吉林省长春某中学2024届中考数学最后冲刺模拟试卷（含解析）

吉林省长春六中学2024届中考数学最后冲刺模拟试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1.某工厂第二季度的产值比第一季度的产值增长了x%,第三季度的产值又比第二季度的产值增长了X%,则第三季

度的产值比第一季度的产值增长了（）

A.2x%B.l+2x%C.（1+x%）x%D.（2+x%）x%

2.据相关报道，开展精准扶贫工作五年以来，我国约有55000000人摆脱贫困，将55000000用科学记数法表示是（）

A.55xl06B.0.55X108C.5.5xl06D.5.5x107

3.反比例函数y=3（a>0,a为常数）和y=—在第一象限内的图象如图所示，点M在y=q的图象上，MCLx轴于

XXX

点C,交丫=—的图象于点A；MDLy轴于点D,交y二一的图象于点B,当点乂在丫=一的图象上运动时，以下结论:

XXX

①S△ODB=SAOCA;

②四边形OAMB的面积不变；

③当点A是MC的中点时，则点B是MD的中点.

其中正确结论的个数是（）

匕

A.0B.1C.2D.3

yx

4.若尤+y=2,xy=-2,则上+一的值是（）

%y

A.2B.-2C.4D.-4

5.如图所示，若将△ABO绕点O顺时针旋转180。后得到△AiBiO,则A点的对应点Ai点的坐标是（）

6.下面四个几何体:

其中，俯视图是四边形的几何体个数是（）

A.1B.2C.3D.4

7."0,函数y=q与y=-在2+”在同一直角坐标系中的大致图象可能是（）

8.如图，△ABC中AB两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（-1,0）,以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC

的位似图形且△与△ABC的位似比为2：1.设点B的对应点B，的横坐标是a,则点B的横坐标是

（）

A.—-tzB.—-（61+1）C.-~（6Z-1）D.—-（6/+3）

9.通州区大运河森林公园占地面积10700亩，是北京规模最大的滨河森林公园，将10700用科学记数法表示为（）

A.10.7X104B.1.07X105C.1.7X104D.1.07X104

10.下列运算结果正确的是()

A.(x3-x2+x)4-x=x2-xB.(-a2)»a3=a6C.(-2x2)3=-8x6D.4a2-(2a)2=2a2

二、填空题(共7小题，每小题3分，满分21分)

11.关于x的方程kx2-(2k+l)x+k+2=0有实数根，则k的取值范围是.

12.如图，抛物线y=ax?+bx+c与x轴相交于A、B两点，点A在点B左侧，顶点在折线M-P-N上移动，它们的

坐标分别为M(-1,4)、P(3,4)、N(3,1).若在抛物线移动过程中，点A横坐标的最小值为-3,则a-b+c的

13.在△ABC中，ZA：ZB：ZC=1；2：3,它的最小边的长是2cm,则它的最大边的长是cm.

14.已知抛物线7=3上一点A,以A为顶点作抛物线C：y—x2+bx+c,点3(2,7B)为抛物线C上一点，当点A在

抛物线>=必上任意移动时，则州的取值范围是.

15.如图，在△ABC中，D,E分别是AB,AC边上的点，DE//BC.若4。=6,BD=2,DE=3,贝!J.

16.如图，CB=CA,ZACB=90°,点D在边BC上(与B、C不重合)，四边形ADEF为正方形，过点F作FGLCA,

交CA的延长线于点G,连接FB,交DE于点Q,给出以下结论:①AC=FG；②SAFAB:S四边形CBFG=L2；③NABC=NABF；

@AD2=FQ«AC,其中正确的结论的个数是.

17.如图，直线a〃b,正方形ABCD的顶点A、B分别在直线a、b±.若N2=73。，则Nl=

三、解答题（共7小题，满分69分）

18.（10分）如图，在RtAABC中，ZC=90°,以BC为直径的。O交AB于点D,切线DE交AC于点E.

（1）求证：ZA=ZADE；

（2）若AD=8,DE=5,求BC的长.

