2024年中考数学几何模型归纳：解直角三角形模型之新定义模型

解直角三角形模型之新定义模型

解直角三角形的新定义模型，是体现选拔功能的试题中对初高中知识衔接的考查。高中数学为这类试

题的命制提供了广阔的空间背景，命题者将高中数学的一些概念、定理、法则、公式等初中化（用初中数

学知识内容包装、初中试题命制技术设置）处理，命制出具有高中数学背景味道的试题。这类试题往往对

学生思维能力和创新能力要求较高，能有效检验学生是否具备进入高中学习的潜能，所以平时教学挖掘这

方面解题技能及功效尤为重要。恰当地构建模型可以拓宽解题思路，优化解题过程，丰富解题内涵。

【知识储备】

模型1、新定义模型

此类模型主要包含高中数学中的三角函数和解三角形的相关定理（公式），而这些定理（公式）也

可利用初中数学知识证明.

若无特殊说明，一般认为△NBC的3个角乙4、45、ZC,分别对应边0、b、c；

ahc

1）正弦定理：如图1,--=二一-=2R（其中火是三角形外接圆的半径）。

2）余弦定理：如图2,a2=b2+c2-2bccosAb2=a2+c2-laccosBc2=a2+b2-2abcosC.

3）正弦面积公式：如图2,S=—absmC=—bcsmA=—acsmB.

K222

4）同角三角函数的基本关系式:sin29+cos29=1,tan9=2.

COS0

5）和（差）、二倍角角公式：

sin{a±£）=sinacos/3±cosasin/3；sinla=2sinacosa.

cos（a±£）=cosacos/3+sinasin/3；cos2a=cos2a-sin1a=2cos2a-1=\-2sin1a.

tana±tan/32tana

tan（a±乃）=tan2cl=

\+tanatan/3l-tan2a

例1.（2022・湖南・中考真题）阅读下列材料：

在A/BC中，乙4、DB,ZC所对的边分别为。、b、c,求证：，三=」一

sinAsinB

证明：如图1,过点。作CD1AB于点。，贝I：

在RtABCD中，CD^asinB-,在RtAACD中，CD=bsinA

asinB=bsinA----=----

sinAsinB

省首届旅游发展大会,张家界市积极优化旅游环境.如图3,规划中的一片三角形区域需美化，已知4=67。,

4=53。，/C=80米，求这片区域的面积.（结果保留根号.参考数据：sin530=0.8,sin67°=0.9）

【答案】⑴见解析（2）180073

【分析】（1）作8c边上的高，利用三角函数表示/£（后，即可建立关联并求解；

（2）作边上的高，利用三角函数分别求出/£和3C,即可求解.

⑴证明：如图2,过点A作/。1BC于点。，在此A4M）中，AD=csinB,

bc

在此ZUCD中，AD=6sinC,「.csinB=bsinC,/.--=--；

sinBsinC

AA

茎A

BaDCBEC

图2图3

（2）解：如图3,过点A作ZE15。于点E,:NBAC=67°,乙8=53。，AZC=60°,

在比ZUCE中，4E=4C.sin60°=80x走

=40^3(tn)

2

.ACBC目口80BC3c=90(/),S=1x90x4073=180073(zw2).

又-----=---------,即一=—,:/AABC

sin5sinABAC0.80.9

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用掌握直角三角形的边角关系，即锐角三角函数的定义是解决问

题的前提.

例2.（2022・湖南湘西•统考中考真题）阅读材料：余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角余弦值关系

的数学定理，运用它可以解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者已知三边求角的问题.余弦定理是

这样描述的：在△N8C中，//、NB、NC所对的边分别为°、b、c,则三角形中任意一边的平方等于另

外两边的平方和减去这两边及这两边的夹角的余弦值的乘积的2倍.

用公式可描述为：a2=b2+c2-2bccosA；b2=a2+c2-2accosB；c2=a2+b2-2abcosC

现已知在中，AB=3,AC=4,ZA=60°,贝I]BC=.

【答案】V13

【分析】从阅读可得：BC2=AB2+AC2-2AB-AC-COSA,将数值代人求得结果.

