3cosIa+~\y

即sin[a+；]=3cos[+；)，

71

/\/\tana+tan—1

所以tana+；=3,则tana+:=-----------=3,解得tana二一.

I4JI4;兀2

[)1J1-tan6Ztan—

4

故选：B

6.C

【分析】根据题意求出抛物线上点到准线距离，再由抛物线定义得解.

【详解】由抛物线C:y=4/可得其准线方程为＞=一々，

416

因为抛物线上一点尸到y=-1的距离为4,

1r1149

所以点P到了=-77的距离为4----(-1)=7，

16L16」16

由抛物线的定义知，|尸尸|=4仁9.

答案第2页，共15页

故选：c

7.D

【分析】由函数图象平移的规则，且y=/(x+i)+i为奇函数，得出函数y=图象的对

称性，进而得出/(-1)+/(0)+/(1)+/(2)+/(3)的值.

【详解】由函数图象平移的规则可知：

函数了=/(x)的图象可由函数y=/(x+D+l的图象向右平移1个单位、向下平移1个单位得

到的，

因为函数v=/(x+l)+l为奇函数，所以函数y=/(x+l)+l的图象关于原点对称，

所以函数y=/(x)的图象关于点(1,-1)对称，得：

/(-1)+/(0)+/⑴+/⑵+/(3)=[/(-1)+/(3)]+[/(0)+/(2)]+/⑴，

即/(-1)+/(0)+/(1)+/(2)+/(3)=2x(-l)+2x(-l)+(-l)=-5,

故选：D.

8.C

【分析】利用三角函数的图象与性质先含参表示42,C,。的坐标，由线段关系求解参数得

/(x)=fsin但x-9,再判定选项即可.

3163)

【详解】由题可/(2,O),8(2+3o],C(O,/sin0,则。1+占,且芈],

\coJ\2a)2)

有百|/sind=2+巴,sin(2G+e)=0,

CD

I,nl242]28

T

代入上式,解得巴=6(负值舍去),

CD

兀.(兀,兀兀

+°JI=0r\,由阚IIW5,斛b-n得zrt夕二--V3/sin1-三)=8,

,.16、16.1兀

解AnZ得F/=H，.♦/(x)=-sinl—x-yI,

T---12

显然其周期为一至一，故A错误；

6

71jr

当x=8时，=尤一:=兀，/(%)=0,故B错误;

答案第3页，共15页

f(2)=—sin0=0,/(-4)=—sin(-7t)=°，故C正确；

〃T+2)=gsin](f+2〉升胃1卜/,显然是奇函数，故D错误.

故选：C

【点睛】思路点睛：利用三角函数的图象与性质含参表示各点坐标，再根据线段关系解参数

求出函数解析式，针对选项利用三角函数性质一一判定即可.

9.ACD

【分析】对于A,将直线方程变形即可进一步判断；对于B,举反例即可判断；对于C,将

圆心坐标代入直线方程即可验算参数加；对于D,当点C到直线/距离最大值时，有尸C，/,

结合它们的斜率关系即可判断.

【详解】对于A,/:x+叩一机+3=0即x+3+〃z(y-l)=0,令y-l=0,有y=l,x=—3,

所以直线/恒过定点P(-3,1),故A正确；

对于B,圆C:(x-+(>-2>=5的圆心、半径为C(l,2),r=囱,

Im+4|

点C(l,2)到直线/:x+叩-扭+3=0的距离为d=-

yjl+m

从而d—=("Ml5=-4、+8加+11,

1+m2l+m2

取"7=2,则止匕时有屋一产=m>0,故B错误；

对于C,当直线/平分圆C时，有点c(l,2)在直线/:x+叼一"+3=0上，

也就是说有1+2加-冽+3=0成立，解得加=-4,故C正确；

对于D,点C到直线/距离满足44尸。，等号成立当且仅当尸C，/,

,2-11

而PC的斜率为K=]_(_3)=a，

所以当等号成立时有;解得加=1,故D正确.

