初中数学中考复习讲义练习：几何模型菱形的存在性问题

菱形的存在性问题

一、方法突破

作为一种特殊的平行四边形，我们己经知道可以从以下几种方式得到菱形：

(1)有一组邻边相等的平行四边形菱形；

(2)对角线互相垂直的平行四边形是菱形；

(3)四边都相等的四边形是菱形.

坐标系中的菱形存在性问题也是依据以上去得到方法.和平行四边形相比，菱形多一个“对

角线互相垂直”或“邻边相等”，但这两者其实是等价的，故若四边形ABCD是菱形，则其4

个点坐标需满足：

xA+xc=xB+xD

<%+>c=%+%

-XB-+(%-%/=4)2+((C-%)2

考虑到互相垂直的两条直线斜率之积为1在初中并不适合直接用，故取两邻边相等.

即根据菱形的图形性质，我们可以列出关于点坐标的3个等式，

故菱形存在性问题点坐标最多可以有3个未知量，与矩形相同.

因此就常规题型而言，菱形存在性至少有2个动点，多则有3个动点，可细分如下两大类题

型：

(1)2个定点+1个半动点+1个全动点

(2)1个定点+3个半动点

解决问题的方法也可有如下两种：

思路1：先平四，再菱形

设点坐标，根据平四存在性要求列出“A+C=8+ZT(AC、BD为对角线)，再结合一

组邻边相等，得到方程组.

思路2：先等腰，再菱形

在构成菱形的4个点中任取3个点，必构成等腰三角形，根据等腰存在性方法可先

确定第3个点，再确定第4个点.

1.看个例子：

如图，在坐标系中，A点坐标(1,1),8点坐标为(5,4),点C在x轴上，点。在平面中,

求。点坐标，使得以A、B、C、。为顶点的四边形是菱形.

木y

B

A

*

~0-

思路1:先平四，再菱形

设C点坐标为(m,0),。点坐标为(p,q).

(1)当AB为对角线时，由题意得：(AB和C£＞互相平分及AC=2C)

39

m=一

1+5=m+p8

9

＜l+4=0+q,解得：＜p=-

8

222)2

(m-l)+(0-l)=(/n-5)+(O-4q=5

(2)当AC为对角线时，由题意得：(AC和互相平分及&1=8C)

1+m=5+pm=2m=8

1+0=4+q,解得：p=-2或，P=4

(1-5)2+(1-4)2=(m-5)2+(0-4)2q=-3q=-3

(3)当A。为对角线时，由题意得：

\+p=5+mm=1+2瓜m=l-2瓜

l+q=4+0,解得：v〃=5+2#或＜p=5-2A/6

(l-5)2+(l-4)2=(l-m)2+(l-O)2g=3q=3

思路2：先等腰，再菱形

先求点C,点C满足由A、B、C构成的三角形一定是等腰三角形，用等腰存在性问题的方

法先确定C,再确定。点.

（1）当时，

C点坐标为（1+2瓜0）,对应D点坐标为（5+2瓜3）；

C点坐标为（1-2&,0）,对应D点坐标为（5-2斯,3）.

（2）当时，

C点坐标为（8,0）,对应。点坐标为（4,-3）；

C点坐标为（2,0）,对应。点坐标为（-2,-3）.

（3）AC=BC时，

以上只是两种简单的处理方法，对于一些较复杂的题目，还需具体问题具体分析，或许有更

为简便的方法.

二、典例精析

例一：综合与探究

如图，抛物线y=/+Zzx+c与X轴交于&、8两点，与y轴交于C点，。4=2,OC=6,连接

AC和BC.

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点M是y轴上的动点，在坐标平面内是否存在点N,使以点A、C、M、N为顶点的

四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

【分析】

（1）抛物线：y=x1-x-6；

（2）先考虑M点位置，即由4、C、M三点构成的三角形是等腰三角形:

①当CA=CM时，

BPCM=CA=2-J10,M点坐标为他,一6-2亚卜（0,-6+2厢），

对应N点坐标为卜2,-2版）、（-2,2710）.

