人教版七年级数学下册《不等式（第3课时）》示范教学设计

不等式（第3课时）教学目标1．能用不等式的性质对不等式进行变形，会用不等式的性质解决简单的实际问题．2．进一步了解不等式的概念，知道含“≤”“≥”的不等式，并会在数轴上表示不等式的解集．3．经历在数轴上表示不等式的解集的过程，发展文字语言、符号语言与图形语言之间的转化能力；通过不等式的性质对不等式进行变形，体会类比和化归的思想．教学重点会用不等式的性质解简单不等式．教学难点会用不等式解决简单的实际问题．教学过程知识回顾不等式有哪些性质？你能分别用文字语言和符号语言表示吗？【师生活动】学生独立思考作答．【答案】不等式的性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．符号语言：如果a＞b，那么a±c＞b±c．不等式的性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．符号语言：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc．不等式的性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．符号语言：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc．【设计意图】复习不等式的性质，巩固基础，建立新旧知识之间的联系，为本节课学习“不等式的性质的应用”做准备．新知探究一、探究学习【问题】利用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示解集：（1）x－7＞26； （2）3x＜2x＋1；（3）x＞50； （4）－4x＞3．【师生活动】教师提示：解不等式，就是要借助不等式的性质使不等式逐步化为x＞a或x＜a（a为常数）的形式．学生根据提示，小组讨论，完成第（1）题，教师讲评后独立完成（2）（3）（4）题．【答案】解：（1）根据不等式的性质1，不等式两边都加7，不等号的方向不变，所以x－7＋7＞26＋7，x＞33．这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示．（2）根据不等式的性质1，不等式两边都减2x，不等号的方向不变，所以3x－2x＜2x＋1－2x，x＜1．这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示．（3）根据不等式的性质2，不等式两边都乘，不等号的方向不变，所以×x＞×50，x＞75．这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示．（4）根据不等式的性质3，不等式两边都除以－4，不等号的方向改变，所以＜，x＜．这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示．【归纳】利用不等式的性质1可简化为“移项”；利用不等式的性质2或性质3就是把未知数的系数化为1，要注意不等式两边乘（或除以）同一个负数时，不等号要改变方向，常数项的符号也要改变．【设计意图】通过具体的例子，让学生巩固不等式的性质，学会利用不等式的性质对不等式进行变形，能解简单的不等式．【问题】（1）一辆轿车在一条规定车速不低于60km/h，且不高于100km/h的高速公路上行驶，如何用式子来表示轿车在该高速公路上行驶的路程s（单位：km）与行驶时间x（单位：h）之间的关系呢？（2）铁路部门对随身携带的行李有如下规定：每件行李的长、宽、高之和不得超过160cm．设行李的长、宽、高分别为acm，bcm，ccm，请你列出行李的长、宽、高满足的关系式．【师生活动】学生小组讨论，完成作答，教师根据作答情况进行补充指导．【答案】（1）根据路程与速度、时间之间的关系可得：s≥60x，且s≤100x．（2）根据题意可得：a＋b＋c≤160，且a＋b＋c＞0．【思考】观察式子：s≥60x，s≤100x，a＋b＋c≤160．它们有什么共同特点？【师生活动】学生自由发言，教师补充总结．【新知】像a≥b或a≤b这样的式子，也经常用来表示两个数量的大小关系．符号“≥”读作“大于或等于”，也可说是“不小于”；符号“≤”读作“小于或等于”，也可说是“不大于”．【思考】符号“≥”与“＞”的意思有什么区别？“≤”与“＜”呢？【师生活动】学生小组讨论，得出答案，师生一起总结．【归纳】x≥a表示x＞a或者x＝a；x≤a表示x＜a或者x＝a．“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层等于的含义．此外a≥b或a≤b形式的式子，具有与前面所说的不等式的性质类似的性质．如果a≥b，那么（1）a＋c≥b＋c，a－c≥b－c；（2）ac≥bc（c＞0）；（3）ac≤bc（c＜0）．【设计意图】通过两个具体的实际问题，引导学生从实际问题抽象出不等式模型，初步理解含“≤”“≥”的不等式的概念．【问题】如何在数轴上表示x＜－1与x≥3？【师生活动】教师提示：在数轴上表示不等式的解集时，无等号的画空心圆圈，有等号的画实心圆点．学生根据提示，小组讨论作答．【答案】如图所示．【归纳】在应用数轴表示不等式的解集时，要注意两个“确定”：一是确定“边界点”，二是确定“方向”．（1）确定“边界点”：若边界点是不等式的解，则用实心圆点；若边界点不是不等式的解，则用空心圆圈．（2）确定“方向”：对边界点a而言，x＞a或x≥a向右画，x＜a或x≤a向左画．【设计意图】通过两个具体的问题，引导学生总结在数轴上表示不等式的解集的方法．【问题】某长方体形状的容器长5cm，宽3cm，高10cm．容器内原有水的高度为3cm，现准备向它继续注水．用V（单位：cm3）表示新注入水的体积，写出V的取值范围．【师生活动】学生小组讨论，尝试总结，教师进行讲解总结．【答案】解：新注入水的体积V与原有水的体积的和不能超过容器的容积，即V＋3×5×3≤3×5×10，解得V≤105．又由于新注入水的体积不能是负数，因此，V的取值范围是V≥0并且V≤105．在数轴上表示V的取值范围如图所示．【设计意图】通过解决一个具体的问题，帮助学生学会用不等式解决简单的实际问题．二、典例精讲【例1】用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示解集：（1）x＋5≥12；（2）－3x≤1－4x．【师生活动】学生独立完成，请两名学生代表板演，教师讲评．【答案】解：（1）根据不等式的性质1，不等式两边都减5，不等号的方向不变，所以x＋5－5≥12－5，x≥7．这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示．（2）根据不等式的性质1，不等式两边都加4x，不等号的方向不变，所以－3x＋4x≤1－4x＋4x，x≤1．这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示．【归纳】（1）在运用不等式的性质将不等式变形时，首先要注意每一步变形的依据，然后由不等式的性质判断不等号的方向是否改变；（2）在数轴上表示不等式的解集，定边界点时，要注意是实心圆点还是空心圆圈．【设计意图】借助例1，巩固学生对利用不等式的性质解不等式的掌握．【例2】某品牌服装2022年1月份的售价是每件a元，3月份的售价上涨10％，6月份又比3月份下降10％．（1）用含有a的式子分别表示该品牌服装3月份和6月份的售价；（2）几月份去购买该品牌服装最便宜？为什么？【师生活动】学生独立思考完成，教师讲评．【答案】解：（1）该品牌服装3月份的售价为每件(1＋10％)a＝1.1a（元），6月份的售价为每件(1－10％)×1.1a＝0.99a（元）；（2）6月份去购买该品牌服装最便宜．因为0.99＜1＜1.1，且a＞0，所以0.99a＜a＜1.1a