2025年高考数学一轮复习：集合（解析版）

第一章集合、常用逻辑用语、不等式

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新高考卷三年考情图解高考命题规律把握

1.常考点：集合.

常与一元二次不等式交汇命题，主要考查一元

二次不等式的解法及集合的交、并、补运算.

2.轮考点：常用逻辑用语、不等式的性质、

考点

基本不等式.

基本不等式1112

不等式的性质与解法11(1)充分、必要条件的判断常与数列、平面向量

全称量词、存在量词

等知识交汇命题，注重对基本概念、基本性质

充要条件17

集合I1D2I1D1I1D2的考查；

202120222023年格

⑵全称量词与存在量词命题常考查其否定形

式的识别；

(3)不等式的性质主要是数(式)的大小比较；

(4)基本不等式主要体现在求代数式的最值.

第1课时集合

［考试要求］1.了解集合的含义，了解全集、空集的含义2理解元素与集合的

属于关系，理解集合间的包含和相等关系.3.会求两个集合的并集、交集与补

集.4.能用自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题，能使用Venn

图表示集合间的基本关系和基本运算.

［链接教材•夯基固本］落实主干•激活技能

C梳理•必备知识

1.集合与元素

(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.

(2)元素与集合的两种关系：属于和不属于，分别用符号至和生表示.

(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法和图示法.

(4)五个特定的数集的表示

集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集

记法NN*(或N+)ZQR

2.集合间的基本关系

(1)子集：一般地，对于两个集合4B,如果集合Z中任意一个元素都是集合5

中的元素，就称集合N为集合5的子集，记作ZU8或(824).

(2)真子集：如果集合但存在元素且x生4就称集合Z是集合8的

真子集，记作/8或(5胡).

(3)相等：若ZG8,且匹W，则Z=A

提醒：(1)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.

(2)若集合Z有〃(〃21)个元素，则集合Z有2"个子集，有2"—1个真子集，有

2”—2个非空真子集.

3.集合的基本运算

并集交集补集

图形

u0

表示AUBCAQOBCM

集合A^B=,或AC\B=,且CuA=^x\x^U,ILx

表示生出

［常用结论］

1.4CB=4=4£B,AUB=A<^BQA.

2.card(ZU8)=card(/4)+card(/，)一card(/4QB).

3.(C必)n(c毋)约；(C必)u(c苏)=仁乩10㈤.

C激活•基本技能

一、易错易混辨析(正确的打“J”，错误的打“X”)

(1)集合{%©1^,3=X},用列举法表示为{—1,0,1}.()

(2){x［y=x2}={y\y=x2］={(x,j)［y=x2).()

⑶若1G{/,x},则x=—1或x=l.()

(4)直线y=x+3与了=—2x+6的交点组成的集合是{1,4}.()

［答案］(1)X(2)X(3)X(4)X

二、教材经典衍生

1.(人教A版必修第一册P8例1改编)集合/={2,3,4}的子集有()

A.4个B.6个C.8个D.9个

C[A=[2,3,4}的子集个数为23=8,故选C.]

2.(多选)(人教A版必修第一册P5习题改编)若集合/={x.2—1=0},则

下列结论正确的是()

A.1EAB.{—1曰

C.0QAD.{-1,1}第Z

[答案]ABC

3.(人教A版必修第一册P35T9改编)(2023•新高考H卷)设集合/={0,-«),B

={1,a-2,2a—2},若ZG8,则a=()

A.2B.1

2

C.-D.-1

3

B[依题意，有a—2=0或2a—2=0,当a—2=0时，解得。=2,此时Z={0,

-2},B={1,0,2},不满足ZG8;当2a—2=0时，解得a=l,此时Z={0,

-1},B={-1,0,1},满足NCR所以a=l,故选B.]

4.(人教A版必修第一册Pi4T4改编)设全集为R,集合Z={x|3WxV9},B={x|(x

-2)(x-10)<0},则CR(NU5)=,(Cm)08=.

{x|xW2或x210}{x|2Vx<3或9Wx<10}[由题意，集合Z={x|3Wx<9},8

={x|2<x<10},

可得ZU8={x|2VxV10},所以CR(ZU8)={X|XW2或xN10},

又由CRN={x|x<3或xN9},所以(CR/)D5={x[2Vx<3或9WxV10}.]

[典例精研•核心考点]重难解惑•直击高考

考点一集合的概念

[典例1](1)已知集合2={1,2,3},则3={(x,y)\x^A,,一川©2}中

所含元素的个数为()

A.2B.4

C.6D.8

(2)已知集合2={机+2,2m2+m],若3©Z,则机的值为.

