北师大版七年级数学上册讲义-难点探究：线段上的动点问题3类热点题型讲练（解析版）

第04讲难点探究专题:线段上的动点问题（3类热点题型讲练）

目录

【类型一线段和与差问题】.....................................................................1

【类型二线段上动点定值问题】.................................................................7

【类型三线段上动点求时间问题】..............................................................12

【类型一线段和与差问题】

例题：（2023秋•江西南昌•七年级南昌市第二十八中学校联考期末）已知点C在线段上，AC=2BC,点、

D、£在直线N8上，点。在点E的左侧.

ADCEBACB

图1备用图

⑴若48=18,DE=8,线段DE在线段上移动.

①如图1,当E为8C中点时，求4D的长；

②若点F在线段8C上，且4F=3/D,CE+EF=3,求40的长；

（2）若AB=2DE,线段。E在直线48上移动，且满足关系式更严=：,求华的值.

BE2AB

【答案】⑴①7；②3或5

⑵口或1

【分析】（1）根据已知条件得到5c=6,AC=12,①由线段中点的定义得到CE=3,求得CD=5,由线

段的和差得到/。=48-。2=7；②点E在点尸的左侧，点尸是8C的中点，所以CF=B尸=3,可以根据

/万=3/。进行求解，当点E在点尸的右侧，AC=12,CE+跖=B=3,求出/F的长度，再根据/尸=3/。

进行求解即可；

24

（2）当£在点。的右侧时，设CE=x,DC=y,则。E=x+y,AB=2（^x+y）,AC=—AB=—（x+,

求得17%=4y,当£在点。的左侧时，设C£=x,DC=y,则Z)£=y—x,AB=2[y-x),

74

AC=^AB=-(y-x),求得llx=8y,分别代入关系式即可得出答案.

【详解】(1)解：@AC=2BC,AB=18,DE=8,

BC=6,AC=11,

如图，

AD""CEB

••・E为3C中点，

CE=3,

CD=5,

/.AD=AB-DB=1S-11=1；

②如图，

ADCEFB

•:CE+EF=3,

二•点片在点尸的左侧，

二•点厂是BC的中点，

：.CF=BF=3,

AF=AB-BF=18-3=15f

AD=-AF=5；

3

当点£在点尸的右侧，如图

A~D~~FECB

vAC=12fCE+EF=CF=3,

AF=AC-CF=9,

•・・AF=3AD,

AD=3,

综上所述，4。的长为3或5；

jn_i_pca

(2)<AC=2BC,AB=2DE,满足关系式:

BE2

如图，当E在点。的右侧时：

ADCEB

设CE=x,DC=y,则Z)E=x+y,

24

/.AB=2(x+j^),AC=—AB=—^x+y),

4ii?

/.AD=AC-DC=-x+-yfBC=-AB=-(x+y],

3333V7

:.BE=BC-CE=-y--x,

33

71

A,D+EC——xH—y

33f

-2（AD+EC）=3BE,

解得，17x=4y,

,CD=yy=17

”-2"）-2侑尹丁42；

如图，当E在点C的左侧时：

DHCB

设CE=x,DC=y,则DE=y_x,

24

AB=2（y-x）,AC=-AB=-[y-x）,

/.AD=DC-AC=-x--yBC=-AB=-

33f33

:.BE=BC+CE=-y+-x,

33

71

AD+CE=-x——y,

33

-2（AD+EC）=3BE,

解得，llx=8y,

.乌_y_ii

"^4B~2（y-x）~~6

故答案为是1三7或211.

【点睛】本题考查了两点间的距离，熟悉各线段间的和、差及倍数关系，根据题意分情况讨论是解答本题

的关键.

【变式训练】

1.（2023秋・山东枣庄•七年级统考期末）如图，点C在线段上，/C=6cm,=10cm,点初，N分别

为/C,2C的中点.

