2024-2025学年河北省邯郸市高二上学期开学考试数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年河北省邯郸市高二上学期开学考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知向量m，n满足m=n=2，且m⋅n=−22A.π6 B.π4 C.3π42.在▵ABC中，角A,B,C对边为a,b,c，且2c⋅cos2A2=b+c，则A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形3.设复数z1=4+2i，z2=1−3i，则复数zA.4i B.−4i C.4 D.−44.袋中装有红、黄、蓝三种颜色的球各2个，无放回的从中任取3个球，则恰有两个球同色的概率为A.15 B.310 C.355.若双曲线x2a2−y2A.52 B.3 C.6.在四面体ABCD中，AB=AC=23，BC=6，AD⊥平面ABC，四面体ABCD的体积为3.若四面体ABCD的顶点均在球O的表面上，则球O的表面积是(

A.49π4 B.49π C.49π2 7.已知圆C1：(x+5)2+y2=1，C2：(x−5)2+y2=225，动圆C满足与A.22 B.23 C.8.已知E，F分别是棱长为2的正四面体ABCD的对棱AD,BC的中点.过EF的平面α与正四面体ABCD相截，得到一个截面多边形τ，则下列说法正确的是(

)A.截面多边形τ不可能是平行四边形

B.截面多边形τ的周长是定值

C.截面多边形τ的周长的最小值是2+6

D.二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列结论中正确的是(

)A.在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等

B.一组数据中的每个数都减去同一个非零常数a，则这组数据的平均数改变，方差不改变

C.一个样本的方差s2=120[(x1−3)2+(x2−3)2+⋯+(x20−3)2]，则这组样本数据的总和等于60

D.数据10.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是(

)A.若m⊂α，n⊂α，m//β，n//β，则α//β

B.若m⊥n，m//α，α//β，则n⊥β

C.若m，n异面，m⊂α，m//β，n⊂β，n//α，则α//β

D.若α//β，m⊥α，n//β，则m⊥n11.如图，已知在平行四边形ABCD中，AB=2AD=2，∠BAD=60°，E为AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△PDE，若M为PC的中点，则△ADE在翻折过程中(点P∉平面ABCD)，以下命题正确的是(

)

A.BM //平面PDE

B.BM=32

C.存在某个位置，使MB⊥DE

D.当三棱锥三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.某学校三个年级共有2760名学生，要采用分层抽样的方法从全体学生中抽取一个容量为60的样本，已知一年级有1150名学生，那么从一年级抽取的学生人数是

名.13.设双曲线C：x24−y221=1的左焦点和右焦点分别是F1，F2，点P14.已知点P是椭圆C:x26+y24=1上除顶点外的任意一点，过点P向圆O:x2+y2=4引两条切线PM，PN，设切点分别是M，N，若直线MN分别与四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)如图1所示，四边形CDMN为梯形且CD//MN，BC//AD，E为AD中点，DE=DC=1，MA=MD=3，现将平面▵AMD沿AD折起，▵BCN沿BC折起，使平面AMD⊥平面ABCD，且M,N重合为点P(如图2所示(1)证明：平面PBE⊥平面PBC；(2)求二面角C−PA−D的余弦值．16.(本小题12分)如图，四棱柱ABCD−A1B1C1D1的底面为梯形，

(1)证明：平面ABD1⊥(2)求点A1到平面ABD17.(本小题12分)

在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，点P(2,−1)和点Q(6,22)为椭圆C上两点．

(Ⅰ)求椭圆C的标准方程；

(Ⅱ)A，B为椭圆C上异于点P的两点，若直线PA与PB的斜率之和为18.(本小题12分)已知▵ABC的三个内角A，B，C对的三边为a，b，c，且sin(1)若b=1，A=π3，求(2)已知C=π3，当S▵ABC取得最大值时，求19.(本小题12分)