(1)C(2)-1[(1)因为幺={1,2,3},

所以8={(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2)},即8中含6个元素.故

选C.

(2)由题意得m+2=3或2m2+m=3,

则m=\或m=--.

当m=l时，加+2=3且2加2+加=3,根据集合中元素的互异性可知不满足题意；

21a

当掰=—5时，掰+2=于而2掰2+加=3,符合题意，故机=--.]

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非空有限数集S满足：若a,b《S,则必有°2,〃，ab^S,则满足条件且含有

两个元素的数集5=.(写出一个即可)

{0,1}(或{-1,1})[由题意，不妨设S={a,b},根据题意有序,ab,b2^S,

所以小，ab,按中必有两个是相等的，

若a2=b2于ab,则a=-b,故ab=一层，又把=a,或屋=/?=一4，

所以a=0(舍去)或a=1或a=—1,此时S={-1,1};

若。2=仍?62,则口=0,此时人2=6,故6=1或6=0(舍去)，此时S={0,1},

若b2=ab*a2,则b=0,此时序=4,故口=1或口=0(舍去)，此时S={0,1},

综上，S={0,1},或5={-1,1}.]

名师点评解决集合含义问题的注意点

一是确定构成集合的元素；二是确定元素的限制条件；三是根据元素的特征(满

足的条件)构造关系式解决相应问题.

[跟进训练]

1.(1)(2023•上海高考)已知集合尸={1,2},Q={2,3},若凶={小£尸且x庄

Q},则/=()

A.{1}B.{2}

C.{1,2}D.{1,2,3}

(2)已知集合幺={久ez},则集合幺中的元素个数为()

A.3B.4

C.5D.6

(1)A(2)C[(1)VP={1,2},Q={2,3},M={x\x^Px^Q},：.M={1}.故

选A.

(2):•工©Z,.'.x—2的取值有-4,-2,-1,1,2,4,的值分别为一2,0,

x—2

1,3,4,6,

又xGN,故x的值为0,1,3,4,6.

故集合Z中有5个元素.]

考点二集合间的基本关系

[典例2]⑴(2023•江苏南京'盐城一模)设〃={巾=：,/CGZ),N=

{尤k=k+；,kcz},则()

A.M^NB.NiM

C.M=ND.MCN=0

(2)已知集合/={x|—3WxW4},8={x|27〃一IWXW机+1},且8GN,则实数机

的取值范围是.

(1)B(2)[-1,+8)[(1)因为》=k+[=等，因为左GZ,所以2左+1为奇数，

故2M

故选B.

(2)①当8=0时，2机一1＞机+1,解得机＞2;

2m—iWm+1,

2m一12—3,解得一1WMW2.

{m+1W4,

综上，实数加的取值范围是[—1,+8).]

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在本例(2)中，若把改为历/,则实数加的取值范围是.

[―1,+°°)[①当5=0时，2加一1＞加+1,所以加＞2;

2m—IWTM+1,

2m-1^-3,

{771+1＜4,

2m—IWzn+1,

2m—1＞—3,解得一1W加W2.

{m+1W4,

综上，实数加的取值范围是[—1,+8).]

名师点评已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端

点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等直观表示解

决这类问题的过程，特别注意端点值的取舍，“=”加不加.

提醒：空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，

否则易造成漏解.

［跟进训练］

2.⑴（2024•广东肇庆期中）设集合/={小2—"+15=0},集合5=3"一1=

0）,若则实数。取值集合的真子集的个数为（）

A.2B.3

C.7D.8

(2)(2024•福建厦门模拟)设集合N={x|lWxW3},集合8==1T},若

&CB,写出一个符合条件的集合C,则。=.(写出一个即可)

(1)C(2){x|lWxW4}(答案不唯一)[(1)由X2—8X+15=0,得(》一3)(》-5)=0,

解得x=3或x=5,所以/={3,5}.

当a=0时，B=0,满足8G4

当时，,因为所以或得口=；或.

aWOBkajaB£aA,-=33-=55,

综上，实数a的取值集合为{0,I，1),所以实数a取值集合的真子集的个数为

23—1=7.故选©.

(2)2={x|lWxW3},B={x\x^l},

若4GB,则可有C={x|lWxW4}.]

考点三集合的基本运算

考向1集合的运算

[典例3](1)(2023•新高考3卷)已知集合”={—2,-1,0,1,2},N={x|x2

—x—6N0},则/AN=()

A.{-2,-1,0,1}B.{0,1,2}

C.{-2}D.{2}

⑵全集。={小＜10,xGN*},A£U,BQU,(C毋)n/={l,9},A^B={3},(C

M)n(CuB)={4,6,7},贝IMU8=.