⑴求线段的长；

⑵若点。在线段的延长线上，且满足/C-3C=6cm,点"，N分别为/C/C的中点，求MN的长.

【答案】⑴6.5cm

⑵;bcm

【分析】（1）先根据线段中点的定义求出MC,CN的长度，再根据线段的和差进行求解即可;

（2）先根据线段中点的定义求出MC,CN的长度，再根据线段的和差进行求解即可.

【详解】（1）：/C=6cm,点M分别为/C的中点，

：.MC=-AC=3cm,

2

：MB=10cm,

BC=10-3=7cm,

;点N分别为的中点，

CN」5c=3.5cm,

2

MN=CM+CN=6.5cm；

（2）如图，

I|।||

AMBNC

•.•点N分别为/C,2C的中点,

：.MC=-AC,CN=-BC,

22

^MN=MC-CN^AC-^BC^AC-BC^.

【点睛】本题考查了线段的中点和线段的和差，准确理解题意，熟练掌握相关知识点是解题的关键.

2.（2023秋・湖南岳阳•七年级统考期末）如图，点C为线段上一点，点3为CD的中点，且40=13。〃,

BC=3cm.

ACUD

⑴图中共有多少条线段，请写出这些线段；

⑵求/C的长；

⑶若点£在直线/D上，且E4=4CTM,求BE的长.

【答案】⑴图中的线段有/C,AB,AD,CB,CD,BD共6条

（2）7cm

⑶6cm或14cm

【分析】（1）根据题意结合图形，数出线段即可求解.

(2)根据线段中点的性质可得CD=28C=6cm，根据/C=4D-CD,即可求解;

(3)分点E在/C上时，点£在C4延长线上时，两种情况分别讨论即可求解.

【详解】(1)解：图中的线段有/C,AB,AD,CB,CD,50共6条，

.ill

ACBD

(2),・,点5为CZ)的中点，5C=3cm,

.e.CD=2BC=6cm.

,.,//)=]3cm,

:.AC=AD-CD=13-6=7(cm)；

(3)分两种情况讨论：

①如图，当点£在/C上时，AB=AC+BC=10cm,EA=4cm,

AECBD

5E=/8-/£=10-4=6（cm）；

②如图，当点E在。延长线上时，

111]________________1

EACBD

AB=10cm,AE=4cm,BE=AE+AB=l4^cm)；

综上，AE■的长为6cm或14cm.

【点睛】本题考查了线段数量问题，线段中点以及线段和差问题，数形结合是解题的关键.

3.(2023秋•辽宁抚顺•七年级统考期末)如图，P是线段上一点，^5=18cm,C,。两动点分别从点P,

B同时出发沿射线向左运动，到达点/处即停止运动.

A1CPDB

⑴若点C,。的速度分别是lcm/s,2cm/s.

①若2c机<4P<14cH7,当动点C,。运动了2s时，求/C+PD的值；

②若点C到达AP中点时，点。也刚好到达AP的中点，求4P:PB；

⑵若动点C,。的速度分别是lcm/s,3cm/s,点C,。在运动时，总有尸。=3/C,求NP的长度.

【答案】(1)①12cm；②1:2

9

⑵Qcm

【分析】(1)①先计算3DPC,再计算NC+PD；②利用中点的性质求解；

(2)将/尸用其它线段表示即可.

【详解】(1)解：①由题意得：SD=2x2=4(cm),PC=lx2=2(cm).

:.AC+PD=AB-PC-BD=18-2-4=12(cm).

②：点C到达/尸中点时，点。也刚好到达8P的中点，设运动时间为/,

贝U：AP=2PC=2t,BP=2BD=4t,

AP:PB=2/:4/=1:2.

（2）解：设运动时间为%s,贝!］尸加，BD=3tcm,

BD=3PC,

\'PD=3AC.

:.PB=PD+BD=3PC+3AC=3（PC+AC）=3//

19

...AP=-AB=-（cm）.