【详解】解：由题意可得，

BC2=AB2+AC2-2AB-AC-COSA=32+42-2x3x4*00560°=13,：.BC=用,故答案为：屈.

【点睛】本题考查阅读理解能力，特殊角锐角三角函数值等知识，解决问题的关键是公式的具体情景运用.

例3.（2022•山东青岛•校考二模）问题提出：已知任意三角形的两边及夹角，求三角形的面积.

问题探究：为了解决上述问题，我们先由特殊到一般来进行探究.

探究一：如图1,在“3C中，AABC=90°,AC=b,BC=a,NC=Na,求AABC的面积.

在中，ZABC=90°,sina=AB=2>«sina.SMBC=}-BC-AB=sina.

24.C22

探究二：如图2,AABC中，AB=AC=b,BC=a,NB=Za,求“3C的面积（用含a、b、a代数式

表示），写出探究过程.

探究三：如图3,“3C中，AB=b,BC=a,N8=Na,求“8C的面积（用。、b、a表示）写出探究

过程.

问题解决：已知任意三角形的两边及夹角，求三角形的面积方法是：（用文字叙述）.

问题应用：如图4,已知平行四边形48CD中，AB=b,BC=a,ZB=a,求平行四边形4BCD的面积（用

a、b、a表示）写出解题过程.

问题拓广：如图5所示，利用你所探究的结论直接写出任意四边形的面积（用。、6、d、。、万表示），

其中48=6,BC=c,CD=d,AD=a,ZA=a,ZC=/?.

【答案】|^sinO,见解析；1^sina,见解析；一个三角形两边及其夹角的正弦值的积的一半；Msina；

SWABCD=-ab-sina+^cd-sin/?

【分析】探究二：如图2中，作/"1C8于求出高即可解决问题；

探究三：如图3中，作/〃_LCB于求出高/〃，即可解决问题；

问题解决：S=^absmZC（/C）是a、6两边的夹角）；

问题应用：如图4中，作于〃求出高即可解决问题；

问题拓广：如图5,连接2。，由探究三的结论可得出答案.

【详解】解：探究二：如图2中，作/于

图2图3图4图5

.AB=AC=b,BC=a,Z.B=Z.a,Z.B=Z.C=a,

在氏A/HC中，AAHC=90°,，sina=*,AH=b-sina,：.SMBC=^-BC-AH=}-absina.

探究三：如图3中，作4"1CB于H.

在氏A/HC中，ZAHC=90°：.sina=华,AH=b-smaSMBC=^BC-AH=^-absina.

问题解决：一个三角形两边及其夹角的正弦值的积的一半.

故答案为：一个三角形两边及其夹角的正弦值的积的一半.

问题应用：如图4中，作于

4H

在RMAHB中，Z.AHB=90°sina=——,/.AH="sina-a-S平行四边形功⑺=BC•AH=absina.

问题拓广：连接2。，由探究三的结论可得：S®=；x”xNOxsina=/vina.

SKBCD=gxBCxCD=*in0.:.Ss„ABCD=^ab-sina+^d-sin/3.

【点睛】本题考查四边形综合题、三角形的面积、平行四边形的面积，锐角三角函数知识，解题的关键是

学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题.

例4.(2023春•四川泸州•八年级校考期中)平面几何图形的许多问题，如：长度、周长、面积、角度等问

题，最后都转化到三角形中解决.古人对任意形状的三角形，探究出若已知三边，便可以求出其面积.具

体如下：设一个三角形的三边长分别为a、b、c,尸=g(a+6+c),则有下列面积公式：

S=^P(P-a)(P-b)(P-c)(海伦公式)；S=J*2_(4+；_C2)2](秦九韶公式).

⑴一个三角形边长依次是5、6、7,利用两个公式，可以求出这个三角形的面积；

(2)学完勾股定理以后，已知任意形状的三角形的三边长也可以求出其面积.如图，在"3C中，AB=15,

BC=14,AC=13,求AABC的面积和BC边上得高/D的长.

