2024年华师大版八年级下册数学知识点总结

八年级华師大版数學（下）第16章分式§16.1分式及基本性质一、分式的概念1、分式的定义：假如A、B表达两個整式，并且B中具有字母，那么式子叫做分式。2、對于分式概念的理解，应把握如下几點：（1）分式是两個整式相除的商。其中分子是被除式，分母是除式，分数线起除号和括号的作用；（2）分式的分子可以具有字母，也可以不含字母，但分式的分母一定要具有字母才是分式；（3）分母不能為零。3、分式故意义、無意义的条件（1）分式故意义的条件：分式的分母不等于0；（2）分式無意义的条件：分式的分母等于0。4、分式的值為0的条件：當分式的分子等于0，而分母不等于0時，分式的值為0。即，使=0的条件是：A=0，B≠0。5、有理式整式和分式统称為有理式。整式分為單项式和多项式。分类：有理式單项式：由数与字母的乘积构成的代数式；多项式：由几种單项式的和构成的代数式。二、分式的基本性质1、分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一种不等于零的整式，分式的值不变。用式子表达為：eq\f(A,B)=eq\f(A·M,B·M)=eq\f(A÷M,B÷M)，其中M（M≠0）為整式。2、通分：运用分式的基本性质，使分子和分母都乘以合适的整式，不变化分式的值，把几种异分母分式化成同分母的分式，這样的分式变形叫做分式的通分。通分的关键是：确定几种分式的最简公分母。确定最简公分母的一般措施是：（1）假如各分母都是單项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数、相似字母的最高次幂、所有不一样字母及指数的积。（2）假如各分母中有多项式，就先把分母是多项式的分解因式，再参照單项式求最简公分母的措施，從系数、相似因式、不一样因式三個方面去确定。3、约分：根据分式的基本性质，约去分式的分子和分母的公因式，不变化分式的值，這样的分式变形叫做分式的约分。在约分時要注意：（1）假如分子、分母都是單项式，那么可直接约去分子、分母的公因式，即约去分子、分母系数的最大公约数，相似字母的最低次幂；（2）假如分子、分母中至少有一种多项式就应先分解因式，然後找出它們的公因式再约分；（3）约分一定要把公因式约完。三、分式的符号法则：（1）eq\f(－a,b)=eq\f(a,-b)=－eq\f(a,b)；（2）eq\f(-a,-b)=eq\f(a,b)；（3）－eq\f(-a,-b)=eq\f(a,b)§16.2分式的运算一、分式的乘除法1、法则：（1）乘法法则：分式乘分式，用分子的积作為积的分子，分母的积作為积的分母。（意思就是，分式相乘，分子与分子相乘，分母与分母相乘）。用式子表达：（2）除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置後，再与被除式相乘。用式子表达：2、应使用方法则時要注意：（1）分式中的符号法则与有理数乘除法中的符号法则相似，即“同号得正，异号得负，多种负号出現看個数，奇负偶正”；（2）當分子分母是多项式時，应先進行因式分解，以便约分；（3）分式乘除法的成果要化简到最简的形式。二、分式的乘方1、法则：根据乘方的意义和分式乘法法则，分式的乘方就是把将分子、分母分别乘方，然後再相除。用式子表达：（其中n為正整数，a≠0）2、注意事项：（1）乘方時，一定要把分式加上括号；（2）在一种算式中同步具有乘方、乘法、除法時，应先算乘方，再算乘除，有多项式時应先因式分解，再约分；（3）最终成果要化到最简。三、分式的加減法（一）同分母分式的加減法1、法则：同分母分式相加減，分母不变，把分子相加減。用式子表达：2、注意事项：（1）“分子相加減”是所有的“分子的整体”相加減，各個分子都应有括号；當分子是單项式時括号可以省略，但分母是多项式時，括号不能省略；（2）分式加減运算的成果必须化成最简分式或整式。