42

【点睛】本题考查线段上动点问题、求线段的长度，充分利用中点和线段的倍数关系是求解本题的关键.

4.（2023秋・山东临沂•七年级统考期末）如图，将一段长为30厘米绳子拉直铺平后折叠（绳子无弹性，

折叠处长度忽略不计），使绳子与自身一部分重叠.

A-------------------------------------------------B

若将绳子沿W、N点折叠，点A、B分别落在H,夕处.

⑴如图2,若/,8'恰好重合于点O处，展开拉直后如图3,求九CV的长；

M,Q,NN

A.........<----->..............BA>>-------------------------------B

图2图3

⑵若点H落在夕的左侧，且/»=10cm，画出展开拉直后的图形，并求的长度；

⑶若点H落在8'的右侧，且/B'=10cm，画出展开拉直后的图形，并求的长度.

【答案】⑴15厘米

⑵20厘米

⑶10厘米

【分析】（1）根据线段中点的性质得出==ON=BN=-OB,进而根据MN=MO+ON即

22

可求解；

（2）先根据题意画出图形,根据线段中点的性质,得出AM=（//'，BN=*BR，根据MN=AB-（AM+BN）

即可求解；

（3）先根据题意画出图形，同（2）的方法即可求解.

【详解】（1）解：：绳子沿M、N点折叠，点A、3分别落在4、9处，4、8'恰好重合于点。处，

AAM=MO=-AO,ON=BN=-OB,

22

二AGV=MO+ON=+08）=g/3=15（cm）；

0)MA'B'N

⑵，4—•~~•------------------1-----------------1----------------B

VAB=30cm,AB=10cm,

；.//'+55'=/B-42'=30-10=20(cm).

根据题意得，M、N分别为44，、班，的中点，

VAM^-AA',BN^-BB',

22

AM+BN=-AA+-BB'=Y0cm,

222V72

ACV=AS-(/M+BN)=30-10=20cm；

(3)当点H落在点8'的右侧时，

B'MA*N

A-----------1—1----------------1—*---------------------------B

"：AA'+BB'=AB+A'B'=40cm,

AM+BN^-AA'+-BB'^-(AA'+BB')=20cm.

222、7

：.MN=AB-(AM+BN)=30-20=10cm.

【点睛】本题考查了线段的和差，线段的中点的性质，数形结合是解题的关键.

【类型二线段上动点定值问题】

例题：（2023秋•河南南阳•七年级南阳市实验中学校考期末）如图，已知线段/8=15cm,CD=3cm,E是

线段/C的中点，尸是线段的中点.

4ECDFB

（1）若NC=5cm,求线段EF的长度.

⑵当线段CD在线段N8上从左向右或从右向左运动时，试判断线段E尸的长度是否发生变化，如果不变，

请求出线段E尸的长度；如果变化，请说明理由.

【答案】⑴9cm

⑵不变，还是9cm,理由见解析

【分析】（1）由题意可得，BD=AB-AC-CD=7（cm）,结合中点的含义可得斯=£C+8+D尸=9（cm）；

（2）由已知可得BF=-BD,再由EF=4B—AE—BF,结合中点的性质即可解.

22

【详解】（1）解：vAC=5cm,^5=15cm,CD=3cm,

:.BD=AB-AC-CD=15-5-3=7(cm)

••,点£是ZC的中点，点尸是AD的中点，

EC=^AC=2.5（cm）,DF=^BD=3.5（cm）

EF=EC+CD+DF=2.5+3+3.5=9（cm）；

（2）线段EF的长度不发生变化.

・・•点£是NC的中点，点尸是8。的中点，

:.AE=-AC,BF=-BD

22

:.EF=AB-AE-BF

=AB--AC--BD

22

=AB-^(AC+BD)

=AB-；(AB-CD)

=15-1X（15-3）

=9（cm）.

【点睛】本题考查线段的和差运算，中点的含义；熟练掌握线段的和差运算，灵活应用中点的性质解题是

关键.