19.（5分）如图1,定义：在直角三角形ABC中，锐角a的邻边与对边的比叫做角a的余切，记作ctana,即ctana

=1」：=「，根据上述角的余切定义，解下列问题:

(1)如图1,若BC=3,AB=5,贝!JctanB=；

(2)ctan60°--；

(3)如图2,已知：△ABC中，NB是锐角，ctanC=2,AB=1O,BC=20,试求NB的余弦cosB的值.

2a—1a—1

20.(8分)先化简，再求值：三-，JU其中。=&+L

<7-1a—2a—\a—1

21.（10分）如图，在nABCD中，DE±AB,BF±CD,垂足分别为E,F.求证：AADE^ACBF；求证：四边形

BFDE为矩形.

22.（10分）如图，在平面直角坐标系中，AAOB的三个顶点坐标分别为A（1,0）,O（0,0）,B（2,2）.以点。

为旋转中心，将△A05逆时针旋转90。，得到△4051.画出AAiOBi；直接写出点4和点B的坐标；求线段的

长度.

23.（12分）文艺复兴时期，意大利艺术大师达.芬奇研究过用圆弧围成的部分图形的面积问题.已知正方形的边长

是2,就能求出图中阴影部分的面积.

明：S矩形ABCD=SI+S2+S3=2,S4—，S5-，Sfi-+,S阴影=SI+SG=SI+S2+S3=.

24.（14分）我市某中学艺术节期间，向全校学生征集书画作品.九年级美术王老师从全年级14个班中随机抽取了4

个班，对征集到的作品的数量进行了分析统计，制作了如下两幅不完整的统计图.王老师采取的调查方式是

（填“普查,，或“抽样调查”），王老师所调查的4个班征集到作品共件，其中b班征集到作品件，

请把图2补充完整；王老师所调查的四个班平均每个班征集作品多少件？请估计全年级共征集到作品多少件？如果全

年级参展作品中有5件获得一等奖，其中有3名作者是男生，2名作者是女生.现在要在其中抽两人去参加学校总结

表彰座谈会，请直接写出恰好抽中一男一女的概率.

作品（件）

参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1、D

【解析】

设第一季度的原产值为a,则第二季度的产值为。（1+%%）,第三季度的产值为a（l+x%）2,则则第三季度

的产值比第一季度的产值增长了。（1+戈%―2.=（2+%％）x%

a

故选D.

2、D

【解析】

试题解析：55000000=5.5xl07,

故选D.

考点：科学记数法一表示较大的数

3、D

【解析】

根据反比例函数的性质和比例系数的几何意义逐项分析可得出解.

【详解】

2

①由于A、B在同一反比例函数y=—图象上，由反比例系数的几何意义可得SAODB=SA℃A=1,正确；

②由于矩形OCMD、△ODB>△OCA为定值，则四边形MAOB的面积不会发生变化，正确；

③连接OM,点A是MC的中点，贝！|SAODM=SAOCM=@,因SAODB=SAOCA=1,所以△OBD和△OBM面积相等，点B

2

一定是MD的中点.正确；

考点：反比例系数的几何意义.

4、D

【解析】

、）"V*、,2"Y-2

2

因为（x+y）2-x+2碎+,2,所以12+,2=（X+y）2_2孙=22—2x—2=8,因为2+—二-------二—^二—4,故选

xyxy-2

D.

5、A

【解析】

由题意可知，点A与点Ai关于原点成中心对称，根据图象确定点A的坐标，即可求得点Ai的坐标.

【详解】

由题意可知，点A与点Ai关于原点成中心对称，

点A的坐标是（-3,2）,

...点A关于点O的对称点A，点的坐标是（3,-2）.

故选A.

【点睛】

本题考查了中心对称的性质及关于原点对称点的坐标的特征，熟知中心对称的性质及关于原点对称点的坐标的特征是

解决问题的关键.

6、B

【解析】

试题分析：根据俯视图是分别从物体上面看，所得到的俯视图是四边形的几何体有正方体和三棱柱，

故选B.