(1)C(2){1,2,3,5,8,9}[(l)Vx2-x-6^0,：.(x-3)(x+2)^0,..xC3

或xW—2,

N={x|xW—2,或x23},则MAN={—2}.

故选C.

(2)由已知条件可得。={1,2,3,4,5,6,7,8,9},画出Venn图如图所示.

由图可得ZU8={1,2,3,5,8,9}.]

考向2利用集合的运算求参数

[典例4]已知集合/=任片—4W0},8={x|2x+aW0},若ZU5=5,则实数a

的取值范围是()

A.(—8,—2)B.(—8,—2]

C.(-4,+8)D.(—8,-4]

D[集合N={x|-2WxW2},8=—胃，由ZU8=8可得作出数轴

图

如

可知一彳三2,即aW—4.]

名师点评解决集合运算问题的注意点

(1)看元素构成，集合中元素是数还是有序数对，是函数的自变量还是函数值.

(2)对集合进行化简，即解不等式，解方程，求定义域、值域等，通过化简可以

使问题变得简单明了.

(3)注意数形结合思想的应用，集合运算常用的数形结合形式有数轴和Venn图.

(4)端点值验证.

[跟进训练]

3.(1)(2023•全国乙卷)设集合U=R,集合〃={x|x<l},N={x[—l<x<2},则

{x|xN2}=()

A.C"MUN)B.NUCuM

C.C&MCN)D.MUCuN

(2)(2024年1月九省联考卷)已知集合/={—2,0,2,4},8={x||x—3|W机},

若/nB=z,则加的最小值为.

(1)A(2)5[(1)由题意，MUN={x\x<2},又。=R,所以Cu(MUN)={x\x^2],

故选A.

(2)由4n5=4,则4旦,

由,_3|W加，得一加+3WxW加+3,

+3,77121,

故有即即加25,

—22—m+3,.77125,

即加的最小值为5.]

口考点四Venn图的应用及创新性问题

[典例5](1)如图所示，A,5是非空集合，定义集合Z㊉5为阴影部分表示的集

合.若x,y©R，N={x|0WxW2},B={y\y=3x,x>0},则2必8=.

(2)某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两

个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26,15,13,同时参加

数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学

和化学小组的有人.

(1)[0,1]U(2,+°0)(2)8[(1)由题可知8=(1,+8),所以205=(1,2].

由题意得幺㊉8=C4(Zn8)UCB(NC8)=[0,1]U(2,+«=).

(2)设参加数学、物理、化学小组的人构成的集合分别为2,B,C,同时参加数

学和化学小组的有x人，由题意可得如图所示的Venn图.

由全班共36名同学可得(26—6—/+6+(15—4—6)+4+(13—4一%)+》=36,解

得x=8,即同时参加数学和化学小组的有8人.]

名师点评Venn图具有形象直观的特征，应用Venn图可以解决两大类问题：一

是处理部分有限集合的元素个数的计数问题；二是解决抽象集合的运算问题或判

断集合间的关系问题.

[跟进训练]

4.(1)已知集合P,0均为R的子集，且(CRQ)UP=R,则()

A.尸n0=RB.PQQ

C.QQPD.尸UQ=R

(2)某中学为了解本校学生阅读《西游记》和《红楼梦》的情况，随机调查了100

位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼

梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60

位，则阅读过《西游记》的学生人数为()

(1)C(2)B[(1)如图所示，集合尸，。均为R的子集，且满足(CR0)UP=R,

所以QQP.

所以阅读过《西游记》的学生人数为10+60=70.

故选B.]

课时分层作业(一)集合

[A组在基础中考查学科功底]

一、单项选择题

1.(2023•北京高考)已知集合M={x|x+220},N={x|x—l<0}MJ/nN=()

A.{x|—2Wx<l}B.{x[—2<xWl}

C.{x\x^-2}D.{x|x<l}

A[由题意，M={x\x^-2},N={x|x<l},

所以MnN={x|—2Wx<l}.故选A.]

2.已知全集。=2集合幺={xG52WxW10},8={x|x为素数},则ZACuB

=（）

A.{4,6,8,10}B.{4,5,6,8,9}

C.{2,4,6,8,10}D.{4,6,8,9,10}

D[由zncuB,即为2WxW10,XGN中不是素数的数组成的集合，

则zncuB={4,6,8,9,10}.故选D.]