【变式训练】

1.（2023春•山东烟台•六年级统考期末）如图，点C在线段上，点M、N分别是NC、3C的中点.

....................................1-------------------------------------1

AMCNBAB

备用图

（1）若NC=12cm,CB=8cm,求线段MN的长；

⑵若C为线段N8上任一点，满足/C+CB=机，其他条件不变，你能猜想儿W的长度吗？请直接写出你的

答案.

⑶若C在线段N8的延长线上，且满足NC-8C=〃，M、N分别为/C、8c的中点，你能猜想的长度

吗？请在备用图中画出图形，写出你的结论，并说明理由.

【答案】（l）lOcm

,、m

⑵5

⑶3,图及理由见解析

【分析】（1）根据M、N分别是NC,2C的中点，可得MC=\AC,CN=^BC,从而得到

22

MN=MC+CN=^AC+^BC=^(AC+BC),即可求解；

(2)根据M、N分别是/C,2C的中点，可得MC=」/C,CN=从而得到

22

MN=MC+CN=^AC+^BC=^(AC+BC),即可求角麻

(3)根据M、N分别是ZC,3c的中点，可得MC=」/C,CN=从而得到

22

MN=MC-CN=；AC-；BC=；(AC-BC),即可求解.

【详解】(1)解：N分别是/C、3c的中点，

：.MC=-AC,CN=-BC,

22

MN=MC+CN=+：BC=；(/C+BC)=；(12+8)=10cm

线段儿W的长为10cm.

(2)解：•••”、N分别是/C,2C的中点，

：.MC=-AC,CN=-BC,

22

AC+CB=m,

：.MN=MC+CN=-AC+-BC=-(AC+BC}=-m；

222',2

(3)解：MN=；n,理由如下：

如图：

I1111

AMBNC

■:M、N分别是ZC,8c的中点，

：.MC=-AC,CN=-BC,

22

AC-BC=n,

：.MN=MC-CN=-AC--BC=-(AC-BC]=-n.

222V72

【点睛】本题主要考查了有关线段中点的计算，明确题意、准确得到线段间的数量关系是解题的关键.

2.(2023秋■七年级单元测试)如图，2是线段4D上一动点，沿以2cm/s的速度往返运动1次,

C是线段8。的中点，AD=\Qcm,设点8运动的时间为fs。不超过10)

ABCD

⑴当f=2时，AB=cm.

⑵当t=8时，求线段CD的长.

⑶在运动过程中，若45的中点为£,则EC的长是否变化？若不变，求出EC的长；若发生变化，请说明理

由.

【答案】⑴4

（2）3cm

⑶不变，5cm

【分析】（1）利用路程等于速度乘以时间可得答案；

（2）当t=8时，而〃）=10cm,先求解3O=6cm,再利用中点的含义可得答案；

（3）由的中点为E,C是线段助的中点，可得EB=-AB,BC=-BD.从而可得结论.

22

【详解】（1）解：当，=2时，45=2x2=4（cm）；

(2)当/=8时，而40=10cm,

(

・•.BD=8-^jx2=6cm).

・・・c是皮）的中点,

』AD=!义6=3,即线段CZ）的长为3c冽.

22

(3)不变,如图，

I।।।।

AEBCD

的中点为E,C是线段班的中点，

EB=—AB,BC=—BD.

22

CE=1/2+，3。=！4。=工'10=5,即。£的长为5”?.

2222

【点睛】本题考查的是线段的中点的含义，线段的和差运算，理解题意，利用数形结合的方法解题的关键.

3.（2023秋•山东济宁•七年级统考期末）探究题：如图①，已知线段NB=12cm,点C为48上的一个动点,

点。、£分别是/C和3C的中点.

I_____I________I___________I____________I

ADCEB

①

⑴若点C恰好是4B中点，则DE=cm；

（2）若/C=4cm,求DE的长；

⑶试利用"字母代替数”的方法，设NC="a"cm,请说明不论。取何值（。不超过12cm）,DE的长不变.