考点：简单几何体的三视图

7、D

【解析】

分a>0和a<0两种情况分类讨论即可确定正确的选项

【详解】

当a>0时，函数y=3的图象位于一、三象限，y=-ax2+a的开口向下，交y轴的正半轴，没有符合的选项，

X

当a<0时，函数y=色的图象位于二、四象限，y=-ax2+a的开口向上，交y轴的负半轴，D选项符合；

x

故选D.

【点睛】

本题考查了反比例函数的图象及二次函数的图象的知识，解题的关键是根据比例系数的符号确定其图象的位置，难度

不大.

8、D

【解析】

设点B的横坐标为x,然后表示出BC、B'C的横坐标的距离，再根据位似变换的概念列式计算.

【详解】

设点B的横坐标为x,则B、C间的横坐标的长度为-1-x,B\C间的横坐标的长度为a+1,

VAABC放大到原来的2倍得到△ABrC,

/.2(-1-x)=a+l,

解得x=-----(a+3),

2

故选：D.

【点睛】

本题考查了位似变换，坐标与图形的性质，根据位似变换的定义，利用两点间的横坐标的距离等于对应边的比列出方

程是解题的关键.

9、D

【解析】

科学记数法的表示形式为axlOn的形式，其中lW|a|V10,n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移

动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负

数.

【详解】

解：10700=1.07xl04,

故选：D.

【点睛】

此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为axion的形式，其中10a|VlO,n为整数，表示时关键要

正确确定a的值以及n的值.

10、C

【解析】

根据多项式除以单项式法则、同底数塞的乘法、积的乘方与塞的乘方及合并同类项法则计算可得.

【详解】

A、(x3-x2+x)4-X=X2-X+1,此选项计算错误；

B、(-a2)»a3=-a5,此选项计算错误;

C、(-2x2)3=8x6,此选项计算正确；

D、4a2-(2a)2=4a2-4a2=0,此选项计算错误.

故选：C.

【点睛】

本题主要考查整式的运算，解题的关键是掌握多项式除以单项式法则、同底数塞的乘法、积的乘方与塞的乘方及合并

同类项法则.

二、填空题(共7小题，每小题3分，满分21分)

.1

11-.k<—.

4

【解析】

分k=l及k彳1两种情况考虑：当k=l时，通过解一元一次方程可得出原方程有解，即k=l符合题意；等k^l时，由4>1

即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围.综上此题得解.

【详解】

当k=l时，原方程为-x+2=l,

解得：x=2,

•*.k=l符合题意；

当片1时，有△=[-(2k+l)]2-4k(k+2)>1,

解得：且胫1.

4

综上：k的取值范围是长工.

4

故答案为：k<—.

4

【点睛】

本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，分k=l及k^l两种情况考虑是解题的关键.

12、

【解析】

由题意得：当顶点在M处，点A横坐标为-3,可以求出抛物线的a值；当顶点在N处时，y=a1+c取得最小值，即可

求解.

【详解】

解：由题意得：当顶点在M处，点4横坐标为-3,

则抛物线的表达式为：产a(x+1)2+4,

将点A坐标(-3,0)代入上式得：0=a(-3+1)2+4,

解得：a=-l,

当x=-l时，y=a-b+c,

顶点在N处时，y=a-b+c取得最小值，

顶点在N处，抛物线的表达式为：j=-(x-3)2+1,

当x=-l时，y=a-b+c=-(-1-3)2+1=-1,

故答案为-1.

【点睛】

本题考查的是二次函数知识的综合运用，本题的核心是确定顶点在M、N处函数表达式，其中函数的a值始终不变.

13、1.

【解析】

根据在AABC中，ZA：ZB：ZC=1：2：3,三角形内角和等于180。可得NA,ZB,NC的度数，它的最小边的长

是2cm,从而可以求得最大边的长.

【详解】

^.^在△ABC中,N4:N3:NC=1:2:3,--_

,•二二=3片二二=此二二=时,

I,最小边的长是2cm,

:.a=2.

/.c=2a=lcm.

故答案为：1.

【点睛】

考查含30度角的直角三角形的性质，掌握30度角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键.