（二）异分母分式的加減法1、法则：异分母分式相加減，先通分，转化為同分母分式後，再加減。用式子表达：。2、注意事项：（1）在异分母分式加減法中，要先通分，這是关键，把异分母分式的加減法变成同分母分式的加減法。（2）若分式加減运算中具有整式，应视其分母為1，然後進行通分。（3）當分子的次数高于或等于分母的次数時，应将其分离為整式与真分式之和的形式参与运算，可使运算简便。四、分式的混合运算1、运算规则：分式的加、減、乘、除、乘方混合运算，先乘方，再乘除，最终算加減。碰到括号時，要先算括号裏面的。2、注意事项：（1）分式的混合运算关键是弄清运算次序；（2）有理数的运算次序和运算规律對分式运算同样合用，要灵活运用互换律、結合律和分派律；（3）分式运算成果必须化到最简，能约分的要约分，保证运算成果是最简分式或整式。§16.3可化為一元一次方程的分式方程一、分式方程基本概念1、定义：方程中具有分式，并且分母中具有未知数的方程叫做分式方程。2、理解分式方程要明确两點：（1）方程中具有分式；（2）分式的分母具有未知数。分式方程与整式方程最大区别就在于分母中与否具有未知数。二、分式方程的解法1、解分式方程的基本思想：化分式方程為整式方程。途径：“去分母”。措施是：方程两边都乘以各分式的最简公分母，约去分母，化為整式方程求解。2、解分式方程的一般环节：（1）去分母。即在方程两边都乘以各分式的最简公分母，约去分母，把原分式方程化為整式方程；（2）解這個整式方程；（3）验根。验根措施：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于0的根是原分式方程的根，使最简公分母為0的根是原分式方程的增根，必须舍去。這种验根措施不能检查解方程過程中出現的计算錯误，還可以采用另一种验根措施，即把求得的未知数的值代入原方程進行检查，這种措施可以发現解方程過程中有無计算錯误。3、分式方程的增根。意义是：把分式方程化為整式方程後，解出的整式方程的根有時只是這個整式的方程的根而不是原分式方程的根，這种根就是增根，因此，解分式方程必须验根。三、分式方程的应用1、意义：分式方程的应用就是列分式方程解应用題，它和列一元一次方程解应用題的措施、环节、解題思绪基本相似，不一样的是，由于有了分式概念，所列代数式的关系不再受整式的限制，列出的方程具有分式，且分母具有未知数，解出方程的解後還要進行检查。2、列分式方程解应用題的一般环节如下：（1）审題。理解題意，弄清已知条件和未知量；（2）设未知数。合理的设未知数表达某一种未知量，有直接设法和间接设法两种；（3）找出題目中的等量关系，写出等式；（4）用含已知量和未知数的代数式来表达等式两边的語句，列出方程；（5）解方程。求出未知数的值；（6）检查。不仅要检查所求未知数的值与否為原方程的根，還要检查未知数的值与否符合題目的实际意。“双重验根”。§16.4零指数幂与负整数指数幂一、零指数幂1、定义：任何不等于零的实数的零次幂都等于1，即a0=1（a≠0）。2、尤其注意：零的零次幂無意义。即00無意义。若問當x=_____時，(x-2)0故意义。答案是：x≠2。（2）按照定义分為：二、负整数指数幂1、定义：任何不等于的数的-n（n為正整数）次幂，都等于這個数的n次幂的倒数，即a-n=（a≠0，n為正整数）2、注意事项：（1）负整数指数幂成立的条件是底数不為0；（2）正整数指数幂的所有运算法则均合用于负整式指数幂，即指数幂的运算可以扩大到整数指数幂范围；（3）要防止像5-2=-2×5=-10的錯误，對的算法是：。三、用科學计数法表达绝對值不不小于1的数1、规则：绝對值不不小于1的数，运用10的负整式指数幂，把它表到达a×10-n（n為正整数），其中1≤|a|＜10。2、注意事项：（1）n為该数左边第一种非零数字前所有0的個数（包括小数點前的那個零）。如-0.00021=-2.1×10-4（2）注意数的符号的变化，在数前面有负号的，其成果也要写符号。