江西省南昌县莲塘第一中学2024-2025学年高二数学上学期期末检测试题理

PAGE第=2页，共=sectionpages22页PAGE19江西省南昌县莲塘第一中学2024-2025学年高二数学上学期期末检测试题理一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求)若直线a，b是异面直线，a⫋β，则b与平面β的位置关系是(    )A.平行 B.相交 C.b⫋β D.平行或相交已知α，β是两个不同的平面，直线m在平面α内，给出命题“若m//β，则α//β”，那么它的原命题，逆命题、否命题，逆否命题中，真命题的个数为(

)A.0 B.2 C.3 D.4设命题P：∃n∈N，n3<n，则￢P为(    )A.∀n∉N，n3≥n B.∀n∉N，n3≤n

C.∃n∈N，n3>n下列命题中正确的个数为(    ) ①平行于同一平面的两直线平行; ②平行于同一平面的两个平面平行; ③垂直于同一平面的两直线平行; ④垂直于同一平面的两平面垂直．A.0 B.1 C.2 D.3菱形ABCD在平面α内，PC⊥ α，则PA与对角线BD的位置关系是(    )A.平行 B.相交但不垂直 C.相交垂直 D.异面垂直“mn<0”是“方程表示椭圆”的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件一个圆柱的侧面绽开图是一个正方形，则这个圆柱的侧面积与表面积之比为(    )A.2π：(1+2π) B.π：(1+π) C.2π：(1+π) D.π：(1+2π)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”若圆周率约为3，则可估算出米堆的体积约为(

)A.9立方尺 B.18立方尺 C.36立方尺 D.72立方尺已知四棱锥P−ABCD的底面为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，AB=22，PA=PD=AD=3，则四棱锥P−ABCD的外接球的表面积为(

)A.20π B.18π C.16π D.12π在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AA1=AD=2AB.若E，FA.63 B.33 C.22四个面都是直角三角形的四面体A−BCD中，AB⊥平面BCD，BD⊥CD，且AB=BD=CD，M为AD的中点，则二面角M−BC−D的正弦值为(

)A.22 B.33 C.6如图，已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为4，P是AA1的中点，点M在侧面A.855

B.4

C.8二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)在正方体ABCD−A1B1C1D1已知P={x|a−4<x<a+4}，Q={x|1<x<3}，“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，则实数a的取值范围是

．已知圆锥的底面半径为1，高为22，点P是圆锥的底面圆周上一点，若一动点从点P动身，绕圆锥侧面一圈之后回到点P，则绕行的最短距离是___．将正三棱锥P−ABC置于水平反射镜面上，得一“倒影三棱锥”P−ABC−Q，如图，下列关于该“倒影三棱锥”的说法中，正确的有______．

①PQ⊥平面ABC；

②若P，A，B，C在同一球面上，则Q也在该球面上；

③若该“倒影三棱锥”存在外接球，则AB=2PA；

④若AB=62PA，则三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)在平面直角坐标系xOy中，以直角坐标系原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的参数方程为x=12+12ty=32t(t为参数)，曲线C的极坐标方程为．(1)求直线l的一般方程和线C的直角坐标方程；

(2)已知定点P1如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上．

(1)求异面直线D1命题p:∀x∈R，x2+2ax+4>0，命题q:∃x0∈[−1,1]，使得2x+a−1>0成立．

①若p∨q为真，p∧q为假，求实数a的取值范围；

②已知r:a>k，若r是如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，M，N，P，Q分别是AA1，BB1，AB，B1C1的中点．(2)求证：PC1//如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD//AB，AD=CD=12AB=2，点E为AC的中点．将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D−ABC，如图2所示，F为线段CD上的点，且AD//平面BEF．

(Ⅰ)确定点F的位置并说明理由；

(Ⅱ)求证：平面ADC⊥平面BDC；

(Ⅲ)求二面角

莲塘一中2024—2025学年上学期高二期末质量检测理科数学试卷参考答案一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求)若直线a，b是异面直线，a⫋β，则b与平面β的位置关系是(    )A.平行 B.相交 C.b⫋β D.平行或相交解：直线a，b是异面直线，a⫋β，直线b不行能在平面β内，

b与平面β的位置关系是平行或相交.故选D．已知α，β是两个不同的平面，直线m在平面α内，给出命题“若m//β，则α//β”，那么它的原命题，逆命题、否命题，逆否命题中，真命题的个数为(