14、ya>l

【解析】

设点A的坐标为(m,n),由题意可知n=mi,从而可知抛物线©为丫=(x-m)I+n,化简为y=xi-lmx+lmi,将x=l

代入y=x」mx+lmi,利用二次函数的性质即可求出答案.

【详解】

设点A的坐标为(m,n),m为全体实数，

由于点A在抛物线y=/上，

•1

由于以A为顶点的抛物线C为y=x1+bx+c,

・•・抛物线(：为丫=(x-m)Un

化简为：y=x1-lmx+m1+n=x1-lmx+lm1,

・,•令x=l,

**•ya=4-4m+lm1=l(m-1)J+1>1,

:.ya>l,

故答案为ya>l

【点睛】

本题考查了二次函数的性质，解题的关键是根据题意求出ya=4-4m+lmi=l(m-1)M.

15、1

【解析】

根据已知DE〃BC得出42=%进而得出BC的值

ABBC

【详解】

'JDE//BC,AD=6,BD=2,DE=3>,

：./\ADE^/\ABC,

.ADDE

••一f

ABBC

••一，

8BC

：.BC=1,

故答案为1.

【点睛】

此题考查了平行线分线段成比例的性质，解题的关键在于利用三角形的相似求三角形的边长.

16、①②③④.

【解析】

由正方形的性质得出NE4O=90。，AD^AF^EF,证出NCAO=NA尸G,由AAS证明△尸GAgaAC。，得出AC=

FG,①正确；

证明四边形CBFG是矩形，得出SAFAB=-FB^FG=-S四边形CBFG,②正确；

22

由等腰直角三角形的性质和矩形的性质得出NA5C=/AB歹=45。，③正确；

证出AACDs△厂E0,得出对应边成比例，得出④正确.

【详解】

解：•••四边形AOEF为正方形，

：.ZFAD^90°,AD^AF^EF,

：.ZCAD+ZFAG=90°,

•.•尸G_LCA,

，ZGAF+ZAFG=90°,

：.ZCAD^ZAFG,

在小FGAACD中，

"ZG=ZC

<ZAFG=ZCAD,

AF=AD

.,.△FGA之△AC。（AAS）,

：.AC=FG,①正确；

"：BC^AC,

：.FG=BC,

'：ZACB=90°,FGLCA,

J.FG//BC,

二四边形CBFG是矩形，

.".ZCBF=90°,SFAB^-FB*FG=~S四边形CbbG，②正确；

A22

,：CA=CB,ZC=ZCBF=90°,

/.ZABC^ZABF=45°,③正确；

VZFQE=ZDQB=AADC,ZE=ZC=90°,

：./\ACD^/\FEQ,

：.ACzAD=FE；FQ,

：.AD*FE^AD2^FQ»AC,④正确；

故答案为①②③④.

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、矩形的判定与性质、等腰直角三角

形的性质；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解决问题的关键.

17、107°

【解析】

过C作d〃a,得到a〃b〃d,构造内错角，根据两直线平行，内错角相等，及平角的定义，即可得到N1的度数.

【详解】

过C作A//a,.*.a/Zb,；・a〃b〃d,

°

\A<

B

•四边形ABCD是正方形，AZDCB=90°,VZ2=73°,AZ6=90°-Z2=17°,

；b〃d,AZ3=Z6=17°,/.Z4=90°-Z3=73°,AZ5=180°-Z4=107°,

；a〃d,.•.Nl=N5=107。,故答案为107°.

【点睛】

本题考查了平行线的性质以及正方形性质的运用，解题时注意：两直线平行，内错角相等.解决问题的关键是作辅助

线构造内错角.

三、解答题(共7小题，满分69分)

18、(1)见解析(2)7.5

【解析】

(1)只要证明NA+NB=90。，NADE+NB=90。即可解决问题；

(2)首先证明AC=2DE=10,在RtAADC中，求得DC=6,设BD=x，在RtABDC中，BC2=x?+62,在RtAABC中，

BC2=(X+8)2-102,可得X2+62=(X+8)2」()2,解方程即可解决问题.