【答案】⑴6c(2)AABC的面积为84；3c边上得高4D的长为12

【分析】(1)利用两个公式分别代入即可；

(2)设BD=x,则利用勾股定理得NO?=/。2一c02,4DJAB-BD)即13。-(14-x)2=152--,

求解得x=9,即8。=9,再利用勾股定理求解，然后利用三角形面积公式求出其面积即可.

【详解】⑴解：尸=；(a+b+c)=9x(5+6+7)=9,

由海伦公式可得S=ylP(P-a)(P-b)(P-c)=79X(9-5)X(9-6)X(9-7)=676；

222

由秦九昭公式可得S=ay=J1X52x62_^+^-7j=6后.

(2)解：设BD=x,贝l]DC=14-x,'.'AD1BC,AD2=AC2-CD2,AD2=AB2-BD2,

.-.132-(14-X)2=152-x2,解得x=9；BD=9

AD=^AB2-BD2=7152-92=12.=1sC-^£>=1xl4xl2=84.

【点睛】此题考查了勾股定理以及三角形面积求法，正确掌握三角形面积公式和勾股定理是解题的关键.

例5.(2023•北京市•九年级校考期末)关于三角函数有如下公式：sin(a+p)=sinacosp+cosasinp,sin

(a-P)=sinacosp-cosasinp；cos(a+P)=cosacosp-sinasinp,cos(a-P)=cosacosp+sinasinp；

tan(a+p)匕：口+,叱-tanatanp^o),合理利用这些公式可以将一些角的三角函数值转化为特殊

1-tan(7tan/?

角的三角函数来求值，如sin9(T=sin(30°+60°)=sin300cos600+cos300sin60°=-x-+—x—=1,利

2222

用上述公式计算下列三角函数①sin105。=近也，②tan105Q=-2-6，③sin15。=必二变，④cos90。

44

=0,其中正确的个数有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】D

【分析】直接利用已知公式法分别代入计算得出答案.

00

【详解】①sin105o=sin(60°+45°)=sin60cos45°+cos60sin45°=^x—+-x—=舟、,故此选项

22224

正确;

ctan450+tan6001+JJ(1+V3)2工心十也

②tan105o=tan(t60°+45°)=---------——-=-----尸=------—=-2-73,故此It选项正确；

1-勿〃45勿〃60l-y/3-2

③sin15o=sin(60°-45°)=sin60°cos45°-cos60°sin45°=立义显一工又立■=遍一④,故此选项正确；

22224

©cos90°=cos(45°+45°)=cos45°cos45°-sin45°sin45°=巫x巫-也x变=0,故此选项正确；

2222

故正确的有4个.故选D.

【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值以及公式的应用，正确应用公式是解题关键.

例6.(2023年四川省广元市中考真题数学试题)“一缕清风银叶转”，某市20台风机依次矗立在云遮雾绕

的山脊之上，风叶转动，风能就能转换成电能，造福千家万户.某中学初三数学兴趣小组，为测量风叶的

长度进行了实地测量.如图，三片风叶两两所成的角为120。，当其中一片风叶与塔干。。叠合时，在与

塔底D水平距离为60米的E处，测得塔顶部O的仰角AOED=45°,风叶OA的视角ZOEA=30°.

⑴已知a,/两角和的余弦公式为：3（（7+£）=85“05万-5出（75出£,请利用公式计算375。；

（2）求风叶CM的长度.

【答案】⑴近了1⑵风叶Q4的长度为仅OG-60）米

【分析】（1）根据题中公式计算即可；（2）过点工作Ml庞，连接/C,OG1AC,先根据题意求出OE,

再根据等腰对等边证明OE=/E,结合第一问的结论用三角函数即可求E7"再证明四边形。尸4G是矩形，

即可求出.