【答案】⑴6

（2）DE=6cm

⑶见解析

【分析】（1）根据线段中点的性质得出4S=3C,CD=DE,结合图形即可求解；

（2）根据（1）的方法即可求解；

（3）根据（1）的方法进行求解即可.

【详解】（1）解：=12cm,C点为N8的中点，

AC=BC=6cm.

•・,点。、£分别是/C和5C的中点，

，CD=CE=3cm,

DE=6cm.

故答案为：6；

（2）解：v^5=12cm,AC=4cm,

/.BC=8cm.

•・,点。、£分别是力。和8C的中点，

CD=2cm,CE=4cm,

DE=6cm；

（3）解：设/C=“cm,则BC=/5-4。=（12-。）。加，

•・,点。、£分别是NC和BC的中点，

CD=-AC=-cm,CE=-BC=^—^-cm

2222

DE=CD+CE=-AB=6cm,

2

不论NC取何值（不超过12cm）,DE的长不变；

【点睛】本题考查了线段中点的性质，线段和差的计算，掌握线段中点的性质，数形结合是解题的关键.

4.（2023秋・河北承德•七年级统考期末）应用题：如图，已知线段45=12cm,点C为线段上的一个动

点，点。、E分别是ZC和8c的中点.

ADCEB

⑴若/C=4,求。E的长；

⑵若C为的中点，则4D与Z8的数量关系是；

⑶试着说明，不论点C在线段上如何运动，只要不与点A和8重合，那么DE的长不变.

【答案】⑴。£=6cm

（2）AD=AB

⑶说明见解析

【分析X1）首先根据线段的和差关系求出BC=4B-AC=8,然后根据线段中点的概念求出。C=2,CE=4,

进而求和可解；

(2)根据线段中点的概念求解即可；

(3)根据线段中点的概念求解即可.

【详解】(1)因为/C=4,

所以BC=4B-/C=8.

因为点。是ZC的中点.

所以。C=2,

因为点E是8c的中点.

所以CE=4,

所以。E=OC+CE=6(cm)；

(2)为的中点，

AC=-AB

2

•点。是/C的中点

AD=-AC=-x-AB=-AB-

2224

(3)因为点。是/C的中点.

所以=

因为点E是BC的中点.

所以CE=：C3,

所以DEMOC+CEMJ/C+JcBuLASuGlcm),

222'"

所以，DE的长不变.

【点睛】此题考查了线段的和差计算，线段中点的计算，解题的关键是熟练掌握线段之间的数量关系.

【类型三线段上动点求时间问题】

例题：(2023秋•云南临沧•七年级统考期末)如图，C是线段N8上一点，AB=20cm,8C=8cm,点尸从

/出发，以2cm/s的速度沿4B向右运动，终点为3；点0同时从点2出发，以Iczw/s的速度沿A4向左运

动，终点为/,当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为公

III

ACB

⑴当尸、。两点重合时，求才的值；

⑵是否存在某一时刻，使得c、尸、。这三个点中，有一个点恰好是另外两点所连线段的中点?若存在，求

出所有满足条件的r值；若不存在，请说明理由.

【答案】⑴苫20

⑵满足条件的”直为4或7或,

【分析】（1）根据相遇时间=路程和一速度和，列出方程计算即可求解；

（2）根据线段中点的性质，可得方程，根据解方程，可得答案；

【详解】（1）由题意可得：AP=2t,PQ=t,

20

，当尸、0重合时，2t+/=20,解得：Z=y；

（2）由题意可得：4c=20-8=12cm,

①当点C是线段P。的中点时，12-2，=8-f,

解得：/=4；

②当点尸是线段C。的中点时，2（2/-12）=8-/,

解得：r=t32

③当点。是线段尸C的中点时，2（8—）=2/-12,

解得：f=7；

综上所述，满足条件的唯为4或7或牛.

