高考数学总复习（基础知识+高频考点+解题训练）二次函数与幂函数

第六节二次函数与帚函数

基础知艰要打牢强双基I固本源I得基础分I掌握程度

1IICHUZHISHIYA

［知识能否忆起］

一、常用鬲函数的图象与性质

又数

特征\

231-1

.y-xy-xy-x片叼y-x

VXVrL

V

图象hx

7T―XTVO%

定义域RRR{x|xN0}{xxWO}

值域R{ppNO}R{y介0}廿二。

奇偶性奇偶奇非奇非偶奇

(-8,0］减(-8,0)和

单调性增增增

(0,+8)增(0,+8)减

公共点(1,1)

二、二次函数

1.二次函数的定义

形如f{x}=ax+bx+c(aWO)的函数叫做二次函数.

2.二次函数解析式的三种形式

(1)一般式：=+bx+c(aNO)；

(2)顶点式：f{x)=a(x-而2+n(a丰0；

(3)零点式：f(x)=((x—矛J(x—刘)(〃W0).

图象

①对称轴：X=-4；②顶点：'_b_4己。-6)

「2夕4a)

特点乙a

定义域xER

4HC-B(4ac-b2~\

值域A,+00叫一8,J

性质奇偶性6=0时为偶函数，6W0时既非奇函数也非偶函数

b'

b~\b

x-8，-用时递减，虻-孤，「8,-利时递增，xG

单调性

-b）时递减

+8时递增-....4-OO

_2厅

［小题能否全取］

1■若Hx）既是鬲函数又是二次函数，则f（x）可以是（）

A.f(x)=/-1B.f(x)=5/

C.f(x)=-YD.f(x)=/

解析：选D形如f（x）=x°的函数是鬲函数，其中a是常数.

1

-3

2.（教材习题改编）设2则使函数y=X"的定义域为R且为奇函数的所有a值为

A.1,3B.-1,1

C,-1,3D.-1,1,3

解析：选A在函数旷=/;y=x,y=\,中，只有函数y=x和了=为3的定义域是R,且是奇

函数，故。=1,3.

3.（教材习题改编）已知函数/'（x）=af+x+5的图象在x轴上方，则a的取值范围是（）

（5>0,|a>0,1

解析：选C由题意知即一0冢0得a通

4.（教材习题改编）已知点梓，3）在褰函数f（x）的图象上，则f（x）的表达式为

解析：设鬲函数的解析式为y=x",贝1］3=手匕得。=-2.故尸尸.

答案：

5.如果函数『(x)=/+(a+2)x+6(xE［a,6］)的图象关于直线x=1对称，则函数『(x)的最小值为

a+2

-----二1rI—4,

解析：由题意知彳21得〃「

,cIZ?=6.

乃+6=2,,

贝uf(x)=/-2^+6=(X-1)2+525.

答案：5

1.鬲函数图象的特点

(1)鬲函数的图象一定会经过第一象限，一定不会经过第四象限，是否经过第二、三象限，要看

函数的奇偶性；

(2)鬲函数的图象最多只能经过两个象限内；

(3)如果鬲函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.

2.与二次函数有关的不等式恒成立问题

fa>0,

(l)a/+fe+c>0,aWO恒成立的充要条件是〃

W-4ac〈0.

fa<0,

(2)a/+bx+c<0,aWO恒成立的充要条件是“/n

b-4ac<0.

L注意］当题目条件中未说明aWO时，就要讨论a=O和aWO两种情况.

后高频考点要通关抓考点|学技法|得拔高分|掌握程度

骞函数的图象与性质

典题导入

［例1］已知骞函数f(x)=(疡-0-1)尸小在(0,+8)上是增函数，贝IJ©=.

［自主解答］•.・函数f(x)=包2-〃-1)/"3是黑函数，

1=1,解得R=2或o=-1.

当必=2时，-5〃-3=-13,函数y=xY在(0,+8)上是减函数；

当加=-1时，-50-3=2,函数y=x?在(0,+8)上是增函数.

.'.m--1.

［答案］-1

由题悟法

1.鬲函数y=x"的图象与性质由于a的值不同而比较复杂，一般从两个方面考查：

(I)。的正负：。〉0时，图象过原点和(1,1),在第一象限的图象上升；时，图象不过原点，在

第一象限的图象下降.

(2)曲线在第一象限的凹凸性：。〉1时，曲线下凸；

0〈。<1时，曲线上凸；吐曲线下凸.

2.在比较骞值的大小时，必须结合骞值的特点，选择适当的函数.借助其单调性进行比较，准确掌

握各个骞函数的图象和性质是解题的关键.