（3）写科學记数法的关键的是确定10n的指数n的值。第17章函数及其图象§17.1变量与函数一、变量与常量1、变量：在某一变化過程中，可以取不一样的数值，级数值发生变化的量，叫做变量。常量：在某一变化過程中，取值（数值）一直保持不变的量，叫做常量。2、注意事项：（1）常量和变量是相對的，在不一样的研究過程中有些是可以互相转化的；（2）离開详细的過程抽象地說一种量是常量還是变量是不容許的；（3）在多种有关变量、常量的例子中，变量之间有一定的依赖关系。如三角形的面积，當底边一定期，高与面积之间是有关联的，不是各自随意变化。二、函数概念1、定义：在某個变化過程中，假如有两個变量x和y，對于x的每一种确定的值，y均有唯一的值与其對应，那么，我們就說y是x的函数，其中x叫做自变量，y叫做因变量。2、對函数概念的理解，重要抓住三點：（1）有两個变量；（2）一种变量的数值随另一种变量的数值的变化而变化；（3）自变量每确定一种值，因变量就有一种并且只有一种值与其對应。三、函数的表达法：（1）列表法；（2）图象法；（3）解析法。四、求函数自变量的取值范围1．实际問題中的自变量取值范围按照实际問題与否故意义的规定来求。2．用数學式子表达的函数的自变量取值范围例1．求下列函数中自变量x的取值范围(1)解析式為整式的，x取全体实数；(2)解析式為分式的，分母必须不等于0式子才故意义；(3)解析式的是二次根式的被開方数必须是非负数式子才故意义；(4)解析式是三次方根的，自变量的取值范围是全体实数。3．函数值：指自变量取一种数值代入解析式求出的数值，称為函数值；实际上就是此前學的求代数式的值。§17.2函数的图象一、平面直角坐標系1、定义：平面内画两条互相垂直且有公共原點的数轴，就构成了平面直角坐標系。其中水平的数轴叫做横轴（或x轴），取向右為正方向；竖直的数轴叫做纵轴（y轴），取向上為正方向；两轴的交點O叫做原點。在平面内，原點的右边為正，左边為负，原點的上边為正，下边為负。2、坐標平面内被x轴、y轴分割成四個部分，按照“逆時针方向”分别為第一象限、第二象限、第三象限、第四象限注意：x轴、y轴原點不属于任何象限。3、平面直角坐標系中的點分别向x轴、y轴作垂线段，在x轴上垂足所显示的数称為该點的横坐標，在y轴上垂足所显示的数称為该點的纵坐標。點的坐標反应的是一种點在平面内的位置。写坐標的规则：横坐標在前，纵坐標在後，中间用“，”隔開，所有用小括号括起来。如P（3，2）横坐標為3，纵坐標為2。尤其注意坐標的次序不一样，表达的就是不一样位置的點。因此點的坐標是一對有次序的实数，称為有序实数對。4、平面直角坐標系中的點与有序实数對一一對应。5、坐標的特性(1)在第一象限内的點,横坐標是正数,纵坐標是正数；在第二象限内的點,横坐標是负数,纵坐標是正数；在第三象限内的點,横坐標是负数,纵坐標是负数；在第四象限内的點,横坐標是正数,纵坐標是负数；(2)x轴上點的纵坐標等于零；y轴上點的横坐標等于零．6、對称點的坐標特性(1)有关x轴對称的两點：横坐標相似，纵坐標绝對值相等，符号相反；(2)有关y轴對称的两點：横坐標绝對值相等，符号相反，纵坐標相似；(3)有关原點對称的两點：横坐標绝對值相等，符号相反，纵坐標也绝對值相等，符号相反。(4)第一、三象限角平分线上點：横坐標与纵坐標相似；(5)第二、四象限角平分线上點：横坐標与纵坐標互為相反数。7、點到两坐標轴的距离點A（a，b）到x轴的距离為|b|，點A（a，b）到y轴的距离為|a|。二、函数的图象1、意义：對于一种函数，假如把自变量x与函数值y的每對對应值分别作為點的横坐標与纵坐標，在坐標平面内描出對应的點，這些點所构成的图形，就是這個函数的图象。2、作函数图象的措施：描點法。环节：（1）列表；（2）描點；（3）连线。3、一般函数作图象，规定横轴和纵轴上的單位長度一定要一致，按照對应的解析式先计算出一對對应值，就是坐標，然後描點，再连线；画实际問題的图象時，必须先考虑函数自变量的取值范围．