故选：ACD.

10.BC

【分析】利用线面夹角及棱柱的体积公式可判定A,利用等体积法可判定B,利用线线垂直

的判定与性质及线面垂直的性质可判定C,利用多面体的展开图计算最值可判定D.

答案第4页，共15页

【详解】

对于A,由直三棱柱的特征可知，直线4c与底面ABC所成角为N&C4,

所以粤=E，

因为A8_L8C,N3=8C=2,所以ZC=2拒,/4=2,4C=2百，

则直三棱柱/8C-44。的体积为:•8C•幺4=4,故A错误；

对于B,由上可知3cl平面么用，

因为/出u平面/月，所以8C，43,则S.A、BC=2>/2,S：=2，

设点Bx到平面AtBC的距离为h,

易知匕=g〃x2亚=@4B[B=；x2x2=〃=血，故B正确；

对于C,取4C，/C的中点G,”,易知M在线G8上，BH1AC,

由直三棱柱的特征知GH工AC,

因为GHcBH=H,GH,BHu平面BBXDH,

所以/C,平面83QH,而平面平面DAB1

因为NCu平面DC。，所以平面。平面。24,故C正确；

对于D,将三棱柱侧面展开，如下图所示，

4B、G4

A2B2c2般/

EF2

显然+M+取得最小值时，—=^,故D错误.

故选：BC

答案第5页，共15页

11.ABD

【分析】根据导数的几何意义，可判定A正确；根据题意，转化为g(x)=彳与>=。的图

x

象有3个交点，利用导数求得函数g(x)的单调性与极值，可判定B正确；当a=e?时，得

到/卜)=2©，-62防，讨论函数/(》)的单调性，结合极值点的定义，可判定C错误.当。=g

时，得到广(力>0,函数/(x)单调递增，结合可判定D正确；

【详解】对于A中，当°=1时，可得〃x)=e2"-,则〃0)=lj'(x)=2e2，_2xj'(0)=2,

所以切线为2x-y+1=0,A正确：

对于B中，若函数〃x)=e2=混有3个零点，即e2，=加有三个解，

其中x=0时，显然不是方程的根，

当xwO时，转化为g(x)=［与>的图像有3个交点，

令g'(x)>0,解得x<0或x>l；令g'(x)<0,解得0<x<l,

所以函数g(x)在(-*0),(1,+◎上单调递增，在(0,1)上单调递减；

所以当尤=1时，函数g(x)取得极小值，极小值为g(l)=e2,

又由x.0时，g(x)f+8,当xf-oo时，g(x)->0且g(x)>0,

0\1尤

所以a>e2,即实数。的取值范围为卜2,+“)，所以B正确：

对于C中,当a=e?时,/(x)=e2l-e2x2,可得/'(x)=2e2,-2e2x=2(e2*-e?x),

令g(x)=e2x-e2x,g，(无)=2e2x看在R上单调递增，

且g'(0)=2-/(0,g")=e?)0,所以存在尤°e(0,1)使得g，(尤。)=0,

答案第6页，共15页

所以在(-8,Xo)上g[x)<0,g(x)单调递减,

在(X。,”)上g[x)>0,g(尤)单调递增，又g⑴=0,

所以在(无。,1)上g(x)<0,即r(x)<0,/(X)单调递减,

在(1,+8)上g(x)>0,即/'(x)>0,y(x)单调递增,

所以x=l是/(X)的极小值点，所以C错误.

对于D中，当时，r(x)=2e2，-x=2卜

设〃(x)=e"-；x,可得〃'(x)=2e2*-；,

当x<ln；时，/z'(x)<0,/z(x)在［-巩In；］单调递减；当x>lng时，l(x)>0,/z(x)在(ln；,+s

单调递增,

21nli111/、

所以当尤=ln,时，h(x\.=h\In—=e2-—ln-=-+-ln2>0,所以A(x)>0,

2\/minI222427

所以/'(x)>0,所以函数〃x)在R上单调递增,

又因为〃T)=e-2-0,即/㈠)./5£[<0,

所以/(x)有唯一零点看且-l<x0<-；,所以D正确；

故选：ABD.