以题试法

1.(1)如图给出4个鬲函数大致的图象，则图象与函数对应正确的是()

A.①y=g,②y=x1(3)y=④尸一

B.①y=x\②尸③y=g,@y=x'

C.①②片总③片弓，(4)y=^1

D.①y=g,②y=g,③y=V④尸x1

解析：选B由图①知，该图象对应的函数为奇函数且定义域为R,当x>0时，图象是向下凸的，结

合选项知选B.

(2)(・淄博模拟)若@<0,则下列不等式成立的是()

A.2a>曲>(0.2)aB.(0.2)”〉&>2a

C.曲〉(0.2)">2aD.2a>(0.2)，〉(；)

解析：选B若a〈0,则鬲函数―在(0,+8)上是减函数，所以(0.2)咱"〉0.所以(0.2)">眇2a.

求二次函数一的解析式

典题导入

［例2］已知二次函数f(x)有两个零点。和-2,且它有最小值-1.

(1)求F(x)解析式；

(2)若g(x)与F(x)图象关于原点对称，求g(x)解析式.

［自主解答］(1)由于f(x)有两个零点。和-2,

所以可设f(x)=ax(x+2)(aNO),

这时f(x)=ax(x+2)=a(x+I)2-a,

由于f(x)有最小值-1,

fa>0,

所以必有।解得a”

［-a=~1,

因此f(x)的解析式是f(x)=x(x+2)=x+2x.

(2)设点—(x,力是函数g(x)图象上任一点，它关于原点对称的点*(-工-0必在/1(x)图象上，

所以-.y=(-x)°+2(-x),

即-y=I-2x,

y=-x+2x,

故g(x)=-Y+2x.

由题悟法

求二次函数的解析式常用待定系数法.合理选择解析式的形式，并根据已知条件正确地列出含有待定

系数的等式，把问题转化为方程(组)求解是解决此类问题的基本方法.

以题试法

2.设/(没是定义在R上的偶函数,当0WW2时,y=x,当x>2时，y=F(x)的图象是顶点为尸(3,4),

且过点A(2,2)的抛物线的一部分.

⑴求函数/U)在(-8,-2)上的解析式；

(2)在下面的直角坐标系中直接画出函数/'(x)的草图；

(3)写出函数f(x)的值域.

解:⑴设顶点为尸(为4)且过点4(2,2)的抛物线的方程为y=a(x-3尸+4,将⑵2)代入可得@=-2,

则尸-2(x-32+4,

即x>2时，f(x)=-2/+12x-14.

当水-2时，即-x>2.

又/U)为偶函数，f(x)=F(-x)=-2X(-x)J12x-14,

即f(x)=-27-12x-14.

所以函数/<x)在(-8,-2)上的解析式为

f{x)=-2x-12x-14.

⑵函数f(x)的图象如图,

(3)由图象可知,函数F(x)的值域为(-8,4］.

二次函数的图象与性质

典题导入

［例3］已知函数/'(x)=V+2ax+3,xC［-4,6］.

⑴当a=-2时,求f(x)的最值；

(2)求实数a的取值范围，使y=f(x)在区间［-4,6］上是单调函数.

［自主解答］(1)当a=-2时，f(x)=f-4x+3=(x-2)z-l,由于xd［-4,6］.

所以f(x)在［-4,2］上单调递减，在［2,6］上单调递增，

故f(x)的最小值是『(2)=-1,又/(-4)=35,『(6)=15,故f(x)的最大值是35.

(2)由于函数f(x)的图象开口向上，对称轴是了二-a,所以要使f(x)在［-4,6］上是单调函数，应有

-aW-4或-a26,即aW-6或a24.

故a的取值范围为(-8,-6］U［4,+8).

»>一题多变

本例条件不变，求当口=1时，f(W)的单调区间.

解：当a=l时，f(x)=/+2^+3,

则=D+21T+3,此时定义域为xC［-6,6］,

/+2x+3,xE0,6],

且f(x)=

x'-2x+3,xE[-6,0],

故/■(|x|)的单调递增区间是(0,6],

单调递戒区间是[-6,0].

由题悟法

解决二次函数图象与性质问题时要注意：

(1)抛物线的开口，对称轴位置，定义区间三者相互制约.，常见的题型中这三者有两定一不定，要注

意分类讨论.

(2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上二次函数最值问题的求法.

以题试法

3.(-泰安调研)已知函数f(x)=-f+2ax+1-a在xG[0,1]时有最大值2,则a的值为.

解析:-=-(x-a)2+a2-a+1,

当a>l时，jtx=a；

当OWaWl时，=a-a+\；

当a<0时，=1-a.

fa>l,OWaWl,fa<0,

根据已知条件°a2-a+1=2或11-a=2,

(a=2

解得a=2或a=-1.

答案：2或-1

二次函数的综合问题

*«■

典题导入

［例4］(•衡水月考)已知函数F(x)=x\g(x)=x-L

⑴若存在xGR使g(x),求实数b的取值范围；

⑵设6(x)=f(x)-侬(x)+1-0-而且|在［0,1］上单调递增，求实数0的取值范围.