【详解】（1）解：由题意可得：cos75。=cos（45。+30。）,

cos（45°+30°）=cos45°cos300-sin45°sin300=——x----------xy------

''22224

OE=———=‘°_60亚

由题意得：。£=60米，4OED=45。,一3/45。一克一米，ZDOE=45°,

~T

;三片风叶两两所成的角为120。，/.ZDOA=120°,乙4。£=120。—45。=75。，

又..NO以=30。，..NCU£=180。—75。—30。=75。，/.ZOAE=ZAOE,/.OE=AE=6o42^,

/ZOEA=30°,ZOED=45°,/.ZAED=75°,由（1）得：cos75。=痛一血,

4

E尸=4Excos75°=30G-30米，。尸=DE-EF=60-卜08-30）=90-306米，

■:AFIDE,OG1AC,OD1DE,四边形OFNG是矩形，4G=D尸=90-306米，

•三片风叶两两所成的角为120。，且三片风叶长度相等，，NCMG=30。，

AG_90-30^_/c-\

二嬴赤一一忑-—（6U"3-叫米，二风叶.的长度为（60百-60）米.

T

【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，正确理解题意和作出辅助线是关键.

例7.（2023•四川宜宾•校考三模）通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条

边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化.类似的，可以在等腰三角形中建立边

角之间的联系.我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）.如果“3C中，AB=AC,

那么顶角/的正对记作sacU,这时sacU=g^=g£.容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互

腰AB

3

唯一确定的.根据上述角的正对定义，填空：如果N4的正弦函数值为不，那么sad4的值为.

【答案】巫

5

【分析】过点B作8O1ZC于。，利用乙4的正弦函数值，设出2。、的长，根据勾股定理求出CD,

最后根据sa<M的规定求值即可.

【详解】解：过点3作8D1/C于。，如图所示，

...sin/=y,.,.设80=3左,45=5左，力。=J（5左，—（3左了=4左,

-AB-AC=5k,CD=k,/.BC=J（3=+玄=VT6左，

,sa叱8返=回故答案为：叵.

AB5k55

A

A

【点睛】此题是新定义运算题，主要考查了等腰三角形的定义、勾股定理和三角函数等知识，熟练掌握勾

股定理、三角函数的定义以及新定义运算的规定是解答此题的关键.

例8.（2022春•浙江•九年级专题练习）阅读下列材料：

在学习完锐角三角函数后，老师提出一个这样的问题：如图1,在RS/BC中，ZACB=90°,AB=1,ZA^a,

求sin2a（用含sina,cosa的式子表示）.

聪明的小雯同学是这样考虑的:如图2,取48的中点O,连接。C,过点C作CD,48于点。，则“OB=2a,

然后利用锐角三角函数在R348C中表示出』C,8C,在出A/CD中表示出CO,则可以求出

.cCDsin（7-ACsina-cosa、.

sin2<7==------z------=--------：-------=2smq•cosa

OCIi

22

c

阅读以上内容，回答下列问题：在中，ZC=90°,AB=1.

(1)如图3,若BC=g,贝!Jsin□=_,sin2q=：

（2）请你参考阅读材料中的推导思路，求出tan2。的表达式（用含sin。,cos4的式子表示）.

£4E；(2)tan2(7=2cos口•sina

【答案】（1）

39l-2(sin(7)2

【分析】（1）根据勾股定理求得/C,再根据三角函数的定义即可求得sin4和COSQ,再根据5抽24=25山4.854

求解即可；（2）取NB的中点O,连接。C,过点C作CDL/3于点。，贝IJ/CO3=2a,OC=；/B=g,

在MA/CD中表示出CO,勾股定理求得。£）,即可求解.

【详解】解：（1）由勾股定理可得：AC7AB2-BC。=也

3

由三角函数的定义可得sina=空=：,cosa=W^=迪

AB3AB3

由材料可得：sin2a=2sincosa=生旦故答案为!；勺2

939

（2）取48的中点O,连接OC,过点C作CD,48于点。，如下图：

在中，AC=cosa,5C=sinq在放△/CD中，CD=ACsina=cos<7-sin(7,

在必△C5Q中，BD=BCsina=(sina)2,贝ijOD=OC—=；—(sin

-CDcosa•sin42cos□•sin4。

11tan2(7=-------------=--------------—一八2cos(7-sin<7

则11OD「(Sina)?1一2(smay故答t案为tan2a=一―丁

【点睛】此题考查了三角函数定义的应用，解题的关键是是熟练掌握三角函数的定义，作辅助线作所求角

的直角三角形.

