湖北宜荆荆随恩2024年高二年级下册5月联考数学试题含答案

2024年宜荆荆随恩高二5月联考

高二数学试题

注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准

考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2,选择题的作答:每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写

在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸

和答题卡上的非答题区域均无效。

一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的)

在(2x—1)6的展开式中常数项是()

1.

X

A.1120B.160C.-120D.-160

2.曲线歹=一2必+3》在点(1,1)处的切线方程为()

A.3x+y-4=0B.6x+y-7=0C.3x-y-2=0D.6x-y-5=0

若双曲线直+二=1的离心率为2,则加的值为()

3.

5m

A.-5B.-10C.-15D.-20

4.如图，在三棱锥S-4BC中，点E,尸分别是的中点，点G在E尸上，且满足

GF=2EG,若工=2,而=刃,豆=最，则元=()

己知随机变量X〜N(l,2?),则下列结论垂退的是()

A.£(J!f)=l,D(X)=4

B.若P(X>2)=p,则尸(0<X<l)=；-p

C.尸(X>l)=g

D.若随机变量y满足2x+y=4,则£(y)=o

宜荆荆随恩重点高中教科研协作体*数学试卷(共4页)

6.“四平方和定理”最早由欧拉提出，后被拉格朗日等数学家证明.“四平方和定理”的内容

是：任意正整数都可以表示为不超过四个自然数的平方和，例如正抠数

11=32+12+12+02.设36=/+〃+^+/，其中db,c,d均为自然数，则满足条件的

有序数组（a,b,c、d）的个数是（）

A.26B.28C.29D.30

7.几何学史上有一个著名的米勒问题：”设民尸是锐角NAPB

的一边PA上的两点，试在边PB上找一点Q,使得“QF最

大.”，其结论是：点。为过E,尸两点且和射线PB相切的圆

的切点.根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系X。'

中，给定两点E（2,4）,尸（4,2）,点。在V轴上移动，则

NE0F的最大值为（）

A.30°B.45°C.60°D.135°

8,若存在正实数加满足：fln（/）-me'+r（r+l）N0,则掰的最大值为（）

12…

A.-B.-C.1D.e

ee

二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分）

9.数列｛4｝的前〃项和为S”，已知S“=-〃2+加+i«eR）,贝ij（）

A.对于数列｛4｝均为递减数列B.3/<0,使｛4｝为等差数列

C.对于Vf<0,都有4“<0D.若t=7,则V〃wZ+，都有S.4S,

10.随着毕业季的临近，包含小王和小张的4位同学准备互相送礼物.他们每人准备了一份礼物,

这四份礼物收齐后，每人从中随机抽取一份作为毕业留念，则（）

A.小王和小张恰好互换了礼物的概率为:

B.已知小王抽到小张准备的礼物的条件下，小张抽到小王的礼物的概率为1

3

C.恰有一个人抽到自己准备的礼物的概率为:

D.每个人抽到的礼物都不是自己准备的礼物的概率为。

O

11.已知空间直角坐标系中的四个点/4（0,0,0）,B（0,2,2）,C（3,0,-1）,D（l,2,3）,E,F分别为线

段ZB,CO上的动点，则下列结论正确的是（）

A.三棱锥A-BCD的体积为gB.三极锥A-BCD的外接球表面积为24〃

C.E尸的最小值为柜D.cos48尸的最小值为叵

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三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)

12.已知点42,3),8(3,1),直线x-2y+4=0与y轴相交干点C，则A48C中，45边上的高

CE所在直线的方程站.

13,若函数/(x)=2x+2+31nx在(。,2-3。)内有最小值，则实数。的取值范困是.

X

14.定义离心率是造二1的椭圆为“黄金椭圆”.已知椭例c：±+^=im>2>o)是"黄金

2n2

E(c,O)(c>O),P为椭圆E上异于顶点的任意一点，点M是△/>耳玛的内心，连接尸M并

PQ

延长交耳用于点。，则篇'=.