有時為了体現的以便，建立直角坐標系時，横轴和纵轴上的單位長度可以不一致。§17.3一次函数一、一次函数的概念之因此称為一次函数，是由于它們的关系式是用一次整式表达的。學习此概念要從两個方面来理解。（1）從其体現式上：一次函数一般是指形如：y=kx+b(k、b為常数，k≠0)的函数，但凡成這种形式的函数都是一次函数。而當b=0時，即y=kx(k≠0的常数)，则称為正比例函数，其中k為比例系数。（2）從其意义上：它們表达的是两個变量之间的关系，這种函数关系具有特定的意义，如，假如說两各变量之间具有一次函数关系，我們就可按照概念设出函数关系式，成正比例关系的也同样，如，若s与t成正比例关系，我們便可设s=kt（k≠0，t為自变量）“正比例函数”与“成正比例”的区别：正比例函数一定是y=kx這种形式，而成正比例则意义要广泛得多，它反应了两個量之间的固定正比例关系，如a+3与b-2成正比例，则可表达為：a+3=k（b-2）（k≠0）二、一次函数的图象正比例函数和一次函数的图象都是一条直线，因此對于其解析式也称為“直线y=kx+b，直线y=kx”。由于一次函数的图象是一条直线，因此在画一次函数的图象時，只要描出两個點，在通過两點作直线即可。1、画正比例函数y=kx(k≠0的常数)的图象時，只需要這两個特殊點：（0，0）和（1，k）两點；2、画一次函数y=kx+b(k、b為常数，k≠0)的图象時，只需要找出它与坐標轴的两個交點即可。一次函数与x轴的交點坐標是：（0，b），与y轴的交點坐標是：（－eq\f(b,k)，0）3、若两個不一样的一次函数的一次项的系数相似，则這它們的图象平行。4、将y=kx的图象沿著沿著轴向上（b>0）或向下（b<0）平移|b|各單位長度即可得到y=kx+b。5、求两一次函数的交點坐標：联立解两各函数解析式得到的二元一次方程组，求的自变量x的值為交點的横坐標，求出的y的值為交點的纵坐標。三、一次函数的性质一次函数的性质是由k来决定的。1、正比例函数y=kx(k≠0的常数)的性质（1）當k>0時，图象通過一、三象限，y随x的增大而增大，這時函数图象從左到右上升。（2）當k<0時，图象通過二、四象限，y随x的增大而減小，這時函数图象從左到右下降。2、一次函数y=kx+b(k、b為常数，k≠0)的性质（1）當k>0時，①當b>0時，图象通過一、三、二象限，y随x的增大而增大，這時函数图象從左到右上升。②當b<0時，图象通過一、三、四象限，y随x的增大而增大，這時函数图象從左到右上升。（2）當k<0時，①當b>0時，图象通過二、四、一象限，y随x的增大而減小，這時函数图象從左到右下降。②當b<0時，图象通過二、四、一象限，y随x的增大而減小，這時函数图象從左到右下降。四、确定正比例函数好一次函数的解析式1、意义：（1）确定一种正比例函数，就是要确定正比例函数y=kx(k≠0的常数)中的常数k；（2）确定一种一次函数，需要确定一次函数y=kx+b(k、b為常数，k≠0)中常数k和b。2、待定系数法（1）先设待求函数关系式（其中具有未知的系数），再根据条件列出方程或方程组，求出未知系数，從而得到所求成果的措施，叫做待定系数法。（2）用待定系数法求函数关系式的一般措施：①设出具有待定系数的函数关系式；②把已知条件（自变量与函数的對应值）代入关系式，得到有关待定系数方程（组）；③解方程（组），求出待定系数；④将求得的待定系数的值代回所设的关系式中，從而确定出函数关系式。五、一次函数（正比例函数）的应用。与方程的应用差不多，注意审題环节。§17.4反比例函数一、反比例函数1、定义：形如y=eq\f(k,x)(k≠0的常数)的函数叫做反比例函数。2、對于反比例函数：（1）掌握其形式y=eq\f(k,x)，且k為常数，同步不能為0；等号左边是函数y，右边是一种分式，分子是一种不為0的常数，分母是自变量x，若把反比例函数写成y=kx-1，则x的系数為-1；自变量x的取值范围是x≠0的一切实数，函数y的取值范围也是不為0的一切实数；（2）将y=eq\f(k,x)转化為xy=k，由此可得反比例函数中的两個变量的积為定值，即某两個变量的积為一定值時，则這两個变量就成反比例关系。