如图，ABCD为圆柱OO′的轴截面，EF是圆柱上异于AD，BC的母线．

(1)证明：BE⊥平面DEF；

(2)若AB=BC=6，当三棱锥B−DEF的体积最大时，求二面角B−DF−E的正弦值．

参考答案1.C

2.B

3.D

4.C

5.C

6.B

7.A

8.D

9.ABC

10.CD

11.ABD

12.25

13.8

14.415.(1)证明：因为MA=MD=即PA=PD=3，E为所以▵PAD是等腰三角形，且ME⊥AD，即PE⊥AD，又因为平面AMD⊥平面ABCD，且平面AMD∩平面ABCD=AD，PE⊂平面PAD，所以PE⊥平面ABCD，又BC⊂平面ABCD，所以PE⊥BC，又因为CD//MN，且ME⊥AD，所以四边形NCDE为直角梯形，且DE=DC=1，所以四边形BCDE是正方形，所以BC⊥EB，又因为PE∩EB=E，所以BC⊥平面PBE，又因为BC⊂平面PBC，所以平面PBE⊥平面PBC；(2)由(1)知：以E为原点，EA，EB，EP为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系：则A1,0,0所以PA=设平面PAC的一个法向量为m=则，即x−令z=2，则易知平面PAD的一个法向量为n=则cosm所以二面角C−PA−D的余弦值是216.(1)因为侧面ABB1A1，BCC1B1，又AB∩BC=B，AB,BC⊂面ABCD，所以B1B⊥面由棱柱的性质，四棱柱为直四棱柱，则DD1⊥面ABCD，又AB⊂面ABCD又四边形ABCD为梯形，AB=CD，AD=2BC=2，所以AD//BC．过点C作CE⊥AD，垂足为E，则DE=1

所以∠CDE=60∘，则在等腰三角形BCD中BD=2×因为AD2=A因为BD∩D1D=D，BD,D1D⊂面又AB⊂平面ABD1，所以平面ABD(2)法一：连接A1B，

由(1)直三棱柱ABD−A1B由直三棱柱的性质知，三棱锥B−A1B三棱锥D1−ABD的体积所以VA由AB⊥面BDD1，BD1⊂面BD设点A1到平面ABD1的距离为d即13×12×1×2×d=36，解得法二：因A1B1//AB，且AB⊂面ABD1，面AB所以A1，B1两点到平面过点B1作B1H⊥BD1

易得B1H⊥平面ABD1，所以线段B1因为BB1=1，B1D所以点A1到平面ABD1

17.解：(Ⅰ)设椭圆的方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)，

因为点P(2,−1)和点Q(6,22)为椭圆C上两点，

所以4m+n=16m+12n=1，解得m=18,n=12，

故椭圆C的标准方程为x28+y22=1；

(Ⅱ)设PA的斜率为k，所以直线PA的方程为y+1=k(x−2)，即y=k(x−2)−1，

联立方程组y=k(x−2)−1x2+4y2−8=0，可得(x−2)[(1+4k2)x−8k2−8k+2]=0，

所以点A的横坐标为xA=8k2+8k−21+4k2，纵坐标为y18.(1)∵sin

∴a∴a+5b=10，又b=1，∴a=5，由正弦定理可知：asin∴sin(2)∵S△ABC=12∵a+5b=10，∴5ab≤(5b+a∴ab≤(5b+a)220=5，当且仅当a=5b由余弦定理可知：cosC=∴c=

∴c=∴▵ABC的周长a+b+c=6+19.解：(1)证明：如图，连接AE，由题意知AB为⊙O的直径，

所以AE⊥BE.因为AD，EF是圆柱的母线，

所以AD//EF且AD=EF，所以四边形AEFD是平行四边形．

所以AE//DF，所以BE⊥DF．

因为EF是圆柱的母线，所以EF⊥平面ABE，

又因为BE⊂平面ABE，所以EF⊥BE．

又因为DF∩EF=F，DF、EF⊂平面DEF，所以BE⊥平面DEF．

(2)由(1)知BE是三棱锥B−DEF底面DEF上的高，

由(1)知EF⊥AE，AE/​/DF，所以EF⊥DF，

即底面三角形DEF是直角三角形．

设DF=AE=x，BE=y，

则在Rt△ABE中有：x2+y2=6，

所以VB−DEF=13S△DEF⋅BE=13⋅(12x⋅6)⋅y=66xy≤66⋅x2+y22=62，

当且仅当x=y=3时等号成立，即点E，F分别是AEB，CFD的中点时，三棱锥B−DEF的体积最大，

下面求二面角B−DF−E的正弦值：

法一：由(1)得BE⊥平面DEF，因为DF⊂平面DEF，所以BE⊥DF．

又