四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

15.(13分)设函数/(x)=x2+cosx,g(x)=-^—

(1)求/'(X)的单调区间和极值；

jrrr

(2)若/(x)Sg(x)对Vxe［二,彳］恒成立，求m的取值范围.

16.(15分)如图，在四面体P—4BC中，P41平面很。，。是北中点，~BE=XED

(O<A<1),点尸在线段尸C上，且PC=4C尸.尔

(D若EF〃平面NBC,求;I的值：

(2)若A45C是正三角形，AB=PA=4,且DE=2EB,。\\

求平面的与平面4BC夹角的余弦值.\\\=

勺-1为奇数

17,(15分)已知数列｛4｝满足q=1,(+|

勺-2,〃为偶数

⑴记”=%，写出4也，并求数列他｝的通项公式;

(2)求｛%｝的前100项和.

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18,（17分）已知动点P到点尸（1,0）的距离比到直线x=-2的距离小1,设动点尸的轨迹为

曲线C.

（1）求曲线C的轨迹方程：

（2）已知点。（2,0）,过点。作直线/与曲线C交于48两点，连接4尸,8F分别交C于

M,N两点.

①当直线/LB的斜率存在时，设直线48的斜率为匕，直线的斜率为修，试判断

生生是否为定值？若是，求出该定值।若不是，请说明理由；

的

②求A0MN面积的地小值.

19.（17分）某高中学校有室内、室外两个运动场.假设同学们可以任意选择其中一个运动场锻

炼，也可选择不锻炼，一天最多锻炼一次，一次只能选择一个运动场.若同学们每次锻炼选

择去室内、室外运动场的概率均为0.5,每次选择相互独立.设％同学三天内去运动场锻炼

的次数为X，已知X的分布列如下：（其中a>0,0<p<l）

X0123

a

a(l-p)2aa(l-p)

P-p

（1）记事件4表示匠同学三天内去运动场锻炼i次（i=0」,2,3）i事件5表示形同学在这

三天内去室内运动场锻炼的次数大于去室外运动场锻炼的次数.当P=；时，试根据全概率公式

求P（5）的值；

（2）是否存在实数P,使得E（X）=!?若存在，求P的值：若不存在，请说明理由；

（3）记〃表示事件“室外运动场举办集体锻炼活动”，N表示事件"王同学去室外运动

场锻炼”，0〈尸（M）<1.已知力同学在室外运动场举办集体锻炼活动的情况下去室外运动场

锻炼的概率，比不举办集体锻炼活动的情况下去室外运动场锻炼的概率大，试比较尸（MlN）与

P（M|可）的大小，并证明之.

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2024年宜荆荆随恩高二5月联考

数学参考答案

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求

的）

题号12345678

答案DACBDCBA

1.【解析】（2,（-与=-160.

2.【解析】/=-6X2+3,当x=l时，V=—3,故切线方程为y—1=—3(x—1),即3x+y—4=0.

2a1h25-m

3.【解析】因为曲线为双曲线，所以加＜0,故c二=+"=土上=4,所以m=-15.

a'a"5

4.【解析】如图，SG^SE+EG>因为GE=2EG,Ax

所以苑二豆+；说二豆+；(豆-豆)=|•豆+；//''od\

=-&4+-(S5+SC)=-a+-6+-c.

36366B

5.【解析】已知随机变量X〜N(l,22),所以〃=1,52=4,故A成立；因为〃=1,所以尸(X〉l)=；,

故C成立；若P(X>2)=p,则P(0<X41)=尸(14X<2)=尸(X21)-P(X>2)=g-p,故B成立；对

于D答案；随机变量y满足2X+y=4,贝UE（y）=E（4-2X）=4-2E（X）=2/0,故D错误.

6.【解析】满足36=42+/+02+/的自然数见九0,"有四组，分别是：6,0,0,0；5,3,1,1;4,4,2,0；3,3,3,3；

那么有序数组（见"c"）有：Z；+Z：+团+1=29个.

