2024-2025学年吉林省第二实验学校南湖校区九年级（上）开学数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年吉林省第二实验学校南湖校区九年级（上）开学数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列各数中5，3.14，−9，π2，3A.2 B.3 C.4 D.52.进入春季，有些人会出现花粉过敏症状.已知某种花粉颗粒直径约为0.0000065米，将数据0.0000065用科学记数法表示为(

)A.6.5×10−6 B.0.65×10−5 C.3.下列计算结果正确的是(

)A.32−2=3 B.a4.从上面看下面的物体，形状不相同的是(

)A. B. C. D.5.如图，小明在点C处测得树的顶端A仰角为62°，测得BC=10米，则树的高AB(单位：米)为(

)A.10sin62∘

B.10tan62∘6.如图，在等腰Rt△AOB中，∠AOB=90°，E是三角形内一点，连接OE，将线段OE绕点O逆时针旋转90°得到OF，连接BF，AE.若∠OBF=20°，则∠EAB的度数为(

)A.45° B.15° C.20° D.25°7.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，按以下步骤作图：①以B为圆心，任意长为半径作弧，分别交BA、BC于M、N两点；②分别以M、N为圆心，以大于12MN的长为半径作弧，两弧相交于点P；③作射线BP，交边AC于D点.若BD=5，点D到AB的距离为3，则△BCD的周长为(

)A.6 B.12 C.15 D.208.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=kx在第一象限内的图象经过点A(2,2)和点B(4,m)，则△AOB的面积为(

)A.2

B.3

C.4

D.5二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。9.单项式−7πx310.若函数y=mx2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点，则常数m11.如图，某小区物业想对小区内的三角形广场ABC进行改造，已知AC与BC的夹角为120°，AC=10m，BC=14m，请你帮助物业计算出需要改造的广场面积是______m2(结果保留根号)．12.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，点D为边AC的中点，点E为线段BD的中点.若AB=3，AE=2，则边AC的长为______．13.若一次函数函数y=(m−2)x的图象y随x的增大而减小，则m的取值范围是______．14.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，抛物线的顶点坐标为(−1,n)，且与x轴的一个交点的横坐标在−3和−2之间，则下列结论正确的是______．

①abc<0；

②a+b+c<0；

③3a+c>0；

④关于x的方程ax三、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题8分)

先化简，再求值：(3−aa−2)÷a−3a16.(本小题8分)

七年级某班为了开展活动，购买了一些体育用品，有15个毽球和6根跳绳，共用去69元，其中每根跳绳的价格比每个毽球价格的3倍还多0.5元，求毽球和跳绳的单价．17.(本小题8分)

如图，在四边形ABCD中，AB//CD，AB=CD.过点D分别作DF⊥AB于点F，DE⊥BC于点E，且DE=DF．

(1)求证：四边形ABCD是菱形；

(2)若∠EDF=60°，AB=3，则四边形ABCD的面积为______．18.(本小题8分)

图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC的顶点均在格点上.在给定的网格中，只用无刻度的直尺，在图①、图②、图③中，按下列要求画图，只保留作图痕迹，不要求写出画法．

(1)在图①中画△ABC的中线CD．

(2)在图②BC边上找一点E，连结AE，使AE平分△ABC的面积．

(3)在图③中△ABC的内部找一点F，使S△FBC=13S19.(本小题8分)

在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=x2+bx+c(b、c为常数)与x轴交于A，B(−3,0)两点，与y轴交于点C(0,−3)，点P在抛物线上，设点P的横坐标为m．

(1)求此抛物线对应的函数表达式；

(2)将此抛物线上P、C两点之间的部分(包括P、C两点)记为图象G.图象G的最高点与最低点的纵坐标差为6时，求m20.(本小题8分)

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，点P、Q分别是边CA、BC上的两个动点，且PC=2BQ，以PQ，PC为邻边作平行四边形PQMC，作点B关于直线PQ的对称点B′，设BQ=m(0≤m≤4)．

(1)当△PCQ的面积为8时，求m的值．

(2)当∠BQB′=2∠ABC时，求线段BB′的长．

(3)当点B′落在四边形PQMC的边上时，直接写出CQBB′的值．

21.(本小题8分)

【问题探究】在学习三角形中线时，我们遇到过这样的问题：如图①，在△ABC中，点D为BC边上的中点，AB=4，AC=6，求线段AD长的取值范围．我们采用的方法是延长线段AD到点E，使得AD=DE，连结CE，可证△ABD≌△ECD，可得CE=AB=4，根据三角形三边关系可求AD的范围，我们将这样的方法称为“三角形倍长中线”.则AD的范围是：______．