例9.（2022・重庆•校考一模）材料一'：证明：sin2a+cos2a=\.

证明：如图，作在射线/C上任意取一点。（异于点/）,过点。作。垂足为£

'DE]_AB于点EsinZ.BAC=---,cosZ.BAC=----/.sin2Z.BAC=cos2NBAC=

ADADAD2AD2

r)r2AJ72r)p2+AP1AD1

••・在Rt/XADE中，DE2+AE2=AD2:.sin2ABAC+cos2ABAC=—=----------=--=1

AD2AD1AD1AD1

/^BAC=/_asin2a+cos2<7=1.

材料二：学习了三角函数之后，我们知道，在直角三角形中，知道了一个直角三角形的两条边的长或知道

直角三角形的一条边的长及其一个锐角的度数，我们可以求出这个直角三角形其它边的长度和其它角的度

数；由“SAS”定理可知，如果一个三角形的两条边的长度及其这两条边的夹角的度数知道了，那么这个三角

形的第三条边一定可以求出来.

应用以上材料，完成下列问题：⑴如图，在△ABC中，AC=4,BC=6,ZC=60°,求48的长.

（2）在⑴题图中，如果ZC=6,BC=a,/C=a,你能用a,6和COSa表示A8的长度吗？如果可以，写出

推导过程；如果不可以，说明理由.

【答案】⑴2s'（2）能，过程见解析

【分析】（1）过点/作8c于点。，根据解直角三角形即可求得；

（2）过点4作BC于点D,根据解直角三角形即可求得.

【详解】（1）解：过点工作40/BC于点。

cDBDB

八]

.­.AD=AC-sin60°=4x—=26,CZ)=^C-cos60°=4x-=2

22

DB=CB-CD=6-2=4AB=yJAD2+DB2=426)、42=2"

(2)解：如图，过点N作4D/8C于点。

AD=AC-sina=-sina,CD=AC-cosa=b-cosaDB=CB-CD=a-b-cosa

AB=yjAD2+DB2=J(b-sina)2+(a-Z?-cosa)2

=ylb2sin2a+a2-2abcosa+b2cos2a=\lb2+a2-2abcosa-

【点睛】本题考查了解直角三角形，作出辅助线，构造直角三角形是解决本题的关键.

例10.(2023春•湖北•九年级专题练习)在初中，我们学习过锐角的正弦、余弦、正切和余切四种三角函数,

即在图1所示的直角三角形N3C,//是锐角，那么sin/=4的对边+斜边，cos/=N/的邻边+斜边，

12!1/=44的对边一//的邻边.为了研究需要，我们再从另一个角度来规定一个角的三角函数的意义：设

有一个角a,我们以它的顶点作为原点，以它的始边作为x轴的正半轴。x,建立直角坐标系(图2),在角a

的终边上任取一点P,它的横坐标是x,纵坐标是％点P和原点(0,0)的距离为.旧+J/⑴总是正的)，

然后把角a的三角函数规定为：sina=上，cosa='，tana=上.我们知道，图1的四个比值的大小与角/

rrx

的大小有关，而与直角三角形的大小无关，同样图2中四个比值的大小也仅与角a的大小有关，而与点P在

角a的终边位置无关.比较图1与图2,可以看出一个角的三角函数的意义的两种规定实际上是一样的，根

据第二种定义回答下列问题：

⑴若90。<”180。，则角a的三角函数值sina、cosa、tana,其中取正值的是；

(2)若角a的终边与直线y=2x重合，贝sina+cosa的值；

⑶若角a是钝角，其终边上一点尸(x,2),且cosa=；x,求tana的值；

(4)若0°<a<90°,贝Isina+cosa的取值范围是.

【答案】(1)sina(2)手或一亭(3)tana=±¥(4)l<sinQ+cosa<V2

【分析】⑴由题意可得r>0,y>0,X<O,然后依据定义进行判断即可；（2）设点P（x,2x）,贝囱卜|,

然后分为x>0和x<0两种情况求解即可；（3）由题意可得，=3,然后依据定理列出关于x的方程，从而

求出x的值，然后依据正切的定义求解即可；（4）依据三角形的三边关系可得x+V>「，然后再得到

$出。+3”广：',再求得与1驾的取值范围，即可求得结果.