【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：

1、合理转化，根据题意转化为两个函数的最值之间的比较，列出不等式关系式求解；

2、构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；

3、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题.

4、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分

离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就

要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别.

12.3

【分析】由指数式与对数式的互化关系求出6,再利用对数运算性质计算即得.

【详解】由8=5J得6=1叫8,^^^=log25.log58=31og25-log52=3.

故答案为：3

答案第7页，共15页

【分析】根据和事件的概率公式求出再由条件概率公式求解即可.

【详解】由尸。8)=尸(/)+P⑻-P(4B)=；+g-P(4B)=1,

解得尸(18)=二，

1

一1

所以勿=锵=-

1123-

4-

故答案为：:

o2n+l

14.40-~

2

【分析】根据乘法原理和加法原理即可求解4；根据(2+1)2向和(2-1)2向的展开式相减得

到4用的通项公式.

［详解】根据乘法原理和加法原理得到4=C；•23+C：•2=40.

奇数维向量，范数为奇数，则士=1的个数为奇数，即1的个数为1,3,5,…，2“+1,

根据乘法原理和加法原理得到根"+i=C1/"+C；,N”-2+C；用222+C崇;2。,

+L

2n+12n+12n+l

3=(2+l)=C°„+12+CH'+dT+L+C然；2。

2+12+122n2

1=(2-l)"=C»„+12"-CL+12"+CL+12--L-C^；2°

两式相减得到4角=彳1.

o2n+l_i

故答案为：2；)—.

2

15.(l)a=4

(2)极大值-16+12In2,极小值-21+121n3

【分析】(1)利用导数的几何意义结合两直线垂直时的斜率关系可求得。值；

(2)结合第(1)问可得了'(X),再根据函数的单调性即可确定极值点，则极值可求.

【详解】(1)函数/(x)=--10x+3alnx,求导得/'(x)=2X一10+应，

X

答案第8页，共15页

贝ij/'(I)=2-10+3。=3。-8,即为切线的斜率，.

因为切线与直线x+4y-l=0垂直，则有=

解得a=4.

(2)由(1)知,函数/(x)=/T0x+l21nx,定义域为(。,+«0,

,p-1...、122(%—2)(x—3)

求v导Z得r/r(x)=2x—10+—=八————-

XX

当0<x<2或％〉3时，f\x)>0,当2<x<3时，fr(x)<0,

因此函数/(x)在(0,2),(3,+网上单调递增,在(2,3)上单调递减，

当x=2时，/(x)取得极大值/(2)=-16+121n2,

当x=3时，f(x)取得极小值/(3)=-21+121n3,

所以函数f(x)的递增区间为(0,2),(3,+8),递减区间为(2,3),

极大值-16+121n2,极小值-21+12M3.

16.(1)证明见解析，-―-

2〃+1

【分析】（1）根据已知条件，由等差数列的定义写出｛工｝的通项公式，进而可得向｝的

通项公式，应用裂项相消法求前"项和5“即可；

（2）根据题设三角恒等式，结合正弦定理得sin/=-2sin/cos/,由三角形内角性质求角A,

由余弦定理及基本不等式求6c的范围，应用三角形面积公式，求“3C面积的最大值.

11+2。1、11c

【详解】(1)由题意，一=——-=—+2,即-------=2

aaa

«„+lnn%+1n

为等差数列:首项公差d=2,

1

2〃一1

n

2n+l

(2)VbcosC+ccosB=-2acosA,

答案第9页，共15页

，由正弦定理,有sinBcosC+sinCcosB=-2sinAcosA,.

即sin(S+C)=sin力=-2sinAcosA,又4£(0,%),sinZ>0,

/.cos^4=--,A=—

23

11c

由。=-------=2,

aa

n+ln

由余弦定理得：a1=b2+c2-2Z)c«cosA=b2+c2+bc,.