②当时，

BPAM=AC=M点坐标为（0,6）,

对应N点坐标为（2,0）.

③当时，

勾股定理可求得M点坐标为（0,-11

对应N点坐标为

综上，N点坐标为卜2,-2回卜卜2,2西）、（2,0）、[一2,-1].

如下图依次从左到右.

例二：综合与探究

如图1所示，直线y=x+c与x轴交于点A(-4,0),与y轴交于点C,抛物线y=-/+6龙+c经

过点A,C.

(1)求抛物线的解析式

(2)如图2所示，M是线段OA的上一个动点，过点M垂直于x轴的直线与直线AC和抛

物线分别交于点尸、N.若点尸恰好是线段的中点，点厂是直线AC上一个动点，

在坐标平面内是否存在点使以点D,F,P,M为顶点的四边形是菱形？若存在，

请直接写出点。的坐标；若不存在，请说明理由.

【分析】

(1)抛物线解析式：y=-f-3x+4；

(2)设M点坐标为(m,0)(-4<m<0),

则N点坐标为(切,-加-3:〃+4),尸点坐标为(》i,»i+4),

若产是MN中点，贝！|-7/-3切+4=2(加+4),

解得：=—1,m,=-4(舍)

故尸(-1,3)、M(-1,0)

考虑到尸点在直线AC上，故可先确定厂点位置，再求得。点坐标.

当时，

当MP=M歹时,

MP=MF,可得月（TO）,对应。点坐标为A（T，3）.

当b=尸拉时，

例三：如图，己知直线y=-2x+4分别交x轴、y轴于点A、B,抛物线过A、B两点，点

尸是线段AB上一动点，过点P作尸C，x轴于点C,交抛物线于点。.

（1）若抛物线的解析式为＞=-2/+2尤+4,设其顶点为其对称轴交于点N.

①求点M、N的坐标；

②是否存在点P,使四边形跖VPO为菱形？并说明理由.

y

/0\c\X

【分析】

(l)①M点坐标为1,£|,N点坐标为&,3).

②由题意可知“V〃尸。，故四边形MNP。若是菱形，首先MN=PD

考虑到M、N是定点，可先求得MN=」，

2

设P(m,—2m+4),贝！|2m2+2m+4),

PD=-2m2+2m+4—(—2m+4)=—2m2+4m,

33

令PD=—,即一2W+4机=二，

22

解得：rriy=—f%=3.

"292

故尸点坐标为。点坐标为g，i)

但此时仅仅满足四边形MNPD是平行四边形，本题要求的是菱形，故还需加邻边相

等.

但此时P、。已定，因此接下来要做的只是验证邻边是否相等.

由两点间距离公式得：PN=一；j+0一3)2=逐片｝

PN丰MN,故不存在点P使四边形MNPD是菱形.

【小结】为什么此题会不存在，表面上看是不满足邻边相等，究其原因，是因为M、N是

定点，P、。虽为动点但仅仅是半动点，且尸、O横坐标相同，故本题只需一个字母便可表

示出4个点的坐标，对于菱形四个点满足：

XA+XC=XB+XD

'%+>c=%+%

2

『=，(八-4『+(yc-ys)

若只有1个未知数或2个未知数，便出现方程个数〉未知量个数的情况，就有可能会无解.

方程个数(未知数个量，可能无法确定有限组解；

方程个数〉未知数个量，可能会无解.

特殊图形的存在性，其动点是在线上还是在平面上，是有1个动点还是有2个动点，都是

由其图形本身决定，矩形和菱形相比起平行四边形，均多一个等式，故对动点位置的要求

可以有3个半动点或者1个全动点+1个半动点，若减少未知量的个数，反而可能会产生无

解的情况.

不难想象，对于正方形来说，可以有4个未知量，比如在坐标系中已知两定点，若要作正

方形，只能在平面中再取另外两动点，即2个全动点，当然，也有可能是1全动+2半动，

甚至是4个半动点.

三、中考真题对决

1.(2021•湘潭)如图，一次函数y=-百图象与坐标轴交于点A、B,二次函数

>=@尤2+6x+c图象过A、B两点.