22

犷+/X+y

【详解】(1)解：当90°<a<180°时，,/r>0,v>0,x<0,

sintz=—>0,cos<7=—<0,tana=—<0,故答案为：sina.

rrx

(2)解，•若角a的终边与直线V=2x重合，「.P(x,2x),.」=旧石尸=石|凡

u,AD_L2xX3\/5山八□4.2xX36

当%sina+cosa=-j=-+r=---,当xvOH工sina+cosa=——『-----厂=-------,

y/5xyj5x5yj5xy/5x5

55

Y1

(3)解：...COSQ=-，点尸(x,2),且C0S4=L，

r3

>Jx2+22=3,：.X=±45(正值舍去)，tan(7=—=-^^.

x5

...yxx+yx+y

(4)解：•Sin67+cos67=—+-=——=25：.x+y>r：.sin(7+cos(7>1,

12

>0,/.x+y>2xy,又•「（：+>）=]+j盯w=2,/22-

'，x2+y2x2+y2+y

1<sin（7+cosQ<5/2,故答案为：1<sina+cosa<V2.

【点睛】本题考查了正比例函数的性质、三角函数的定义及完全平方公式，理解三角函数的定义是解题的

关键.

课后专项训练

1.（2023秋・广东东莞•九年级校考阶段练习）阅读材料：余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角余弦

值关系的数学定理，运用它可以解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者已知三边求角的问题.余弦

定理是这样描述的：在中，NB、/C所对的边分别为以b、C,则三角形中任意一边的平方

等于另外两边的平方和减去这两边及这两边的夹角的余弦值的乘积的2倍.用公式可描述为：

a2=b2+c2-2bccos^4;b2=a2+c2-2accosB;c2=a2+b2-2abcosC;现已知在“3C中，AB=2,BC=4,

ZA=60°,则/C的长为()

A.2A/3B.V13+1C.V13-1D.3c

【答案】B

【分析】利用公式直接解答即可.

【详解】解：；AB=2,8c=4,c=2,a=4.

'''a2=b2+c2-2bccosA,42=b2+22-2x2bx—,整理得，Z>2-26-12=0,

解得6=+1或1-(负值舍去)，故选：B.

【点睛】此题考查了三角函数的应用、解一元二次方程，正确理解公式并灵活运用是解题的关键.

2.(2020•四川广元市•中考真题)规定：

sin(-x)=-sinx,cos(-x)=cosx,cos(x+y)=cosxcosy-sinxsiny给出以下四个结论：(1)

sin(-30°)=-1；(2)cos2x=cos2x-sin2x；(3)cos(x-y)=cosxcosy+sinxsiny；(4)

cosi5°=近二e其中正确的结论的个数为()

4

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【分析】根据题目所规定的公式，化简三角函数，即可判断结论.

【详解】解：⑴sin(-30°)=-sin30°=-g,故此结论正确；

(2)cos2x=cos(x+x)=cosxcosx-sinxsinx=cos2x-sin2x,故此结论正确；

(3)cos(x-y)=cos[x+(-y)]=cosxcos(-y)-sinxsin(-y)=cosxcosy+sinxsiny故止匕结论正确;

(4)cos15°=cos(45°-30°)=cos45°cos30°+sin45°sin30°=^LX-+—x-=—+—

222244

=84故此结论错误.故选：c.

4

【点睛】本题属于新定义问题，主要考查了三角函数的知识，解题的关键是熟练掌握三角函数的基础知识,

理解题中公式.

3.（2023年湖南省娄底市中考数学真题）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数学九章》一书中，给

出了这样的一个结论：三边分别为6、c的^ABC的面积为S.BC=；J。/."BC的边

a、b、c所对的角分别是//、/B、ZC,则=gabsinC=gacsin8=g6csin/.下列结论中正确的

是（）

cosC=^±^

A.cosC=二+‘-BC0SC=，+"Yc.cosC=D

2ablablac2bc

【分析】本题利用三角函数间的关系和面积相等进行变形解题即可.