)A.0 B.2 C.3 D.4解：已知α，β是两个不同的平面，直线m在平面α内，若m//β，则α//β或α与β相交，知原命题为假命题，

∴逆否命题也为假命题，

原命题的逆命题为α，β是两个不同的平面，直线m在平面α内，若α//β，则m//β，由面面平行易知原命题的逆命题为真命题，则否命题为真命题，故选B．设命题P：∃n∈N，n3<n，则￢PA.∀n∉N，n3≥n B.∀n∉N，n3≤n

C.∃n∈N，n3>n解：命题P：∃n∈N，n3<n为特称命题，则命题的否定为：∀n∈N，n3下列命题中正确的个数为(    ) ①平行于同一平面的两直线平行; ②平行于同一平面的两个平面平行; ③垂直于同一平面的两直线平行; ④垂直于同一平面的两平面垂直．A.0 B.1 C.2 D.3解：对于 ①，平行于同一平面的两直线可以相交、平行或异面，故 ①错误;

对于 ②，平行于同一平面的两个平面平行，故 ②正确;

对于 ③，由线面垂直的性质定理可知正确;

对于 ④，垂直于同一平面的两平面相交或平行，故 ④错误．

因此正确命题的个数为2.故选C．菱形ABCD在平面α内，PC⊥ α，则PA与对角线BD的位置关系是(    )A.平行 B.相交但不垂直 C.相交垂直 D.异面垂直解：菱形ABCD中，AC⊥BD．

又PC⊥平面α，∴PC⊥BD，∵AC∩PC=C，又AC，PC⊂平面PAC，∴BD⊥平面PAC．

又PA⊂平面PAC，∴BD⊥PA．明显PA与BD异面，故PA与BD异面垂直．故选D．“mn<0”是“方程表示椭圆”的(

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解：由方程mx2−ny2=1得x21m+y2−1n=1，

所以要使方程mx2−n一个圆柱的侧面绽开图是一个正方形，则这个圆柱的侧面积与表面积之比为(    )A.2π：(1+2π) B.π：(1+π) C.2π：(1+π) D.π：(1+2π)解：设这个圆柱的底面半径为r，高为h，

∵圆柱的侧面绽开图是一个正方形，∴2πr=h，

∴这个圆柱的侧面积与表面积之比为：S侧S表《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”若圆周率约为3，则可估算出米堆的体积约为(

)A.9立方尺 B.18立方尺 C.36立方尺 D.72立方尺解：设圆锥底面半径为r，由题意π2r=8，得r=16π，已知四棱锥P−ABCD的底面为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，AB=22，PA=PD=AD=3，则四棱锥P−ABCD的外接球的表面积为(

A.20π B.18π C.16π D.12π解：由题意，由平面PAD⊥平面ABCD，AB=22，PA=PD=AD=3，

∴底面ABCD矩形外接圆半径r=172．四棱锥P−ABCD的高为：332．

球心与圆心的距离为d，构造直角三角形，即d2+r2=R2，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AA1=AD=2AB.若E，A.63 B.33 C.22解：取BB1中点为N，连接FN，取FN中点为M，连接A1M，A1F，

易得EF//A1M，EF=A1M

∵A1N是EF在面所以sin∠MA1四个面都是直角三角形的四面体A−BCD中，AB⊥平面BCD，BD⊥CD，且AB=BD=CD，M为AD的中点，则二面角M−BC−D的正弦值为(

)A.22 B.33 C.6解：由题意可以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，过C作平面BDC的垂线为z轴(与AB平行)，建立空间直角坐标系如图所示，

设AB=BC=CD=1，则A(0,1，1)，B(0,1，0)，C(0,0，0)，

D(1,0，0)，M(12,12,12)，则BM=(12,−12,12)，CD=(1,0如图，已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为4，P是AA1的中点，点A.855

B.4

C.8解：以AB，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，

则P(0,0，2)，C(4,4，0)，D1(0,4，4)．

设M(a,0，b)，则D1M=a,−4,b−4，CP=(−4,−4,2)．

∵D1M⊥CP，∴过点B作BQ⊥B1N，则当点M与点Q重合时，BM最小，且BM的最小值为4×225=455．

又BC⊥平面ABB二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)在正方体ABCD−A1B1C1D解：如图，

可知与平面BC1D1平行的为棱A1B1与棱已知P={x|a−4<x<a+4}，Q={x|1<x<3}，“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，则实数a的取值范围是