【详解】

(1)证明：连接OD,

VDE是切线，

.\ZODE=90°,

.\ZADE+ZBDO=90o,

；NACB=90°,

NA+NB=90°,

VOD=OB,

/.ZB=ZBDO,

:.NA=NADE；

(2)连接CD,VZA=ZADE

；.AE=DE,

；BC是。O的直径，ZACB=90°,

；.EC是。O的切线，

/.ED=EC,

.*.AE=EC,

VDE=5,.*.AC=2DE=10,

在RtAADC中，DC=J102_82=6,

设BD=x，在RtABDC中，BC2=x2+62,

在RtAABC中，BC2=(x+8)2-102,

.\X2+62=(X+8)2-102,

解得x=4.5,

；.BC=击?+4.52=7.5

【点睛】

此题主要考查圆的切线问题，解题的关键是熟知切线的性质.

19、(1)-；(2)炎；(3)

435

【解析】

试题分析：(1)先利用勾股定理计算出AC=4,然后根据余切的定义求解;

]

(2)根据余切的定义得到ctan60°=然后把tan60*加代入计算即可;

tan60°

(3)作AH1BC于H,如图2,先在RtAACH中利用余切的定义得到ctanC=^=2,则可设AH=x,CH=2x,BH=BC

222

-CH=20-2x,接着再在RtAABH中利用勾股定理得到（20-2x）+x=10,解得xi=6,x2=10（舍去），所以BH=8,

然后根据余弦的定义求解.

解：⑴VBC=3,AB=5,

AC=52-3，

•,«BC3

・・ctanB=—=一；

AC4

(2)ctan60°=-

tan60V33

(3)作AHLBC于H,如图2,

ur

在RtAACH中，ctanC="=2,

AH

设AH=x,贝！］CH=2x,

/.BH=BC-CH=20-2x,

在RtAABH中，•:BH2+AH2=AB2,

:.(20-2x)2+x2=102,解得xi=6,X2=10(舍去),

.*.BH=20-2x6=8,

图2

考点：解直角三角形.

172

20、

a-1'2

【解析】

先根据完全平方公式进行约分化简，再代入求值即可.

【详解】

a-1,2T1H1将”=0L+i代入得’原式=百1==g1=J.?故答案为巫.

原式=————----------1=-----

a-1(a-1)2a-12

【点睛】

本题主要考查了求代数式的值、分式的运算，解本题的要点在于正确化简，从而得到答案.

21、（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】

(1)由DE与AB垂直，BF与CD垂直，得到一对直角相等，再由ABCD为平行四边形得到AD=BC,对角相等，

利用AAS即可的值；

(2)由平行四边形的对边平行得到DC与AB平行，得到NCDE为直角，利用三个角为直角的四边形为矩形即可的

值.

【详解】

解：⑴VDE1AB,BF±CD,

/.ZAED=ZCFB=90°,

•••四边形ABCD为平行四边形，

/.AD=BC,ZA=ZC,

在^ADE^HACBF中，

ZAED=NCFB

{ZA=ZC,

AD=BC

/.△ADE^ACBF(AAS)；

(2)•••四边形ABCD为平行四边形，

/.CD#AB,

:.ZCDE+ZDEB=180°,

VZDEB=90°,

.\ZCDE=90°,

/.ZCDE=ZDEB=ZBFD=90°,

则四边形BFDE为矩形.

【点睛】

本题考查L矩形的判定；2.全等三角形的判定与性质；3.平行四边形的性质.

22、(1)作图见解析；(2)Ai(0,1),点为(-2,2).(3)242

【解析】

(1)按要求作图.

(2)由(1)得出坐标.

(3)由图观察得到，再根据勾股定理得到长度.

【详解】

解：(1)画出AAiOBi,如图.

(3)OBi=0B=J22+22=2后.

【点睛】

本题主要考查的是绘图、识图、勾股定理等知识点，熟练掌握方法是本题的解题关键.

23、Si,S3,S4,S5,1

【解析】

利用图形的拼割，正方形的性质，寻找等面积的图形，即可解决问题.

【详解】

由题意：S矩形ABCD=S1+S1+S3=1,

S4=S1,Ss=S3>