2025年高考数学总复习专项训练：条件概率、全概率公式、相互独立事件的概率

专练53条件概率、全概率公式、相互独立事件的概率

［基础强化］

一、选择题

1.把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件A,“第二次出现反面”为事件B,则P(B|A)

z)

-\l

11

-艮-

Ac.24

11

D-

6-8

答案：A

解析：P(A)=T,P(AB)=w,

P(AB)1

；.P(B|A)=

P(A)2-

2.从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A="取到的2个数之和为偶数”，事件B="取到

的2个数均为偶数”；则P(B|A)=()

11

--

84

A.B.

c2D1

--

52

答案：B

《+段26__1_

解析：P(A)=飞-,P(AB)=不=7o

1

P(AB)101

.*.P(B|A)=

P(A)24,

5

3.打靶时甲每打10次，可中靶8次；乙每打10次可中靶7次，若两人同时射击一个目标，则他们都

中靶的概率是()

3八3

5B-4

-12c14

C-25D'25

答案：D

R4

解析：由题意可知甲中靶的概率Pi=%，

7

乙中靶的概率P2=y5，

又两人中靶相互独立，

7414

,他们都中靶的概率P=P1P2=75x5=25-

4.[2024•山东栖霞模拟]一道竞赛题，A,B,C三人单独解出的概率依次为3|1,则三人独立解

答仅有1人解出的概率为()

A±B11

2424

7

。,aD1

答案：B

解析：由题意知，仅有1人解出的概率为P=1义(1—?(1—：)+0—Dx|x(1-4)+(-

X4=4+8+U=24•故选A

5.[2024•山东济南模拟]已知某种生物由出生算起活到20岁的概率是0.8,活到25岁的概率是0.4,则

现为20岁的这种动物活到25岁的概率是()

A.0.6B.0.5

C.0.4D.0.32

答案：B

解析：设“这种动物从出生起活到20岁”为事件A,“这种动物从出生起活到25岁”为事件B.

则P(A)=0.8,P(B)=0.4

由于AB=B,则P(AB)=P(B)

则P(B|A)=「=p(A)=O8=05故选A

6.5G指的是第五代移动通信技术，是最新一代蜂窝移动通信技术.某公司研发5G项目时遇到一项技

术难题，由甲、乙两个部门分别独立攻关，已知甲部门攻克该技术难题的概率为0.8,乙部门攻克该技术难

题的概率为0.7,则该公司攻克这项技术难题的概率为()

A.0.56B.0.86

C.0.94D.0.96

答案：C

解析：设事件A表示“甲部门攻克该技术难题”，事件B表示“乙部门攻克该技术难题”，

P(A)=0.8,P(B)=0.7,

则该公司攻克这项技术难题的概率为：

P=1-(1—P(A))(1-P(B))=1—0.2X0.3=0.94,故选C.

7.[2023・全国甲卷(理)]某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰，50%的同学爱好滑雪，70%的同学爱好

滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率

为()

A.0.8B.0.6

C.0.5D.0.4

答案：A

解析：方法一如图，左圆表示爱好滑冰的学生所占比例，右圆表示爱好滑雪的学生所占比例，A表

示爱好滑冰且不爱好滑雪的学生所占比例，B表示既爱好滑冰又爱好滑雪的学生所占比例，C表示爱好滑雪

且不爱好滑冰的学生所占比例，则0.6+0.5—B=0.7,所以B=0.4,C=0.5—0.4=0」.所以若该学生爱好滑

雪，则他也爱好滑冰的概率为*=合=0.8,故选A

B十LU.D

方法二令事件A,B分别表示该学生爱好滑冰、该学生爱好滑雪，事件C表示该学生爱好滑雪的条

p(AB)

件下也爱好滑冰，则P(A)=0.6,P(B)=0.5,P(AB)=P(A)+P(B)-0.7=0.4,所以P(C)=P(A|B)=(⑴)

04

—Q-g=0.8,故选A.

ii?

8.某大街在甲、乙、丙三处设有红、绿灯，汽车在这三处因遇绿灯而通行的概率分别为:,||,

则汽车在这三处因遇红灯而停车一次的概率为()

9B-6

D工

CL.3u.18

答案：D

解析：设汽车分别在甲、乙、丙三处因遇绿灯而通行为事件A,B,C,则P(A)=£,P(B)=1,P(C)

=|，停车一次即为事件ABC+ABC+ABC的发生，故概率P=(l—'x|x|+|X0—，x|+

Ix|x(l—•=4.故选D

jZ\JJlo

9.律选)[2023・新课标H卷]在信道内传输0,1信号，信号的传输相互独立.发送0时，收到1的概率

为a(0<a<l),收到0的概率为1—a；发送1时，收到0的概率为p(O<p<l),收到1的概率为1—0.考虑两

种传输方案：单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次；三次传输是指每个信号重复发送3

次.收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号

中出现次数多的即为译码(例如，若依次收到1,0,1,则译码为1).

