2.4 线段、角的轴对称性 第2课时 苏科版数学八年级上册课件

2.4线段、角的轴对称性知识点3

角平分线的性质如图2－23，OC是∠AOB

的平分线，如果把∠1沿OC

翻折，因为∠1＝∠2，所以射线OA

与射线OB

重合.角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴.操作在∠AOB

的平分线上任意取一点P，分别画点P到OA和OB

的垂线段PC和PD(如图2－24)，PC与PD

相等吗?我们可以运用图形运动的方法，利用角的轴对称性，证明PC＝PD.把图2－24中的△POC

沿OP

翻折(如图2－25)，因为∠AOP＝∠BOP，所以OA与OB

重合，因为PC⊥OA，PD⊥OB，依据基本事实“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”，可知PC

与PD

重合，所以PC＝PD.于是，我们得到如下定理：角平分线上的点到角两边的距离相等.讨论如果一个点在一个角的平分线上，那么这个点到这个角的两边距离相等；

反过来，如果一个点到一个角的两边的距离相等，那么这个点在这个角的平分线上吗?如图2－26，点Q在∠AOB

内且QC⊥OA，QD⊥OB，垂足分别为C、D，QC＝QD，作射线OQ.

因为∠QCO＝∠QDO＝90°，QC

＝QD，OQ＝OQ，所以Rt△QCO≌Rt△QDO.

于是∠AOQ＝∠BOQ，即点Q在∠AOB

的平分线上.于是，我们得到如下定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.几何语言如图，∵OP平分∠AOB，PD⊥OA

于点D，PE⊥OB

于点E，∴PD＝PE.线段垂直平分线的性质与角平分线的性质的比较相同点：两者都可以直接得到两条线段相等；不同点：前者指的是点到点的距离，后者指的是点

到线的距离.1.角平分线的性质是由两个条件(角平分线、垂线)得到一个结论(线段相等).2.利用角平分线的性质证明线段相等时，证明的线段是“垂直于角两边的线段”而不是“垂直于角平分线的线段”.特别提醒练3如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC

交AC

于点D.若CD＝6，则点D到AB的距离为___________．6运用角平分线的性质解决问题时，条件中必须有角平分线的性质的模型(即角平分线＋两垂直)，若缺少某个部分，则通过作辅助线补充完整，才能运用此性质解决问题.

方法点拨解：如图，过点D

作DE⊥AB，垂足为E．∵∠C＝90°，

∴DC⊥BC.又∵BD

平分∠ABC，

∴DE＝CD＝6，即点D

到AB

的距离为6．练习利用网格画图：(1)在BC上找一点P，使点

P到AB和AC

的距离相等；(2)在射线AP

上找一点Q，使QB＝QC.解：如图所示(1)画出∠BAC

的角平分线交线段BC

于点P，即为所求.(2)画线段BC的垂直平分线交射线AP于点Q即为所求.知识点4

角平分线的判定交流在△ABC

中，用直尺和圆规分别作角平分线AD、BE，AD、BE

相交于点P，再作∠C的平分线，你有什么发现?∠C的平分线过点P.判定角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.几何语言如图，∵P为∠AOB

内一点，PD⊥OA，

PE⊥OB，垂足分别为D、E，

且PD＝PE，∴点P在∠AOB

的平分线OC

上.角平分线的判定定理与性质定理的关系

三角形三个内角的平分线交于一点且这点到三边的距离相等.拓展特别提醒1.使用该判定定理的前提是这个点必须在角的内部.2.角平分线的判定是由两个条件(垂线，线段相等)得到一个结论(角平分线).3.角平分线的判定定理是证明两角相等的重要依据，它比利用三角形全等证两角相等更方便快捷.例2已知：如图，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P.求证：点P在∠C的平分线上.证明：过点P作PF⊥AB、PM⊥BC、PN⊥AC，

垂足分别为F、M、N.∵AD平分∠BAC，点P在AD上.∴PF＝PN

(角平分线上的点到角两边的距离相等).同理PF＝PM.∴PM＝PN.∴点P在∠C的平分线上(角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上)例3已知：如图，AD是△ABC

的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F.

求证：AD垂直平分EF.思考与表述要证AD

垂直平分EF，只要证DE＝DF，AE＝AF.已知∠1＝∠2，DE⊥AB，DF⊥AC，只要证∠3＝∠4.怎么想怎么写证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∠1＝∠2，∴∠3＝∠4，∴DE＝DF，AE＝AF

(角平分线上的点到角两边的距离相等).∴点D、A在EF

的垂直平分线上(到线段两端距离相等的点在线

段的垂直平分线上).∴AD

垂直平分EF.如图，BE＝CF，BF⊥AC于点F，CE⊥AB

于点E，BF

和CE

交于点D，连接AD.求证：AD平分∠BAC.练4证明角平分线的方法:

1.从数量上证明被要证的线分成的两个角相等.2.从形上证明角的内部的点到角两边的距离相等，即只需从要证的线上的某一点向角的两边作垂线段，再证明垂线段相等即可．这样把证“某线是角的平分线”的问题转化为证“垂线段相等”的问题，体现了转化思想.

方法点拨证明：∵BF⊥AC，CE⊥AB，∴∠DEB＝∠DFC＝90°.在△BDE

和△CDF

中，∠BDE＝∠CDF，∠DEB＝∠DFC，BE＝CF，∴△BDE≌△CDF.∴DE＝DF.又∵DF⊥AC，DE⊥AB，∴点D在∠BAC

的平分线上，即AD平分∠BAC.练习在一张纸上画△ABC

及其两个外角(如图).(1)用折纸的方法分别折出∠BAD

和∠ABE的平分线，设两条折痕的交点为O；O(2)用直尺和圆规作∠ACB

的平分线CF.点O在射线CF

上吗?证明你的结论.点O在射线CF上.证明如下：分别过点O作OM⊥CD，OP⊥AB，ON⊥CE，垂足分别为

M，P，N.∵AO是∠BAD的平分线，OM⊥CD，OP⊥AB，∴OM＝OP(角平分线上