.­.a2=4>3&c，即当且仅当6=c=及时取等号，

33

SABC=-be-sin/=^-bc<，即△48C面积最大值为—.

“BC244333

17.(1)证明见解析

【分析】(1)要证CD_L平面PBO,可证CD_LBO且CDLBP,8_L8。通过勾股定理可证,

CD1BP通过线面垂直性质可证；

(2)以B为原点，3c为x轴，8P为V轴，8/为z轴建立8-xyz空间直角坐标系，分别求

出平面BPC和平面尸CD的法向量，结合向量夹角余弦公式即可求解AP的长度，由(1)知

8P_L平面N3CD,直线尸。与底面4BCD所成的角为NPD3,则线面角的余弦值可求.

【详解】(1)由NP3C=90°,得PBLBC

因为平面PBC1平面ABCD,平面PBCc平面ABCD=BC,2尸u平面PBC

所以AP_L平面/BCD,又CDu平面/BCD,则尸8_LCD,.

又NABC=90°,AD//BC,所以因为2/2=2/。=8C=2,

所以BD=ylAB2+AD2=VI，

过点。作DEL8C交8c于点E,

则DE=\,CE=BE=\,

所以CD=4DE2+CE2=6,因为8c2=co?+BD?=(V2)2+(V2)2=4,

答案第10页，共15页

故/2£^=90",即CD_L8D,

又BDcBP=B,BP,BDu平面PBD,所以CD_L平面PBD-,

(2)因为N4BC=90°,平面尸8cl平面/BCD,平面尸BCc平面=8C,

所以431平面PBC,ZPBC=90°

故以点3为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，

则5(0,0,0),尸(0,a,0),C(2,0,0),D(l,0,l).

所以定=(2,-。,0),而==(0,a,0)

由题意可知筋=(0,0,1)为平面PBC的一个法向量,

设平面PCD的法向量为万=(x,y,z),

n-PD=0x-ay+z=0

则一，即

n-PC=Q2x-ay=0

2_

令x=l,则y=一,z=l,故力二

aa)

因为二面角5-PC-。的余弦值为史,

3

所以3,

解得〃=2,即B尸=2,则PD=NBD?+PB?=网，

由(1)可知，AP_L平面/BCD,则直线尸。与平面/BCD所成的角为/尸D5,

所以cos/PDB=吧=平=昱,

PDJ63

3

答案第11页，共15页

18.⑴1+/=1

⑵（-后,0）50,收）

7T

【分析】（1）利用椭圆的定义，结合椭圆的几何性质知，ZFCO=~,则。=26,解出a,b

即可得椭圆方程；

⑵设4的方程为y=kx-1代入椭圆方程,求出M的坐标，可得\DM\，用代替人，可得QN|,

K

SS16

求出ADW的面积S,可得M，解不等式网■>方■可得左的取值范围.

【详解】（1）设椭圆「的左焦点为耳，连接用，幽，

由对称性知四边形总是平行四边形，所以以刊=忸用，.

由椭圆定义知2a=\BF\+忸周=|5F|+\AF\=4,则a=2,.

TV

设椭圆的半焦距为。，由椭圆的几何性质知，ZFCO=—,则。=26,

所以6=1,

丫2

所以椭圆「的标准方程为y+/=l.

（2）椭圆r的标准方程为土+/=i.则。（0,-1）,

4

所以直线4：y=6—1（左W0）,，2：歹=..-x—\,

如图所示,

设河（石,弘）川（工2,%）,

联立了+>=1,消去y并整理得（1+4公卜2_8区=0,...

y=kx-\

答案第12页，共15页

mi、।8k匚8k2

所以玉二寸'所以

所以=离K

8g

所以s=;0M，mi二1标•鼻k=（l?靠]）,

2*1+4左2

s16za32（1+/）16

由面>5'%+"2）（4+左2jV，

7

整理