A.采用单次传输方案，若依次发送1,0,1,则依次收到1,0,1的概率为(1—a)(l—BA

B.采用三次传输方案，若发送1,则依次收到1,0,1的概率为p(l—[3)2

C.采用三次传输方案，若发送1,则译码为1的概率为0(1—py+(l—0)3

D.当0<a<0.5时，若发送0,则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的

概率

答案：ABD

解析：由题意，发。收1的概率为a,发。收0的概率为1—a；发1收0的概率为P，发1收1的概率

为1—0.对于A,发1收1的概率为1—0,发0收0的概率为1—a,发1收1的概率为1—所以所求概

率为(1—a)(l—PR故A选项正确.对于相当于发了1,1,1,收到1,0,1,则概率为(1—B)B(1一刃

=P(1-P)2,故8选项正确.对于C,相当于发了1,1,1,收到1,1,0或1,0,1或0,1,1或1,1,

1,则概率为《P(1—p)2+c；(1—B)3=3P(1一位2+(1—0)3,故C不正确.对于。，发送0,采用三次传输

方案译码为0,相当于发0,0,0,收到0,0,1或0,1,0或1,0,0或0,0,0,则此方案的概率P1=

2323

c|a(l-a)+c^(l-a)=3a(l-a)+(l-a)；发送0,采用单次传输方案译码为0的概率P2=l-a,当

23

0〈a<0.5时,Pi-P2=3a(l-a)+(l-a)-(l-a)=a(l-a)(l-2a)>0,故。选项正确.综上，选ABD.

二、填空题

10.某学校有A,B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐.如果第1天去A餐厅，

那么第2天去A餐厅的概率为0.6；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.8,则王同学第

2天去A餐厅用餐的概率为.

答案：0.7

解析：设Ai="第1天去A餐厅用餐”，

Bi=“第1天去3餐厅用餐”，

A2="第2天去A餐厅用餐”，

Q=AiUBi,且Ai与Bi互斥.

根据题意得

P(Ai)=P(Bi)=0.5,P(A2|AI)=0.6,P(A2|BI)=0.8.

由全概率公式得

P(A2)=P(A1)P(A2|A1)+P(B1)P(A2|B1)

=0.5X0.6+0.5X0.8

=0.7

故王同学第2天去A餐厅用餐的概率为07

11.已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为3和g.假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都

落入盒子的概率为;甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为.

12

宏享■--

口木.63

解析：依题意得，甲、乙两球都落入盒子的概率为;x|=|,甲、乙两球都不落入盒子的概率为(1—，

x(l—0=|,则甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为1—g=1.

12.一盒中放有大小相同的10个小球，其中8个黑球、2个红球，现甲、乙二人先后各自从盒子中无

放回地任意取2个小球，己知甲取到了2个黑球，则乙也取到2个黑球的概率是.

答案：H

Zo

解析:记事件“甲取到2个黑球”为A,“乙取到2个黑球”为B,则有P(B|A)=［然)=*=!|.

即所求事件的概率是弗,

Zo

［能力提升］

13.有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回地随机取两次，每次取1个球，

甲表示事件”第一次取出的球的数字是1"，乙表示事件”第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两

次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7"，贝1()

A.甲与丙相互独立

B.甲与丁相互独立

C.乙与丙相互独立

D.丙与丁相互独立

答案：B

解析：P(甲)=9，P(乙)=/，P(丙)，P(丁)=邕=9，

P（甲丙）=OWP（甲）P（丙），P（甲丁）=七=P（甲）P（丁），

P（乙丙）=RWP（乙）P（丙），P（丙丁）=OWP（丁）P（丙），

故选B.

14.（多选）从甲口袋内摸出1个白球的概率是g,从乙口袋内摸出1个白球的概率是金，如果从两个口

袋内各摸出一个球，那么下列说法正确的是（）

A.2个球都是白球的概率为看

B.2个球都不是白球的概率为J

C.2个球不都是白球的概率为得

D.2个球恰好有一个球是白球的概率为:

答案：ACD

解析：个球不都是白球的对立事件是2个球都是白球，从甲口袋摸出白球和从乙口袋摸出白球两者

是相互独立的，；.2个球都是白球的概率为g=|,g个球不都是白球的概率是1—/=看，故A,C

正确；甲口袋摸出的球不是白球的概率为1,乙口袋摸出的球不是白球的概率为冷，故2个球都不是白球

21111211

的概率为1X]B错误；2个球恰有一个球是白球的概率为可X]+§X]=2,。正确.故选ACD

15.某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立.已知该棋手与甲、乙、丙比

赛获胜的概率分别为Pl,P2,P3,且P3>P2>P1>O.记该棋手连胜两盘的概率为P，则（）

A.P与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关

B.该棋手在第二盘与甲比赛，p最大

C