［自主解答］(1/xCR,f(x)<的<x)今mxER,

-bx+ZKO=>(-6)°-4Z)>0=>ZKO或Z?>4.

故6的取值范围为(-8,o)U(4,+8),

(2)6(x)=x-mx+1-m,

A=-4(1-a)=5a-4.

①当4WO,即时，

m

尹0,

n一明辰0.

则必需q

5

00

②当/〉0,即冰-设方程/(X)=0的根为X1,苞(X1〈X2).

若券1,则xWO,

=/22;

F0=1-着W0

若穿0,则至W0,

m_l

产。，2

即产=>-1・辰-管亚.

F0=1-3

综上所述，0的取值范围为［-1,0］U［2,+8).

由题悟法

二次函数与二次方程、二次不等式统称“三个二次”，它们之间有着密切的联系，而二次函数又是“三

个二次”的核心，通过二次函数的图象贯穿为一体.因此，有关“三个二次”的问题，数形结合，密切联

系图象是探求解题思路的有效方法.

以题试法

4,若二次函数F(x)=aY+bx+c(aWO)满足f(x+1)-f{x)=2x,且Z(0)=1.

(1)求Ax)的解析式；

(2)若在区间［-1,1］上，不等式/"(x)>2x+/恒成立，求实数力的取值范围.

解：⑴由『(0)=1,得c=1.即/(x)=ax2+6x+1.

又/'(x+1)-F(x)=2x,

则a(x+1)2+b(x+1)+1-{ax+bx+1)=2x,

即2ax+a+b-2x,

12a=2,1,

所以An解得L1

［乃+6=0,［b=-1.

因此,

(2)〃入)>2丫+勿等价于？一万+1>2万+力，即/_3x+l-m>0,要使此不等式在［-1,1］上恒成立，只需

使函数g(x)-3x+l-勿在［-1,1］上的最小值大于0即可.

:g(x)=Y-3x+1-勿在［T,1］上单调递减，

，g(x)m=g(l)=~m-1,

由-〃-1>0得，欣-1.

因此满足条件的实数"的取值范围是(-8,-J).

用।解S3UII练要离吗—抓速度|抓规范|拒绝眼高手低|掌握程度

4级全员必做题

1,已知鬲函数F(x)=/的部分对应值如下表：

1

X1

2

亚

f(外1

2

则不等式/•(|x|)W2的解集是(

A.{x\0〈xW/jB.{x|0WK4}

C.{x|-小WxW艰}D.{x|-4WxW4}

解

选

析D

即/1(㈤=叼,故/1(|x|)W2=>|x|,W2=>|x|W4,故其解集为{x|

—4WxW4}.

2.已知函数y=ax2+6x+c,如果a〉6〉c且a+6+c=0,则它的图象可能是(

解析：选Da>b>c,且a+6+c=0,

a>0,氏0.，图象开口向上与y轴交于负半轴.

3.已知/tx)=g,若0〈以丛1,则下列各式中正确的是()

D•〈"历

解析：选C因为函数/'(x)='在(0,+8)上是增函数，又0〈a〈尾〈：故f(a)<f(6)〈(%d.

4.已知f(x)=V+6x+c且f(-l)=f(3),则()

A.A-3)〈次年)B.£)〈c〈f(-3)

C.周〈广(-3)〈cD.c〈g)<f(-3)

解析：选D由已知可得二次函数图象关于直线x=1对称，则r(-3)=f(5),c=f(0)=f(2),二次

函数在区间(1,+8)上单调递增，故有f(-3)=f(5)〉g|>A2)=f(0)=c.

5.设二次函数f(x)=ax?-2ax+c在区间[0,1]上单调递减，且/'(R)W『(0),则实数/的取值范围是

()

A.(-8,o]B.[2,+8)

C.(-oo,0]U[2,+oo)D.[0,2]

解析：选D二次函数/'(x)=ax?-2ax+c在区间[0,1]上单调递减，则aWO,f(x)=2a(x-l)WO,

xE[0,1],

所以a〉0,即函数图象的开口向上，对称轴是直线x=L

所以r(o)=A2),则当f®Wf(O)时,有0W辰2.

6.若方程/-2%+4=0的两根满足一根大于1,一根小于1,则小的取值范围是()

A.(一8TB.|J+8)

C.(--2)U(2,+8)D.+8)

5

解析：选B设f(x)=/-2〃x+4,则题设条件等价于f⑴<0,即1-2卬+4<0,解得ni>~

7.对于函数y=x；y=g有下列说法：

①两个函数都是鬲函数；

②两个函数在第一象限内都单调递增；

③它们的图象关于直线F=x对称；

④两个函数都是偶函数；

⑤两个函数都经过点@0).(1,1);

⑥两个函数的图象都是抛物线型.