7.【解析】设圆心。坐标为（凡与，则。（04）,圆的方程为（x—。＞+⑶―6）2=

(2-«)2+(4-Z))2=a2a=2a=10

因为£、厂两点在圆上，所以＜解得或<

(4-a)2+(2-Z>)2=a2b=2b=lQ

a=10/\/\

当，s时，NE。尸为劣弧所对角，故舍去.所以。（0,2）,C（2,2）,

=10

所以尸|=4,|0£|二2行,但周二2后，故为等腰直角三角形，所以/£0尸=45。.

宜荆荆随恩重点高中教科研协作体数学答案（共8页）

M4mm

8.【解析】正实数力加满足Hn(—)-冽1+%«+1)20,则ln(—)——d+%+120,

ttt

所以ln(3)+%+l>'dnln(依)+Z+1NJ”，令ln(g+f=x,则x+12e"设f(x)=ex-(x+1)

f(x)=ex-l,/'(x)=Onx=O,易知/(x)在上(-8,0)单调递减，在(0,+功上单调递增，故

即e畔&ln(生)+/+1,又因为lnAzl>ta(>,故

/(x)>/(0)=0,所以1++e

tt

ln(一)+f――,

+t+l=et=1,所以+，=0,所以ln(%)=V,则2=/,则加=,令g«)=

ttee

]_t1

gXt）=—,g'⑺=0n"l,易知g«）在上（—8,1）单调递增，在（1,+q）上单调递减，所以g。）〈一

ee

故加的最小值为L

e

二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对

的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）

题号91011

答案ACDBCABC

t(n-1)

9.【解析】数列｛4｝的前〃项和S“=-n~+tn+1(/eR),贝！］a=

n—2n+1+t(n>2)

因为〃2—%=—3<0,当〃22时，％+i-%=-2<0,故A正确；又因为出一%=-3w%-“2=-2

所以｛%｝不为等差数列，故B错误；因为f<0,所以为=/<0,又因为数列｛%｝均为递减数列，所以都

753

有％<0,故C正确；因为f=7,所以"=一/+7〃+1=-（〃-5）2+彳，因为〃eZ+，有函数性质可知:

S,的最大值为S3或S,，所以SR464=83,故D正确.

10.【解析】对于A,四个人每人从中随机抽取一份共有C：C；C；种抽法，其中小王和小张恰好互换了礼物的

抽法有C；种，故小王和小张恰好互换了礼物的概率为，故A错误；

对于B,设小王抽到的是小张准备的礼物为事件A,则尸6）=■号=:，小张抽到小王准备的礼物为事

C4C3C24

件B,则已知小王抽到的是小张准备的礼物的条件下，小张抽到小王写的贺卡的概率为

1

2（同为=萼"=早=；,故B正确；

P（A）3

4

宜荆荆随恩重点高中教科研协作体数学答案（共8页）

对于C,恰有一个人抽到自己准备的礼物的抽法有C：x2种，故恰有一个人抽到自己准备的礼物的概率为

嬴y=故C正确：

对于D,每个人抽到的礼物都不是自己准备的抽法共有C；x(1+2)=9种，

故每个人抽到的礼物都不是自己写的概率为配23=与=1，故D错误.

C4c3c224o

11.【解析】空间中四个点z(0,0,0),3(0,2,2),C(3,0,—l),Z)(l,2,3)，

所以方=(0,2,2),AC=(3,0,-l),AD=(l,2,3),CD=(-2,2,4),BC=(3,-2,-3),BD=(1,0,1)

对于A,因为就.汨=o，所以就_L石，所以=g,=:・、丽,44=♦分，设平面

―-->—»