【详解】解：S,=

ABC1£^r?Z±HIZY,S^c=1^sinC,

二夕4贯即//一=a2b2sm2C,

fa*2^*b2-c22h2-r2

222n+

abcosC=(2abcosC=---------故选：A.

lab

【点睛】本题考查等式利用等式的性质解题化简，熟悉豆1?。+馍52。=1是解题的关键.

4.（2023・安徽滁州•校考二模）已知三角形的三边长分别为a、b、c,求其面积问题.中外数学家曾经进行

过深入研究，古希腊的几何学家海伦给出求其面积的海伦公式S=Jp（p-a）（p-bKp-c）,其中p="岁；

我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求其面积的秦九韶公式,若

一个三角形的三边长分别为5,6,7,则其面积是（）

A.6^6B.6^/15C.D,

22

【答案】A

【分析】根据题目中的秦九韶公式，可以求得一个三角形的三边长分别为5,6,7的面积，从而可以解答

本题.

【详解】•:二若一个三角形的三边长分别为5,6,7,

则面积是：S^-./52X62-（5*+6-7）2=-7900-36=676,故选A.

2V22

【点睛】此题考查二次根式的应用，解题关键在于结合题意列相应的二次根式并将其化简.

5.(2023•山东潍坊•统考二模)一般地，当a、0为任意角时，tan(a+0)与tan(a-p)的值可以用下面的

八।।tan6?±tan/?，一

公式求得：tan(a±p)=丁二----:一例如：tan15°=tan(45°-30°)

'-Y-］干tanq•tan/?

..1一也

tan45-tan3033-^3(3-扬

=2-V3.请根据以上材料，求得tan75。的值

1+tan45tan30।1x3+百(3+6)(3-6)

~T

【答案】2+石.

【分析】根据给定的公式，将tan45。"tan3。。邛代入胖;。中计算化简即可.

tan45°+tan30°33+G(3+V3)

【详解】解：tan75°=tan(45°+30°)=：2+行

1-lx—

3

故答案为:2+73.

【点睛】本题考查了三角函数的计算以及用平方差公式进行分母有理化，读懂新定义的含义是关键.

6.(2023•河北石家庄•九年级统考期中)阅读下面的材料，先完成阅读填空，再按要求答题.

sin230°+cos230°=；

sin245°+cos245°=；

sin260°+cos260°=；

观察上述等式，猜想：对任意锐角4者6有sin?/+cos?4=—.

【答案】1111

【详解】sin230°+cos230°=(1)2+(^)2=1,

sin245°+cos245°=(^)2+(亨?=1,

sin260°+cos260°=(^)2+(1)2=1,

即可猜想出：对任意锐角A,都有sin%+cos%=l.故答案为：1;1;1;1

7.(2023秋・山东济南•九年级统考期末)定义一种运算：sin(£7+/5)=sinacos/?+cosasin/?,

sin(a-/?)=sinacos/9-cosasin/?,例如：当a=60°,£=45°时，sin(60°-45°)=—x^--x^=^

则sin75。的值为

V6+V2

【答案】

4~

【分析】根据75。=45。+30。和新定义，代入计算即可.

【详解】解：sin75°=sin(45°+30°)=sin45°cos30°+cos45°sin30°

V2V3V21V6+V2故答案为：近史

=X---1---x—

22224

【点睛】本题考查特殊角的三角函数值的计算，涉及新定义，解题的关键是掌握特殊角的三角函数值，能

准确进行二次根式的计算.

8.(2023・湖南娄底•统考一模)同学们，在我们进入高中以后，还将学到下面三角函数公式：

sin(q—£)=sinacos(3-cosasin(3,sin(q+£)=sin□cos(3+cosasin/?,

cos(4—£)=cosacos£+sin□sin/?,cos(4+£)=cosacos/?-sin(7sin£.例：

sin15。=sin(45。一30。)=sin45°cos30°一cos45°sin30°="J.若已知锐角。满足条件sina=g,贝］

sin2(7=.

