浙江省宁波市部分学校2024-2025学年九年级开学测试数学试题（解析版）

2024学年第一学期九年级开学测试数学试卷一、选择题（每题3分，共15分）1.下列各式中，为最简二次根式的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据最简二次根式的概念判断即可．【详解】解：A、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；B、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意；C、，被开方数中含能开得尽方的因式，不是最简二次根式，不符合题意；D、是最简二次根式，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查的是最简二次根式的概念，掌握被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式是解题的关键．2.用反证法证明命题：“已知△ABC，AB＝AC；求证：∠B90°．”第一步应先假设（）A.∠B≥90° B.∠B＞90° C.∠B＜90° D.AB≠AC【答案】A【解析】【分析】直接利用反证法的第一步分析得出答案即可．【详解】解：命题：“已知△ABC，AB＝AC；求证：∠B90°．”的结论为∠B90°且反证法第一步应先假设结论不成立第一步应先假设∠B≥90°故选：A．【点睛】本题考查反证法的步骤，即①假设命题的结论不成立；②从这个结论出发，经过论证，得出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果；③证明命题的结论一定成立．3.如图，将矩形纸片沿折叠，得到，与交于点．若，则的度数为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据矩形的性质得出，，则，根据折叠的性质得出，进而根据即可求解．【详解】解：∵四边形是矩形，，∴，，∴∵将矩形纸片沿折叠，得到，，∴∴故选：A．【点睛】本题考查了矩形与折叠问题，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．4.“古越龙山”酿酒公司由于注重对市场调研和新产品的研发，新研制的某款瓶装酒获得市场的认可，今年四月份销售了50万瓶，按市场供需趋势预计今年二季度可销售182万瓶．设该款酒的销售量今年五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据增长后的量=增长前的量×（1+增长率），设该款酒的销售量今年五、六月份平均每月的增长率为x，那么可以用x分别表示五、六月份的销售量，然后根据题意可得出方程．【详解】解：依题意得五、六月份的销售量为50(1+x)、50(1+x)2，∴50+50(1+x)+50(1+x)2=182．故选：B．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，增长率问题，一般形式为a(1+x)2=b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．5.已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），下列命题是真命题的有（）①若a＋2b＋4c＝0，则方程ax2＋bx＋c＝0必有实数根；②若b＝3a＋2，c＝2a＋2，则方程ax2＋bx＋c＝0必有两个不相等的实根；③若c是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根，则一定有ac＋b＋1＝0成立；④若t是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，则b2﹣4ac＝（2at＋b）2．A.①② B.②③ C.①④ D.③④【答案】C【解析】【分析】①正确，利用判别式判断即可．②错误，a=-2时，方程有相等的实数根．③错误，c=0时，结论不成立．④正确，利用求根公式，判断即可．【详解】解：①∵a+2b+4c=0，∴a=-2b-4c，∴方程为（-2b-4c）x2+bx+c=0，∴Δ=b2-4（-2b-4c）•c=b2+8bc+16c2=（b+4c）2≥0，∴方程ax2+bx+c=0必有实数根，故①正确．②∵b=3a+2，c=2a+2，∴方程为ax2+（3a+2）x+2a+2=0，∴Δ=（3a+2）2-4a（2a+2）=a2+4a+4=（a+2）2，当a=-2时，Δ=0，方程有相等的实数根，故②错误，③当c=0时，c是方程ax2+bx=0的根，但是b+1不一定等于0，故③错误．④∵t是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，∴t=，∴2at+b=±，∴b2-4ac=（2at+b）2，故④正确，故选：C．