（3）“反比例函数”与“成反比例”之间的区别在于，前者是一种函数关系，而後者是一种比例关系，不一定是反比例函数，如說s与t2成反比例，可设為s=eq\f(k,t2)(k≠0的常数)，但這显然不是反比例函数。二、用待定系数法求反比例函数体現式。由于反比例函数y=eq\f(k,x)中只有一种待定系数，因此只需要一组對应值，即可求k的值，從而确定其体現式。三、反比例函数的图象1、意义：（1）名称：双曲线，它有两個分支，分别位于一、三或二、四象限；（2）這两個分支有关原點成中心對称；（3）由于反比例函数自变量x≠0，函数y≠0，因此反比例函数的图象与x轴和y轴都没有交點，無限靠近坐標轴，永遠不能抵达坐標轴。2、画法（描點法）：（1）列表。自变量的值应在0的两边取值，各取三各以上，共六對互為相反数的数對，填y值時，只需计算出自变量對应的函数值即可。（2）描點：先画出反比例函数一侧（即一种象限内的分支），在對称地画出另一侧（另一分值）；（3）连线：按照從左到右的次序用平滑曲线连接各點并延伸，注意双曲线的两個分支是断開的，延伸部分有逐渐靠近坐標轴的趋势，但永遠不能与坐標轴相交。ABCO四、反比例函数y=eq\f(k,x)的性质ABCO1、性质：（1）當k>0時，图象的两個分支位于一、三象限,在每個象限内，y随x的增大而減小；（2）當k<0時，图象的两個分支位于二、四象限，在每個象限内，y随x的增大而增大；注意：不能笼统地說反比例函数的“y随x的增大而增大或減小”，必须注意是在“各自的象限内”2、反比例函数的体現式中的几何意义如图所示，若點A是反比例函数y=eq\f(k,x)上的點，且AB垂直于x轴，垂足為B，AC垂直于y轴，垂足為C，则S矩形ABOC=|k|，S△AOB=S△AOC=eq\f(1,2)S矩形ABOC=eq\f(1,2)|k|五、反比例函数的应用。注意联络实际問題和用处理方程应用題的思绪。第18章平行四边形§18.1平行四边形的性质一、平行四边形的性质（一）平行四边形的有关概念ABABCD2、表达措施：专用符号：“”。如图的平行四边形看表达為：ABCD；讀作：“平行四边形ABCD”3、平行四边形的“對边”是指：互相平行的两边；“對角”是指：“開口”相對的两角。4、平行四边形的對角线：指两對角定點的连线。（二）平行四边形的性质1、平行四边形的對边相等，對角相等。2、平行四边形的對角线互相平分。3、两平行线之间的距离到处相等。4、平行四边形是中心對称图形。5、S=底×高。（三）平行四边形的作用1、由定义可以把平行四边形用于证明两直线（线段）平行；2、可以用作鉴定平行四边形。二、平行四边形鉴定（一）鉴定措施1、從边看：（1）两组對边分别平行的四边形是平行四边形；（2）一组對边平行且相等的四边形是平行四边形；（3）两组對边分别相等的四边形是平行四边形。2、從角看：两组對角分别相等的四边形是平行四边形。3、從對角线看：對角线互相平分的四边形是平行四边形。（二）平行线之间的距离两条平行线中，一条直线上的任意一點到另一条直线的距离，叫做两条平行线之间的距离。两平行线之间的距离到处相等。第19章矩形、菱形、与正方形§19.1矩形一、矩形的性质1、定义：有一种内角是直角的平行四边形叫做矩形。2、性质：矩形具有平行四边形的所有性质。（1）矩形的四個角都是直角；（2）矩形的對角线相等且互相平分；（3）矩形既是轴對称图形又是中心對称图形；（4）S矩形=長×宽。3、直角三角形的一种重要特性：直角三角形斜边上的中线等于斜边的二分之一。二、矩形的鉴定措施1、有一种角是直角的平行四边形是矩形；2、對角线相等的平行四边形是矩形；3、有三個角是直角的四边形是矩形。