一AC-m=3x-z.=0

ZCZ)法向量为优=(西,%，4),贝|JI_，一]，取X1=1,则Z]=3,必=一5,所以

yAD•加=再+2%+3%=0

m=(1,-5,3),

AB-m41I—44

则点5到平面ZCD的距离为：d=^-=n=,所以/_/S=WXJ35XK=W，故A正确；

73557353

对于B,因为就•通=0,所以就1.而，又数•而=0,所以数，而，所以外接球球心为C。中

点，设CD中点球心0(2,1,1),则R=|C%|=逐，所以外接球表面积为5=24万，故B正确；

对于C,瓦/分别为线段上的动点，所以£尸的最小值为异面直线之间的距离，设

,—>——>

—>AB-n-2%+2z?=0

n=(x2,y25z2)为垂直于AB,CD的向量,_>一，取Z?=1,贝lj%=，%I=1，

CD•n=-2X2+2y2+4z2=0

所以3=(1,-1,1)，则就在;;上投影长为"一/[=[=乎，故c正确;

—>

对于D,ZABF的最小值即为直线45与平面5c。所成角的最小值，设平面BCD法向量为t=(x3,y3,z3),

--------->——>

BC-t二3X3-2J3-3Z3=0

取、3=1则?3=-1%=3,所以〃=1),则

BD-Z=x3+z3=0

sinZABF=cos<A8,7>^/r-='所以cosN/HF的最小值为白叵，故D错误.

\AB\-\t\2V2-VHVH11

宜荆荆随恩重点高中教科研协作体数学答案(共8页)

三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）

12.【答案】x-2y+4=0

【解析】直线x—2>+4=0与歹轴交点C（0,2）,45的斜率左=y=-2,所以48边上的高的斜率

左=；,所以CE所在直线方程为x—2>+4=0.

13.【答案】［0,1）

【解析】函数/（x）=2x+9+31nx的定义域为（0,+s）

X

r(x)=2Y+3=2厂+弱5=(2x+5)(x—1),令r(x)=o可得：》=1或x=_*(舍)

xxxx2

所以/（X）在（0,1）上单调递减，在（1,+8）上单调递增，又因为函数/（X）在（见2-3。）内有最小值,

故0<a<l<2—3a,所以。的取值范围是［0,$.