【拓展应用】

(1)如图②，在△ABC中，BC=2BD，AD=3，AC=210，∠BAD=90°，求AB的长．

(2)如图③，在△ABC中，D为BC边的中点，分别以AB、AC为直角边向外作直角三角形，且满足∠ABE=∠ACF=30°，连结EF，若AD=23，则EF=______.(直接写出)答案解析1.A

【解析】解：∵5是无理数，

3.14是有理数，

−9=−3是有理数，

π2是无理数，

38=2是有理数，

∴其中无理数是5和π2这2【解析】解：0.0000065=6.5×10−6，

故选：A．

3.【解析】解：A、32−2=22，故此选项不符合题意；

B、a6÷a3=a3，故此选项不符合题意；

C、(3a【解析】解：A、C、D选项的俯视图都是第一行三个正方形，第二行中间一个正方形，B选项俯视图是第一行三个正方形，第二行是最左边一个正方形，

所以形状不相同的是B选项．

故选：B．

5.C

【解析】解：由题意得：

∠ABC=90°，∠ACB=62°，

在Rt△ABC中，BC=10米，

∴AB=BC⋅tan62°=10tan62°(米)，

故选：C．

6.【解析】解：∵线段OE绕点O逆时针旋转90°得到OF，

∴OE=OF，∠EOF=90°，

∵△OAB为等腰直角三角形，

∴OA=OB，∠AOB=90°，∠OAB=45°，

∵∠AOE+∠EOB=90°，∠EOB+∠BOF=90°，

∴∠AOE=∠BOF，

在△AOE和△BOF中，

OA=OB∠AOE=∠BOFOE=OF，

∴△AOE≌△BOF(SAS)，

∴∠OAE=∠OBF=20°，

∴∠EAB=∠OAB−∠OAE=45°−20°=25°．

故选：D．

7.【解析】解：由作图可知BD是∠ABC的平分线，

∵点D到AB的距离为3，∠ACB=90°，

∴DC=3，

在Rt△BCD中，根据勾股定理得：

∴BC=BD2−CD2=52−32=4【解析】解：∵反比例函数y=kx在第一象限内的图象经过点A(2,2)和点B(4,m)，

∴k=2×2=4，m=44=1，

∴B(4,1)

设直线OB的解析式y=kx，

∵点B(4,1)在直线上，

∴k=14．

∴直线OB的解析式y=14x，

过点A作AM⊥x轴，交OB于点N.则点N的坐标为(2,19.−7π【解析】解：单项式−7πx3y6的系数是−7π6，

故答案为：−7π【解析】解：有两种情况：

①当m=0时，函数为y=2x+1，

∵图象为一条直线，与x轴有一个交点，

∴m=0；

②当m≠0时，y=mx2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点，

令y=0，则mx2+2x+1=0，

∴Δ=4−4m=0，

解得：m=1，

故答案为：0或1【解析】解：过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D，

∵∠ACB=120°，

∴∠ACD=180°−∠ACB=60°，

在Rt△ACD中，AC=10m，

∴AD=AC⋅sin60°=10×32=53(m)，

∵BC=14m，

∴△ABC的面积=1212.2【解析】解：∠BAC=90°，点E为线段BD的中点，AE=2，

∴BD=2AE=4，

又AB=3，

∴AD=BD2−AB2=7，

∵点D为边AC的中点，

∴AC=2AD=2【解析】解：∵一次函数函数y=(m−2)x的图象y随x的增大而减小，

∴m−2<0，

解得：m<2，

故答案为：m<2．

14.②④

【解析】解：由所给函数图象可知，

a<0，b<0，c>0，

∴abc>0.故①错误；

∵抛物线的对称轴为直线x=−1，且与x轴的一个交点的横坐标在−3和−2之间，

∴抛物线与x轴的另一个交点的横坐标在0和1之间．

又∵抛物线开口向下，

∴当x=1时，函数值小于零，

即a+b+c<0.故②正确；

∵抛物线的对称轴为直线x=−1，

∴−b2a=−1，

即b=2a，

又∵a+b+c<0，

∴3a+c<0.故③错误；

∵抛物线的顶点坐标为(−1,n)，

∴抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与直线y=n−1有交点，

∴关于x的方程ax2+bx+c−n+1=0有实根．故④正确．

∴结论正确的是②④．

故答案为：②④．

15.解：(3−aa−2)÷a−3a2−4

=【解析】利用分式的相应的法则对式子进行化简，再代入相应的值运算即可．

16.解：设毽球的单价是x元，则跳绳的单价是(3x+0.5)元，

根据题意得15x+6(3x+0.5)=69，

解得x=2，

∴3x+0.5=6.5，

答：毽球和跳绳的单价分别为2元和6.5元．

【解析】设毽球的单价是x元，则跳绳的单价是(3x+0.5)元，购买毽球需要15x元，购买跳绳需要6(3x+0.5)元，于是列方程得15x+6(3x+0.5)=69，解方程求出x的值，再求出代数式3x+0.5的值即可．