3.（2024•广州模拟）设集合川={小2—2x—3<0,x@Z},则集合M的真子集个

数为（）

A.8B.7

C.4D.3

B[集合Af={x|N-2x—3<0,xGZ}={x|（x—3）（x+1）<0,xGZ}={0,1,2},

则集合〃中元素个数为3,

故集合"的真子集个数为23—1=7.

故选B.]

4.（2024•山东滨州模拟）已知集合/={1,2},5={x|mx-2=0},若BQA,则

实数机=（）

A.2B.1

C.1或2D.0或1或2

D[因为幺={1,2},B={x\mx-2=0},

若B=,则8=0或8={1}或8={2},

当B=0时，m=0,

当8={1}时，m=2,

当8={2}时，机=1.故选D.]

5.（2023•山东威海二模）已知全集t/={x|0<x<5},集合/满足C必={x|l<x<3},

则（）

A.1生ZB.2Gz

C.3^AD.4GZ

D[因为U={x[0<x<5},且CuA={x\i<x<3},

所以N={x|O<xWl或3Wx<5},所以1GZ,2^A,3G44G4故选D.]

6.(2023•山东济宁三模)若集合/={(x,y)|x+y=4,x©N,jEN},B={(x,

y)\y>x},则集合ZAB中的元素个数为()

A.0B.1

C.2D.3

C[因为因={(羽y)\x+y=4,CN,yWN}={(0,4),(1,3),(2,2),(3,1),

(4,0)},又8={(x,y)\y>x],所以208={(0,4),(1,3)},即集合ZAB中含

有2个元素.故选C.]

7.(2024•湖北十堰模拟)若集合幺={刈；=返}，B={y\y=2x,x^A},则()

A.A^B=0B.ZU8=R

C.B^AD.AQB

C[因为2={%b=a}=[0,+°°),B={y\y=2x,x^A}=[l,+°°),所以8c4

故选C.]

8.(2023•湖北华中师大附中一模)满足等式{0,1}UX={久Gq好=行的集合x

共有()

A.1个B.2个

C.3个D.4个

D[因为{%eR|%3=灯={0,1,-1),所以{0,1}UX={O,1,-1),所以符

合该等式的集合万为万={-1},x={-1,1},X={0,-1},X={Q,1,-1),

故这样的集合X共有4个.故选D.]

二、多项选择题

9.已知非空集合/满足：①旌{—2,-1,1,2,3,4},②若则

则集合〃可能是()

A.{-1,1}B.{—1,1,2,4}

C.{1}D.{1,-2,2}

AC[由题意可知3生/且40/,而一2或2与4同时出现，所以一2生河且2千

M,

所以满足条件的非空集合/有{-1,1},{1}.]

10.(2023•山东潍坊一模)若非空集合N,尸满足：MCN=N,MUP=P,

贝U()

A.PQMB.MCP=M

C.NUP=PD.MACPN=0

BC[由/AN=N可得NGM,由MUP=P,可得MNP,则推不出尸GM,故选

项A错误；

由MEP可得MCP=M,故选项B正确；

因为NJM且MNP,所以NJP,则NUP=P,故选项C正确；

由NGM可得/ACPN不一定为空集，故选项D错误.故选BC.]

三、填空题

11.已知集合幺={1,3,m2},B={Lm}.若/U5=N,则实数机=.

0或3[因为ZU8=N,所以5G4

因为N={1,3,m2},B={1,m},所以加2=m或加=3,解得掰=0或机=1或

掰=3.

当机=0时，A=[1,3,0},B={1,0},符合题意；

当机=1时，集合2,集合8均不满足集合元素的互异性，不符合题意；

当加=3时，A={1,3,9},B={1,3},符合题意.

综上，m=0或3.]

12.某小学对小学生的课外活动进行了调查.调查结果显示：参加舞蹈课外活动

的有63人，参加唱歌课外活动的有89人，参加体育课外活动的有47人，三种

课外活动都参加的有24人，只选择两种课外活动参加的有46人，不参加其中任

何一种课外活动的有15人.则接受调查的小学生共有人.

120[如图所示，用Venn图表示题设中的集合关系，不妨将参加舞蹈、唱歌、

体育课外活动的小学生分别用集合Z,B,C表示，贝Icard(Z)=63,card(8)=89,

card(C)=47,card(ZCBPlC)=24,

不妨设总人数为〃，Venn图中三块区域的人数分别为x,y,z,即card(ZC8)=

24+x,card(NCC)=y+24,card(8CC)=z+24,x+v+z=46,由Venn图可知,

〃—15=card(4)+card(5)+card(C)—card(4Pl5)—card(4PlQ—card(5ClC)+

card(^n5n0=63+89+47-(24+x)-(24+y)-(24+z)+24,解得〃=120.]