3

(1)求二次函数解析式；

(2)点3关于抛物线对称轴的对称点为点C,点P是对称轴上一动点，在抛物线上是否存

在点Q，使得以3、C、尸、。为顶点的四边形是菱形？若存在，求出。点坐标；若不存

在，请说明理由.

解：⑴在>=弓%-石中，令x=0得y=令y=0得x=3,

A(3,0),B(0,-A/3),

,二次函数y=3无2+6x+c图象过A、3两点，

-3

•二次函数解析式为，=会-竽XS

(2)存在，理由如下：

2小

@22A/3亍

由二次函数y=------X------------X-班可得其对称轴为直线x==1,

33月

29x——

3

设P(l,m),--百)，而8(0,-G),

C与3关于直线x=l对称,

C(2,->/3),

①当3C、PQ为对角线时，如图:

0+2_1+n

2~^2~

此时3C的中点即是P。的中点，即石，2若r

_旧_旧.+丁--fl3

.-2—-T~

2A/3

mr=~,

n=l

.•.当P(L-竿)，。(1,-竽)时，四边形3QCP是平行四边形,

2m4

由尸(1,一卷一)，B(0,-V3),C(2,—g)可得尸笈=]=尸。2,

:.PB=PC,

厂.四边形3QCP是菱形,

此时;

②BP、CQ为对角线时，如图:

解得

.•.当P(1,O)，。(-1,0)时，四边形BCPQ是平行四边形,

由P(l,0),8(0,-e)，。(2,-指)可得心=4=%2,

二.四边形BCPQ是菱形，

..此时。(—1,0)；

-y/3+m

2~

解得

.•.P(l,0),。(3,0)时，四边形BCQ尸是平行四边形,

由P(l,0),B(0,』,C(2,-若)可得3c2=4=PC?,

二.四边形BCQP是菱形，

..此时。(3,0)；

综上所述，。的坐标为：(1,一)或(-1,0)或(3,0).

2.(2021•鄂尔多斯)如图，抛物线y=f+2x-8与x轴交于A,3两点(点A在点5左侧),

与y轴交于点C.

(1)求A,B,C三点的坐标；

(3)点M在y轴上，点N在直线AC上，点尸为抛物线对称轴上一点，是否存在点

使得以C、M、N、P为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存

在，请说明理由.

解：(1)在>=/+2尤一8中，令y=0,得尤2+2X—8=0,

解得：一升=-4,x2=2,

A(-4,0),3(2,0),

令x=0,得y=-8,

.•.C(0,-8)；

(3)存在，

如图2,->=尤2+2尤一8=(x+iy—9,

抛物线对称轴为直线x=-l,

以C、M、N、P为顶点的四边形是菱形，

..分三种情况：CM对角线或C7V为对角线或CP为对角线,

①当CP为对角线时，CMUPN,CM=PN=CN,

：.N点为直线AC与抛物线对称轴的交点，即N(-1,-6),

CN=<-1-OR(-6+8)2=6,

CM=PN=s/5,

.1.M](0,—8+A/5),A/T(0,—8->/5*)；

②当。V为对角线时，CM//PN,CM=PN=CP,

设CM=a,贝！lM(0,—8+〃)，尸(一1,-6—a),

/.(-1-0)2+(-6-a+8)2=/,

解得：a=9,

4

27

...M(0,——),

34

③当CM对角线时，P/V与CM互相垂直平分，设P(-1切)，则N(l/),MQ2H8),

NQ,b)在直线y=-2%-8上，

."=—2x1—8=—10,

.-.M4(0,-12),

综上所述，点M的坐标为：跖(0,-8+g)，必(。，-8-百)，M3(0,-y),M4(0,-12).

3.(2021•通辽)如图，抛物线y=o?+6x+3交x轴于4(3,0),8(-1,0)两点,交y轴于点C,

动点尸在抛物线的对称轴上.

(1)求抛物线的解析式；

(3)若点。是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点。，使得以A,C,P,。为顶

点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点。的坐标；若不存在，请说明

理由.