其中正确的有一

解析：从两个函数的定义域、奇偶性、单调性等性质去进-行比较.

答案：①②⑤⑥

8.(•北京西城二模)已知函数?5)=/+及+1是R上的偶函数，则实数6=不等式/(X

-1)<X的解集为.

解析：因为Mx)=V+6x+l是R上的偶函数，所以6=0,则f(x)=^+l,解不等式(x-l)2+l〈x,

即x~3x+2〈0得l〈x〈2.

答案：0{x|l〈K2}

9.若x»0,y20,且x+2y=l,那么2x+3〃的最小值为.

解析：由x20,y20,x=1-2y20知

令t=2^+3y=3y-4y+2,

则

-

1

o-13

>2

在-上递感当y=］时，r取到最小值，tain=-

答案：|

13

10.如果褰函数f(x)=x-5P°+p+5(0EZ)是偶函数，且在(0,+8)上是增函数.求0的值，并写

出相应的函数/<X)的解析式.

解：,.•/■(X)在(0,+8)上是增函数,

/+〃+g>0,即/-20-3<0.

-l<p<3.

又•.•『(X)是偶函数且PGZ,

-'-P=i,故f(x)=x2.

11.已知二次函数f(x)的图象过点2(-1,0)、庾3,0)、(7(1,-8).

(1)求F(x)的解析式；

(2)求/'(x)在xE［0,3］上的最值；

(3)求不等式/U)》0的解集.

解：⑴由题意可设f(x)=a(x+1)(x-3),

将C(l,-8)代入得-8=a(l+l)(l-3),得a=2.

即f(x)=2(x+1)(x-3)=2x-4x-6.

⑵f(x)=2-1)2-8,

当xE［0,3］时，由二次函数图象知,

F(X)min=H1)=1-8,f{X)max=/(3)=0.

(3)广(x)20的解集为{x|%W-1,或x23}.

12.已知函数f{x)=ax-2ax+2+b(a丰0),若F(x)在区间⑵3］上有最大值5,最小值2.

(1)求a,6的值；

(2)若从1,g(x)=F(x)-刃・x在⑵4］上单调求〃的取值范围.

解：(l)/*(x)=a(x—l)2+2+6-a

当於0时，广(x)在⑵3］上为增函数,

jf3=5,J9a-6a+2+6=5,J<3=1,

故2=2,［4a-4a+2+Z)=2,=［6=0.

当a<0时，f(x)在［2,3］上为减函数,

(f3=2,(9a-6a+2+b-2,{a--1,

故［f2=5,［拈-4a+2+6=5,［/?=3.

(2),/Z?<1,.,.5=1,b=0,BPf^x)=x-2x+2.

g(x)=殳-2x+2-mx-x-(2+血x+2,

•••g(x)在⑵4］上单调,

2+力勿+2

丁..一客或一2-三4..W2或勿26.

B级重点选做题

1

2-

「已知y=f(x)是偶函数，当X〉O时，f(x)=(x-l)2,若当xG--2时，nWf(x)Ws恒成立,

贝1J/一刀的最小值为()

11

A.~B.~

o乙

3

.C.-D,1

解析：选D当X0时，-x>0,f(x)=f(-x)=(x+1广

1-

2

XE2--

-

f\X)min=1)=0,f\X)max=/(-2)=1,

〃W0,m-ri^\.

2.(•青岛质检)设F(x)与g(x)是定义在同一区间［a,加上的两个函数，若函数P=/<x)-g(x)在x

G［a,⑸上有两个不同的零点，则称Hx)和g(x)在［a,6］上是“关联函数”，区间［a,6］称为“关联区

间”.若f(x)=f-3x+4与g(x)=2x+0在［0,3］上是“关联函数”，则0的取值范围为…一

解析：由题意知，y=f(x)-g(x)=系-5才+4-7在［0,3］上有两个不同的零点.在

同一坐标系下作出函数/=/与y=Y-5X+4(XE［0,3］)的图象如图所示,结合图象可

知，当xE［2,3］时，y=x、5x+4E［-不-21,故当仁一不-2」时,函数y=地与

y=x2-5x+4(xE［0,3］)的图象有两个交点.

答案：(一|,-2

3.(,滨州模拟)已知函数f(x)=ax?+bx+c(a〉0,6ER,cER).

x,x>0,

⑴若函数f(x)的最小值是/1(-I)=0,且c=l,户(x)=<求尺2)+/(-2)的值；

x,X0,

(2)若a=l,c=0,且"(x)*l在区间(0,1］上恒成立，试求6的取值范围.

解：(1)由已知得c=1,a-b+c=0,--^-=-1,

乙a

解得a=l,6=2.则『(工)=(了+1)2.

x+12,x>0,

则尸(x)=

-x+11X0.

故—(2)+X-2)=(2+l)2