§19.2菱形一、菱形性质1、定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。2、性质：菱形具有平行四边形的所有性质。（1）菱形的四条边都相等；（2）菱形的對角线互相垂直平分，并且每条對角线平分一组對角；（3）菱形既是轴對称图形又是中心對称图形；（4）S菱形=底×高=eq\f(1,2)對角线①×對角线②。二、菱形的鉴定措施1、一组邻边相等的平行四边形是菱形；2、四条边都相等的四边形是菱形；3、對角线互相垂直的平行四边形是菱形；4、對角线互相垂直平分的四边形是菱形。§19.3正方形一、正方形的性质1、定义：（1）有一种内角是直角、一组邻边相等的平行四边形叫做正方形；（2）有一种内角是直角的菱形是正方形；（3）有一组邻边相等的矩形是正方形。2、性质：（1）正方形具有平行四边、矩形和菱形的所有性质；（2）正方形既是轴對称图形又是中心對称图形；（3）S正方形=边長2=eq\f(1,2)×對角线2。二、正方形的鉴定措施。用定义也可鉴定。1、有一种角是直角的菱形是正方形；2、有一组邻边相等的矩形是正方形；3、對角线相等的菱形是正方形；4、對角线互相垂直的矩形值正方形等腰梯形的鉴定一、一般梯形（一）梯形的有关概念1、定义：一组對边平行，另一组對边不平行的四边形叫做梯形。2、底边和腰：平行的两条對边叫做梯形的底边；不平行的两条對边叫做梯形的腰。3、底角：梯形的一腰和底边的夹角叫做梯形的底角。（二）直角梯形1、定义：有一种内角是直角的梯形叫做直角梯形。2、直角腰是直角梯形的高。二、等腰梯形（一）定义与性质1、定义：两腰學相等的梯形叫做等腰梯形。2、性质：（1）等腰梯形同一底上的两個底角相等；（2）等腰梯形的两条對角线相等。（3）等腰梯形是轴對称图形，它只有一条對称轴，即两底的垂直平分线是它的對称轴。（二）等腰梯形的鉴定措施1、两腰相等的梯形叫做等腰梯形。2、同一底上的两個内角相等的梯形是等腰梯形。3、两条對角线相等的梯形是等腰梯形。三、处理梯形問題常用的辅助线（基本思想：化梯形問題為“平行四边形”和“三角形”問題来处理）（（延長两腰）（作對角线的平行线）（作一腰的平行线）（作两条高）四、注意事项：（1）梯形中，若碰到有一种角的為60o或120o，则跟等边三角形加以联络；（2）梯形中，若碰到有一种角的為30o或150o，则跟“30o的Rt△”加以联络；（3）梯形中，若碰到有一种角的為45o或135o，则跟“45o的Rt△”加以联络；（4）处理梯形問題，一定要注意借助平行四边形、矩形、菱形、正方形和特殊的三角形知识来处理。第20章数据的整顿与初步处理§20.1平均数一、算术平均数的意义1、定义：一般地，我們把n個数…的和与n的比叫做這n個数的算术平均数，简称平均数，记作：，讀作x拔。详细算法：=2、平均数的简化运算當一组数据非常大或非常小，并且有集中在某個数字之间左右晃動時，看采用此措施简化运算：對于一组数据…，取定一种常数a，把本来数组中的每一种数都減去a後得到一组新数据…，则原数组的平均数就是：=a+eq\f(1,n)(eqx\s(',1)+eqx\s(',2)+eqx\s(',n))\s(',1)\s(',1)3、作用：平均数反应了一组数据的集中趋势，是表达一组数据的“平均水平”，它的單位与這组数据的單位一致。4、用样本（部分）估计總体當一组数据的個图非常多或很难获得所有数据時，可以從這些数据中抽出部分個体作為样本進行分析、记录，由此估计總体的特性或信息。二、加权平均数定义和算法：一般說来，假如n個数据中，x1出現f1次，x2出現f2次，…xk出現fk次，且f1+f2+…+fk=n，则這n個数的平均数可表达為=這個叫做加权平均数，数据出現的次数f叫做权，数组中的每個数對应一种权。§20.2数据的集中优势一、中位数1、定义：将一组数据按照由小到大（或由大到小）的次序排列後，处在最中间位置的的一种数据（或最中间两個数据的平均数）叫做這组数据的中位数。2、求法：（1）對這组数据的n