【答案】逑

9

【分析】先根据sina=g求出cosa,把sin2a变为sina+a,然后根据sin(a+£)=sinacos£+cosasin/9计

算即可.

【详解】解：如图，在RtZUSC中,

2/+C0s2/=—=学=1.

ccc

.121.28、rt-f.2

/sincz=-,cosa=l-sina=-.二口为锐角，/.cos(7=------

393

,/sin(f7+£)=sinacos/?+cosasin£

.c...12^/214^/2状■4A/2

..sm2〃=sma+4=sinacosa+cosasma=-x------+-------x-=-------.故答案为：-----

333399

【点睛】本题考查了三角函数的运算，正确理解所给计算公式是解答本题的关键.

9.(2022♦黑龙江绥化•统考中考真题)定义一种运算；sin(a+0=sinacos£+cosasin£,

sin(a-/?)=sinacos/?-cosasin/?.例如：当a=45°,£=30°时,

■\lb+y/2

sin(45°+30°)=则sin15。的值为.

22224

【答案】丁

［分析】根据sin(a-/?)=sinacos/?-cosasin/?代入进行计算即可.

【详解】解：sin15°=sin(45°-30°)=sin45°cos30°-cos45°sin30°

V2s/iV21V65/2V6—V2故答案为：丁

=-------X--------------------X—=--------------------=--------------------

2222444

【点睛】此题考查了公式的变化，以及锐角三角函数值的计算，掌握公式的转化是解题的关键.

10.(2023•四川成都・成都外国语学校校考一模)观察与思考：阅读下列材料，并解决后面的问题

AD

在锐角AABC中，NA、ZB./C的对边分别是a、b.c,过A作ADLBC于D(如图⑴)，则sinB=

即AD=csinB,AD=bsinC,于是csinB=bsinC,即----=----,同理有：----=----,----=----,所以

sinBsmCsinCSIIL4SIIL4sinB

a_b_c

sirUsin5sinC

即：在一个锐角三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等在锐角三角形中，若已知三个元素(至少有一

条边)，运用上述结论和有关定理就可以求出其余三个未知元素.

根据上述材料，完成下列各题.

图(1)图(2)图(3)

(1)如图(2),△ABC中，NB=45。，ZC=75°,BC=60,贝i」NA=_；AC=；

(2)某次巡逻中，如图(3),我渔政船在C处测得钓鱼岛A在我渔政船的北偏西30。的方向上，随后以

40海里/时的速度按北偏东30。的方向航行，半小时后到达B处，此时又测得钓鱼岛A在的北偏西75。的方

向上，求此时渔政船距钓鱼岛A的距离AB.

【答案】(1)60。,20指;(2)10指

【详解】(1)先利用三角形内角和定理求出NA,再利用题目总结的正弦定理，将有关数据代入求解即可;

(2)在AABC中，分别求得BC的长和三个内角的度数，利用题目中总结的正弦定理AB的长即可.

解析：(1)ZB=45°,ZC=75°,ZA=180°-ZB-ZC=60°,

60AC

根据材料有：一吟二，「•一%='三，即耳=二方，，AC=20a,故答案为60。，20几；

smZAsinZ.Bsin60°sin45°

22

(2)如图，依题意：BC=40x0.5=20(海里)，/CD//BE,/.ZDCB+ZCBE=180°.•.ZDCB=30°,

/.ZCBE=150°,

*/ZABE=75O,/.ZABC=75°,/.ZA=45°,

在ZsABC中，即‘解之得：AB=10而海

smZ.ACBsmZAsin60sm45

里，

所以渔政船距钓鱼岛A的距离为10几海里.

【点睛】本题考查的阅读理解题，涉及到三角函数等知识，弄清材料中知识，并能应用解决相关的问题是

关键.

11.(2023春•山东济宁•九年级校考阶段练习)定义：在中，若4B=c,AC=b,BC=a,则存在余

112222

弦定理：Q?=/+C?-2bc・cos4,b=a-\-c-2ac-cosB,c=a+b-