2024-2025学年黑龙江省哈尔滨市南岗区萧红中学九年级（上）开学数学试卷（五四学制）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年黑龙江省哈尔滨市南岗区萧红中学九年级（上）开学数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列方程中，属于一元二次方程的是(

)A.x+2y=1 B.ax2+bx+c=0 C.3x+2.下列各曲线中表示y是x的函数的是(

)A.B.C.D.3.在下列长度的各组线段中，不能构成直角三角形的是(

)A.3，4，5 B.7，24，25 C.1，1，2 D.3，4.在▱ABCD中，∠A比∠B大30°，则∠D的度数为(

)A.120° B.105° C.100° D.75°5.一次函数y=−x+3的图象经过(

)A.第一、二、三象限 B.第一、二、四象限 C.第一、三、四象限 D.第二、三、四象限6.顺次连接矩形四边中点得到的四边形一定是(

)A.矩形 B.菱形 C.等腰梯形 D.正方形7.某商场对商场中现有空调进行两次提价，提价后的价格为提价前的121%，则平均每次提价的百分数为(

)A.8% B.10% C.12% D.20%8.如图，在正方形ABCD外侧作等边三角形△CDE，则∠AED的度数为(

)A.10°

B.12.5°

C.15°

D.20°9.给出以下四个命题：

①对角线相等的四边形是矩形；

②对角线互相垂直的四边形是菱形；

③对角线互相垂直的矩形是正方形；

④菱形对角线的平方和等于边长平方的4倍.其中真命题有(    )个．A.0 B.1 C.2 D.310.如图，在▱ABCD中，点E在对角线BD上，EM//AD，交AB于点M，EN//AB，交AD于点N，则下列式子一定正确的是(

)

A.AMBM=NEDE B.AMAB=二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。11.函数y=x−1中自变量x的取值范围是______．12.方程x2=2的根是______．13.一次函数y=(2m−6)x+5中，y随x的增大而减小，则m的取值范围是________．14.若关于x的一元二次方程kx2+2x−1=0有两个相等的实数根，则实数k15.如图，已知OA=OB，BC⊥AC于点C.点O对应的数是0，点C对应的数是−2，AC=1，那么数轴上点B所表示的数是______．

16.已知直角三角形两边的长分别为5和12，则第三边的长为______．17.如图，一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点(4,0)，与y轴交于点(0,2)，则不等式kx+b>0的解集为______．18.如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，∠CAD=35°，则∠HOB的度数为______．19.△ABC中，∠ABC=30°，AB=23，AC=2，则BC=______．20.如图，正方形ABCD中，点E在AD上，点F在AC上，∠BFE=90°，连接BE交AC于点G，若AG=24，CG=32，则GF的长是______．

三、解答题：本题共7小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。21.(本小题7分)

解方程：x(2x−4)=5−8x．22.(本小题7分)

图1，图2中的小正方形的边长均为1，线段AB，EF的端点A，B，E，F均在小正方形的顶点上．

(1)在图1中画出一个以线段AB为边的平行四边形ABCD，点C，D均在小正方形的顶点上，且平行四边形ABCD的面积为8；

(2)在图2中画出以线段EF为边的菱形EFGH，点G，H均在小正方形的顶点上，且菱形EFGH的面积为8，连接FH，直接写出FH的长．

23.(本小题8分)

某种机器工作前先将空油箱加满，然后停止加油立即开始工作.当停止工作时，油箱中油量为5L，在整个过程中，油箱里的油量y(单位：L)与时间x(单位：min)之间的关系如图所示．

(1)填空：机器每分钟加油量为______L，机器工作的过程中每分钟耗油量为______L；

(2)求机器工作时y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．24.(本小题8分)

如图，点C是BE的中点，四边形ABCD是平行四边形．

(1)求证：四边形ACED是平行四边形；

(2)如果AB=AE，求证：四边形ACED是矩形．25.(本小题10分)

华昌中学开学初在金利源商场购进A、B两种品牌的足球，购买A品牌足球花费了2500元，购买B品牌足球花费了2000元，且购买A品牌足球数量是购买B品牌足球数量的2倍，已知购买一个B品牌足球比购买一个A品牌足球多花30元．

(1)求购买一个A品牌、一个B品牌的足球各需多少元？

(2)华昌中学响应习总书记“足球进校园”的号召，决定两次购进A、B两种品牌足球共50个，恰逢金利源商场对两种品牌足球的售价进行调整，A品牌足球售价比第一次购买时提高了8%，B品牌足球按第一次购买时售价的9折出售，如果这所中学此次购买A、B两种品牌足球的总费用不超过3260元，那么华昌中学此次最多可购买多少个B品牌足球？26.(本小题10分)

综合与实践：

【思考尝试】(1)数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在矩形ABCD中，E是边AB上一点，DF⊥CE于点F，GD⊥DF，AG⊥DG，AG=CF，试猜想四边形ABCD的形状，并说明理由；

【实践探究】(2)小睿受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图2，在正方形ABCD中，E是边AB上一点，DF⊥CE于点F，AH⊥CE于点H，GD⊥DF交AH于点G，可以用等式表示线段FH，AH，CF的数量关系，请你思考并解答这个问题；

【拓展迁移】(3)小博深入研究小睿提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形ABCD中，E是边AB上一点，AH⊥CE于点H，点M在CH上，且AH=HM，连接AM，BH，可以用等式表示线段CM，BH的数量关系，请你思考并解答这个问题．