．解：∵P={x|a−4<x<a+4}，Q={x|1<x<3}，x∈P是x∈Q的必要条件，

∴x∈Q⇒x∈P，即Q⊆P⇒a−4≤1a+4≥3⇒a≤5a≥−1解得−1≤a≤5．

∴实数a已知圆锥的底面半径为1，高为22，点P是圆锥的底面圆周上一点，若一动点从点P动身，绕圆锥侧面一圈之后回到点P，则绕行的最短距离是___．解：圆锥的侧面绽开图为扇形，其弧长为底面圆的周长，即2π，

∵圆锥的母线长为3.扇形的圆心角2π3，

∴一动点从点P动身，绕圆锥侧面一圈之后回到点P，则绕行的最短距离是：2×33将正三棱锥P−ABC置于水平反射镜面上，得一“倒影三棱锥”P−ABC−Q，如图，下列关于该“倒影三棱锥”的说法中，正确的有______．

①PQ⊥平面ABC；

②若P，A，B，C在同一球面上，则Q也在该球面上；

③若该“倒影三棱锥”存在外接球，则AB=2PA；

④若AB=62解：①由‘’倒影三棱锥‘’的几何特征可知PQ⊥平面ABC.故①正确；

当P，A，B，C在同一球面上时，若△ABC的外接圆不是球体的大圆，则Q不在该球面上，故②不正确；

若该“倒影三棱锥”存在外接球，则三棱锥P−ABC的外接球半径与等边三角形ABC外接圆的半径相等，可设为R，则AB=2R×32=3R，所以AB=62PA，故③不正确；由③推导可知该“倒影三棱锥”外接球的球心为三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)在平面直角坐标系xOy中，以直角坐标系原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的参数方程为x=12+12ty=32t(t为参数)，曲线C的极坐标方程为．(1)求直线l的一般方程和线C的直角坐标方程；

(2)已知定点【答案】解：(1)由得，所以曲线C的直角坐标方程为y2=2x．

直线l的参数方程为x=12+12ty=32t(t为参数)，消参可得23x−2y−3=0;

(2)直线l的参数方程为x=12+1如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上．

(1)求异面直线D1【答案】解：(1)连接AD1，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，由AA1D1D是正方形知AD1⊥A1D.

∵AB⊥平面AA1D1D，∴AD1是D1E在平面AA1D1D内的射影．

依据三垂线定理得AD1⊥D1E，则异面直线D1E与A1D所成的角为90°．

命题p:∀x∈R，x2+2ax+4>0，命题q:∃x0∈[−1,1]，使得2x+a−1>0成立．

①若p∨q为真，p∧q为假，求实数a的取值范围；

②已知r:a>k，若r【答案】解：(1)∵对随意x∈R，不等式

x2+2ax+4>0恒成立，

∴△=4a2−16<0，解得−2<a<2，即

p

为真命题时，−2<a<2；

存在：x0∈[−1,1]，使得2x+a−1>0成立，即a>1−2x成立，

∴a>(1−2x)min=−1，即命题q

为真时，a>−1；

∵p∨q为真，p∧q为假，∴p、q

一真一假，

当

p

真q

假时，则−2<a<2，且a≤−1，即−2<a⩽−1，

当p假q

真时，则a≤−2或a⩾2，且a>−1，即a⩾2，

综上所述，实数a的取值范围为(−2,−1]∪[2,+∞)．

(2)若r:a>k，如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，M，N，P，Q分别是AA1，BB1，AB，B1C1的中点．

(2)求证：PC1//【答案】解：(1)如右图所示：取A1C1的中点H，连接HQ，QN，NM，MH

则梯形MHQN是过M，N，Q三点的截面．

(2)证明：连接BC1，AC1．

∵三棱柱ABC−A1B1C是直三棱柱，∴四边形ABB1A1是矩形．

在矩形ABB1A1中：

∵M，N分别是AA1，BB1的中点，∴MN

//

AB．

∵MN⊄平面ABC1，AB⊂平面ABC1，∴MN

//平面ABC1．

在△B1C1B中：

∵Q，N分别是B1C1，BB1的中点，∴NQ

//

BC定义椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的“蒙日圆”方程为(1)求椭圆C的标准方程和它的“蒙日圆”E的方程；(2)若斜率为1的直线l与“蒙日圆”E相交于A,B两点，且与椭圆C相切，O为坐标原点，求▵OAB的面积