+3b+3=0

8+3=0'

解得：仁，

：.该抛物线的解析式为y=-犬+2尤+3；

(2)在y=-f+2无+3中，令x=O,得y=3,

.-.C(0,3),

AP3C的周长为：PB+PC+BC,8c是定值，

，当EB+PC最小时，AP3C的周长最小.

如图1,点A、3关于对称轴/对称，连接AC交/于点P,则点P为所求的点.

AP=BP,

.•.AP3C周长的最小值是：PB+PC+BC=AC+BC.

A(3,0),8(-1,0),C(0,3),

AC=372,BC=9.

周长的最小值是：30+9.

抛物线对称轴为直线尤=-——=1,

2x(-1)

设直线AC的解析式为y="+c,将A(3,0),C(0,3)代入，得:

(3k+c=0

|c=3

解方得：[\k=-1?

[c=3

直线AC的解析式为y=-x+3,

（3）存在.

设尸（1J），

A（3,0）,C（0,3）,

则AC2=32+32=18,

AP2=（l-3）2+Z2=r2+4,

PC2=l2+（r-3）2=？-6r+10,

四边形ACP。是菱形，

分三种情况：以转为对角线或以AC为对角线或以C尸为对角线，

①当以AP为对角线时，则CP=C4,如图2,

:.f-6z+10=18,

解得：t=3土历,

，《（1,3-如），g（i,3+g）,

:04,-而'），Q（4,旧），

②以AC为对角线时，则尸C=AP,如图3,

,\t2-6/+10=〃+4,

解得：t=l9

Q（2,2）,

③当以CP为对角线时，贝!|"=AC,如图4,

:.t2+4=18,

解得：t=土&^,

.•/（1,旧），。4（-2,3+回，

己（1,-内），&（-2,3-9），

综上所述，符合条件的点。的坐标为：。（4,-旧），。式4,炳），。3（2,2）,。式-2,3+旧）,

25（-2,3-714）.

图2

二次函数y=/+bx+c的图象与x轴相交于点

A(-1,O)和点5(3,0),与y轴交于点C.

(1)求6、c的值；

(2)点P(〃z,")为抛物线上的动点，过P作x轴的垂线交直线/:y=x于点Q.

①当。<m<3时，求当尸点到直线/:y=x的距离最大时m的值；

②是否存在加，使得以点。、C、P、。为顶点的四边形是菱形，若不存在，请说明理由;

若存在，请求出加的值.

解：(1)由二次函数〉=尤2+法+°的图象与了轴相交于点4-1,0)和点8(3,0),得:

Jl-/?+c=0

[9+3Z?+c=0'

解得：

y—x2—2x—3,

b=-29c=-3•

(2)①点P(m,")在抛物线上y=f-2x-3,

/.P(m,m2-2m-3),

321

/.PQ=m—(m2—2m—3)=—m2+3m+3=—(m——)2+-,

过尸作x轴的垂线交直线/:y=x于点Q,

/.Q(m,m)，

设点尸到直线y=%的距离为h,

直线y=%是一三象限的角平分线，

PQ=A/2/Z,

当尸点到直线/:y=x的距离最大时，PQ取得最大值，

，当机=——--=3时，p。有最大值幺，

2x(-1)24

当尸点到直线/:y=x的距离最大时，机的值为3.

2

②抛物线与y轴交于点C,

.=0时，y=-3,

/.C(0,-3),

OC//PQ,且以点O、C、尸、。为顶点的四边形是菱形,

PQ=OC,

又OC=3,PQ=|—m2+3m+31,

/.3=|-m2+3m+3|,

3-733

解得：叫=0,叫=3,期=3+『，恤

2

当叫=0时，PQ与OC重合，菱形不成立，舍去;

当m2=3时，?(3,0),2(3,3),

此时，四边形OCPQ是平行四边形，由百=30,

:.OQ^OC,平行四边形OCP。不是菱形，舍去;

当3+屈叶〜3+屈3+感

当?=---时，。(---，一--)，

此时，四边形OCQP是平行四边形，CQ=-0)2+("F+3)2=