27.(本小题10分)

已知：在平面直角坐标系中，直线AC交x轴负半轴于点A，交y轴于点C，直线AC的解析式为y=52x+b(b>0)，经过点C的直线交x轴正半轴于点B，OB=OC，AC=29．

(1)如图1，求直线BC的解析式；

(2)如图2，点H在OB上，过点H作x轴的垂线，交BC于点F，点E在OC上，连接AE并延长交直线FH于点D，OE=BH，设直线AE的解析式为y=5−t2x+5−t(0<t<5)，线段DF的长为d，求d与t的函数解析式；

(3)如图3，在(2)的条件下，连接CD并延长至点M，连接EM，∠CME=45°，过点D作x轴的平行线，交EM延长线于点N，直线BN解析式为y=3x−15参考答案1.D

2.D

3.D

4.D

5.B

6.B

7.B

8.C

9.C

10.D

11.x≥1

12.±13.m<3

14.k=−1

15.−16.13或11917.x<4

18.70°

19.4或2

20.25

21.解：方程化为2x2+4x−5=0，

a=2，b=4，c=−5，

Δ=b2−4ac=42−4×2×(−5)=56>0，

方程有两个不等的实数根，

22.解：(1)如图，四边形ABCD即为所求；

(2)如图，四边形EFGH即为所求．FH=42+23.(1)3，0.5；

(2)当10<x≤60时，设y关于x的函数解析式为y=kx+b，

有图象可得：10k+b=3060k+b=5，

解得：k=−0.5b=35，

∴y=−0.5x+35，

即机器工作时y关于x的函数解析式为y=−0.5x+35(10<x≤60)24.解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD//BC，且AD=BC．

∵点C是BE的中点，

∴BC=CE，

∴AD=CE，

∵AD//CE，

∴四边形ACED是平行四边形；

(2)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=DC，

∵AB=AE，

∴DC=AE，

∵四边形ACED是平行四边形，

∴四边形ACED是矩形．

25.解：(1)设购买一个A品牌的足球需x元，则购买一个B品牌的足球需(x+30)元，由题意得

2500x=2000x+30×2

解得：x=50

经检验x=50是原方程的解，

x+30=80

答：一个A品牌的足球需50元，则一个B品牌的足球需80元．

(2)设此次可购买a个B品牌足球，则购进A牌足球(50−a)个，由题意得

50×(1+8%)(50−a)+80×0.9a≤3260

解得a≤3119

因为a是整数，

所以a最大等于31，26.解：(1)四边形ABCD是正方形，

理由：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ADC=90°，

∵GD⊥DF，

∴∠FDG=90°，

∴∠ADG=∠CDF，

又∵AG=CF，∠G=∠DFC=90°，

∴△ADG≌△CDF(AAS)，

∴AD=CD，

∴矩形ABCD是正方形；

(2)HF=AH+CF，

理由：∵DF⊥CE于点F，AH⊥CE于点H，GD⊥DF交AH于点G，

∴四边形HFDG是矩形，

∴∠G=∠DFC=90°，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AD=CD，∠ADC=90°，

∴∠ADG=∠CDF，

∴△ADG≌△CDF(AAS)，

∴AG=CF，DG=DF，

∴矩形HFDG是正方形，

∴HG=HF=AH+AG=AH+CF；

(3)连接AC，

∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAC=45°，

∵AH⊥CE，AH=HM，

∴△AHM是等腰直角三角形，

∴∠HAM=45°，

∴∠HAB=∠MAC，

∵AHAM=ABAC=22，

∴△AHB∽△AMC，27.解：(1)当x=0时，y=52×0+b=b，

∴C(0,b)，

∴OC=b，

当y=0时，52x+b=0，

解得，x=−25b，

∴A(−25b,0)，

∴OA=25b，

在Rt△AOC中，∠AOC=90°，OA2+OC2=AC2，

∴(25b)2+b2=(29)2，

解得：b=5．

∴C(0,5)，A(−2,0)．

∵OB=OC，

∴OB=5．

∴B(5,0)，

设直线BC的解析式为y=kx+a(k≠0)，

∴a=55k+a=0，

解得：k=−1，a=5．

∴直线BC的解析式为：y=−x+5；

(2)当y=0时，y=5−t2⋅0+5−t=5−t

∴OE=5−t，

∴BH=OE=5−t，

∵OB=OC，∠BOC=90°，

∴∠OBC=∠OCB=45°，

∵DH⊥x轴，

∴∠OHF=90°，

∴∠HFB=45°，

∴∠HFB=∠OBC，

∴FH=BH=5−t，

∴OH=OB−OH=5−(5−t)=t，

∴点D的横坐标为t，

∴点D的纵坐标为y=5−t2⋅t+5−t=−12t2+32t+5，

∴DH=−12t2+32t+5，

∴d=DF=DH−FH=−12t2+32t+5−(5−t)=−12t2+52t；

(3)过点C作CK⊥CM，连接FE并延长交CK于点K，连接DK，

过点C作CL⊥HD交HD的延长线于L，

∵OE//FH，OE=FH，

∴四边形EOHF为矩形．

∴EF//x轴．

∵DN//x轴，

∴DN//FK，

∵四边形EOHF为矩形，

∴∠CEF=90°，∠EFL=90°，

∵∠L=90°，

∴四边形CEFL为矩形，