【点睛】本题考查命题与定理，一元二次方程的根的判别式，公式法解一元二次方程等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．二、填空题（每题3分，共15分）6.若x+1在实数范围内有意义，则x的取值范围是______【答案】x≥-1【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，列不等式求解即可．【详解】由题意可知x+1≥0，∴x≥-1．故答案为：x≥-1．【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，明确被开方数为非负数是解题关键．7.一个n边形内角和为1080°，则n=________．【答案】8【解析】【分析】直接根据内角和公式计算即可求解．【详解】解：（n﹣2）•180°=1080°，解得n=8．故答案8．【点睛】主要考查了多边形的内角和公式.多边形内角和公式：．8.正比例函数y1＝k1x（k1≠0）与反比例函数y2＝（k2≠0）的图象的一个交点是M（﹣3，2），若y2＜y1，则x的取值范围是____．【答案】x＜-3或0＜x＜3【解析】【分析】根据两函数的一个交点得出另一个交点为（3，-2），再找出正比例函数在反比例函数图象上方的部分对应的自变量的取值范围即可．【详解】解：由反比例函数与正比例函数的图象的一个交点是M（-3，2），∴另一个交点是（3，-2），当y2＜y1时，即正比例函数图象在反比例图象上方，∴x的取值范围是x＜-3或0＜x＜3，故答案为：x＜-3或0＜x＜3．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，关键是掌握正比例函数与反比例函数图象交点关于原点对称．9.如图，边长为10的菱形，点E是的中点，点是对角线的交点，矩形的一边在上，且，则的长为______．【答案】2【解析】【分析】根据菱形的性质和矩形的性质先证为的中位线，且可得，的长，根据勾股定理求出的长，进而可求得的长．【详解】解：菱形，边长为10，点E是的中点，点是对角线的交点，点是的中点，，，为的中位线，，四边形为矩形，，，又，，，故答案为：．【点睛】本题考查了菱形的性质，矩形的性质，三角形中位线的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识．10.如图1的图案称“赵爽弦图”，是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的．它由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形．我们在此图形中连接四条线段得到如图2的图案，记阴影部分的面积为，空白部分的面积为，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若，则的值为_____．【答案】【解析】【分析】可设图2阴影直角三角形另一条直角边为x，根据S1=S2，可得2x2=m2，则x=m，再根据勾股定理得到关于m，n的方程，可求的值．【详解】解：设图2中阴影直角三角形另一条直角边为x，依题意有

4×x2=m2，解得x=m，由勾股定理得(m)2+(n+m)2=m2，整理得：m2-2mn-2n2=0，解得m1=(1-3)n（舍去），m2=(1+3)n，则的值为．故答案为：．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，根据正方形的面积公式和三角形形的面积公式得出它们之间的关系是解题的关键．三、解答题（共45分）11计算：（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算．（1）先利用二次根式的性质化简，然后再进行加减运算即可．（2）先利用二次根式的性质化简，化简绝对值，然后计算二次根式的乘法，最后再进行二次根式的加减运算．【小问1详解】解：【小问2详解】12解方程：（1）（2）【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）先移项得到，然后利用因式分解法解方程；（2）利用因式分解法解方程．本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．【小问1详解】解：，∴，∴，∴，解得：；【小问2详解】解：，∴，∴，∴，解得：．13.为了解余姚市对“垃圾分类知识”的知晓程度，某数学学习兴趣小组对市民进行随机抽样的问卷调查，调查结果分为“A．非常了解”、“B．了解”、“C．基本了解”、“D．不太了解”四个等级进行统计，并将统计结果绘制成了如下两幅不完整的统计图（图1、图2），请根据图中的信息解答下列问题．（1）这次调查的市民人数为人，图2中，m=（2）补全图1中的条形统计图；（3）据统计，2017年余姚约有市民140万人，那么根据抽样调查的结果，可估计对“垃圾分类知识”的知晓程度为“B．了解”的市民约有多少万人？