17.92【解析】(1)证明：∵DE⊥BC于点E，DF⊥AB于点F，

∴∠CED=∠AFD=90°，

∵AB//CD，AB=CD，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∴∠C=∠A，

在△CDE和△ADF中，

∠C=∠A∠CED=∠AFDDE=DF，

∴△CDE≌△ADF(AAS)，

∴CD=AD，

∴四边形ABCD是菱形；

(2)解：∵四边形ABCD是菱形，

∴AD=AB=3，∠A+∠B=180°，

∵DE⊥BC于点E，DF⊥AB于点F，∠EDF=60°，

∴∠B=360°−60°−90°−90°=120°，

∴∠A=60°，∠ADF=30°，

∴AF=12AD=32，

∴DF=18.解：(1)如图①，取格点F、G，连接FG交AB于点D，连接CD，

点D及△ACD就是所求的图形．

理由：连接AF，则AF/​/BG，AF=BG，

∴∠AFD=∠BGD，

在△ADF和△BDG中，

∠AFD=∠BGD∠ADF=∠BDGAF=BG，

∴△ADF≌△BDG(AAS)，

∴AD=BD=12AB；

(2)线段BC的垂直平分线MN，交BC于E，连接AE，线段AE即为所求；

理由：如图②，过A作AH⊥BC于H，

∵MN垂直平分BC，

∴BE=CE，

∵S△ABE=12BE⋅AH，S△ACH=12CE⋅AH，

∴S△ABE=S△ACE，

∴AE平分△ABC的面积．

(3)如图③，取AB的中点D及格点K，连接CD、AK交于点F，连接BF，点F及△BCF就是所求的图形．

理由：如图①，∵△ADF≌△BDG，

∴FD=GD，

∴点D为格点，

取格点I，连接DI，则DI//CK，

∴△DFI【解析】(1)根据三角形中线的定义画出图形即可；

(2)作线段BC的垂直平分线MN，交BC于E，连接AE即可；

(3)取格点D，作BC的垂直平分线交BC于K，连接AK，CD交于F，则S△FBC=19.解：(1)将点B(−3,0)，C(0,−3)代入y=x2+bx+c，得c=−39−3b+c=0，

解得：b=2c=−3，

∴此抛物线对应的函数表达式为y=x2+2x−3；

(2)∵y=x2+2x−3=(x+1)2−4，

∴抛物线的顶点坐标为(−1,−4)，

分两种情况：①当P点在对称轴的右侧时，P点的纵坐标为−3+6=3，

∴m2+2m−3=3，

解得：m=−1+7或m=−1−7(舍去)；

②当P点在对称轴的左侧时，P【解析】(1)用待定系数法求函数的解析式即可；

(2)分两种情况：①①当P点在对称轴的右侧时，P点的纵坐标为−3+6=3；②当P点在对称轴的左侧时，P点的纵坐标为−4+6=2.根据题意，得出关于m的一元二次方程，根据解一元二次方程的方法，得出符合题意的m值即可．20.解：(1)由题意得BQ=m，BC=6，AC=8，PC=2BQ，

∴CQ=6−m，PC=2m，

∵△PCQ的面积为8，

∴12PC⋅CQ=8，即12×2m(6−m)=8，

解得：m1=2，m2=4，

∵0≤m≤4，

∴m的值为2或4．

(2)如图，设PQ与BB′交于点D，

在Rt△ABC中，AB=AC2+BC2=82+62=10，

∵点B与点B′关于直线PQ对称，

∴PQ⊥BB′，BB′=2BD，∠BQB′=2∠BQD，

∵∠BQB′=2∠ABC，

∴∠BQD=∠ABC，

∴AB//PQ，

∴CPAC=CQBC，即2m8=6−m6，

∴m=125，

∵∠BDQ=∠ACB=90°，

∴△BQD∽△ABC，

∴BDAC=BQAB，即BD8=12510，

∴BD=4825，

∴BB′=9625．

(3)当点B′落在四边形PQMC的边QM上时，如图，

则∠BQD=∠B′QD，BQ=B′Q，PQ⊥BB′，

∵四边形PQMC是平行四边形，

∴QM//PC，

∴∠CQM=∠ACB=90°，

∴∠BQB′=180°−∠CQM=90°，

∴∠BQD=∠B′QD=45°，

∴∠CQP=∠BQD=45°，

∴△CPQ是等腰直角三角形，

∴PC=CQ，即2m=6−m，

解得：m=2，

∴CQ=6−2=4，BQ=2，

∵△BQB′是等腰直角三角形，

∴BB′=2BQ=22，

∴CQBB′=422=2；

当点B′落在四边形PQMC的边CM上时，如图，【解析】(1)根据三角形面积建立方程求解即可；

(2)