【点睛】本题考查了两点间的距离，利用线段中点的性质得出关于/的方程是解题关键，要分类讨论以防遗

漏

【变式训练】

1.（2023秋・河南安阳•七年级统考期末）4,2两点在数轴上的位置如图所示，其中点/对应的有理数为-2,

点3对应的有理数为8.动点尸从点/出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间

为/秒（t>0）.

AB

------4-------------------------1------A

-208

（1）当f=3时，/尸的长为，点尸表示的有理数为；

⑵若点尸为的中点，则点尸对应的有理数为;

（3）当尸3=（48时，求，的值.

【答案】⑴6,4

（2）3

⑶当尸3=（/8时，/的值为4或6

【分析】（1）根据路程=速度x时间进行求解即可;

（2）根据数轴上两点中点公式进行求解即可；

（3）先求出48=10,再由尸8得到尸8=2,然后分点尸在点3左侧和右侧两种情况，利用线段

的和差关系求出AP的长即可得到答案.

【详解】（1）解：由题意得，AP=3x2=6,

・••点P表示的数为-2+6=4,

故答案为：6,4；

（2）解：・・•点尸为48的中点，点4对应的有理数为-2,点/对应的有理数为8,

点尸对应的有理数为二^=3,

故答案为：3；

（3）解：・・・/B=8—（―2）=10,

二.当尸2=1/2时，则尸3=2,

①当点尸在点3左边时，

PB=2,

/尸=10-2=8,

；"=8+2=4；

②当点尸在点3右边时，

PB=2,

：.AP=10+2=12,

；"=12+2=6；

综上所述，当尸2=g/B时，/的值为4或6.

【点睛】本题主要考查了有理数与数轴，线段的和差计算，灵活运用所学知识是解题的关键.

2.（2022秋・河北唐山•七年级统考期中）如图，已知线段按下列要求完成画图和计算：

（1）延长线段到点C,使3c=348（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；

（2）在（1）的条件下，如果点。为线段2C的中点，且/2=2,求线段4D的长度；

（3）在以上的条件下，若点尸从4点出发，以每秒1个单位长度的速度向点C移动，到点C时停止.设

点尸的运动时间为f秒，是否存在某时刻34吏得PB=P4-PC?若存在,求出时间/：若不存在，请说明理

由.

•--------------------•

AB

【答案】（1）详见解析；（2）5；（3）时间t为2.

【分析】（1）延长线段到点C,使3c=3/2即可；

（2）在（1）的条件下，如果点。为线段的中点，且/2=2,即可求线段/。的长度；

(3)在以上的条件下，若点尸从/点出发，以每秒1个单位长度的速度向点C移动，到点C时停止.设

点P的运动时间为t秒，是否存在某时刻3使得PB=PA-PC?即可求出时间t.

【详解】解:(1)如图所示：延长线段到点C,使BC=3/2；

P'P

A'BDC

(2)'：AB=2,

:・BC=3AB=6,

:・AC=AB+BC=8,

・・,点。为线段5C的中点，

1

:・BD=—BC=3,

2

：.AD=AB+BD=5.

答：线段/。的长度为5；

(3)点P从4点出发，以每秒1个单位长度的速度向点。移动，到点。时停止.

设点尸的运动时间为t秒，

贝U尸5=|L2|,PA=t,PC=8-t,

PB=PA-PC

即"-2|=L(8-1)

解得f=2或?(舍去).

答：时间才为2.

【点睛】本题考查作图一基本作图、两点间的距离，掌握尺规作图的方法和各线段之间的比例关系是解题

的关键.

AT

3.(2023秋•湖南岳阳•七年级统考期末)材料阅读：当点。在线段43上，且七=〃时，我们称〃为点。在

AB

线段N8上的点值，记作如点C是的中点时，则考=!，记作分在=!；反过来，当左

AB222

Ar1AC

时，则有片=7.因此，我们可以这样理解：=〃与d=〃具有相同的含义.

A