【答案】(1)1000,28;（2）见解析；（3）估计对“垃圾分类知识”的知晓程度为“B．了解”的市民约有49万人【解析】【分析】（1）根据C类的人数和所占的百分比求出调查的总人数，再根据A类的人数求出A类所占的百分比，从而求出n的值；（2）根据求出的总人数即可求出B类的人数，从而补全统计图；（3）用2017年余姚市约有的市民乘以“B．了解”所占的百分比即可得出答案．【详解】解：（1）本次调查的市民人数为200÷20%=1000人，m=×100=28．故答案为1000、28；（2）B等级人数为1000﹣（280+200+170）=350（人），补全图形如下：（3）140×=49（万人）．答：估计对“垃圾分类知识”的知晓程度为“B．了解”的市民约有49万人．【点睛】本题主要考查了条形统计图以及扇形统计图的运用，解题时注意：从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较．从扇形图上可以清楚地看出各部分数量和总数量之间的关系．14.如图，在▱ABCD中，点E、F为对角线BD的三等分点，连结AE，CF，AF，CE．（1）求证：四边形AECF为平行四边形；（2）若四边形AECF为菱形，且AE＝BE，求∠BAD的度数．【答案】（1）证明见解析；（2）120°【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质可得AB=CD，AB∥CD，由“SAS”可证△ABE≌△CDF，可得AE=CF，∠AEB=∠CFD，由平行四边形的判定可得结论；（2）由菱形的性质可得AE=BE=EF=AF=DF，可证△AEF是等边三角形，由等边三角形的性质可求解．【详解】解：证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，∴∠ABD=∠CDB，∵点E、F为对角线BD的三等分点，∴BE=EF=DF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SAS），∴AE=CF，∠AEB=∠CFD，∴∠AEF=∠CFE，∴AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形；（2）∵四边形AECF是菱形，∴AE=AF=CF=CE，又∵AE=BE，∴AE=BE=EF=AF=DF，∴∠EAB=∠EBA，∠EAF=∠EFA，∠FAD=∠FDA，△AEF是等边三角形，∴∠EAF=∠AFE=∠AEF=60°，∴∠BAE=30°，∠FAD=30°，∴∠BAD=120°．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，证明△AEF是等边三角形是解题的关键．15.如图，一次函数的图像与反比例函数的图像相交，其中一个交点的横坐标是2．（1）求反比例函数的表达式；（2）将一次函数的图像向下平移2个单位，求平移后的图像与反比例函数图像的交点坐标；（3）直接写出一个一次函数，使其过点，且与反比例函数的图像没有公共点．【答案】（1）；（2）；（3）（答案不唯一）【解析】【分析】（1）将x=2代入一次函数，求出其中一个交点是，再代入反比例函数即可解答；（2）先求出平移后的一次函数表达式，联立两个函数解析式得到一元二次方程即可解答；（3）设一次函数为y=ax+b（a≠0），根据题意得到b=5，联立一次函数与反比例函数解析式，得到，若无公共点，则方程无解，利用根的判别式得到，求出a的取值范围，再在范围内任取一个a的值即可．【详解】解：（1）∵一次函数的图像与反比例函数的图像的一个交点的横坐标是2，∴当时，，∴其中一个交点是．∴．∴反比例函数的表达式是．（2）∵一次函数的图像向下平移2个单位，∴平移后表达式是．联立及，可得一元二次方程，解得，．∴平移后的图像与反比例函数图像的交点坐标为（3）设一次函数为y=ax+b（a≠0），∵经过点，则b=5，∴y=ax+5，联立y=ax+5以及可得：，若一次函数图像与反比例函数图像无交点，则，解得：，∴（答案不唯一）．【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数图像交点问题以及函数图像平移问题，解题的关键是熟悉函数图像上点的特征，第（3）问需要先确定a的取值范围．16.如图①，点E为正方形ABCD内一点，，将绕点B按顺时针方向旋转90°，得到（点A的对应点为点C），延长AE交于点F，连接DE．（1）试判断四边形的形状，并证明你的判断；（2）如图②，若，证明：；（3）如图①，若，，请直接写出DE的长．【答案】（1）四边形BE'FE是正方形，理由见解析；（2）见解析；（3）．【解析】【分析】（1）由旋转的性质可得∠AEB=∠CE'B=90°，BE=BE'，∠EBE'=90°，由正方形的判定可证四边形BE'FE是正方形；（2）过点D作DH⊥AE于H，由等腰三角形的性质可得AH=AE，DH⊥AE，由“AAS”可得△ADH≌△BAE，可得AH=BE=AE，由旋转的性质可得AE=CE'，可得结论；（3）利用勾