14.【答案】①6+1②垦^

【详解】由椭圆C:二+《=1（〃>2）的离心率为6=由匚,

n22

可得，=2=后=后歹=厂1=*±所以〃=6+1，

如图所示，连接九庄,“，设月的内切圆半径为厂,

则事尸公上+事尸闾用小=SAPFIF?，艮□2（2a+2。）〃=S丛pF、%

|(22c)r

所以』甲山=5板皿=926所以旨”fl+g+c|pg|

22例lx2cr~~~WO\

V5-1所以。=7^=足1。，所以四

因为e=£V5+1,y/5+3

-------+1=--------,

a215-12|A/g|c

四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

15.（13分）

【解析】(1)/'(X)=2%-sinx,令，(x)=/'(x)=2%-sinx,则，(x)=2—cosx••・,1分

宜荆荆随恩重点高中教科研协作体数学答案（共8页）

当xeA时，cosx<1,故，(x)=2—cosx>0,所以/(x)=2x—sinx在及上单调递增；•・2分

又因为/(0)=2x0-sinO=0,所以当xe(-co,0)时/''(x)<0,当xe(0,+oo)时/'(x)>0,

所以，/(x)=x2+cosx的单调递减区间为(-*0),单调递增区间为(0,+8)................5分

所以，/(x)有极小值/(0)=()2+cos0=l,无极大值........6分

(2)因为当xe［工，工］时，/(x)<g(x)恒成立，所以当xe［工，江］时，加之sinx-y(x)恒成立，•7分

6262

令/z(x)=sinx-7(x),所以〃'(x)=cosx•/(1)+sinx•/'(%)................8分

由(1)可知当工£［三,工］时，cosx>0,/(x)>0,sinx>0,/"(x)>0...............10分

62

TTTT

所以/z'(%)=cosx-/(x)+sin%*/'(%)>0,所以〃(x)=sinx-/(x)在［一,一］上单调递增，•••・12分

62

所以=所以加之不

16.（15分）

【解析】（1）如图，取/。中点G,连接GP,

因为。为P/中点，G为4D中点，所以尸Z=4ZG,

PF

又因为PC=4CR,所以——=——，故G尸〃/C,2分

AGCF

6/（2平面45。，/Cu平面45C,故G/〃平面3分

因为斯〃平面且GEPIEE=E,GE,EFu平面GM,

所以平面GEF//平面ABC,4分

又因为GEu平面GEE,故GE〃平面48C,5分

G£u平面48u平面上45rl平面48C,所以GE//48,................6分

G为40的中点，所以E为BZ）的中点，因为获=2前，所以2=1；................7分

（2）如图，取/C,PC中点0,笈，连接OH,则0笈〃尸Z,因为尸幺，平面45C,故。〃，平面/5C,

连接08,由于△45C是正三角形，故O3L/C,8分

以。为坐标原点，以。4。民。”所在直线为x，N，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系。-孙z,则

4（2,0,0）,8仅,2瓶0）,C（—2,0,0）,尸（2,0,4）0（2,0,2）,厂（一1,0,1）,................9分

宜荆荆随恩重点高中教科研协作体数学答案（共8页）

由于。£=2£5,故BE=；BD,则万=卜*理,。,9=(-3,0,1),•••.工分

设平面4EF的法向量拓=(x,y,z),

-_n[44A/32,(国、

则"T•.丁+丁尸丁=°,令x=l,则亢=1，一¥，3，..................12分

[为2尸=0[.3x+z=。I6J

而平面45C的法向量可取为丽=(0,0,1),................13分

1cos”同司-一3_66

设平面4EE与平面上4c的夹角为6，^6[0,-71],所以cos"丽-，+；+J7F.................15分

17.(15分)

an-1为奇数

【解析】(1)由题意知：4=%，又4+i,4-2,〃为偶数且q=1,所以4=。2=。1-1=0•7分

a=%=%—

Z?2=«4=a3-1,a3=a2-2,所以3，所以仇=一3...................3分

因为4+1=。2"+2=。2"+1-1=(。2.—2)—1=出"-3=%-3,所以“+1-〃=-3....................5分

所以，数列也｝是以0为首项，以-3为公差的等差数列，所以，〃=0+(〃-1)x(-3)=3-3〃•・7分

(2)当〃为奇数时，”+1为偶数，则%+]=%—1,%+2=%+]—2,两式相减得：%+2=%-3

〃一]53

因为q=1,所以％=q~1--^―x(—3)=———^9分

当〃为偶数时，〃+1为奇数，则%+1=%-2,%+2=%+1-1，两式相减得：4+2=%一3

9-〃为奇数

n-2322

因为。2=0，所以％=%+《~x(—3)=3，••11分所以：%=<3；・・12分

3-]〃，〃为偶数

l533

以Si。。=(〃]+%+…+”99)+(。2+%+…+〃ioo)=耳x5。~~(1+3+…+99)]+[3x50-(2+4+...+100

533

-x50+3x50--(1+2+3+...+100)=275—x5050=-730(15分

18.(17分)

【解析】(1)由题可知，点尸到点尸的距离与到％=-1的距离相等，

所以曲线。是以尸为焦点，直线x=-1为准线的抛物线，方程为j?=4x.3分

宜荆荆随恩重点高中教科研协作体数学答案(共8页)

（2）①彳，M[彳。[彳,乂）

由题可知48斜率不为0,设4&:1=叩+2,

x=my+2

联立曲线方程并消去X可得＜2:nV9-4叩-8=0,

b=4x

显然A=16加2+32〉0,%+乃=4m,yxy2=-8,5分

/=4x

Z尸：了=^^(1)

联立曲线方程并消去x可得y=（尤-1）=%必一（才一4）y-4%=0

五-1

4"-1

I4

则必,乃是方程的两根，△=[—（y；—4）,+16%〉0,

—4j/i—4-4

所以乃,%=----=-4=>%=—同理乂=——8分

乃乃%

鼠4_4__「%三-8_2

2y1_)i%+”T+z4必+为4mm9分

44%以

因为占=’,所以左2二2左，k、+k?_勺+_J_+2_9

所以11分

m

k\k?k2k[22

\2

-41

42x424

（2）由①知的方程为:y-yny-i——=—

3%m4=—/I